群的阶与群中元素的阶的关系讲解

石家庄铁道学院毕业论文群的阶与其元素的阶的关系摘要近世代数虽是一门较新的，较抽象的学科，但如今它已渗透到科学的各个领域，解决了许多著名的数学难题:像尺规作图不能问题，用根式解代数方程问题，编码问题等等．而群是近世代数里面最重要的内容之一，也是学好近世代数的关键．本论文旨在从各个角度和方面来探讨群的阶与其元的阶之间的关系．具体地来说，本文先引入了群的概念，介绍了群及有关群的定义，然后着重讨论了有限群、无限群中关于元的阶的情况．并举了一些典型实例进行分析，之后又重点介绍了有限群中关于群的阶与其元的阶之间的关系的定理——拉格朗日定理，得出了一些比较好的结论．在群论的众多分支中，有限群论无论从理论本身还是从实际应用来说，都占据着更为突出的地位．同时，它也是近年来研究最多、最活跃的一个数学分支．因此，在本文最后，我们介绍了著名的有限交换群的结构定理，并给出了实例分析．关键词：群论有限群元的阶石家庄铁道学院毕业论文AbstractThe Modern Algebra is a relatively new and abstract subject, but now it has penetrated into all fields of science and solved a number of well-known mathematical problems, such as, the impossibility for Ruler Mapping problem, the solutions for algebraic equations with radical expressions, coding problems and so on. The group is one of the most important portions in the Modern Algebra, and also the key of learning it well.This paper aims at discussing the relations between the order of a group and the orders of its elements from all the angles and aspects. Specifically, this thesis firstly introduces the concept of a group and some relatives with it; secondly focuses on the orders of the elements in the finite group and the infinite group respectively, some typical examples are listed for analyses; thirdly stresses on the theorem - Lagrange's theorem on the relations between the order of a group and the orders of its elements in the finite group, accordingly obtaining some relatively good conclusion.In the many branches of group theory, the finite group theory, whether from the theory itself or from the practical applications, occupies a more prominent position. At the same time, it is also one of the largest researches and the most active branches of mathematics in the recent years. Therefore, in this paper finally, we introduce the famous theorem of the structures on the finite exchanging groups, and give several examples for analyses.Key words：group theory finite groups the orders of elements石家庄铁道学院毕业论文目录１绪论 (1)1.1 群论的概括 (1)1.2 群论的来源 (1)1.3 群论的思想 (2)2 预备知识 (2)2.1 群和子群 (2)2.1.1 