05 机械振动 作业及参考答案 2015

一. 选择题:

【 D 】1 （基础训练2） 一劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为m 的物体，如图13-15

所示。则振动系统的频率为 ： (A)

m k

32π1． (B)

m k

2π1 ．

(C)

m k 32π1． (D)

m

k

62π1．

提示：劲度系数为k 的轻弹簧截成三等份，每份的劲度系数为变为3k ，取出其中2份并联，系统的劲度系数为6k .

【 C 】 2 （基础训练4） 一质点作简谐振动，周期为T ．当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4．

提示：从从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程在旋转矢量图上，矢量转过的角位移为1

3

π，对应的时间为T/6.

[ B ] 3、（基础训练8） 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为

(A) π2

3． (B) π．

(C) π2

1． (D) 0． 提示：使用谐振动的矢量图示法，合振动的初始状态为初相位为π

[ D ] 4、（自测提高4）质量为m 的物体，由劲度系数为k 1和k 2的两个轻质弹簧串联后连接到固定端，在光滑水平轨道上作微小振动，则振动频率为：

(A) m k k v 212+=π． (B) m

k k v 2

121

+=π

． (C) 212121k mk k k v +=π

． (D) )

(21

212

1k k m k k v +=π

．

提示：两根劲度系数分别为k1和k2的两个轻质弹簧串联后，可看成一根弹簧，其弹

A/ -图13-15

性系数满足：

211

11k k k +=，2121k k k k k +=，)

(21212k k m k k +=

ω，可计算得到v

【 B 】 5、（自测提高5）一简谐振动曲线如图所示．则振动

周期是 (A) 2.62 s ． (B) 2.40 s ． (C) 2.20 s ． (D)

2.00 s ． 提示：使用谐振动的矢量图示法，初始状态旋转矢量位于第四象限，初始相位到第一次回到平衡位置时，旋转矢量转过的角度为1s 2.4s

【 D 】6、（自测提高6）弹簧振子在水平光滑桌面上作简谐振动，其弹性力在半个周期内所做的功为：（ ）

A 2

kA B 221kA C 24

1

kA D 0

提示：振动方程为)cos(0φω+=t A x ，经过半个周期，质点偏离平衡位置的位移为

)cos(0πφω++=t A x ，这两个位置弹簧所具有的弹性势能22

1

kx E p ＝相同，所以所做的

功为零。

二 填空题

7、(基础训练12) 一系统作简谐振动, 周期为T ，以余弦函数表达振动时，初相为零．在0≤t ≤

T 4

1

范围内，系统在t =_ T/8_时刻动能和势能相等． 提示：动能和势能相等，为总能量的一半，此时物体偏离平衡位置的位移应为最大位移的22，相位为4π，因为初始相位为零，t=T/8

8、(自测提高9) 两个弹簧振子的振动周期都是0.4S ，设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0.5S 后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两个振动的相位差为：

π．

提示：第一个振子在开始运动时，其初始相位为2π，经过T S 4

115.0=后，振动相位为π，此时第二个振动才从正方向的端点开始运动，即第二个振动的初始相位为0,所以两

个振动的相位差为 π

9、 (自测提高 10) 分别敲击某待测音叉和标准音叉，使他们同时发音，会听到时强时弱的拍音。若测得在20S 内拍的次数为180次，标准音叉的频率为300Hz ，则待测音叉的频率为：309Hz 或291Hz

提示：20秒内测得拍的次数为180次，拍的频率为9；而待测音叉和标准音叉产生拍的频率为两个频率的差，即9300121=-=-v v v

10、(自测提高 11) 一单摆的悬线长l = 1.5 m ，在顶端固定点的竖直下方0.45 m 处有一小钉，如图13-26所示．设摆动很小，则单摆的左右两方振幅之比A 1/A 2的近似值为___0.837___．

提示：当单摆在最低位置时，对左右两边有：

222211)(2

1

)(21A m A m ωω= 对于单摆l g =

ω，2211A l g

A l g = 837.0:2

121==l l A A

11．(自测提高 13)一台摆钟每天慢2分10秒，其等效摆长l = 0.995 m ， 摆锤可上、下移动以调节其周期．假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向上移动2.99mm ，才能使钟走得准确？

提示：钟摆周期的相对误差=?T /T 钟的相对误差t /t ?，等效单摆的周期

g /l 2T π=，这里g 不变，则有 l dl T dT //2= 即有

mm t t l T T l l 99.260

6024130

995.02/2/2=????=?=?=?

