向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用
向量是形与数的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简洁与一身，向量的双重身份（既是几何对象又是代数运算对象）决定了向量在解决平面几何问题的重要作用.但是初步接触向量，好多学生还不习惯用向量解决几何中常见的判断几何图形形状，证明全等，直线平行、垂直，求线段的长度，夹角等问题.向量是连接代数与几何间的又一座桥梁，它几乎与中学阶段几何内容与部分代数内容都有联系.
利用向量解答平面几何问题的一般步骤是：1.将题设和结论中的有关元素转化为向量形式；
2.确定必要的基底向量，并用基地表示其他向量；
3.借助于向量的运算解决问题.
共线定理的作用：用向量共线定理可以证明几何中的直线平行、三点共线、三线共点问题．但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b
a λr r ＝，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置． 相关结论： 1.平面上三点A B C 、、共线?AB BC λu u u r u u u r ＝.(向量共线且有公共点才能得出三点共线．) 2.点P 为线段AB 的中点，O 为平面内的任意一点?1OP OA OB 2u u u r u u u r u u u r ＝＋． 3.平面上三点A B C 、、共线?O 为不同于A B C 、、的任意一点，OC OA OB λμu u u r u u u r u u u r ＝＋且1.λμ＋＝.
应用一：应用向量知识证明三点共线
例1：如图已知△ABC 两边AB AC 、的中点分别为M N 、，在BN 延长线上取点P ，使NP BN =，在CM 延长线上取点Q ，使MQ CM =.
求证：P A Q 、、三点共线11,22AN b AM a ==u u u r r u u u u r r 解：设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则，
由此可得12BN NP b a ==-u u u r u u u r r r ，12CM MQ a b ==-u u u u r u u u u r r r ， ,()PA AN NP PA b a a b ∴-=+=--=-u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r ， ,()AQ AM MQ AQ b a a b -=+=--=-u u u r u u u u r u u u u r u u u r r r r r ， 即PA PQ =u u u r u u u r ,故有//PA AQ u u u r u u u r ，且它们有公共点A ，
所以P A Q 、、三点共线.
应用二：应用向量知识解决有关平行的问题
例2、证明顺次连结四边形各中点所得四边形为平行四边形.
已知：如图，四边形ABCD E F G H AB BC CD DA ，、、、分别是、、、的中点.
求证：四边形EFGH 是平行四边形.
分析：要证平行四边形，只需证一组对边平行且相等，即它们所
对应的向量相等.
证明：连接AC,Q E F AB BC 、分别是、的中点，
∴11++22EF EB BF AB BC ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11+22AB BC AC =u u u r u u u r u u u r （）=, 同理12
HG AC =u u u r u u u r ∴EF HG =u u u r u u u r //.EF HG EF HG =则且
∴四边形EFGH 是平形四边形.
应用三：应用向量知识解决有关垂直的问题 向量垂直的相关结论： 数量积：()
00,0a b a b a b ⊥??=≠≠r r r r r r r r 坐标表示：11221212(,)(,)0a x y b x y a b x x y y ==⊥?+=r r r r 例3、证明直径所对的圆周角是直角
如图所示，已知O AB C O .ACB 90∠=?e e ，为直径，为上任意一点求证 分析：要证∠ACB=90°，只须证向量AC CB ⊥u u u r u u u r ，即0AC CB ?=u u u r u u u r . 解：设,AO a OC b ==u u u r r u u u r r ，则,AC a b CB a b =+=-u u u r r r u u u r r r ， 由此可得：()(
)AC CB a b a b ?=+-u u u r u u u r r r r r 2222a b a b =-=-r r r r 2
20r r =-= 即0AC CB ?=u u u r u u u r ，即，ACB 90∠=?. 应用四：求解证明有关长度的问题 利用2||a a =r r 可以用来求线段的长度. 22(,)||a x y a x y ==+r r 若则 2211221212(,),(,)||()()A x y B x y AB x x y y =-+-u u u r 若则 例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和.
已知：平行四边形ABCD.
求证：222222AB BC CD DA AC BD +++=+
分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ，选其为一组基地，表示其它线段. 解：设,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ， 则,C ,;BC b D a AC a b DB a b ===+=-u u u r r u u u r r u u u r r r u u u r r r 2222222()AB BC CD DA a b +++=+r r
()()2222AC BD a b a b +=++-r r r r ()()
222222222222a ab b a ab b a b a b =+++-+=+=+r r r r r r r r r r r r 222222AB BC CD DA AC BD +++=+
在三角形中一些常见的结论： 性质1设O 为ABC V 所平面内一点，则O 是ABC V 外心的重要条件是OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r .