群的定义 (2)2.1.2 群的阶的定义 (3)2.1.3 元的阶的定义 (4)2.1.4 子群、子群的陪集 (5)2.1.5 同构的定义 (6)2.2 不变子群与商群 (6)2.2.1 不变子群与商群 (6)2.2.2 Cayley(凯莱)定理 (7)2.2.3 内直和和外直积的定义 (8)3 群中元的阶的各种情况及其实例分析 (8)3.1 有限群中关于元的阶 (9)3.1.1 有限群中元的阶的有限性 (9)3.1.2 有限群中关于元的阶及其个数的关系 (9)3.2 无限群中关于元的阶 (10)3.2.1 无限群G中，除去单位元外，每个元素的阶均无限 (10)3.2.2 无限群G中，每个元素的阶都有限 (10)3.2.3 G为无限群，G中除单位元外，既有无限阶的元，又有有限阶的元 (11)4 群的阶与其元的阶之间的关系 (11)4.1 拉格朗日(Lagrange)定理 (11)4.1.1 拉格朗日定理 (11)4.1.2 相关结论 (12)4.2 有限交换群的结构定理 (13)4.2.1 有限交换群的结构定理 (13)石家庄铁道学院毕业论文4.2.2 相关例子 (14)参考文献 (15)致谢 ······································································错误！未定义书签。

石家庄铁道学院毕业论文1１ 绪 论本论文旨在综述群论中关于群的阶与其元的阶之间的关系，并找出各种情况进行实例分析．1.1 群论的概括群论是从实践中发展起来的一门比较抽象的学科，它不仅在数学中居显著地位，而且在许多现代科学分支中居重要地位．群论的概念和结果远不限于对几何学、拓扑学等纯粹数学方面的应用，实际上它已成为研究物质结构和物质微粒运动的有力工具．随着科学技术的发展，群论的理论和方法获得了越来越广泛的应用，除了大家比较熟悉的对物理学、特别是理论物理学和结晶学的应用，它还渗透到计算机科学、通讯理论、系统科学、乃至数理经济等许多领域．因此，今天需要掌握和了解群论知识的人越来越多．1.2 群论的来源为什么正方形在我们看来是对称图形，圆是更为对称的图形，而数字“4”就根本不对称？为了回答这个问题，我们来考虑使图形与其自身重合的那些运动．容易了解，正方形的这样的运动有八个，圆有无穷多个这样的运动，而数字“4”只有一个，即所谓恒等运动，它使图形的每个点留在原位不动．使某个图形自身重合的各种运动的集G ，是对称性为大为小的一个特征：这样的集越大，图形就越对称．在集G 上按下列规则定义合成，即对其元素的运算：如果x ，y 是G 的两个运动，那么所谓它们的合成结果就是等价于先作运动x ，后作运动y 的连接实施的运动y x ．例如，如果x ，y 是正方形相对于有关对角线的反射运动，那么y x 就相当于绕中心转180°的旋转．显然，在G 上的合成具有下列性质：1)()()G x,y,z,x y z x y z =对中的任意元素；2)G e x e e x x G x ==在中存在这样的，使得，对中的任意的都成立；-1-1-13)G x G x x x x x e ==对中的任意，在中存在这样的元素，使；实际上，e 可取恒等运动，而1x x -可取的逆运动，即图形的每一点从新位置还原到旧位置．石家庄铁道学院毕业论文21.3 群论的思想在群的思想凝练成今天这样晶莹的瑰宝以前，需要几代数学家的辛勤劳动，总计花费了近一百个春秋．从拉格朗日(Lagrange)自发地采用置换群以解决用根式解代数方程问题起(1771)，中间经过罗菲(Ruffin ，1799)与阿贝尔(Abel ，1824)，直到伽罗瓦(Galois ，1830)在他的著作中已经足够自觉地应用群的思想(就是他首先引进群这个术语的)，这就是在代数方程论内这个思想发展的过程．与此独立，由于其他原因，当19世纪中叶，在统一的古希腊几何舞台上出现了多种“几何”，尖锐地提出了研究它们之间的联系与“血缘”关系问题时在几何中出现了群．现在群论是代数学发展最充分的分支之一，无论在数学本身还是数学以外——在拓扑学，函数论，结晶学，量子力学以及数学与自然科学其他领域中，都有许多应用．2 预备知识2.1 群和子群2.1.1 群的定义我们将群论的简介中的例子抽象出来就得到群的定义． 设是非空集合G 的一个代数运算(我们常称作乘法)．称(G ，)为一个群，如果这个运算满足下列诸公理：G1)a G b G a b G ∀∈∈∈对，，有；G2)()()a b c G a b c a b c ∀∈=对，，，有；G3)e G a G e a a e a ∈∀∈==存在，使对，有；G4)a G b G a b b a e ∀∈∈==对，存在一元素，使；如果群G 还满足：G5)a b G a b b a ∀∈=对，，有；则称(G ，)为交换群，或者Abel 群．