离散系统稳定性分析

实验一 离散系统稳定性分析

实验学时：2 实验类型：常规 实验要求：必作

一、实验目的：

（1）掌握利用MATLAB 绘制系统零极点图的方法； （2）掌握离散时间系统的零极点分析方法；

（3）掌握用MATALB 实现离散系统频率特性分析的方法； （4）掌握逆Z 变换概念及MATLAB 实现方法； （5）掌握用MATLAB 分析离散系统稳定性。 二、实验原理：

1、离散系统零极点图及零极点分析；

线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即

()()N

M

i

j

i j a

y n i b

x n j ==-=

-∑∑ （8-1）

其中()y k 为系统的输出序列，()x k 为输入序列。

将式（8-1）两边进行Z 变换的

00

()()()()

()

M

j

j

j N i i

i b

z

Y z B z H z X z A z a z

-=-==

=

=

∑∑ （8-2）

将式（8-2）因式分解后有：

11

()

()()

M

j

j N

i i z q

H z C

z p ==-=-

∏∏ （8-3） 其中C 为常数，(1,2,,)j q j M = 为()H z 的M 个零点，(1,2,,)i p i N = 为()H z 的N 个极点。

系统函数()H z 的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。

因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：

● 系统单位样值响应()h n 的时域特性； ●

离散系统的稳定性；

离散系统的频率特性；

1.1、零极点图的绘制

设离散系统的系统函数为

()()()

B z H z A z =

则系统的零极点可用MA TLAB 的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为：

p=roots(A)

其中A 为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p 则是包含多项式所有根的列向量。如多项式为231()4

8

B z z z =+

+

，则求该多项式根的MA TLAB 命令为为：

A=[1 3/4 1/8]; P=roots(A)

运行结果为： P =

-0.5000

-0.2500

需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母多项式均按z 的降幂次序排列；另一种是分子、分母多项式均按1z -的升幂次序排列。这两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。

（1）()H z 按z 的降幂次序排列：系数向量一定要由多项式最高次幂开始，一直到常数项，缺项要用0补齐；如

3

4

3

2

2()3221

z z

H z z z z z +=

++++

其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1 0 2 0]、B=[1 3 2 2 1]。

（2）()H z 按1z -的升幂次序排列：分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，不足的要用0补齐，否则0z =的零点或极点就可能被漏掉。如

1

1

2

12()11124

z H z z

z

---+=

+

+

其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1 2 0]、B=[1 1/2 1/4]。

用roots()求得()H z 的零极点后，就可以用plot()函数绘制出系统的零极点图。下面是求系统零极点，并绘制其零极点图的MA TLAB 实用函数ljdt()，同时还绘制出了单位圆。

function ljdt(A,B)

% The function to draw the pole-zero diagram for discrete system

p=roots(A); %求系统极点 q=roots(B); %求系统零点 p=p'; %将极点列向量转置为行向量

q=q'; %将零点列向量转置为行向量 x=max(abs([p q 1])); %确定纵坐标范围 x=x+0.1; y=x;

%确定横坐标范围

clf

hold on

axis([-x x -y y])

%确定坐标轴显示范围

w=0:pi/300:2*pi; t=exp(i*w); plot(t) %画单位园

axis('square') plot([-x x],[0 0])

%画横坐标轴 plot([0 0],[-y y])

%画纵坐标轴

text(0.1,x,'jIm[z]')

text(y,1/10,'Re[z]')

plot(real(p),imag(p),'x')

%画极点

plot(real(q),imag(q),'o') %画零点 title('pole-zero diagram for discrete system') %标注标题 hold off

1.2、离散系统零极点分析

（1）离散系统零极点分布与系统稳定性 离散系统稳定的条件为：

时域条件：离散系统稳定的充要条件为()n h n ∞

=-∞

<∞

∑

，即系统单位样值响应绝对可和；

Z 域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数()H z 的所有极点均位于Z 平面的单位圆内。 对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式求出系统函数的极点，从而判断系统的稳定性，但对于高阶系统，手工求解则显得十分困难，这时可以利用MA TLAB 来实现。实现方法是调用前述的函数ljdt()绘出系统的零极点图，然后根据极点的位置判断系统的稳定性。

2、离散系统频率特性分析；

2.1、离散系统的频率响应()j H e

ω

对于某因果稳定离散系统，如果激励序列为正弦序列：

0()sin()()x n A n u n ω=

则系统的稳态响应为：

()()sin[()]()j ss y n A H e

n u n ω

ω?ω=+

定义离散系统的频率响应为

()

()()

()j j j j z e

H e

H z H e

e

ω

ω

ω

?ω===

其中，()j H e ω——称为离散系统的幅频特性； ()?ω——称为离散系统的相频特性；

()j H e

ω

是以2π为周期的周期函数，只要分析()j H e ω

在ωπ≤范围内的情况，便可

分析出系统的整个频率特性。

2.2、用MA TLAB 实现离散系统的频率特性分析方法 （1）直接法

设某因果稳定系统的系统函数()H z ，则系统的频响特性为：

()

()()

()j j j j z e

H e

H z H e

e

ω

ω

ω

?ω===

MA TLAB 提供了专门用于求离散系统频响特性的函数freqz()，调用freqz()的格式有以下两种： ●

[H,w]=freqz(B,A,N)

B 和A 分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，N 为正整数，返回量H 则包含了离散系统频响