性质2 设G ABC ABC V V 为所在平面内一点，则G 是重心的重要条件是++GA GB GC =u u u r u u u r u u u r 0.
性质3设H 为ABC V 所在平面内一点，则H 是ABC V 垂心得重要条件是：HA HB HB HC HC HA ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g .
向量在几何中的应用
唐山师范学院本科毕业论文 题目向量在解析几何中的应用 学生张红阳 指导教师孟令江副教授 年级10数本2班 专业数学与应用数学 系别数学与信息科学系 唐山师范学院数学与信息科学系 2014年5月
郑重声明 本人的毕业论文（设计）是在指导教师孟令江的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为,本人愿意承担由此产生的各种后果,直至法律责任,并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。 毕业论文（设计）作者（签名）：张红阳 2014 年 4 月 31 日
目录 标题 (1) 中文摘要 (1) 1引言 (1) 2 预备知识 (1) 2.1 向量的概念 (1) 2.2 向量的运算 (1) 2.2.1向量的加法 (1) 2.2.2向量的减法 (1) 2.2.3数量乘向量 (1) 2.2.4两向量的数量积 (1) 2.2.5两向量的向量积 (1) 2.2.6三向量的混合积 (2) 2.2.7法向量的有关概念 (2) 2.2.8线性相关定义 (2) 3 向量在立体几何中的应用 (2) 3.1向量在立体几何中的证明 (2) 3.1.1向量在立体几何中的简单证明 (2) 3.1.2证明两直线平行 (3) 3.1.3证明线面平行 (4) 3.1.4证明面面平行 (6) 3.1.5证明两直线垂直 (7) 3.1.6证明线面垂直 (8) 3.1.7证明面面垂直 (9) 3.2向量在几何中的计算 (10) 3.2.1距离 (10) 3.2.1.1两点间的距离 (10) 3.2.1.2点到直线的距离 (11) 3.2.1.3点面距离 (11) 3.2.1.4异面直线的距离 (12) 3.2.2夹角 (12) 3.2.2.1两异面直线的夹角 (12) 3.2.2.2线面角 (13) 3.2.2.3二面角 (14) 3.2.3求面积 (16) 3.2.4求体积 (17) 参考文献： (18) 致谢 (19) 外文页 (20)
空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)
空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量： ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量． 由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量． 由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ?a ∥b ?a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b ＝0； ③l ∥α ?a ⊥u ?a ·u ＝0； ④l ⊥α ?a ∥u ?a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥?u ∥v ?u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ?u ⊥v ?u ·v ＝0． (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角． 设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2 π,0(∈θ则 ?= >
平面向量易错题解析汇报
平面向量易错题解析 1.你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？ 2.你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用2 2 ||→→ =a a ；22||y x a +=） 3.你知道解决向量问题有哪两种途径？ （①向量运算；②向量的坐标运算） 4.你弄清“02121=+?⊥→ → y y x x b a ”与“0//1221=-?→ → y x y x b a ”了吗？ [问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？ （1） 在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=?→ →b a ，不能推 出→ →=0b . （2） 已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有→ →→→→→=??=?c a c b b a . （3） 在实数中有)()(c b a c b a ??=??，但是在向量的数量积中)()(→ → → → → → ??≠??c b a c b a ，这是因为 左边是与→ c 共线的向量，而右边是与→ a 共线的向量. 5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？ 1.向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ±)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直 线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线? AB AC 、 共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。 