另若一个群G 的每一个元都是某一个元a 的乘方，这时我们把G 叫做循环群．我们也说，G 是由元a 生成的，并用符号G =<a >表示，其中a 叫做G 的一个生成元．例1．（全体整数集，数的普通加法）显然满足公理G 1—G 5，做成一个Abel 群．并且不难验证，它还是一个由整数1生成的循环群．即该群可用符号<1>来表示．例2．设G ={(a ，b )|a ，b 为实数，且a 不为0}．规定石家庄铁道学院毕业论文3()()()a b c d ac ad b =+，，，则G 显然满足G 1—G 4，做成一个群．事实上，显然G 非空．又在G 中任取(a ，b )，(c ，d )．则a ，b ，c ，d 是实数且a ，c 均不为零．于是ac ，ad +b 也均为实数且ac 也不为零．从而()()()a b c d ac ad b G =+∈，，，(,),[(,)(,)](,)(,)(,)(,)(,)[(,)(,)](,)(,)(,)[(,)(,)](,)(,)[(,)(,)],(1,0),(1,0)(,)(,)(,)(1e f G a b c d e f ac ad b e f ace acf ad b a b c d e f a b ce cf d ace acf ad b a b c d e f a b c d e f G G a b a b a b ∈=+=++=+=++=∈==再任取则有故即对满足结合律.又且,0).(1,0)1(,),(,),11(,)(,)(,)(,)(1,0).1(,)(,)14,:(3,6)(1,2)(3,4)(3,4)(1,2)(3,10)G b G a b G G a ab b a b a b a a a ab a b G a aG G G Abel ∈-∈-=-=-=≠=即是的单位元.又对中任意有且即是在中的逆元.所以满足—作成一个群,但它不作成一个群.因为 例3．（有理数集上行列式为1的2阶方阵的全体，矩阵的乘法）显然满足G 1—G 4，但它不满足G 5．因为：020.80.6 1.2 1.60.500.60.80.40.30.80.6020.3 1.60.60.80.500.4 1.2020.80.60.80.6020.500.60.80.60.80.50--⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≠ ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭但是所以,交换律不成立.所以它也只是一个普通的群．2.1.2 群的阶的定义如果群G 只有有限个元素，我们称它为有限群．其元素的个数称为群G 的阶，记为|G |，否则称它为无限群，记|G |=∞．从前面我们举的例子（例1至例3）都是无限群．下面我们举两个有代表性的有限群的例子．石家庄铁道学院毕业论文4例4．模n 的剩余类加群n Z ．G 包含模n 的n 个剩余类．我们要规定一个G 的叫做加法的代数运算．我们用[a ]来表示a 这个整数所在的剩余类．我们规定：[a ]+[b ]=[a +b ] (1)我们先看一看，这样规定的+是不是一种代数运算．我们知道，假如a ’∈[a ]，b ’∈ [b ]．那么[a ’]=[a ]，[b ’]=[b ]照我们的规定，[a ’]+[b ’]=[a ’+b ’] (2)(1)，(2)两式的左端是一样的，如果它们的右端不一样：[a +b ] ≠[a ’+b ’]那么我们规定的+就不是代数运算了．我们说这种情况不会发生．因为[a ’]=[a ]，[b ’]=[b ] 就是说a ’≡a (n )，b ’≡b (n )．也就是说n |(a ’-a )，n |(b ’-b )．因此，能n |[(a ’-a )+(b ’-b )]，即n |[(a ’+b ’)-(a +b )]．所以[a ’+b ’]=[a +b ]，这样规定的+是G 的一个代数运算．而且[a ]+([b ]+[c ])=[a ]+[b +c ]=[a +(b +c )]=[a +b +c ]．([a ]+[b ])+[c ]=[a +b ]+[c ]=[(a +b )+c ]=[a +b +c ]．这既是说 [a ]+([b ]+[c ])= ([a ]+[b ])+[c ]．并且 [0]+[a ]=[0+a ]=[a ]．[-a ]+[a ]=[-a +a ]=[0]．所以对于这个加法来说，G 做成一个群，这个群叫做模n 的剩余类加群．记为n Z ．仔细研究这个群，它还是一个循环群，即n Z =<[1]>．例5．三次对称群3S一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换．一个包含n 个元素的集合的全体置换做成的群叫做n 次对称群．