运筹学在企业管理中的应用

运筹学在企业管理中的应用

摘要：运筹学作为一门基础学科，在企业管理过程中发挥着越来越重要的作用，特别是在模型的应用，更是为企业管理各领域提供了一种较好的问题决策分析方法，本文主要从企业管理几个不同角度，通过建立数学模型来解决实际问题，从而说明运筹学在企业管理中的应用。

关键词：运筹学数学模型企业管理

１．前言

运筹学是一门应用科学，至今还没有统一且确切的定义。莫斯和金博尔曾对运筹学下的定义是：“为决策结构在对其控制下业务活动运行决策时，提供以数量化为基础的科学方法。”它首先强调的是科学方法，这含义不单是某种研究方法的分散和偶然的应用，而是可用于整个一类问题上，并能传授和有组织地活动。它强调以量化为基础，必然要用数学。但任何决策都包含定量和定性两个方面，而定性方面又不能简单地用数学表示，如政治、社会等因素，只要综合多种因素的决策才是全面的。运筹学工作者的职责是为决策者提供可以量化方面的分析，指出那些定性的因素。另一定义是：“运筹学是一门应用科学，它广泛应用现有的科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的专门问题，为决策者选者最优提供定量依据。”这定义表明运筹学具有多学科交叉的特点，如综合运用经济学、心理学、物理学、化学中的一些方法。运筹学是强调最优决策，“最”是过分理想了，在实际生活中往往用次优、满意等概念代替最优。所以，运筹学的又一定义是：“运筹学是一种给出问题坏的答案的艺术，否则的话问题的结果会更坏。”

在技术高度发展的时代，企业的竞争由此变得更加激烈。如何在自己的技术方面赶超别人，同时最大程度地节约成本呢，减少开支，是每个企业必须关注的问题，更是企业管理中的首要问题。日本丰田汽车公司第一次提出了著名的精益生产方法，包括零库存与即时生产等，以实现成本最小化。一时风靡全球。世界上成功的企业无不是在成本上进行控制，技术上进行创新得以生存与发展

内的。因此，科学管理越来越被企业管理者所重视，发挥着越来越大的作用，而运筹学作为管理科学的核心与基础，其作用显然是首当其冲的。

在企业管理学科的发展中， 可以感受到运筹学的重要性。运筹学作为工具，在企业产品定价问题，余数问题，生产库存问题等等一系列方面可以提供最优化模型 2．合理分配材料使利润最大的问题 2.2模型分析

企业生产过程中常常会遇到生产不同的产品所需要的各种材料只是数量不一样，而这些材料的合理分配将导致产品最后利润的不同。

假设某企业生产m 种产品#j 为#1，#

2…#m ，生产#

j 所需的n 材料i*为1*,2*…n*,已知单位产

品材料定额ij a ，i*的材料上限为i b ,单位产品#

j 利润为j c ∧

，有关信息如表1所示，问如何安排生产计划，使得企业获得最大利润。 表1

设j x 表示产品#

j 的产量，由此可建立数学模型： max z=

1

m

j j

j c x

∧

=∑

s.t. 11112211...m a x a x a b +++≤

21122222

1122......

...m n n nm n

a x a x a

b a x a x a b +++≤+++≤

此问题可用线性规划来求解。 2.2案例分析

某企业生产3种产品，有关信息如表2所示。问如何安排生产计划，使得企业获得最大利润？ 表2

解：设产品的产量为j x ，则得线性规划模型： max z=

3

1

j j

j c x

∧

=∑=123243x x x ++;

s.t. 123342600,x x x ++≤ 12322400,x x x ++≤ 12332800,x x x ++≤ 0j x ≥,j=1,2,3. 将它化成标准型（LP ）： min f=

3

1

j j

j c x

=∑=123243x x x ---;

s.t. 1234342600,x x x x +++= 123522400,x x x x +++=

123632800,x x x x +++=

0j x ,j=1,2,3,4,5,6.