如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若A B D C =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a bb c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，为基底，则平面内的任一向量a 可表示为 (),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在 原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用 向量是形与数的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简洁与一身，向量的双重身份（既是几何对象又是代数运算对象）决定了向量在解决平面几何问题的重要作用.但是初步接触向量，好多学生还不习惯用向量解决几何中常见的判断几何图形形状，证明全等，直线平行、垂直，求线段的长度，夹角等问题.向量是连接代数与几何间的又一座桥梁，它几乎与中学阶段几何内容与部分代数内容都有联系. 利用向量解答平面几何问题的一般步骤是：1.将题设和结论中的有关元素转化为向量形式； 2.确定必要的基底向量，并用基地表示其他向量； 3.借助于向量的运算解决问题. 共线定理的作用：用向量共线定理可以证明几何中的直线平行、三点共线、三线共点问题．但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b a λr r ＝，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置． 相关结论： 1.平面上三点A B C 、、共线?AB BC λu u u r u u u r ＝.(向量共线且有公共点才能得出三点共线．) 2.点P 为线段AB 的中点，O 为平面内的任意一点?1OP OA OB 2u u u r u u u r u u u r ＝＋． 3.平面上三点A B C 、、共线?O 为不同于A B C 、、的任意一点，OC OA OB λμu u u r u u u r u u u r ＝＋且1.λμ＋＝. 应用一：应用向量知识证明三点共线 例1：如图已知△ABC 两边AB AC 、的中点分别为M N 、，在BN 延长线上取点P ，使NP BN =，在CM 延长线上取点Q ，使MQ CM =. 求证：P A Q 、、三点共线11,22AN b AM a ==u u u r r u u u u r r 解：设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则， 由此可得12BN NP b a ==-u u u r u u u r r r ，12CM MQ a b ==-u u u u r u u u u r r r ， ,()PA AN NP PA b a a b ∴-=+=--=-u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r ， ,()AQ AM MQ AQ b a a b -=+=--=-u u u r u u u u r u u u u r u u u r r r r r ， 即PA PQ =u u u r u u u r ,故有//PA AQ u u u r u u u r ，且它们有公共点A ， 所以P A Q 、、三点共线. 应用二：应用向量知识解决有关平行的问题 例2、证明顺次连结四边形各中点所得四边形为平行四边形. 已知：如图，四边形ABCD E F G H AB BC CD DA ，、、、分别是、、、的中点. 求证：四边形EFGH 是平行四边形. 分析：要证平行四边形，只需证一组对边平行且相等，即它们所 对应的向量相等. 证明：连接AC,Q E F AB BC 、分别是、的中点， ∴11++22EF EB BF AB BC ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11+22AB BC AC =u u u r u u u r u u u r （）=, 同理12 HG AC =u u u r u u u r ∴EF HG =u u u r u u u r //.EF HG EF HG =则且 ∴四边形EFGH 是平形四边形.
平面向量在几何中的应用
1 / 1 §2. 5.1平面向量在几何中的应用 班级___________姓名____________学号____________得分____________ 一、选择题 1.如果△ABC 的顶点坐标分别是A (4,6),B(-2,1),C (4,-1),则重心的坐标是( ) A.(2,1) B.(2,2) C.(1,2) D.(2,4) 2.在菱形ABCD 中,下列关系中不正确的是( ) A.// B.)()(+⊥+ C.0)()(=-?- D.?=? 3.设O 是△ABC 所在平面内一点，且OB OC OC OA OA OB ?=?=?，则O 是△ABC 的 （ ） A ．垂心 B.重心 C.内心 D.外心 4.在四边形ABCD 中，=a +2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 5.设平面上四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（DB → ＋DC → －2DA → ）·（AB → －AC → ）=0．则ΔABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 . 二、填空题 7.已知AB =a -b,AC =2a-b,|a |=3,|b |=4, a 与b 的夹角为600,则△ABC 的三边的长分别是 ,,. 8.已知M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，若=a ,=b ,则=_______. 9.已知向量a =(x 1，y 1),b =(x 2，y 2),c =(x 3，y 3)，定义运算“*”的意义为a * b =(x 1y 2，x 2y 1).则下列命题：①.若a =(1,2),b =(3,4)，则a * b =(6，4)；②.a * b=b * a ；③. (a *b )*c=a *（b*c ）；④.（a +b ）*c =(a * c )+(b * c )中，正确的命题序号是____三、解答题 10.已知M 为△ABC 的边BC 的中点,求证:AB 2+AC 2=2(AM 2+BM 2). 11.证明三角形的三条中线交于一点. 12.在等腰△ABC 中,BD 、CE 是两腰上的中线，且BD ⊥CE ，求顶角A 的余弦值.