这个群我们用3S 来表示．容易知道n 次对称群n S 的阶为n !，即|n S |=n !，当n =3时，就是三次对称群3S ，下面我们将3S 的元素一一列出．3S ={(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}依照群的定义，容易验证3S 满足G 1—G 4，做成一个群．但它不是一个Abel 群．因为(12)(13)(13)(12),(12)(13)(123),(13)(12)(132).≠==事实上，3()[3]S 并且可以说是一个最小的有限非交换群略去证明　．有兴趣的可见参考文献．2.1.3 元的阶的定义我们下面来看群G 的一个元素a ，能够使得m a e =的最小整数m 叫做元a 的阶，记为|a |=m ．如果这样的m 不存在，我们说a 是无限阶的，记为|a |=∞．石家庄铁道学院毕业论文5下面举两个关于阶的例子，希望读者对它有一个较好的理解：例6．设G 刚好包含31x =的三个根：1，==αβ． G 对于普通乘法来说显然满足G 1—G 4，做成一个群．在这个群里面，1的阶为1，α的阶为3，β的阶也为3．例7．（非零有理数集，数的普通乘法）显然满足G 1—G 5，做成一个Abel 群． 在这个群里面除了1，-1外，其它元素皆为无限阶的．另外，有关元的阶，我们还有以下几个比较好的结论．结论1．在群G 中，若元a 的阶为m ，且()n a e e =为单位元，则m |n ．证 我们采用反证法．设m 不整除n ，由代数的基本知识可知，．又因为()n mq r m q r r e a a a a a a ====． 这与元a 的阶为m 矛盾，所以m 整除n ，即m |n ．结论2．设G 为群，a ∈G ，且|a |=n ，则对任意的整数k ，有()k n |a |k n =，． 证 设（k ，n ）=d ，不妨设k =d 1k ，n =d 1n ，且11()1k n =，．又因为n a e =， 所以111n kn nk k a a a e ===（）．有设k m a e =（），所以km a e =，由结论1可知，n |km ，即11dn |dk m ， 所以11n |k m ．又因为11()1k n =，．所以1n |m ．所以1()k n n |a |n d k n ===，． 结论3．在群G 中，元素a 的阶为n ，b 的阶为m ．若ab =ba ，且(m ，n )=1．则|a b m n =． 证 首先由于|a |=n ，|b |=m ，故n m a b e ==．又由于ab =ba ，故()()()m n n m m n a b a b e ==．其次，设有正整数 k ，使()k ab e =．则因ab =ba ，故()()k n nk k n k n a b a b b e .===而|b |=m ，所以m |kn ．又因为(m ，n )=1，故m |k ．同理可证n |k ．由(m ，n )=1得mn |k ．所以|ab|mn =．结论4．在交换群G 中，对任意的两个元素a ，b 都有|ab||a ||b|≤．证 设|a |=m ，|b |=n ．则m n a b e ==．由于G 是Abel 群，故()()()m n m n m n m n n m a b a b a b e===． 从而|ab|mn.≤即|ab||a ||b|≤．2.1.4 子群、子群的陪集假设H 是群G 的一个非空子集．如果对G 中的代数运算H 本身做成一个群．则称H 为群G 的一个子群．我们称G 的子集{}aH ah|h H ∈＝与{}Ha ha |h H ∈＝分别为子群H 的左陪集、右陪集．(0)q r n mq r r m ∃=+<<，使其中石家庄铁道学院毕业论文6 定理2.1 一个子群H 的右陪集的个数和左陪集的个数相等．证 我们把H 的右陪集所做成的集合叫做r S ，H 的左陪集所做成的集合叫做S ｌ．我们说，:π 1H a a H-→． 是一个r l S S .与间的一一映射．因为：1111111)()-----Ha Hb ab H ab ba H a H b H.-=⇒∈⇒=∈⇒=所以右陪集Ha 的象与a 的选择无关，r l S S π是一个到的映射；12)-l r S aH S Ha π的任意元是的元的象，所以是一个满射；1111113)()-----Ha Hb ab H ab ba H a H b H -≠⇒∉⇒=∉⇒≠；由1)，2) ,3)可知π是一个一一映射.定理证毕．一个群G 的子群H 的右陪集(或左陪集)的个数叫做H 在G 中的指数，记作[G :H ]．例如：[:]n n <>=整数加群．2.1.5 同构的定义.