曲线与曲面
第四章曲线与曲面
Chapter 4 Curve and Curved Surface
建筑工程中常会遇到由曲线、曲面与平面围成的曲面体。如圆柱、壳体屋盖、隧道的拱顶以及常见的设备管道等等，它们的几何形状都是曲面体，如图4-1所示。在制图、施工和加工中应熟悉它们的特性。本章将介绍常用的一些曲线、曲面及其投影。
图4-1 悉尼歌剧院
第一节 曲线
[Curve]
一、曲线的投影特性[Characteristics of Curve Projection]
（一） 曲线的形成
曲线可以看作是一个动点在连续运动中不断改变方向所形成的轨迹，如图4-2(a)；也
可以是平面与曲面相交的交线，如图4-2(b )；或两曲面相交形成的交线，如图4-2(c )。
（二） 曲线的分类
（1） 平面曲线——曲线上所有点都在同一平面上，如：圆、椭圆、抛物线、双曲线、 及任一曲面与平面的交线。
（2） 空间曲线——曲线上任意连续的四个点不在同一平面上，如：螺旋线或曲面与曲 面的交线。
（三） 曲线的投影特性
曲线上的点，其投影必落在该曲线的同面投影之上,见图4-2(a )中，曲线上M 点，其投影m 落在曲线的投影l 上。
曲线的投影一般仍为曲线。在对曲线L 进行投影时，通过曲线的光线形成一个光曲面，该光曲面与投影面的交线必为一曲线，见图4-3(a )。
若曲线是一平面曲线，且它所在平面为投影面垂直面时，则曲线在所垂直的投影上的投影为一直线，且位于平面的积聚投影上，见图4-3(b )；其他二投影仍为曲线。
若曲线是一平面曲线，且它所在平面为投影面平行面时，则该曲线在所平行的投影面上的投影为曲线的实形，见图4-3(c )，其它二投影均为直线且平行于投影轴。
空间曲线，在三个投影面上的投影仍为曲线。
二、 圆的投影 [Projection of Circle ]
圆是平面曲线之一，其投影由于圆面与投影面相对位置不同有三种情况：
（1） 圆面平行于某一投影面时，则圆在该投影面上的投影为圆（实形）；另外两个投 影积聚为一直线段（长度等于圆的直径），且平行于投影轴。
（2） 圆面垂直于某一投影面时，则圆在该投影面上的投影积聚为一倾斜于投影轴的直 线段（长度等于圆的直径）；另外两个投影为椭圆。
（3） 圆面倾斜于投影面时，投影为椭圆（椭圆长轴等于圆的直径）。
如图4-4(a ) 所示，圆属于正垂面 P ，因此，正面投影为一直线，水平投影为一椭圆。 其投影图作法如下：
（1） 定OX 轴及圆心的V 、H 投影 o ′、o ，见图4-4 (b )。
（2） 作圆的V 面投影，即过 o ′ 作c ′d ′与OX 轴的夹角为
，取c ′
d ′
=Ф（直径）。
（3） 作圆的H 面投影椭圆。先作椭圆的长、短轴，即过o 作长轴ab ⊥OX ，ab=Ф；过 o 作短轴cd ‖OX ，长度由c ′d ′ 对正确定，如图4-4 (c )。
（4） 以o ′为圆心、c ′d ′为直径作半圆，并在半圆上取两点e 1、f 1与c ′d ′的距离为y ；过
e 1、
f 1分别作c ′d ′的垂线，交c ′d ′于e ′、f ′两点，如图4-4 (c )。
（5） 画一直线ef ‖OX ，且距cd 的距离等于y ；与由e ′、f ′两点向H 面所引投影连线 相交于e 、f 两点。找到相应对称点e*、f*两点。
（6） 光滑连接各点，画出椭圆。
三、圆柱螺旋线 [Cylindrical Helix]
（一） 圆柱螺旋线的形成：圆柱面上一动点沿着圆柱轴线方向作等速直线运动，同时 该动点绕着圆柱轴线作匀速圆周运动，则该动点在圆柱面上的轨迹曲线就是一圆柱螺旋线。见图4-5(a )。该圆柱称为导圆柱。形成圆柱螺旋线必须具备三个要素：
（1） 导圆柱（直径：d ）；
（2） 导程（S ）——动点回转一周，沿轴线方向移动的距离；
（3） 旋向——分右旋、左旋两种旋向。以大拇指指向动点沿着轴线前进的方向，握紧柱面的四指方向表示动点绕轴线的回转方向。若符合右手规则时称为右旋，见图4-5(a)；若符合左手规则时称为左旋，见图4-5(b)；
（二） 圆柱螺旋线的投影作法
（1） 根据导圆柱的直径d和导程S画出导圆柱的H、V面投影（图中导圆柱轴线垂直H面），见图4-6(a)所示；
（2） 将H面投影的圆等分为n等分（图中为12等分），注上各等分点的顺序号1、2、······、13；画右旋时，见图4-6(b)所示，按逆时针方向顺序标注；画左旋时，见图4-6(c)所示，按顺时针方向顺序标注；
（3） 将V面投影的导程作与圆相同的n等分（图中为12等分），过各等分点自下而上顺序编号1、2、 (13)
（4） 由H面投影上各等分点向上分别引铅垂线，与V面投影的各同名等分点1、2、······、13的水平引出线相交于1′、2′、······、13′，即为螺旋线上的点的V面投影；
（5） 顺序将1′、2′、······、13′各点光滑连接即得螺旋线V面投影。若柱面不存在，则整条螺旋线都可见，如图中所示；若柱面存在，则位于后半柱面上的螺旋线不可见。
（6） 螺旋线的H面投影与导圆柱重合，为一个圆。
空间曲线与曲面
