-数列全国卷高考真题教师版
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2015-2017年全国卷数列真题
1、(2015全国1卷17题)n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a >0,2
n n a a +=43n S +.
(Ⅰ)求{n a }的通项公式; (Ⅱ)设1
1
n n n b a a +=
错误!未定义书签。 ,求数列{n b }的前n 项和. 【答案】(Ⅰ)21n +(Ⅱ)11
646
n -
+ 【解析】
试题分析:(Ⅰ)先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{n a }的递推公式,可以判断数列{n a }是等差数列,利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)根据(Ⅰ)数列{n b }的通项公式,再用拆项消去法求其前n 项和.
试题解析:(Ⅰ)当1n =时,2
11112434+3a a S a +=+=,因为0n a >,所以1a =3,
当
2
n ≥时,
2211
n n n n a a a a --+--=
14343
n n S S -+--=
4n
a ,即
111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+,因为0n a >,所以1n n a a --=2,
所以数列{n a }是首项为3,公差为2的等差数列, 所以n a =21n +; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,n b =
1111
()(21)(23)22123
n n n n =-++++,
所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++=1111111
[()()(
)]23557
2123
n n -+-+
+-++ =
11
646
n -
+. 2、(2015全国2卷4题)已知等比数列{}n a 满足a1=3,135a a a ++ =21,则357a a a ++= ( )
A .21 B.42 C .63 D .84
【解析】设等比数列公比为q ,则24
11121a a q a q ++=,又因为13a =,所以42
60q q +-=,解得2
2q =,所以2
357135()42a a a a a a q ++=++=,故选B.
考点:等比数列通项公式和性质.
3、(2015全国2卷16题)设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且11a =-,11n n n a S S ++=,则
n S =________.
【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅,两边同时除以1n n S S +⋅,得
1111n n
S S +=--,故数列1n S ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
是以1-为首项,1-为公差的等差数列,则1
1(1)n
S n n =---=-,所以1n S n
=-
. 考点:等差数列和递推关系.
4、(2016全国1卷3题)已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = ( )
(A)100 (B)99 (C)98 (D)97
试题分析:由已知,11
93627
,98a d a d +=⎧⎨
+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+= 故选C.
考点:等差数列及其运算
5、(2016全国2卷15题)设等比数列{}n a 错误!未定义书签。满足a 1+a 3=10,a2+a 4=5,则a 1a 2 …an 的最大值为 . 【答案】64
试题分析:设等比数列的公比为q ,由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得,2
12
1(1)10
(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,解得1812
a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)
1712(1)
222121
18()22n n n n n n n
n a a a a q
--++++-==⨯=,于是当3n =或4时,12
n a a a 取得最
大值6264=. 考点:等比数列及其应用
6、(2016全国2卷17题)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且11a =,728S =.记[]lg n n b a =,
其中[]x 表示不超过x的最大整数,如[]0.90=,[]lg991=.
(Ⅰ)求1b ,11b ,101b ;
(Ⅱ)求数列{}n b 的前1000项和.
【解析】⑴设的公差为,, ∴,∴,∴. ∴,,. ⑵记的前项和为,则
. 当时,; 当时,;
ﻩ 当时,; 当时,.
∴. 7、(2016全国3卷17题)已知数列
{}
n a 错误!未定义书签。的前n 项和
1n n
S a λ=+错误!
未定义书签。,错误!未定义书签。其中0λ≠. (I )证明
{}
n a 错误!未定义书签。是等比数列,并求其通项公式;
(II )若
531
32S =
,求λ.
{}n a d 74728S a ==44a =41
13
a a d -=
=1(1)n a a n d n =+-=[][]11lg lg10b a ===[][]1111lg lg111b a ===[][]101101101lg lg 2b a ==={}n b n n T 1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+0lg 1n a <≤129n =⋅⋅⋅,,
,1lg 2n a <≤101199n =⋅⋅⋅,,,2lg 3n a <≤100101999n =⋅⋅⋅,
,,lg 3n a =1000n =1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯
=