数列综合练习及答案、
景县育英学校数列部分综合练习题
考试部分：高一必修五数列练习题
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．)
1．(文)(2011·山东)在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于() A ．40 B ．42 C ．43 D ．45
(理)(2011·江西)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是() A.1
2 B ．1 C ．2 D ．3
2．(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 1
3(a 5＋a 7＋a 9)的值是()
A ．－5
B ．－15
C ．5 D.1
5
3．(文)已知{a n }为等差数列，{b n }为正项等比数列，公式q ≠1，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则() A ．a 6＝b 6 B ．a 6>b 6 C ．a 6
D ．以上都有可能
(理)(联考)已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是()
A ．ab ＝AG
B ．ab ≥AG
C ．ab ≤AG
D ．不能确定
4．(2011·潍坊一中期末)各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，1
2a 3，a 1成等差数列，则
a 3＋a 4
a 4＋a 5
的值为() A.1－52 B.5＋12 C.5－12
D.
5＋12或5－1
2
5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋1＝|a n －a n －1|(n ≥2)，则该数列前2011项的和等于() A ．1341 B ．669 C ．1340 D ．1339
6．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1、a 3、a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为()
A. 2 B ．4 C ．2 D.1
2
7．(文)已知数列{a n }为等差数列，若a 11
a 10
<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的
最大值n 为()
A ．11
B ．19
C ．20
D ．21
(理)在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 15>0，S 16<0，则在S 1a 1
，S 2a 2
，…，S 15
a 15
中最大的是()
A.S 1a 1
B.S 8a 8
C.S 9a 9
D.S 15a 15
8.(文)(2011·天津河西区期末)将n 2(n ≥3)个正整数1,2,3，…，n 2填入n ×n 方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方．记f (n )为n 阶幻方对角线上数的和，如右表就是一个3阶幻方，可知f (3)＝15，则f (n )＝()
A.1
2n (n 2＋1) B.1
2n 2(n ＋1)－3 C.1
2n 2(n 2＋1)
D ．n (n 2＋1)
(理)(2011·海南嘉积中学模拟)若数列{a n }满足：a n ＋1＝1－1
a n
且a 1＝2，则a 2011等于()
A ．1
B ．－12
C ．2 D.1
2
9．(文)(2011湖北荆门市调研)数列{a n }是等差数列，公差d ≠0，且a 2046＋a 1978－a 22012＝0，{b n }是等比数列，且b 2012＝a 2012，则b 2010·b 2014＝()
A ．0
B ．1
C ．4
D ．8
(理)(2011·豫南九校联考)设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝()
A ．1033
B ．1034
C ．2057
D ．2058
10．(文)(2011·绍兴一中模拟)在圆x 2＋y 2＝10x 内，过点(5,3)有n 条长度成等差数列的弦，最短
弦长为数列{a n }的首项a 1，最长弦长为a n ，若公差d ∈???
?13，23，那么n 的取值集合为()
A ．{4,5,6}
B ．{6,7,8,9}
C ．{3,4,5}
D ．{3,4,5,6}
(理)(2010·青岛质检)在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋a (n ∈N *，a 为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量OA →，OB →，OC →满足OC →＝a 1OA →＋a 2010OB →
，三点A 、B 、C 共线且该直线不过O 点，则S 2010等于()
A ．1005
B ．1006
C ．2010
D ．2012
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2011·江苏镇江市质检)已知1，x 1，x 2,7成等差数列，1，y 1，y 2,8成等比数列，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则线段MN 的中垂线方程是________．
14．(2010·无锡模拟)已知正项数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )为坐标的点在曲线y ＝1
2x (x ＋1)上，则数列{a n }的通项公式为________．
15．(2011·苏北)已知α∈????0，π2∪????π2，π，且sin α，sin2α，sin4α成等比数列，则α的值为________． 16．(文)(2011·湖北荆门调研)秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．
(理)(2011·浙江宁波八校联考)在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a ＋b ＋c 的值为________.
三、解答题
17．(本小题满分12分)(文)(2011·广西田阳质检){a n }是公差为1的等差数列，{b n }是公比为2的等比数列，P n ，Q n 分别是{a n }，{b n }的前n 项和，且a 6＝b 3，P 10＝Q 4＋45.
(1)求{a n }的通项公式；(2)若P n >b 6，求n 的取值范围．
(理)(2011·四川广元诊断)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝3－b n .
①求数列{a n }和{b n }的通项公式；②设c n ＝14a n ·1
3b n ，求数列{c n }的前n 项和R n 的表达式． 18．(本小题满分12分)(文)(2011·河南濮阳)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正数，前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .
(理)(2011·六校联考)已知数列{b n }前n 项和为S n ，且b 1＝1，b n ＋1＝13S n . (1)求b 2，b 3，b 4的值；(2)求{b n }的通项公式；(3)求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 的值．
19．(本小题满分12分)(文)(2011·宁夏银川一中模拟)在各项均为负数的数列{a n }中，已知点(a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在函数y ＝23x 的图象上，且a 2·a 5＝827.
(1)求证：数列{a n }是等比数列，并求出其通项； (2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝a n ＋n ，求S n .