浅谈向量在中学几何中的应用
浅谈向量在中学几何中的应用 摘要：向量是新教材中的新增内容，以向量为载体的解中学几何问题是新课程高考中出现的新趋势，本文就有关向量在中学几何中的应用谈谈自己的看法。 关键词：向量；向量的模；向量的加法和减法；向量与解析几何；向量与立体几何 一.平面向量在解析几何中的应用 1.向量坐标与点的坐标 向量坐标与点的坐标是不同的，设()()11 2 2, ,,A x y B x y ，则 ()2121 ,A B x x y y =-- ，但当向量是以坐标原点为起点时，向量坐标就是点的坐标，即()1,1OA x y = . 例1（01天津）设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=?OB OA 解：设()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,OA x y = ，()22,OB x y = 22121212124y y OA OB x x y y y y ∴?=+=+ ，又抛物线2 2y x =的焦点为1,02F ?? ? ??， 设直线AB 方程为1 2x m y =+代入22y x =得2210y my --=， 121y y ∴=-，故13 144 O A O B ?=-=- 。 2.利用向量的数量积求夹角 由cos ,a b a b a b ?= 可知,向量的数量积在解决与长度、角度有关的问题时 非常有效. 例2．（04全国）给定抛物线C ：y 2 =4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于AB 两点，设l 的斜率为1，求O A 与OB 的夹角的大小； 解：抛物线的焦点为F （1，0），直线l 的斜率为1，所以l 的方程为1y x =- 将1y x =-，代入方程24y x =，并整理得 2610x x -+= 设()()1122,,,A x y B x y ，则有126x x +=，121x x = ()()()112,212121212,213OA OB x y x y x x y y x x x x ?=?=+=-++=- ||||OA OB === ∴( ) cos ,41O A O B O A O B O A O B ?==- ?
高中数学经典解题技巧和方法：平面向量
高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。 首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及基本概念 （1）了解向量的实际背景。 （2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。 （3）理解向量的几何意义。 2．向量的线性运算 （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。 （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。 （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。 3．平面向量的基本定理及坐标表示 （1）了解平面向量的基本定理及其意义。 （2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 （3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。 （4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 4．平面向量的数量积 （1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 （4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系。 5. 向量的应用 （1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。 （2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。 好了，搞清楚平面向量的上述内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的
平面向量系列之几何意义法
平面向量系列 几何意义法解题 一、 平面向量的几何意义 ? 平面向量既有坐标表示，也有几何表示（即有向线段表示），利用平面向量的几何意义解题，在解决某些数学问题时往往能起到避繁就简的效果。 ? 首指向尾首尾相连，?+ ? 指向被减向量共起点，?- ? b a b t a b t a ⊥?-=+|||| ? 即矩形形对角线相等的平行四边，?-=+|||| ? 即菱形 四边形对角线互相垂直的平行，?=-+0))(( 二、例题精析 例1、（2017，崂山区校级期末改编）已知,是非零向量，则下列条件中,夹角等于0 120的是（ ） A 、||||-=+ B 、 ||||||-== C 、||||||+== D 、 ||2||||=-=+ 【解析】：由题知b a ,是非零向量，则||||b a b a -=+表示对角线相等的平行四边形，即为矩形，故b a ,夹角为090；而|||||a |b a b -==表示b a ,所在的边与其中一条对角线长度相等，故构成的三角形为等边三角形，故b a ,夹角为060；|||||a |b a b +==表示b a ,所在的边与其中一条对角线长度相等，故构成的三角形为等边三角形，画出图形可知，b a ,夹角为060的补角，即为0120；||2||||a b a b a =-=+表示对角形相等的矩形，且对角线长度等于某一边长的2倍，b a ,夹角为090。故选C 。 例2、（2017，金台区期末改编）已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，满足 |,2|||-+=-则ABC ?一定是（ ） A 、等腰直角三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形 D 、等边三角形 【解析】：|,2|||-+=-||||||+=-+-=?，即对角线相等，对角线相等的平行四边形是矩形，所以ABC ?一定是直角三角形，选B 。