()

j H e

ω

在

0~π

范围内N 个频率等分点的值，向量w 则包含

0~π

范围内N 个频率等分点。调用中若N 默认，默认值为512。

● [H,w]=freqz(B,A,N,’whole ’) 该调用格式将计算离散系统在

0~2π

范围内N 个频率等分点的频率响应

()

j H e

ω

的值。

因此，可以先调用freqz()函数计算系统的频率响应，然后利用abs()和angle()函数及plot()函数，即可绘制出系统在0~π

或

0~2π

范围内的频响曲线。

（2）几何矢量法

利用几何矢量求解示意图如图8-4所示。

j

j j j j e

q B e

ψ

ω

-= i

j j i i e

p A e

θω

-=

有：

1212()

1()

()

1

()()M N M

j j

j j j j N

j i i B

e

H e

H e

e

A e

ψψψω

ω

?ωθθθ+++=+++==

=∏∏

则系统的幅频特性和相频特性分别为：

11

()M

j

j j N

i

i B

H e

A ω

===

∏∏

（8-7） 1

1

()M

N

j

i

j i ?ωψ

θ

===

-

∑∑ （8-8）

根据式（8-7）和（8-8），利用MA TLAB 来求解频率响应的过程如下： ● 根据系统函数()H z 定义分子、分母多项式系数向量B 和A ； ● 调用前述的ljdt()函数求出()H z 的零极点，并绘出零极点图； ● 定义Z 平面单位圆上的k 个频率分点；

● 求出()H z 所有的零点和极点到这些等分点的距离； ● 求出()H z 所有的零点和极点到这些等分点矢量的相角； ● 根据式（8-7）和（8-8）求出系统的()j H e ω和()?ω； ●

绘制指定范围内系统的幅频曲线和相频曲线；

下面是实现上述过程的实用函数dplxy()。有四个参数：k 为用户定义的频率等分点数目；B 和A 分别为系统函数分子、分母多项式系数向量；r 为程序绘制的频率特性曲线的频率范围（0~r π?）。

function dplxy(k,r,A,B)

%The function to draw the frequency response of discrete system

p=roots(A); %求极点 q=roots(B);

%求零点

figure(1) ljdt(A,B)

%画零极点图 w=0:r*pi/k:r*pi; y=exp(i*w);

%定义单位圆上的k 个频率等分点

N=length(p); %求极点个数 M=length(q);

%求零点个数 yp=ones(N,1)*y; %定义行数为极点个数的单位圆向量 yq=ones(M,1)*y;

%定义行数为零点个数的单位圆向量

vp=yp-p*ones(1,k+1); %定义极点到单位圆上各点的向量

vq=yq-q*ones(1,k+1); %定义零点到单位圆上各点的向量 Ai=abs(vp); %求出极点到单位圆上各点的向量的模 Bj=abs(vq); %求出零点到单位圆上各点的向量的模 Ci=angle(vp);

%求出极点到单位圆上各点的向量的相角 Dj=angle(vq); %求出零点到单位圆上各点的向量的相角 fai=sum(Dj,1)-sum(Ci,1); %求系统相频响应 H=prod(Bj,1)./prod(Ai,1);

%求系统幅频响应

figure(2)

plot(w,H); %绘制幅频特性曲线

title('离散系统幅频特性曲线') xlabel('角频率') ylabel('幅度') figure(3)

plot(w,fai)

title('离散系统的相频特性曲线') xlabel('角频率') ylabel('相位')

三、实验方法和手段：集中授课，实验现场进行指导 四、实验组织运行要求：集中组织，单人单机 五、实验条件: 计算机、MATLAB 软件 六、实验步骤：

1、打开计算机，双击桌面MATLAB 软件图标，进入MATLAB 工作环境；

2、在命令窗口（Command Window ）输入程序，按回车键执行。

3、按实验内容逐一编成，将运行结果存入 WORD 文档。 七、实验内容：

1、离散系统零极点图及零极点分析；

例1：绘制如下系统函数的零极点 （1）32

32

3510()375

z z z H z z z z -+=

-+-

（2）1

1

2

10.5()31148

z H z z

z

----=

+

+

解：MA TLAB 命令如下 （1） A=[1 -3 7 -5];

B=[3 -5 10 0];

ljdt(A,B) 运行结果：

（2） A=[1 3/4 1/8];

B=[1 -0.5 0]; ljdt(A,B)

2、离散系统频率特性分析；

例2：绘制如下系统的频响曲线

0.5()z H z z

-=

解：MA TLAB 命令如下：

B=[1 -0.5]; A =[1 0];

[H,w]=freqz(B,A,400,'whole'); Hf=abs(H);

Hx=angle(H);

clf figure(1)

plot(w,Hf)

title('离散系统幅频特性曲线') figure(2)

plot(w,Hx)

title('离散系统相频特性曲线') 运行结果：

例3：已知某离散系统的系统函数为：

1

15/4(1)()11/4z H z z

---=

-

绘出该系统的零极点图及频响特性。 解：MA TLAB 命令如下：

A=[1 -1/4]; B=[5/4 -5/4]; dplxy(500,2,A,B)

运行结果：

3、离散系统稳定性分析：根据实验原理和上述举例，编写下列分析程序并运行。

已知离散系统的系统函数分别为： （1）2

321()21

z z H z z --=

-

（2）23

2

2()241

z H z z z z +=

+-+

试用MA TLAB 分析：

（1） 绘出系统的零极点图，根据零极点图判断系统的稳定性； （2） 如果系统稳定，绘出幅频特性和相频特性曲线。

七、实验报告：

1、实验前应对实验内容进行预习，熟悉MATLAB 软件以及指令的功能。

2、应根据实验内容一步一步做好实验记录。

3、实验报告包括实验目的、内容以及实验步骤、实验结果，应对实验结果进行分析。