实验七空间曲线与曲面 实验目的 1．掌握空间直线、平面的画法。 2．了解常见的空间曲线与曲面的画法。 与本实验相关的理论 最基本的空间作图函数是Plot3 ，用于作所有二元函数的三维立方体图形，其格式是： Plot3D[f，{x，xmin，xmax}，{y，ymin，ymax}，可选项] 由于很多曲面和绝大多数曲线都不能用显函数的形式表示。Mathematica 还提供了Parametric Plot3D参数作图函数，其格式是：Parametric Plot3D[{x[u，v]，y[u，v] ，z[u，v]} ，{u，umin，umax}，{v，vmin，vmax}，可选项] Mathematica作三维图形的机理是先在XOY坐标面给定区域内计算出一系列格点的值，再用矩形“小瓦片”拟合张在上面的曲面上。因而如果曲面的表面变化复杂，可通过设置更细的“瓦片”分割来改善。这时候可增加选项PlotPoint―>n 来说明分割数n。 实验步骤 一、画空间曲线 注意空间曲线的参数方程只有一个参变量，如果要画出螺旋线 x=10cost , y=10sint , z=2t 的图形，只要输入： Parametric Plot3D[{10cos[t]，10sin[t]，2t} ，{t，0，20}] 空间直线也类似地处理。 例1：求过A（3，5，-2），B（3，5，-2）的直线方程，并画图。 分析：空间直线方程可由点向式写出，再改成参数式
) 2(4)2(535313----=--=--z y x 化为参数式是：t x 23-=，t y 25-=，t z 62+-= 输入：Parametric Plot3D[{3-2t ，5-2t ，-2+6t} ，{t ，0，1}] 二、画空间曲面 例2：求过A （1，0，0），B （0，2，0），C （0，0，3），的平面方程，并画图。 分析：平面方程可由截距式写出，y x z 2 333--=。 输入：Parametric Plot3D[{3-3x-3y/2} ，{x ，-1，1}，{y ，-1，1}] 例3：画出二元函数22),(y x y x f +=的图形。 输入：Parametric Plot3D[{x^2+y^2} ，{x ，-4，4}，{y ，-4，4}] 例4：画出椭球心在原点，3=a ，4=b ，5=c 的椭球面。 输入：Parametric Plot3D[{3*Cos[u] Cos[v], 4*Sin[u] Cos[v],5*Sin[v]} ，{u ，0，2Pi}，{v ，-Pi/2，Pi/2}] 例5：画出以x y cos =为准线，母线平行于Z 轴的柱面。 输入：Parametric Plot3D[{x,Cos[x],z} ，{x ，-4，4}，{z ，-4，4}] 例6：画出由平面曲线z x cos 1+=绕Z 轴放转而成的旋转面。 输入：Parametric Plot3D[{（1+Cos[u]）Cos[v] ，（1+Cos[u]）Sin[v] ，u} ，{u ，-Pi ，Pi}，{v ，0，2Pi}] 例7：画单叶双曲面。 输入：Parametric Plot3D[{Sec[u]Cos[v] ，Sec[u]Sin[v] ，Tan[u]} ，{u ，-Pi/2+0.5，Pi/2-0.5}，{v ，0，2Pi}]
曲线与曲面
第四章曲线与曲面 Chapter 4 Curve and Curved Surface 建筑工程中常会遇到由曲线、曲面与平面围成的曲面体。如圆柱、壳体屋盖、隧道的拱顶以及常见的设备管道等等，它们的几何形状都是曲面体，如图4-1所示。在制图、施工和加工中应熟悉它们的特性。本章将介绍常用的一些曲线、曲面及其投影。 图4-1 悉尼歌剧院 第一节 曲线 [Curve] 一、曲线的投影特性[Characteristics of Curve Projection] （一） 曲线的形成 曲线可以看作是一个动点在连续运动中不断改变方向所形成的轨迹，如图4-2(a)；也
可以是平面与曲面相交的交线，如图4-2(b )；或两曲面相交形成的交线，如图4-2(c )。 （二） 曲线的分类 （1） 平面曲线——曲线上所有点都在同一平面上，如：圆、椭圆、抛物线、双曲线、 及任一曲面与平面的交线。 （2） 空间曲线——曲线上任意连续的四个点不在同一平面上，如：螺旋线或曲面与曲 面的交线。 （三） 曲线的投影特性 曲线上的点，其投影必落在该曲线的同面投影之上,见图4-2(a )中，曲线上M 点，其投影m 落在曲线的投影l 上。 曲线的投影一般仍为曲线。在对曲线L 进行投影时，通过曲线的光线形成一个光曲面，该光曲面与投影面的交线必为一曲线，见图4-3(a )。 若曲线是一平面曲线，且它所在平面为投影面垂直面时，则曲线在所垂直的投影上的投影为一直线，且位于平面的积聚投影上，见图4-3(b )；其他二投影仍为曲线。 若曲线是一平面曲线，且它所在平面为投影面平行面时，则该曲线在所平行的投影面上的投影为曲线的实形，见图4-3(c )，其它二投影均为直线且平行于投影轴。 空间曲线，在三个投影面上的投影仍为曲线。 二、 圆的投影 [Projection of Circle ] 圆是平面曲线之一，其投影由于圆面与投影面相对位置不同有三种情况： （1） 圆面平行于某一投影面时，则圆在该投影面上的投影为圆（实形）；另外两个投 影积聚为一直线段（长度等于圆的直径），且平行于投影轴。 （2） 圆面垂直于某一投影面时，则圆在该投影面上的投影积聚为一倾斜于投影轴的直 线段（长度等于圆的直径）；另外两个投影为椭圆。 （3） 圆面倾斜于投影面时，投影为椭圆（椭圆长轴等于圆的直径）。 如图4-4(a ) 所示，圆属于正垂面 P ，因此，正面投影为一直线，水平投影为一椭圆。 其投影图作法如下： （1） 定OX 轴及圆心的V 、H 投影 o ′、o ，见图4-4 (b )。
曲线与曲面