用单纯形法求解（LP ），得到最优单纯形表如表3所示。 表3

最优解*

X =123(,,)T

x x x =(0,200/3,500/3)T

，最优值z*=2300/3。 3.运输问题

3.1模型分析

一类典型的运输问题可描述为：设某种产品有m 个产地A1,A2,...m A ，产量分别为a1,a2,…m a ;有n 个销地B1,B2…n B ，销量分别为b1,b2…n b 。已知从第 i 个产地运送单位产品到第j 个销地的费用为ij C （i=1,2,…m;j=1,2,…n ）。问如何调运产品才能使总运费最小。

为了直观起见，列出表4，其中ij x （i=1,2,…m;j=1,2,…n ）为产地i A 到销地i B 的运输量， ij

C 为i A 到i B 的单位运价。

表4

由于总产量1

m

i i a =∑与总销量1

n

j

j b

=∑之间可能存在“>”“<”“=”三种关系，故下分三种情况讨论

模型的建立：

（1） 产销平衡（

1

1m n

i j

i j a b

===∑∑）

该种情况下数学模型为min z=

11

m

n ij ij

i j C x

==∑∑

11

(1,2...).(1,2 0

ij i j m

ij j i ij x a i m s t x b j n x ==?==???==???≥??

∑∑

(2)总产量大于总销量（

1

1m n

i j

i j a b

==>∑∑）

该种情况下数学模型为 min z=

11

m

n

ij ij

i j C x

==∑∑

11

(1,2...).(1,2 0

ij i j m

ij j i ij x a i m s t x b j n x ==?≤=???==???≥??

∑∑ (3)总销量大于总产量（

1

1

m n

i j

i j a b

==<∑∑）

min z=

11

m n

ij ij

i j C x

==∑∑

11

(1,2...).(1,2 0

ij i j m

ij j i ij x a i m s t x b j n x ==?≤=???==???≥??

∑∑

3.2案例分析

设有A1,A2,A3三个产地生产某种物资，其产量分别为7t,5t,7t,B1,B2,B3,B4四个销地需要该种物资，销量分别为2t,3t,4t,6t,又知产销地之间的单位运价见表5，试决定总运费最少的调运方案。 表5

解： 产地总产量为19t ，销地总销量为15t ，所以这是一个产大于销的运输问题。按上述方法转化为产销平衡的运输问题，其产销平衡表和单位运输价表分别见表6、 表7。 表6

表7 对上两表可以用表上作业法计算求出最优方案如表8： 表8

4.生产库存问题

4.1模型分析

生产与库存是每个企业在生产经营过程中都会面临的问题。在实际生产中，增加产量可以带来成本上的节约，但是产量增加了，必然增大库存量，使库存费用上升。另一方面，若减少库存量又会造成生产成本的增加。如何保证既满足市场需要，又尽量降低成本费用，欲使总的生产成本和库存成本费用之和最小，这就是生产库存问题的最优化目标。

设某生产部分，生产计划分为n 个阶段。已知期初库存量为s1，n 阶段末的终结库存量为方便起见，可设10n s +=（因为它的库存量一般归于下一生产周期）；每阶段生产该产品的数量有上限m 的限制；k s 为第k 阶段期初库存量，k d 为第k 阶段时常对长品的需求量，k x 为第k 阶段该产品的生产量（k=1,2,…n ）；阶段生产固定费用为F （不生产时F=0），单位产品变动费用为a ，单位产品阶段库存费用为p ；欲求此问题最优化目标。

因为第k+1阶段的起初库存量等于第k 极端的起初库存量加上第k 阶段的产量减去第k 阶段的需求量，于是状态转移方程为1k k k k s s x d +=+- 第k 阶段生产费用()0,0

,0

k k k k k x C x F ax x =?=?

+>?

第k 阶段库存费用()k k k h s ps = 故第k 阶段成本费用为()()k k k k C x h s + 因而上述问题数学模型为 min g=

()()1

n

k

k

k

k

k C x h s =+????∑

()11111

,00(2, (1)

.0(1,2,...)