(理)(2011·黑龙江)已知a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n ＝1,2,3，…. (1)证明数列{lg(1＋a n )}是等比数列；
(2)设T n ＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )，求T n 及数列{a n }的通项．
20．(本小题满分12分)数列{b n }的通项为b n ＝na n (a >0)，问{b n }是否存在最大项？证明你的结论． 21．(本小题满分12分)(2011·湖南长沙一中月考)已知f (x )＝m x (m 为常数，m >0且m ≠1)．设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )…(n ∈N )是首项为m 2，公比为m 的等比数列．
(1)求证：数列{a n }是等差数列；
(2)若b n ＝a n f (a n )，且数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ；
(3)若c n ＝f (a n )lg f (a n )，问是否存在正实数m ，使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
22．(本小题满分12分)(文)(2011·四川资阳模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n
3n ＋1，求数列{b n }的通项公式；
(3)令c n ＝a n b n
4(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .
(理)(2011·湖南长沙一中期末)已知数列{a n }和等比数列{b n }满足：a 1＝b 1＝4，a 2＝b 2＝2，a 3＝1，且数列{a n ＋1－a n }是等差数列，n ∈N *.求数列{a n }和{b n }的通项公式；
必修五数列练习题答案
1、（文）B （理）C
2、A
3、（文）B （理）C
4、C
5、A
6、C
7、（文）B （理）B
8、（文）A （理）C
9、（文）C （理）A10、（文）A （理）A 13、[答案]x ＋y －7＝014、a n ＝n 15、[答案]2π3
16、（文）255（理）22 17、（文）[解析](1)由题意得
?
???
?
a 1＋5＝4
b 1
10a 1
＋10×92＝b 1
(1－24
)1－2＋45
??????
a 1＝3
b 1＝2
，∴a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2. (2)P n ＝n (n ＋2＋3)2＝n 2＋5n
2，b 6＝2×26－1＝64.
由n 2＋5n
2
>64?n 2＋5n －128>0?n (n ＋5)>128，
又n ∈N *，n ＝9时，n (n ＋5)＝126，∴当n ≥10时，P n >b 6.
（理）[解析]①由题意得a n ＝S n －S n －1＝4n －4(n ≥2)而n ＝1时a 1＝S 1＝0也符合上式∴a n ＝4n －4(n ∈N ＋)又∵b n ＝T n －T n －1＝b n －1－b n ，∴b n b n －1＝12∴{b n }是公比为1
2的等比数列，而b 1＝T 1＝3－b 1，
∴b 1＝32，∴b n ＝32???
?12n －1＝3·????12n (n ∈N ＋)． ②C n ＝14a n ·13b n ＝14(4n －4)×13×3???
?12n ＝(n －1)????12n ， ∴R n ＝C 1＋C 2＋C 3＋…＋C n ＝????122
＋2·????123＋3·????124＋…＋(n －1)·????12n ∴12
R n ＝????123＋2·????124＋…＋(n －2)????12n ＋(n －1)????12n ＋1 ∴12
R n ＝????122＋????123＋…＋????12n －(n －1)·????12n ＋1，∴R n ＝1－(n ＋1)????12n . 18、（文）[解析](1)由a n ＋1＝2S n ＋1可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，
两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝2S 1＋1＝2a 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1， 故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.
(2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15得，b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5，故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2，解得d ＝2或－10.
∵等差数列{b n }的各项均为正数，∴d ＝2，b 1＝3，∴T n ＝3n ＋n (n －1)
2
×2＝n 2＋2n .
（理）[解析](1)b 2＝13S 1＝13b 1＝13，b 3＝13S 2＝13(b 1＋b 2)＝49，b 4＝13S 3＝13(b 1＋b 2＋b 3)＝16
27
.
(2)???
b n ＋1
＝1
3S n
①
b n
＝1
3S n －1
②
①－②解b n ＋1－b n ＝13b n ，∴b n ＋1＝43b n ，∵b 2＝1
3
，
∴b n ＝13·????43n －2
(n ≥2)∴b n ＝?????
1(n ＝1)13·???
?4
3n －2(n ≥2).
(3)b 2，b 4，b 6…b 2n 是首项为1
3，公比????432的等比数列， ∴b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝13[1－(4
3)2n ]1－???
?432＝37[(4
3)2n －1]．
19、（文） [解析](1)因为点(a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在函数y ＝2
3x 的图象上，
所以a n ＋1＝23a n ，即a n ＋1a n ＝23，故数列{a n }是公比q ＝2
3
的等比数列，
因为a 2a 5＝827，则a 1q ·a 1q 4＝827，即a 21????235＝????233，由于数列{a n }的各项均为负数，则a 1＝－32， 所以a n ＝－????23n －2
.
(2)由(1)知，a n ＝－????23n －2
，b n ＝－????23n －2＋n ，所以S n ＝3·????23n －1＋n 2
＋n －92
. （理） [解析](1)由已知a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2
.∵a 1＝2，∴a n ＋1>1，两边取对数
得：lg(1＋a n ＋1)＝2lg(1＋a n )，即lg (1＋a n ＋1)
lg (1＋a n )
＝2.∴{lg(1＋a n )}是公比为2的等比数列．
(2)由(1)知lg(1＋a n )＝2n －1·lg(1＋a 1)＝2n －1·lg3＝lg32n －1∴1＋a n ＝32n －1(*) ∴T n ＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )＝320·321·…·32n －1＝31＋2＋22＋…＋2n －1＝32n －1. 由(*)式得a n ＝32n －1－1.
20、[解析]b n ＋1－b n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＝a n [(n ＋1)a －n ]＝a n ·[(a －1)n ＋a ] (1)当a >1时，b n ＋1－b n >0，故数列不存在最大项； (2)当a ＝1时，b n ＋1－b n ＝1，数列也不存在最大项；
(3)当0 为变量，而 a a －1为常数，设k 为不大于a 1－a 的最大整数，则当n