()()().,..G G G a b ab a b G G G G G G G G =≅设是群到的一个一一映射如果对中任意元素，均有则称是群到群的一个同构映射若群与群间有一同构映射则称与同构记为ϕϕϕϕϕ有了同构的定义，我们可以完全掌握循环群，下面的结论就巧妙地利用同构指出循环群只有两类．结论5．设<a >为循环群．则1)若不存在正整数n ，使()n a e e .=为单位元则<a >与整数加群同构．2)若存在正整数n ，使()n a e e .=为单位元且n 为最小．则<a >与n 次单位根群同构．证 1)由题意知.m n m n a a ≠≠ϕ当时，于是作映射m a m ϕ：m n m n a Z .a a a m n,a Z +<>=+ϕ<>是到整数加群的一个一一映射又因为故是到,a Z .<>≅的同构映射因此．2)容易验证m m :a ψε21{1}()n a n ,,,,n -<><ε>=εεεε是到次单位根群其中为次单位元根的一个同构.a .<>≅<ε>映射故 2.2 不变子群与商群2.2.1 不变子群与商群一个群G 的子群N 叫做一个不变子群，假如对于G 的每一个元a 来说，都有Na =aN由于一个不变子群的左陪集与右陪集相同，所以我们可以称一个不变子群N 的一个左（或）右陪集叫做N 的一个陪集．显然，对于Abel 群来说，每一个子群都是一个不变子群．我们看一个群G 的不变子群N ．把N 的所有陪集做成集合{}S aN bN cN =，，我们说，法则(xN )(yN )=(xy )N是一个乘法．要看清这一点，我们只须证明，两个陪集xN 和yN 的乘积与x 和y 的选择无关．让我们看一看：假定 xN = x ’N ，yN = y ’N那么 1212()x x'n y y'n n n N ==∈，，， 12xy x'n y'n =但由于N 是不变子群，1133 ()n y'Ny'y'N n y'y'n n N .∈==∈所以32''()''''xy x y n n xy x y N xyN x y N =∈=所以，即，所以我们有．定理2．一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说做成一个群．证 我们证明不变子群的陪集满足群的定义G 1—G 4．G 1) 由上边规定的乘法来说是显然的;G 2) (xNyN )zN =[(xy )N ] zN =(xyz )NxN (yNzN )= xN [(yz )N ]= (xyz )NG 3) eNxN =(ex )N =xN114) ( )--G x NxN x x N eN ==．由G 1—G 4可知，一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说做成一个群．一个群的一个不变子群N 的陪集所做成的群叫做一个商群．这个群我们用符号G N 来表示．2.2.2 Cayley(凯莱)定理对于同构，我们有下面的一个有趣的Cayley 定理．有了它，我们可以只研究变换群了．定理3．Cayley (凯莱定理) 任何一个群都同构于一个变换群．证明:假定G 是一个群，G 的元a ，b ，c ，…．我们在G 里任取一个元x 出来，那么G g,G {}()()(xx xy x x a b c x x y g gx g G .g .G x,G .G ,G ,,,:x G G .:x y gx gy ,x y,G G .,g g xy gx y g τττττ→=τ=τττφ→τ≠⇒≠≠τ≠τφ===：是集合的一个变换因为给了的任意元我们能够得到一个唯一的的元这样由的每一个元可以得到的一个变换我们把所有这样得来的的变换放在一起作成一个集合那么是到的满射但消去律告诉我们若那么所以是与间的一一映射再进一步看)()y x yx x y g gττττ==x y xye ,G G ,G ,G e :g ge gG ,G G .G G G .ττ=τφτ→=ε这即是说所以是与间的同构映射所以是一个群但的单位元的象是的横等变换所以是的变换群且与的变换群同构 这个定理告诉我们, 任意一个抽象群都能够在变换群里找到一个具体的实例．2.2.3 内直和和外直积的定义1{}t H h ,h G =⊆设子集，而规定11{|1}t t i Z H n h n h n Z i t Z H H Z H H =++∈≤≤=<>，，易见，即就是由生成的子群，1{}t H g g G =并且当，是群的生成元集时，1t G Z H Z g Z g .==++1i G H i t G .≤≤设是加群，而，是的子群若111)t t i i G H H g h h h H .=++++∈，即每一都可表成，'''112)t t i i i g G g h h h h h h H ∈=++=++∈若对任意，由，，，'11i i t h h i t G H H ==必有，，，亦即这种表示法是唯一的。