1,2,...)

n k k i i i k

k s s s s s x d k n s t x m k n x k n +===???=+-≥=-???≤≤=?=??∑为整数（ 此问题可用动态方法求解。

4.2案例分析

已知三个时期内对某种产品的需求量i d 、各时期的定货费用i D C 及存存储费用i P C 如表9所示，

又生产费用函数为：10,(03)()3020(3),(4)i i i i i i q q C q q q ≤≤?=?+-≥?

要求确定各个时期最佳定货批量*i q ，使三个时期各项费用和为最小。已知第1时期初有一件库存，第3时期末库存为零。

表9

解：利用动态规划的算法，当i=3时，因有3d =4而333q x d +≥，故304x ≤≤，304q ≤≤，计算过程见表10 表10

当i=2时，有222236d q x d d ≤+≤+=，故206x ≤≤，206q ≤≤，计算过程见表11 表11

222*()C A C C q =+

当k=1时，有q1+x1≤d1+d2+d3=9,因已知x1=1，故2≤q1≤8。计算过程见表12 表12 111*()C A C C q =+

由计算结果知：x1=1，q1*=2；x2=0，q2*=3；x3=1，q3*=3；三个时期最小费用总和为99。 5.设备更新问题

5.1模型分析

企业管理中经常会遇到因设备老化，损坏，后审查后效率底下而需要更新的问题。一台机器使用的太久，必然性能低下，影响效率与生产质量，因而影响利润。但如果更新过快，又必然需要增大投资，增加成本，也影响到利润。如果更新可提高年净收入，但是当年要指出一笔数额巨大的购买费，为了选择最优决策，常常要在一个较长时间内考虑更新决策问题。

现以一台机器为例，随着使用年限的增加，机器的使用效率降低，收入减少，维修费用增加。而

且机器使用内线越长，它本身的价值就越小，因而跟心时所需的净支出费用就越多。设：

()j I t ----在第j 年机器役龄为t 年的一台机器运行所得的收入。

()j O t ----在第j 年机器役龄为t 年的一台机器运行时所需的运行费用。 ()j C t ----在第j 年机器役龄为t 年的一台机器更新时所需净费用。

a----折扣因子（01a ≤≤），表示一年以后的单收入的价值视为现年的a 单位。 T----在第一年开始时，正在使用的机器的役龄。 n----计划的年限总数。

()j g t ----在第j 年开始使用一个役龄为t 年的机器时，从第j 年至第n 年内的最佳收入。

()j x t ----给出()j g t 时，在第j 年开始时的决策（保留或是更新）。

为了写出递推关系式，先从两方面分析问题。若在第j 年开始时购买了新机器，则从第j 年至第n 年得到的总收入应等于在第j 年中由新机器获得的收入，减去在第j 年中的运行费用，减去在第j 年开始时役龄为t 年的机器的更新净费用，加上在第j+1年开始使用役龄为1年的机器从第j+1年至第n 年的最佳收入；若在第j 年开始时继续使用役龄为t 年的机器，则从第j 年至第n 年的总收入应等于在第j 年由役龄为t 年的机器得到的收入，减去在第j 年中役龄为t 年的机器的运行费用，加上在第j+1年开始使用役龄为t+1年的机器从第j+1年至第n 年的最佳收入。然后，比较他们的大小，选取达到，并的出是该更新还是保留的决策。 将上面这段话写成数学形式，即得到递推关系式为：

11:(0)(0)()(1)()max :()()(1)j j j j j j j j R I O C t ag g t K I t O t ag t ++--+??=??-++????

(t=1,2,…n t=1,2,…j-1,j+t-1)

其中“K ”是Keep 的缩写，表示保留使用；“R ”是Replacement 的缩写，表示更新机器。

由于研究的是n 的计划，故还要求：1()n g t +=0

对于1(.)g 来说，允许的t 值只能是T 。因为当进入计划过程时，机器必然已使用了T 年。

应指出的是：这里研究的设备更新问题，是以机龄作为状态变量，决策是保留和更新两种。但它可推广到多维情形，如还考虑对使用的机器进行大修作为一种决策，那时所需的费用和收入，不仅取决于机龄和购置的年限，也取决于上次大修后的时间。因此，必须使用两个状态变量来描述系统的状态，其过程与此类似。