平面向量的几何意义及线性运算
龙文教育一对一个性化辅导教案
课前练习 如图所示为函数)2 , 0)(sin(2)(f π?π ω?ω≤≤>+=x x 的部分图像,A,B 两点之间的距离 为5,且f （1）=0，则f(-1)=( ) 函数)3 2sin(y π + =x 的图像经下列怎样的平移后所得的图像关于)0,12 - (π 中心对称( ) 要得到函数)4 2 ( cos y π- =x 的图像,只需将函数2 sin y x =的图像上所有点( ) 如图，小明利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） 知识点一：向量的几何表示 有向线段：带有方向的线段叫有向线段 有向线段三要素：起点、方向、长度
向量可以用有向线段表示，向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；零向量：长度为0的向量，记作0 单位向量：长度等于1个单位的向量 书写注意：如果是大写字母就写成“AB”,从头指向尾；如果是小写字母就只用一个字母“a”注意：向量是由方向有长度，必备两个条件，少一都不算是向量 例：下列关于向量的命题，正确的是（） 变：下列说法中，正确的个数有（） A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 知识点二：相等向量与共线向量的区别 相等向量：长度相等且方向相同的向量； 字母表示：a=b 平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行 共线向量：向量之间是平行的（斜率的绝对值相同），方向可以相同可以相反，长度可以相等也可以不等 说明： 1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ； 2）零向量与零向量相等； 3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关 ．．．．．．．．．．. 4）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； 5）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
平面向量的数量积及其几何意义
课型: 新授课 主备人:邱璐璐 审核人:许志强 审批:臧书华 一、学习目标： 1.预习平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。 2.了解向量的模、夹角等公式。 二、自学探究： 1.平面向量数量积的坐标运算 设两个非零向量 ,则a ·= 这就是说, 2.平面向量的夹角,模 (1)设a =(x,y),22y x +=,︱a ︱= (2)设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), a = = ; ︱a ︱= (3) 设a ,都是非零向量, a =(x 1,y 1), =(x 2,y 2), θ是两向量的夹角, 则cos θ = = 若a ⊥b 则cos θ = 设),(11y x a =，),(22y x =，则⊥ ? 三、预习自测: 1.已知a =(-3,4), b =(5,2),求︱a ︱,︱b ︱, a ·b
课型: 新授课 主备人: 邱璐璐 审核人:许志强 审批:臧书华 例1. 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC 的形状, 并给出证明. 变式:求与向量a b =(1, )的夹角相等 c 的坐标 例2.设a =(5,-7), b =(-6,-4),求a · 及a ,b 的夹角θ(精确到1°) 变式:已知三角形三顶点坐标为A(1,0),B(0,1),C(2,5) 求(1)2 AB →+ AC → 的模 (2) co s ∠BAC (3)试判断△ABC 的形状
课堂评价练习 1.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5), △ABC的形状是( ) A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等边三角形 2.已知a=(x,2), =(-3,5),且它们的夹角为钝角,则实数x的取值范围是( ) a=3,4垂直的单位向量是__________ 3.() 4.已知a=(1,2)b=(1,2),则︱a+b︱= 5. a=(4,-3), ︱b︱=1,a·b=5,则的坐标为 6.
《平面向量的加法及其几何意义》教学案例