?∑====-∞→∞→t n i i i n n dt dt t dP P P n L c 01 1) (lim )(lim T dt dc dt dp dt dp dt dc dt dp dt dp T dc dp c T dt dp dt dp dt dp if t dc dp T c P dc dp c P t P c P t C r dt dp t r if P t P t t P P c ?=?== =±==?≠→=??=→?=??→???→??=?-?+=?→?对比上两式：对于参数对于一般参数＝单位切矢量，则：为曲线参数，即如选择设弧长为点切线方向的方向为点有切线弦长 ，:1 0:1lim ) ()(C 00)()(0曲线过于平坦 如果切矢量远小于弦长曲线过顶点或回转 倍如果切矢量是弦长的：切矢量：单位切矢量明确概念：??n dt dp dc dp )()()()(0)()(0 c P P t P P t c c t t c c dt t dP dt dc dt dt t dP c t ==?=?=?>=?=?可以用弧长参数表示曲线存在反函数的单调函数是关于参数k dc z d dc y d dc x d k c p dc p d k c p dc dp T dc dT T T T T c T c k T T T T T T T T c T T T c T T c T T T T T c c c 1)()()()()()lim ()lim (lim 1lim ,2/1222222 222''22 '21210002 12 10212121212121=??????++=?==?===???=??=∴=???=???=???=?=?? →?→?→?? →?? ?ρ?????曲率半径：又又： 为单位主法线矢量点的法线）与主法线（通过曲率中心的法线平行垂直的平面）法平面（通过该点与在同一平面 点为中心向外辐射），以曲线某点有一束法线（为单位法矢量为法矢量，法矢量的矢量垂直单位切矢量对于空间的参数曲线：为曲率矢量，模为＝＝＝平行的单位矢量记为与垂直 与线的切线方向单位切矢量，方向为曲N R N T R N T N 1 KN N N T :????????????KN K KN dc dT dc dT dc dT dc dT T ρ?? ? ???????=?=?=???=化直平面决定的平面法平面决定的平面密切平面决定的平面通过定点标系，下列关系成立：组成互相垂直的直角坐为单位副法线矢量其中副法线的法线和垂直于设BT NB TN R T B N B N T N T B B N T B N T N T B ,,,,第六章 曲线与曲面 一、 曲线、曲面参数表示的基础知识 1、 参数曲线的定义：切矢量、法矢量、曲率、挠率 §切矢量：坐标变量关于参数的变化率； 弧长：对正则曲线P （t ）参数从0到T 的弧长； §曲率：曲线的弯曲变化率； §法矢量
曲线曲面定义
第21章 曲线积分和曲面积分的计算 教学目的： 教学重点和难点： §1 第一类曲线积分的计算 设函数(),,f x y z 在光滑曲线l 上有定义且连续，l 的方程为()() () ()0x x t y y t t t T z z t =?? =≤≤?? =? 则 ()()()() ,,,,T l t f x y z ds f x t y t z t =??? ?。 特别地，如果曲线l 为一条光滑的平面曲线，它的方程为()y x ?=，()a x b ≤≤，那么有 ((,) , ()b l a f x y ds f x x ?=? ?。 例：设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π≤≤t 0。求22 ()l x y ds +? 。 例：设l 是曲线x y 42=上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段，计算第一类曲线积分l yds ?。 例：计算积分2l x ds ? ，其中l 是球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 截得的圆周。 例：求()l I x y ds =+?，此处l 为连接三点()0,0O ，()1,0A ，()1,1B 的直线段。 §2 第一类曲面积分的计算 一 曲面的面积 （1）设有一曲面块S ，它的方程为 (),z f x y =。(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的， 且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。则该曲面块的面积为 xy S σ= 。 （2）若曲面的方程为 () ()() ,,,x x u v y y u v z z u v =??=?? =?, 令222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222 v v v G x y z = ++， 则该曲面块的面积为 S d u d v ∑ = 。 例：求球面2 2 2 2 x y z a ++=含在柱面()22 0x y ax a +=>内部的面积。 例：求球面2 2 2 2 x y z a ++=含在柱面()22 0x y ax a +=>内部的面积。
空间曲线地切线与空间曲面地切平面
