第十章重积分自测题(答案)

第十章《重积分》自测题

一、单项选择题

1．设1D 是正方形域，2D 是1D 的内切圆，3D 是1D 的外接圆，1D 的中心点在(1,1)-，记 22

1

221y x y x

D I e

dxdy ---=

??，22

2

222y x y x

D I e

dxdy ---=

??，22

2233

y x y x

D I e

dxdy ---=

??则123,,I I I 大小

顺序为（ B ）。

（A ）123I I I ≤≤；(B) 213I I I ≤≤；（C ）321I I I ≤≤；（D ）312I I I ≤≤。 2．D=}2

1

,1),{(22-≥≤+x y x y x 则σd y x D

)(2

2??+=( A )

(A)?

-

1

2

1dx dy y x x

x

)(2

2

112

2?

---+ (B)

dy

x

x

?

---2

2

11?

-

+12

12

2)(dx y x

(C)

?

-

12

1dx

dy y x x )(2

12

12

2?

--

+ (D)

?

-

12

1dx

dy y x )(1

2

12

2?

-

+

3．改变12

2

2

111

2

(,)(,)y

y

dy f x y dx dy f x y dx +

???

?的积分次序，则下列结果正确的是（A ）

（A ）??21

1),(x x

dy y x f dx （B ）??2

1

1

),(x x

dy y x f dx （C ）??31

1),(x x

dy y x f dx （D ）??1

3

11

),(x x

dy y x f dx

4．已知D 是正方形域：11,02x y -≤≤≤≤，则2

D

I y x dxdy =

-??

的值为（ D ）

（A ）

23

； （B ）

43

； （C ）

2115

； （D ）

4615

5．设D ：2222

,,(0)x y ax x y ay a +≤+≤>，则(,)D

f x y dxdy ??可化为（ D ）。

（A ）cos 20sin (cos ,sin )a a d f r r rdr π

θθθ

θθ??

； （B ）sin 402(cos ,sin )a a

d f r r rdr π

θθ

θθ??

；

（C ）sin 400

(cos ,sin )a d f r r rdr π

θ

θ

θθ??

＋sin 2

cos 4

(cos ,sin )a a d f r r rdr π

θπθ

θ

θθ??

；

（D ）

sin 40

(cos ,sin )a d f r r rdr

π

θθ

θθ?

?

＋

cos 2

4

(cos ,sin )a d f r r rdr

π

θπ

θ

θθ??

6．Ω由不等式2

2

y

x z +≥，222

(1)1x y z ++-≤确定，则???Ω

dv z y x f ),,(=（D ）

（A ）???

≤+2

01

2

2

),,(y x dxdy z y x f dz

（B ）???

≤+2

02

2

2

),,(z

y x dxdy z y x f dx

（C ）???-≤+2

22

2

2),,(z

z y x dxdy z y x f dx

（D ）???-≤+2

1

22

2

2z

z y x fdxdy dz

+2

2

2

1

x y z

dz

fdxdy +≤???

7．Ω为球体：1222≤++z y x ，则???

Ω

++dv z y x 2

22=（ B ）

（A ）???Ω

dxdydz （B ）ρ?ρ?θπ

πd d d sin 20

1

3

?

??

（C ）ρθρ?θπ

πd d d sin 20

1

3

?

?? （D ）ρ?ρ?θπ

π

d d d sin 20

20

1

3

?

?

?

8．设Ω由22,1z x y z =+=围成，计算2

2

()x y z dv Ω

++???正确的是（ C ）

（A ）因为22z x y =+，故原式＝2

2

1

1

2()223

x y z

z z dv zdz

dxdy z zdz ππΩ

+≤+===

??????

?；

（B

）原式＝22

122

1

()2

x y dx x y z dz π

+-++=

??

；

（C ）原式＝2211

2

()2

r

d dr r z rdz ππ

θ

+=

??

?；

（D ）因为

2

2

z x y

=+，故原式＝

2

2

2

2

()x

y x y dv Ω

+++=???2211

3

23

r

d dr r dz ππθ

=

?

?

?

9．设Ω是由2222x y z a ++≤与222x y b +≤，（0b a <<），0z ≥围成的闭区域，则zdv

Ω

???＝（ C ）。 （A ）23

200

sin cos a

d d d π

πθ

???ρρ?

?

?； （B

）200

b d dr zdz πθ

?