《平面向量的加法及其几何意义》教学案例 《向量的加法运算及其几何意义》选自数学（基础模块）下册7.1.2节，内容包括向量加法的三角形法则、平行四边形法则及应用，向量加法的运算律及应用。本节课是学习平面向量基本概念之后的一节比较重要的课,通过类比数的运算，研究向量的运算及运算律，渗透数学建模的思想。向量的加法更是后续学习的铺垫,因为向量加法运算是平面向量的线性运算(向量加法、向量减法、向量数乘运算以及它们之间的混合运算) 中最基本、最重要的运算,减法运算、数乘向量运算都可以归结为加法运算。由以上分析，我得出这样的认识，本节课教学内容应该是关于向量的理论知识体系中，比较靠前的、起到承上启下作用的一个知识环节。 二、教学目标与重点、难点 根据以上对教材和教学对象的分析，我确定与之相适应的教学目标、重点和难点如下： 知识目标： ①理解向量加法的含义，学会用代数符号表示两个向量的和向量； ②掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，学会求作两个向量的和； ③掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算； 能力目标： ①观察能力：学会观察已知图形中的向量，判断哪些向量相等、相反、平行、共线， 哪些向量是已知向量的和向量等等； ②运算能力：学会将两个（或多个）向量合成为一个向量，或将一个向量拆分为两 个（或多个）向量； ③应用能力：学会将实际问题转化为数学问题，并能够运用向量知识解决； 情感目标： ①有意识地保护和调动好学生愿意学习数学的心情，营造学生喜欢学习数学的情绪 氛围，使其产生热爱数学学习的积极心理； ②努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动 学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态； ③通过例3实际应用问题的教学，使学生产生理论联系实际的价值取向和理论来源 于实践、服务于实践的认识观念； 教学重点：（1）求作两个向量和向量的法则；（2）向量加法的运算律； 教学难点：（1）理解向量加法的定义； （2）求向量和的三角形法则与平行四边形法则的区别和联系。 三、教法、学法分析 教法分析：本着“以学生为主体，以教师为主导，以问题解决为主线，以能力发展为目
平面向量在几何中的简单应用(含答案)
平面向量在几何中的简单应用 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知非零向量不共线，且，则向量等于( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量的减法及其几何意义 2.P是△ABC所在平面内一点，若，则P点一定在( ) A.△ABC内部 B.AC边所在直线上 C.AB边所在直线上 D.BC边所在直线上 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：向量的共线定理 3.如图，O为直线外一点，若中任意相邻两点的距离相等，设，用表示的结果为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量的平行四边形法则 4.设M，N是直线x+y-2=0上的两点，若M(1，1)，且，则的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：向量在几何中的应用 5.在直角坐标系中，分别是与x轴，y轴同向的单位向量，若直角三角形ABC中， ，则k的可能取值有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量在几何中的应用 6.在平面直角坐标系中，A(-2，0)，B(1，3)，O为坐标原点，且 ，N(1，0)，则的最小值是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：向量在几何中的应用 7.已知△ABC的三个顶点的坐标为A(0，1)，B(1，0)，C(0，-2)，O为坐标原点，动点M满足 ，则的最大值是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量在几何中的应用
《向量在几何中的应用技巧总结》
向量在几何中的应用技巧总结 解决立体几何问题“平移是手段，垂直是关键”，空间向量的方法是使用向量的代数方法去解决立体几何问题。两向量共线易解决平行，两向量的数量积则易解决垂直、两向量所成的角、线段的长度问题。合理地运用向量解决立体几何问题，在很大程度上避开了思维的高强度转换，避开了添加辅助线，代之以向量计算，使立体几何问题变得思路顺畅、运算简单。 1. 证平行、证垂直 具体方法利用共线向量基本定理证明向量平行，再证线线、线面平行是证明平行问题的常用手段，由共面向量基本定理先证直线的方向向量与平面内不共线的两向量共面，再证方向向量上存在一点不属于平面，从而得到线面平行。 证明线线、线面垂直则可通过向量垂直来实现。 例1 如图1，E、F分别为空间四边形ABCD中AB、CD的中点，证明AD、EF、BC平行于同一平面。 图1 证明： → + → + → = → DF AD EA EF，且 → + → + → = → CF BC EB EF 又 → - = → → - = → CF DF EB EA， 所以 → + → = → + → BC AD EF EF 即 → + → = → + → = → BC 2 1 AD 2 1 ) BC AD ( 2 1 EF 可知，→ EF与 → → BC AD、共面，所以EF与AD、BC平行于同一平面。
例2. 已知A （1，－2，11），B （4，2，3），C （6，－1，4），则ΔABC 是___________。 分析：=→AB （3，4，－8），=→AC （5，1，－7），=→BC （2，－3，1） 显见：0BC AC =→?→，故ΔABC 为直角三角形。 2. 求角、求距离 如果要想解决线面角、二面角以及距离问题就要增加平面法向量的知识。 定义：如果n ⊥α，那么向量n 就叫平面α的法向量。 求解方法：???=?=?0 b n 0a n （1）异面直线所成的角α，利用它们所对应的向量转化为向量的夹角θ问 题，但]0[πθ，∈，]20[πα，∈，所以| b ||a ||b a ||cos |cos ??==θα （2）直线与平面所成的角，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余 角（或补角的余角）。如图2：|n op cos |sin >→<=，θ。 图2 （3）求二面角，转化为两平面法向量的夹角或夹角的补角，显见上述求法都避开了找角的繁琐，直接计算就可以了。 求点面距离，转化为此点与面内一点连线对应向量在法向量上投影的绝对值。 例3. （2005年高考题）如图3，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于E ，F 为A 1B 1的中点。 （1）求异面直线AE 与BF 所成的角。