第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面 一、空间曲线的切线与法平面 设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：?? ? ??===)()()(t z z t y y t x x ，),(βα∈t ． 设),(,10βα∈t t ，)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点，B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线，当A B →时，若AB 趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A 的切线． 如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对于t 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C 为光滑曲线），则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为 ) ()() ()()()()()()(010010010t z t z t z z t y t y t y y t x t x t x x --=--=-- 也可以写为 010********)()() ()()()()()()(t t t z t z t z z t t t y t y t y y t t t x t x t x x ---=---=--- 当A B →时，0t t →，割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x '''，此即为切线的方向向量，所以切线方程为 ) () ()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-． 过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点 )(),(),((000t z t y t x A 的法平面，法平面方程为 ))(())(())((00'00'00'=-+-+-z z t z y y t y x x t x 如果空间的曲线C 由方程为 )(),(x z z x y y == 且)(),(0' 0'x z x y 存在，则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是 ) () ()()(100000x z x z z x y x y y x x '-= '-=- 法平面方程为
数学实验教程实验6(空间曲线与曲面
实验6 空间曲线与曲面 实验目的 1．学会利用软件命令绘制空间曲线和曲面 2．通过绘制一些常见曲线、曲面去观察空间曲线和曲面的特点 3．绘制多个曲面所围成的区域以及投影区域。 实验准备 1．复习常见空间曲线的方程 2．复习常见空间曲面的方程 实验内容 1．绘制空间曲线 2．绘制空间曲面：直角坐标方程、参数方程 3．旋转曲面的生成 4．空间多个曲面的所围成的公共区域以及投影区域 软件命令 表6-1 Matlab 空间曲线及曲面绘图命令 实验示例 【例6.1】绘制空间曲线 绘制空间曲线sin ,cos ,x at t y at t z ct ===，在区间09t π≤≤上的图形，这是一条锥面螺旋线，取a=10,c=3。
【程序】： t=0:pi/30:9*pi; a=10; c=3; x=a*t.*sin(t); y=a*t.*cos(t); z=c*t; plot3(x,y,z,’mo ’) 【输出】：见图6-1。 图6-1 空间曲线的绘制 【例6.2】利用多种命令绘制空间曲面 绘制二元函数 22 2 2 sin x y z x y += +在区域:99,99D x y -≤≤-≤≤上的图形。 【程序】：参见Exm06Demo02.m 。 【输出】：见图6-2。 图 6-2 绘制空间曲面 【例6.3】绘制Mobius 带 Mobius 带的参数方程为 122122 cos sin cos ,[0,2],[,] sin u u x r u y r u r c v u v a b z v π=??==+∈∈??=?，， 其中,,a b c 为常数，绘制其图形。
曲面与空间曲面的归纳
曲面与空间曲线的总结
曲面与空间曲线一.曲面及其方程： 1.曲面方程的一般概念： 定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z) 都满足方程F(x,y,z)=0， 而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为 该曲面的方程，而曲面称为此方程的‘图形’。 例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。 解： 设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得 此即所求点的规迹方程，为一平面方程。 2.坐标面及与坐标面平行的平面方程： ①坐标平面xOy 的方程：z=0 ②过点（a,b,c)且与xOy 面平行的平面方程：z=c 222222)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x 整理得 631044=-++z y x