12 (自测提高 14)、两个互相垂直的不同频率谐振动合成后的图形如图13-27所示．由图可知x 方向和y 方向两振动的频率之比νx :νy =___4:3___．

提示：在同样的时间间隔内，X 方向的振动为2T x ，而y 方向的振动为1.5T y ,周期之比为3：4，频率之比相反为4：3

三 计算题

13、（基础训练18）如图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的弹性系数为k=24N/m ，物体的质量为6kg ，物体静止在平衡位置。设以大小为F=10N 的水平恒力向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05m 时撤去力F ，当物体运动到左方最远位置时开始记时，求物体的运动方程。

解：由题意可以得到，当物体在恒力作用下左移0.05米时，满足：

图13-27

图13-26

0.45 m

FS mv kx =+2

22

121 外力撤去后，系统能量守恒，有

2222

12121kA mv kx =+ 代入数据可以得到：m A 204.0=；26

24

===

m k ω 取向右为正，当物体达到左方最远位置为起始时刻，初始相位为π 振动方程为)2cos(204.0π+=t x

14. （基础训练23）有两个同方向的简谐振动，它们的方程(SI 单位)如下：

??? ?

?

+=??? ??+=ππ4110cos 06.04310cos 05.021t x t x ，

(1) 求它们合成振动的振幅和初位相。 (2) 若另有一振动)10cos(07.03φ+=t x ，问

φ为何值时，31x x +的振幅为最大；φ为何值时，32x x +的振幅为最小。

解：（1）合成振动的振幅：078.006.005.022=+=A m

初相位：11tan )4

1

cos 06.043cos 05.041

sin 06.043sin 05.0(

tan 110--=++=π

πππφ 因为旋转矢量位于第一象限，初始相位为84.80

(2) 若另有一振动)10cos(07.03φ+=t x ，31x x +振幅最大，需要振动的初相位相同，所以πφ43=

，32x x +的振幅最小，需要初相位相差1800，这时πφ4

5

=

15. （基础训练24） 在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为100g 的物体，当物体处于平衡位置时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放。已知物体在32内完成48次振动，振幅为5cm 。（1）上述的外加拉力有多大？（2）当物体在平衡位置以下1cm 时，此振动的动能和势能各是多少？

解：(1)由题可知，3

222===

k m T π

ω

π

S m N k /88.8= N kA f 444.005.088.8=?== (因为从静止状态释放，此时偏离平

衡位置位移最大，此时弹簧的相对于平衡位置的形变为振幅A)

(2) 当物体在平衡位置以下1cm 时，此振动的势能和动能分别是：

J kx E P 4221044.4)01.0(88.821

21-?=??==

J kx kA E K 222221007.1)01.0(88.82

1

)05.0(88.8212121-?=??-??=-=

16(自测提高18) 在平板上放一质量为m=2kg 的物体, 平板在竖直方向上作简谐振动,其振动周期S T 2

1

=

, 振幅A=4cm, (1) 物体对平板的压力的表达式; (2) 平板以多大的振幅振动时,物体才能离开平板?

解: 物体的振动方程可以表示为: )4cos(04.00φπ+=t x 取竖直方向为x 轴方向,且竖直向上为正方向. 考虑到起始时刻未定,引入初始相位0φ

(1) 设平板对物体的弹力为N, 物体所受重力mg, 由牛顿第二定律得:

22)(dt

x

d m mg N F =--=合

mg t A m mg dt

x

d m N ++=+-=)4cos(0222φπω

)4cos(28.16.1902φππ++=t N , 物体对平板的压力与弹力大小相等,方向相反 )4cos(28.16.19'02φππ+--=t N

(2) mg t A m mg dt

x d m N ++=+-=)4cos(02

22φπω

当则有要求最小时取,0,,1)4cos(0=-+N N t φπ

0)(42=+-mg A m π

m A 21021.6-?=

17 (自测提高21) 质量为M 的圆盘挂在劲度系数为k 的轻弹簧下，并处于静止状态，如图13-30所示。一质量为m 的物体，从距圆盘为h 的高度自由下落，并粘在盘上和盘一起振动。设物体和盘相碰瞬间t=0，而且碰撞时间很短。取碰后系统的平衡位置为坐标原点，竖直向下为坐标的正方向。试求系统的振动方程。