向量的几何意义
向量的几何意义 1．已知△ABC 是边长为1的正三角形，则AB 在BC 方向上的投影为( ) A ．2 1- B ．2 3- C ． 2 1 D ． 2 3 2、已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC → =0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 3．设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为（ ） A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．6 4．已知向量(1,1)m λ=+ ，(2,2)n λ=+ ，若()()m n m n +⊥- ，则λ=（ ） A ．-4 B ．-3 C ．-2 D ．-1 5．已知向量)1,2(),2,1(=-=x ，当a ∥b 时x 的值是 ( )A.3 B.4 C.5 D.6 6．已知ABC ?,点O H ,为ABC ?所在平面内的点，且?=?，?=?, OH OC OB OA =++, 则点O 为ABC ?的 ( )A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 7．如右图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD 等于( ) A ．1BC BA 2 + B ．1BC BA 2-- C ．1BC BA 2-+ D ．1BC BA 2- 8．已知向量a 表示“向东航行1km ”，向量b 表示“向南航行1km ”，则向量a b +表示( ) A. 向东南航行2km C. km D.向东北航行2km 9．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB = ,(1,3)AC = ，则BD 等于（ ） A ．(2,4)-- B ．(3,5)-- C ．(3,5) D ．(2,4) 10．a ，b 为平面向量，已知a =（4，3），2a +b =（3，18），则向量a ，b 夹角的余弦值等于（ ）. A ．865 B ．865- C ．1665 D ．16 65- 11．已知||＝2，||＝4，向量与的夹角为60°，当(＋3)⊥(k －)时，实数k 的值是 ( )A.1 4 B.34 C.13 4 D.13 2 12．如图，已知,,3AB a AC b BD DC === ，用,a b 表示AD ，则AD = （ ） A ．34a b + B ．1344a b + C ．1144a b + D ．3144 a b + 13． 已知点O 、A 、B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且
高中数学第二章平面向量223向量数乘运算及其几何意义课堂达标新人教A版必修4高中数学第二章平面向量223向量
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 1.已知非零向量a，b满足a=-2b，则①a+2b=0；②|a|=2|b|；③向量a，b的方向相同；④a∥b.其中正确的有( ) A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 【解析】选C.因为a=-2b，所以a，b共线且反向，且a+2b=0，|a|=2|b|，所以①②④正确，③错误. 2.在△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，若=a，=b，则等于( ) A.(a+b) B.(a-b) C.(b-a) D.-(a+b) 【解析】选C.==(-)=(b-a). 3.若|a|=5，b与a的方向相反，且|b|=7，则a= b. 【解析】因为|a|=5，|b|=7，所以|| || a b =. 又因为b与a的方向相反，所以a=-b. 答案：- 4.已知e1，e2是两个不共线的向量，而a=k2e1+e2与b=2e1+3e2是两个共线向量，则实数k= . 【解析】由题意得a=k2e1+e2=λ(2e1+3e2)，所以解得k=-2或k=. 答案：-2或 5.设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，=a，=b，=c，试用a，b，c表示向量. 【解析】如图，连接AM并延长交BC于D点. 因为△ABC的重心为M， 所以D是BC的中点，且AM=AD. 所以==(+) =(+)=(-)+(-)
=(b-a)+(c-b)=-a+b+c， 所以=+=a-a+b+c =a+b+c. 6.设a，b，c为非零向量，其中任意两个向量不共线.已知(a+b)∥c，(b+c)∥a，试判断b与a+c是否共线？证明你的结论. 【解题指南】首先引入实数λ，μ把共线向量用等式表示，然后用待定系数法确定λ，μ，确定a+c与b 是否共线. 【解析】b与a+c共线.证明如下： 因为(a+b)∥c，所以存在实数λ，使a+b=λc(c≠0). ① 因为(b+c)∥a，所以存在实数μ，使b+c=μa(a≠0). ② ①-②得a-c=λc-μa， 所以(1+μ)a=(1+λ)c. 又因为a与c不共线， 所以1+λ=1+μ=0， 所以λ=μ=-1， 所以a+b=-c，即a+c=-b， 所以b与a+c共线.