③坐标面yOz 、坐标面zOx 以及过（a,b,c)点且分别与之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b 3. 球面方程： ①球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R 为半径 的球面方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 ②球面的一般方程： x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。 例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面 解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22 故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。 4.母线平行于坐标轴的柱面方程： 一般我们将动直线l 沿定曲线c 平行移动所形成的轨迹 称为柱面。其中直线l 称为柱面的母线，定曲线c 称为柱面 的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。 此时有以下结论： 若柱面的母线平行于z 轴，准线c 是xOy 面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面。 分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：无论z 取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。 几种常见柱面：x+y=a 平面； 2 22a y x =+圆柱面
最经典CATIA曲线曲面设计基本理论
CATIA曲线曲面设计基本理论 一、概述 曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design,CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(Rational B-spline Surface)参数化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)这二种手段为骨架的几何理论体系。 1．发展历程 形状信息的核心问题是计算机表示，既要适合计算机处理，且有效地满足形状表示与设计要求，又便于信息传递和数据交换的数学方法。象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面是工程中必须解决的问题。曲面造型的目的就在如此。 1963年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次曲线（三次Hermite 插值曲线），将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片，从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。
仅用端点的位置和切矢控制曲线形状是不够的，中间的形状不易控制，且切矢控制形状不直接。 1964年，美国麻省理工学院（MIT ）的孔斯（Coons ）用四条边界曲线围成的封闭曲线来定义一张曲面，Ferguson 曲线曲面只是Coons 曲线曲面的特例。而孔斯曲面的特点是插值，即构造出来的曲面满足给定的边界条件，例如经过给定边界，具有给定跨界导矢等等。但这种方法存在形状控制与连接问题。 1964年，舍恩伯格（Schoenberg ）提出了参数样条曲线、曲面的形式。 1971年，法国雷诺（Renault ）汽车公司的贝塞尔（Bezier ）发表了一种用控制多边形定义曲线和 曲面的方法。这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推 进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。 但当构造复杂曲面时，Bezier 方法仍存在连接问题和局部修改问题。 同期，法国雪铁龙（Citroen ）汽车公司的德卡斯特里奥（de Castelijau ）也独立地研究出与Bezier 类似的方法。 1972年，德布尔（de Boor ）给出了B 样条的标准计算方法。 1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden ）和里森费尔德（Riesenfeld ）将B 样条理论用于形状描述，提出了B 样条曲线和曲面。这种方法继承了Bezier 方法的一切优点，克服了Bezier 方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。但随着生产的发展，B 样条方法显示出明显不足，不能精确表示圆锥截线及初等解析曲面，这就造成了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的数学描述形式，容易造成生产管理混乱。 1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse ）大学的佛斯普里尔（Versprill ）提出了有理B 样条方法。 80年代后期皮格尔（Piegl ）和蒂勒（Tiller ）将有理B 样条发展成非均匀有理B 样条方法（即NURBS ），并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。 NURBS 方法的突出优点是：可以精确地表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面，而其它非有理方法无法做到这一点；具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更宜于控制和实现；NURBS 方法是非有理B 样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理B 样条曲线 曲面的性质及其相应算法也适用于NURBS 曲线曲面，便于继承和发展。 由于NURBS 方法的这些突出优点，国际标准化组织(ISO)于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP 国际标准，将NURBS 方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法，从而使NURBS 方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要的基础。