5.2案例分析

假设n=5，a=1，T=1，其有关数据如表13所示。试制定5年中的设备更新策略，使在5年内的总收入达到最大。 表13

解： 因第j 年开始机龄为t 年的机器，其制造年序应为j-t 年，因此，5(0)I 为第五年新产品的收入，故5(0)I =32。3(2)I 为第一年的产品起机龄为2年的收入，故3(2)I =20。同理5(0)O =4，

3(2)O =8。而5(1)C 是第5年机龄为1年的机器（应为第四年的产品）的更新费用，故5(1)C =33。同

理5(2)C =33，3(1)C =31，其余类；

当j=5时，由于设T=1，故从第5年开始计算事，机器使用了1、2、3、4、5年，则递推关系式为55565556:(0)(0)()1(1)()max :()()1(1)R I O C t g g t K I t O t g t --+??

=?

?

-++??

因此5:3243305(1)max 23:285023R g K --+=-??

==?

?

-+=??

所以5(1)x K = 5:3243305(2)max 18:246018R g K --+=-??

==??

-+=??

所以5(2)x K = 同理5(3)g =13，5(3)x K =；5(4)g =6，5(4)x K =；5(5)g =4，5(5)x K = 当j=4时，递推关系为

44454445:(0)(0)()(1)()max :()()(1)R I O C t g g t K I t O t g t --+??

=??

-++??

故44:304322317(1)max 39(1):2651839R g x K K --+=??

===?

?

-+=??

所以 同理44(2)29,(2)g x K ==；44(3)16,(3)g x K ==；44(4)13,(4)g x K == 当j=3时，有

33343334:(0)(0)()(1)()max :()()(1)R I O C t g g t K I t O t g t --+??

=??-++??

故3:295313932(1)max 48:2562948R g K --+=??

==?

?-+=??

所以3(1)x K =

同理33(2)31,(2)g x R ==；33(3)27,(3)g x R == 当j=2时，有

22232223:(0)(0)()(1)()max :()()(1)R I O C t g g t K I t O t g t --+??

=??

-++??

故2:275294841(1)max 46:2163146R g K --+=??

==?

?

-+=??

所以2(1)x K =

2:275344836(2)max 36:1682735R g K --+=??

==?

?

-+=??

所以2(2)x R = 当j=1时，有

11121112:(0)(0)()(1)()max :()()(1)R I O C t g g t K I t O t g t --+??

=??-++??

故1:226324630(1)max 46:1683646R g K --+=??

==?

?-+=??

所以1(1)x K =

最后，根据上面计算过程反推之，可求得最优策略如表14，相应的最佳收益为46单位 表14

结论：

以上部分从企业管理的四个不同角度分析了运筹学在企业管理中的运用。有些问题中，我们针对问题建立模型，并收集一些实际数据进行计算。事实上，在实际运用中，只须将收集的数据带入模型即可，同时本文数学模型的建立是高度抽象化了的，实际问题有所出入时，可适当调整模型参量。但其核心部分-----数学方法是不会改变的，这也是运筹学在企业管理中根本之所在。

当然，本文并没有罗列出所有可以在企业管理中应用的模型，事实上，这也是不可能的，因为模型可以用在企业管理中的方方面面，如还由于薪资问题，风险决策问题，投资问题等等。但是，本文的目的并不是所有模型的罗列，而是通过一些实际问题的解决来说明运筹学确实在企业管理中发挥着巨大的作用，并且在今后管理科学的发展过程中，这种作用将会表现得越来越明显。

参考文献：

[1]教材编写组，《运筹学》, 第三版，清华大学出版社，2006.4.

[2]傅家良，《运筹学方法与模型》, 复旦大学出版社，2006.1.

[3]胡运权，《运筹学教程》，清华大学出版社，1998，6.

[4]姜启源，《数学模型》，高等教育出版社，2003.8.

[5] 胡运权，《运筹学基础及应用》，高等教育出版社，2004.4