解：质量为m 的物体与质量为M 的物体先发生碰撞，碰撞后的瞬时速度大小为v ：

图13-30

v m M gh m )(2+= )/(2m M gh m v +=，系统动能为：

)/()(2

1

221m M gh m v M m E k +=+=

(1) 碰撞前后瞬间，弹簧的伸长量为L 1=Mg/k, 系统势能为k

g M kx E p 2212

221== (2)

到系统达到平衡位置时，弹簧伸长量为L 2 =(M+m)g/k ，设平衡位置时（M ＋m ）物体的速度

为v ’,有：

)()(21')(211211222L L g M m E E kL v M m P K -+++=++ (3) 222

1

')(21KA v M m =+， (4) 根据（1）（2）（3）（4）各式，得到k

M m ghm k mg A )(2)(2

2++=；

根据条件，此振动的角频率为

m

M k +

在t=0时，M ＋m 在往平衡位置方向运动，并再经平衡位置向正最大位移方向移动，由此可判定在旋转矢量图中，矢量处于第三象限。 设t=0时偏离平衡位置位移为x ，有：

2122121KA E kx K =+ 得到k

mg x ＝ 初始相位为：π+++k

M m ghm

k mg k mg )(2)(

arccos

2

2;

也可写成：π++g

m m kh

)(2arctan

所以，振动方程为：

))(2)(arccos cos()(2)(2222π+++

?+++=k

M m ghm

k m g k m g t m M k k M m ghm k m g x ＋

或者：

）＋π++?+++=g

m m kh

t m

M k

k M m ghm k mg x )(2arctan

cos()(2)(022

18 (自测提高23) 如图13-31所示。一质点在x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A 点

图13-31

时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B 点，再经过2秒后质点第二次经过B 点，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB = 10 cm 求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在A 点处的速率。

解：由旋转矢量图和 |v A | = |v B | 可知 T /2 = 4秒，

∴ T = 8 s ， ν = (1/8) s -1，

ω = 2πν = (π /4) s -1 (1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方． t = 0时， 5-=x cm φcos A =

t = 2 s

时， 5=x cm φφωsin )2cos(A A -=+=

由上二式解得 tg φ = 1

因为在A 点质点的速度大于零，所以φ = -3π/4或5π/4（如图）

25cos /==φx A cm

∴ 振动方程 )4

34c o s (10252π-π?=-t x (SI)

(2) 速率 )4

34sin(41025d d 2

π-π?π-==-t t x v (SI) 当t = 0 时，质点在A 点

221093.3)4

3sin(104

25d d --?=π-?π-=

=t

x v m/s

附加题

1 （自测提高24） 在伦敦与巴黎之间（约S ＝320 km ）挖掘地下直线隧道，铺设地下铁路．设只在地球引力作用下时列车运行，试计算两城市之间需运行多少时间？列车的最大速度是多少？忽略一切摩擦，并将地球看作是半径为 R = 6400 km 的密度均匀的静止球体，已知处于地球内部任一点处质量为m 的质点所受地球引力的大小与它距地球中心的距离成正比，可由

(4)/3G mr πρ 表示，式中G 为引力恒量，ρ为地球密度，r 为质点与地球中心的距离。

解：见图，质量为m 的质点P 受的引力在指向O 点的方向上的分力为

φρsin 3

4

mr G F π=

① 上式中 x r =φsin ②

又因 mg R

m R G =π231

34ρ

有g R G =πρ34

, 即 R

g G =πρ34 ③ 将②、③式代入①式，得 x R

mg

F = 这表明，在OP 方向上，F 正比于x 并且方向相反，故为谐振动．

因此 x R m g

t x m

F -==2

2d d

其解为 t R g A x /cos =

令 5106.1)2/()2/sin(?=≈=S R A θ m

则列车运行所需时间

=π

=π=π=g

R

R

g T /2

/22ω42.3 min 列车最大速度 12max s m 1098.1/v －??==R g A