曲面与空间曲线的方程
第 2 章曲面与空间曲线的方程 本章教学目的：通过本章学习，使学生理解空间坐标系下曲面与空间曲线方程之定义及 表示，熟悉空间中一些特殊曲面、曲线的方程。 本章教学重点：空间坐标系下曲面与空间曲线方程的定义。 本章教学难点：(1)空间坐标系下母线平行于坐标轴的柱面方程与平面坐标系下有关平面 曲线方程的区别； ( 2)空间坐标系下，空间曲线一般方程的规范表示。 本章教学内容： § 1 曲面的方程 普通方程： 1 定义：设工为一曲面，F(x, y, z) =0为一三元方程，空间中建立了坐标系以后， 若工上任一点P(x,y,z)的坐标都满足F(x，y, z)=0，而且凡坐标满足方程的点都在曲 面工上，则称F (x, y, z) =0为工的普通方程，记作 2：F (x, y, z) =0. 不难看出，一点在曲面2上〈一〉该点的坐标满足工的方程，即曲面上的点与其 方程的解之间是一一对应的???》的方程的代数性质必能反映出2的几何性质。 2 三元方程的表示的几种特殊图形：空间中任一曲面的方程都是一三元方程,反之,是否任一三 元方程也表示空间中的一个曲面呢？一般而言这是成立的,但也有如下特殊情况 1 ° 若F( x, y, z) =0 的左端可分解成两个(或多个)因式F1( x, y, z) 与F2 (x, y, z)的乘积，即 F (x, y, z)= F i (x, y, z) F2 (x, y, z),贝U F (x , y , z) =0〈一〉F i (x , y , z) =0 或F2 (x , y , z) =0 ,此时 F( x y z) =0 表示两叶曲面1与 2 它们分别以F1( x y z) =0 F2( x y z) =0 为其方程此时称F(x y z)=0 表示的图形为变态曲面。如 F(x,y,z) xyz 0 即为三坐标面。 2 0方程F(x,y,z) (x2 y2 z2) x i2 y 2 2 (z 3)2 0 仅表示坐标原点和点( i 2 3) 3 °方程F(x, y,z) 0可能表示若干条曲线如 F(x, y,z) (x2 y2)(y2 z2) 0 即表示z 轴和x 轴 °方程F(x, y,z) 0不表示任何实图形如 4
空间曲面与空间曲线学习总结
面及其方程 一曲面方程的概念 空间曲面可看做点的轨迹，而点的轨迹可由点的坐标所满足的方程来表达。因此，空间曲面可由方程来表示，反过来也成立。 为此，我们给出如下定义： 若曲面 S与三元方程 F x y z (,,) 0 (1) 有下述关系： 1、曲面 S上任一点的坐标均满足方程(1)； 2、不在曲面 S上的点的坐标都不满足方程(1)。 那么，方程(1)称作曲面 S的方程，而曲面S称作方程(1)的图形。 下面，我们来建立几个常见的曲面方程。 【例1】球心在点 ) , , ( z y x M ，半径为R的球面方程。
解：设M x y z (,,)是球面上的任一点，那么M M R 0=， 即： ()()()x x y y z z R -+-+-=020202 ()()()x x y y z z R -+-+-=0202022 (2) (2)式就是球面上任一点的坐标所满足的方程。 反过来，不在球面上的点 ''''M x y z (,,)，'M 到M 0的距离M M R 0'≠， 从而点 'M 的坐标不适合于方程(2)。 故方程(2)就是以 M x y z 0000(,,)为球心，R 为半径的球面方程。 若球心在原点，即 M x y z O 0000000(,,)(,,)=，其球面方程为 x y z R 2222++= 【例2】设有点A (,,)123和B (,,)214-，求线段AB 垂直平分面π 的方程。 解：所求平面π是与A 和B 等距离的点的几何轨迹，设M x y z (,,)是所求平面上任意 的一点，则 AM BM = 即： ()()()()()()x y z x y z -+-+-=-+++-123214222222
曲面与空间曲线的方程
第2章 曲面与空间曲线的方程 本章教学目的：通过本章学习，使学生理解空间坐标系下曲面与空间曲线方程之定 义及表示，熟悉空间中一些特殊曲面、曲线的方程。 本章教学重点：空间坐标系下曲面与空间曲线方程的定义。 本章教学难点：（1）空间坐标系下母线平行于坐标轴的柱面方程与平面坐标系下有 关平面曲线方程的区别； （2）空间坐标系下，空间曲线一般方程的规范表示。 本章教学内容： §1 曲面的方程 一 普通方程： 1 定义：设Σ为一曲面，F （x ，y ，z ）=0为一三元方程，空间中建立了坐标系以后， 若Σ上任一点P （x ,y ,z ）的坐标都满足F （x ，y ，z ）=0，而且凡坐标满足方程的点都在曲面Σ上，则称F （x ，y ，z ）=0为Σ的普通方程，记作 Σ：F （x ，y ，z ）=0. 不难看出，一点在曲面Σ上〈═〉该点的坐标满足Σ的方程，即曲面上的点与其方程的解之间是一一对应的 ∴Σ的方程的代数性质必能反映出Σ的几何性质。 2 三元方程的表示的几种特殊图形： 空间中任一曲面的方程都是一三元方程，反之，是否任一三元方程也表示空间中的 一个曲面呢？