?

；

（C

）0

b

b

dx zdz -? ； （D ）23

2sin 000

sin cos b d d d π

π?θ

???ρρ?

?

?

。

10．设Ω是球体22

2

1x y z ++≤，则2

2

2

2

2

2

ln(1)1

z x y z dxdydz x y z Ω

++++++???

＝（ B ）。

（A ）1； (B)－1； (C)2； （D ）0。

11．设球体Ω：2

2

2

4x y z z ++≤内任一点处的密度与该点到坐标原点的距离成正比，则球体重心坐标为（ D ）。 （A ）1(0,0,)

2

； (B)

16(0,0,)7； (C) 8(0,0,)3； （D ）3(0,0,)

4

二、填空题

1. 由二重积分的几何意义得到

??≤+1

4

3

2

22

2y x d σ

= 。12π

2. 利用二重积分的几何意义得到

??

≤+--2

2

2

2

22a

y x d y x a σ= 。

3

23

a π

3. 设f (x ,y )在122≤+y x 上连续，则2

2

2

2

1(,)lim

R x y R

f x y d R

σ→+≤=??

。(0,0)f π

4. 设D=dxdy e

y x x y x D

y

??-≤≤≤≤2

},2,20),{(= 。

4

1(1)2

e

--

5. 已知D 是长方形域：,01a x b y ≤≤≤≤，且()1D

yf x d σ=??，则()b

a

f x dx =? 2

6. 设D 为：322≤+y x ，则??-+D

dxdy y x 22

2 。

52

π

7. 把dxdy x

y y x f I x

y x ??

≤++=

22

2

2

2

)arctan

,(化为极坐标系下的二次积分 。

2cos 2

20

2

(,)d f d π

θπ

θ

ρθρρ-

?

?

8. 设Ω由z 2=22y x +与柱面22y x +=1围成的在第一卦限内的闭区域，把I=???Ω

dv

z y x f ),,(化为直角坐标系下的三次积分为 。

9. 设Ω是由平面曲线??

???==

022

y x z 绕z 轴旋转形成的曲面与二平面z=1和z=2所围成的立体，

则22

()x y dv Ω

+=??? 。

10. 设Ω是由曲

面2

0)z a =>与xo y 平面所围成的立体，则

3

3

(3)x

y dv Ω

++=??? 。

三、计算题：

2

3

1

2

1(),()x y

x

x f x dx f x e dy =

??

、计算积分其中。 16e

2222

11

2

,:2,2;

2;

D

x

y

xdxdy D x y x y x

dx dy

+≥+≤

??

?

、计算二重积分：

（1）

（）

22

3,:1,0,0;

D

x y dxdy D x y x y

-+≤≥≥

??

（）其中

22

(4),:;

D

D x y x

+≤

??

2

1

2

00

5

y

dx dy

-

?

（）；

128

123145

22315

π

答案:（）；（）；（）（）；（）；（

3222

,:1,1

z dxdydz x y z z

Ω

Ω++≤+≥

???

3、计算三重积分：

（1）

2,0,

(0),0

y z

z a a y

Ω

Ω==

=>=

???

（）其中由柱面平面

所围成的区域。

222

3,:1,1;

x y z z

Ω

Ω++≤≥

???

（）其中

2222 (4)(),0,2,(1)1

x y dxdydz yoz z z y z Ω

+Ω==--=???其中域是由在平面内

所围成平面域绕z轴旋转而成的空间区域。

22

(5),3

zdxdydz z x y z

Ω

Ω=+=

???其中：所围成立体。

2

8642813

12;(3);(4)5

15975154

a

πππ

π

答案:（）；（）；（）

四、应用题与证明题：

2222

14

z x y z x y

=++=+

、证明：曲面上任一点处的切平面与曲面所围成立体体积为定值。

8π

=

答案:定值

22222

26

z x y x y z

=+++=

、求抛物面与球面所围立体的体积及表面积；

49

(

4)(33

ππ--答案:体积：2，表面积：

110

3(,)(,)(,),(,)(1,1)x x

f x y f x y f y x dx f x y dy dx f x y dy

==--????、设为连续函数，且求证：

； 0

4()[0,]()(),

{(,)|0,0,}

a D

f x a f x y dxdy xf x dx D x y x y x y a +=

=≥≥+≤???

、设在上连续，证明其中：；