一般而言这是成立的，但也有如下特殊情况 1° 若F （x ，y ，z ）=0的左端可分解成两个（或多个）因式F 1（x ，y ，z ） 与F 2（x ，y ，z ）的乘积，即F （x ，y ，z ）≡F 1（x ，y ，z ）F 2（x ，y ，z ），则 F （x ，y ，z ）=0〈═〉F 1（x ，y ，z ）=0或F 2（x ，y ，z ）=0，此时 F （x ，y ，z ）=0表示两叶曲面1∑与2∑，它们分别以F 1（x ，y ，z ）=0，F 2（x ，y ，z ）=0为其方程，此时称F （x ，y ，z ）=0表示的图形为变态曲面。如 0),,(=≡xyz z y x F 即为三坐标面。 20方程()()[] 0)3(21)(),,(222222=-+-+-++≡z y x z y x z y x F 仅表示坐标原点和点（1，2，3） 3°方程0),,(=z y x F 可能表示若干条曲线，如 0))((),,(2 222=++≡z y y x z y x F 即表示z 轴和x 轴 4°方程0),,(=z y x F 不表示任何实图形，如
§7.4.1-3空间曲面和空间曲线
§7.4空间曲面和空间曲线 本节以两种方式来讨论空间曲面： （1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程； （2）已知一个三元方程，研究这方程的图形。 7.4.1球面与柱面 (一)球面 空间中与一定点等距离的点的轨迹叫球面。 求球心在点),,( z y x M ，半径为R 的球面方程。 设),,(z y x M 为球面上的任一点，则有R M M = ，即 R z z y y x x =-+-+-222)()()( ，化简得： 2222)()()(R z z y y x x =-+-+- 。 ① 满足方程①，因此，方程①是球面的方程。 当0=== z y x 时，即球心在原点的球面方程为 2 222R z y x =++。 ② 例1.指出方程05642222=+--+++z y x z y x 表示何种曲面。 解：9415964412222+++-=+-++-+++z z y y x x ， 22223)3()2()1(=-+-++z y x ，方程表示以)3 ,2 ,1(-为球心，3为半径的球面。 （二）柱面 动直线L 沿给定曲线C 平行移动所形成的曲面，称为柱面。动直线L 称为柱面的母线，定曲线C 称为柱面的准线。 y
现在来建立以xoy 面上的曲线C ：? ??== . 0, 0),(z y x F 为准线，平行于L z 轴的直线 设) ,,( z y x M 为柱面上任一点，过 M 作平行于轴的直线 z ，交xoy 面于点 ) 0 , ,( y x M ，由柱面定义可知点上必在准线C M 。故有0),(= y x F 。由于 M M 与点点有相同的横坐标和纵坐标，故的坐标点 M 也必满足方程 0),(=y x F 。反之，如果空间一点) ,,( z y x M 满足方程0),(=y x F ，即0 ),(= y x F ，故 ) ,,( z y x M 且与轴平行的直线 z 必通过 上的点准线C ) 0 , ,( y x M ，即) 0 , ,( y x M 在过) 0 , ,( y x M 的母线上，于是) ,,( z y x M 必在柱面上，因此方程0),(=y x F 表示平行于轴的柱面 z 。 一般地 方程0) ,(=y x F 表示母线轴的柱面平行于 z ； 方程0) ,(=z y H 表示母线轴的柱面平行于 x ； 方程0) ,(=z x G 表示母线轴的柱面平行于 y 。 以二次曲线为准线的柱面称为二次柱面。 例如：方程2 2 2 a y x =+表示圆柱面；方程 12 22 2=+ b y a x 表示椭圆柱面； 方程12 2 22 =- b x a y 表示双曲柱面；方程Py x 22=表示抛物柱面。 y 22 a y = x x y 1 2 2=b y
曲线与曲面对象
专题八MATLAB图形用户界面设计 8.2 曲线与曲面对象 ?曲线对象 ?曲面对象 ?光照处理 ?图形对象的反射特性
1. 曲线对象 （1）建立曲线对象 line函数的调用格式为： 句柄变量=line(x, y, z, 属性1, 属性值1, 属性2, 属性值2, …)其中，x、y、z存储数据点的坐标，与plot、plot3函数含义相同。
1. 曲线对象 （2）曲线对象常用属性 ?Color属性：定义曲线的颜色，默认值为[0 0 0]。 ?LineStyle属性：定义线型，默认值为'-'。 ?LineWidth属性：定义线宽，默认值为0.5磅。 ?Marker属性：定义数据点标记符号，默认值为'none'。 ?MarkerSize属性：定义数据点标记符号的大小，默认值为6磅。?XData、YData、ZData属性：用于设置3个坐标轴的数据源。
例1 利用曲线对象绘制五环图案。t=-0.1 : 0.1 : 2*pi; x=cos(t); y=sin(t); line(x,y,'Color','b') line(x+1.2,y-1,'Color','y') line(x+2.4,y,'Color','k') line(x+3.6,y-1,'Color','g') line(x+4.8,y,'Color','r') ha=gca; for n=1:size(ha.Children) ha.Children(n).LineWidth=5; end ha.XLim=[-2,7]; ha.YLim=[-3,2]; axis equal
2. 曲面对象 （1）建立曲面对象 建立曲面对象使用surface函数，其调用格式为： 句柄变量=surface(x,y,z,c,属性1,属性值1,属性2,属性值2,…) 其中，x、y、z存储数据点的坐标，与mesh、surf函数含义相同；c用于指定在不同高度下的曲面颜色。 surf函数每调用一次，就会刷新坐标轴，清空原有图形，再绘制新的图形。而surface函数生成的曲面则在已有图形上叠加显示。 利用surface函数建立的曲面对象，默认视点在图形正上方，即方位角为0°，仰角为90°。
曲线曲面基本理论
第二讲曲线曲面基本理论一、概述 曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design,CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(Rational B-spline Surface)参数化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)这二种手段为骨架的几何理论体系。 1．发展历程 形状信息的核心问题是计算机表示，既要适合计算机处理，且有效地满足形状表示与设计要求，又便于信息传递和数据交换的数学方法。象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面是工程中必须解决的问题。曲面造型的目的就在如此。 1963年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次曲线（三次Hermite 插值曲线），将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片，从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。 图 Ferguson曲线 t= 0 t= 1 Q0 Q1 Q’ 0Q’ 1 图 Ferguson曲面 Q 0 0 u v Q 0 1 Q 1 0 Q 1 1
仅用端点的位置和切矢控制曲线形状是不够的，中间的形状不易控制，且切矢控制形状不直接。 1964年，美国麻省理工学院（MIT ）的孔斯（Coons ）用四条边界曲线围成的封闭曲线来定义一张曲面，Ferguson 曲线曲面只是Coons 曲线曲面的特例。而孔斯曲面的特点是插值，即构造出来的曲面满足给定的边界条件，例如经过给定边界，具有给定跨界导矢等等。但这种方法存在形状控制与连接问题。 图 Coons曲面 Q u v Q 0 1 Q 1 0 Q 1 1 Q(u,0) Q(u,1) Q(0,v) Q(1,v) 1964年，舍恩伯格（Schoenberg ）提出了参数样条曲线、曲面的形式。 1971年，法国雷诺（Renault ）汽车公司的贝塞尔（Bezier ）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。 但当构造复杂曲面时，Bezier 方法仍存在连接问题和局部修改问题。 同期，法国雪铁龙（Citroen ）汽车公司的德卡斯特里奥（de Castelijau ）也独立地研究出与Bezier 类似的方法。 1972年，德布尔（de Boor ）给出了B 样条的标准计算方法。 1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden ）和里森费尔德（Riesenfeld ）将B 样条理论用于形状描述，提出了B 样条曲线和曲面。这种方法继承了Bezier 方法的一切优点，克服了Bezier 方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。但随着生产的发展，B 样条方法显示出明显不足，不能精确表示圆锥截线及初等解析曲面，这就造成了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的数学描述形式，容易造成生产管理混乱。 1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse ）大学的佛斯普里尔（Versprill ）提出了有理B 样条方法。 80年代后期皮格尔（Piegl ）和蒂勒（Tiller ）将有理B 样条发展成非均匀有理B 样条方法（即NURBS ），并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。 NURBS 方法的突出优点是：可以精确地表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面，而其它非有理方法无法做到这一点；具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更宜于控制和实现；NURBS 方法是非有理B 样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理B 样条曲线曲面的性质及其相应算法也适用于NURBS 曲线曲面，便于继承和发展。 由于NURBS 方法的这些突出优点，国际标准化组织(ISO)于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP 国际标准，将NURBS 方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法，从而使NURBS 方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要的基础。