高中数学向量法在立体几何中的应用
向量法在立体几何中的应用 近几年的高考立体几何题，绝大部分都可以利用几何法和向量法去求解。在利用几何法求解时需要考生有较强的空间思维能力与逻辑推理能力，必须有较完整的“一作、二证、三计算”的步骤；而利用向量法来求解，仅需将空间问题转化成有关向量的运算问题来处理，即将几何问题转化为代数问题，简捷方便,不用作图而直接计算。下面就利用向量法解决立体几何中角的问题、距离的问题时得到的一些方法进行归类和梳理。 一、用向量法处理空间角问题 1、用向量求两条异面直线所成的角 求异面直线n m ,所成的角，我们只需要分别在直线n m ,上取定方向 向量,,b a 则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角或其补角（如图1所示） ，即= ><=,cos cos θ 。 【例题】如图2，底面ABCD 为直角梯形， 90=∠ABC ，⊥PB 面 ABCD ，22====CD BP BC BA ，E 为PD 的中点。求异面直线BD 与PA 所成角的大小 解：如图3建立空间直角坐标系xyz B -，则有 ()()()()0,2,0,2,0,0,0,1,2,0,0,0A P D B 得()()2,2,0,0,1,2-==PA BD ，设异面直线BD 与PA 所成角的大小为θ，则 ，1010852 ,cos cos =?= = ><=PA BD θ1010arccos =∴θ，即异面直线BD 与PA 所成角的大小为10 10 arccos 。 利用向量法求空间直线所成的角，可避免作辅助线及复杂严谨的论证等诸多麻烦。题中通过><,cos 值，求出两向量的夹角可能是钝角或直角或锐角，因异面直线所成的角的范围是 ?? ? ??2,0π，故加绝对值，便可直接求得所要求的角。 2、用向量求直线与平面所成的角 B C D P A B C D P A 图5
《空间向量在立体几何中的应用》教学设计
《空间向量在立体几何中的应用》教学设计 一.教学目标 （一）知识与技能 1.理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值； 2.理解并会用空间向量解决平行与垂直问题. （二）过程与方法 1.体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程； 2.体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程． （三）情感态度与价值观 1.通过理解并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值，用空间向量解决平行与垂直问题的过程，让学生体会几何问题代数化，领悟解析几何的思想； 2.培养学生向量的代数运算推理能力； 3.培养学生理解、运用知识的能力． 二.教学重、难点 重点：用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值及解决平行与垂直问题． 难点：用空间向量求二面角的余弦值． 三.教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法． 四.教学用具：电脑、投影仪． 五.教学设计 （一）新课导入 1.提问学生： （1）怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角？ （2）能否用代数运算来解决平行与垂直问题？ （二）新课学习 1.用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值. （1）设12,l l 是两条异面直线，,A B 是1l 上的任意两点，,C D 是直线2l 上的任意 两点，则12,l l . （2）设AB 是平面α的斜线，且,B BC α∈是斜线AB 在平面α内的射影，则 斜线AB 与平面α 设n 是平面α的法向量，AB 是 平面α的一条斜线，则AB 与平面α .
（3）设12,n n 是二面角l αβ--的面,αβ 的法向量，则就是二面角的 平面角或补角的余弦值. 例1：在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -中，EF 分别是'',BC A D 的中点， （1）求直线' AC DE 与所成角的余弦值. （2）求直线AD 与平面'B EDF 所成的角的余弦值 （3）求平面'B EDF 与平面ABCD 分析：启发学生找出三条两两垂直的直线AB,AD,AA ′，建立空间直角坐标系A-xyz ，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到所求的结果. 解：（1）如图建立坐标系，则'(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2 a A a C a a D a E a . ' (,,),(,,0)2 a AC a a a DE a ∴=-=-. '' '15 cos ,AC DE AC DE AC DE ?∴<>= = ?. 故' AC DE 与所成的角的余弦值为15 15. （2）,ADE ADF ∠=∠所以AD 在平面'B EDF 内的射影在EDF ∠的平分线上，又'B EDF 为菱形，'DB ∴为EDF ∠的平分线，故直线AD 与平面'B EDF 所成的角为'ADB ∠，建立如图所示坐标系，则'(0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a ， '(0,,0),(,,)DA a DB a a a ∴=-=-，'' ' 3 cos ,DA DB DA DB DA DB ?∴<>= = ?. 故AD 与平面'B EDF 所成角的余弦值为 3 3. x
《向量在几何中的应用》习题
《向量在几何中的应用》习题 一、选择题 1．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m)，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝ ( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10) 2．(2015·潍坊五校联考)已知向量a ＝(3，4)，b ＝(x ，－3)，c ＝(0，1)，若(a ＋b)·(b －c)＝0，则x ＝ ( ) A ．1或－4 B ．－1或4 C ．2或－3 D ．－2或3 3．(2014·济南针对性训练)已知平面向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，且(a －b)⊥a ，则a 与b 的夹角为 ( ) A.π 6 B.π 3 C.2π3 D. 5π6 4．(2015·浙江五校联考)已知|a|＝|b|＝|a －2b|＝1，则|a ＋2b|＝ ( ) A ．9 B ．3 C ．1 D ．2 5．(2014·南昌模拟)设a ，b 为平面向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC → ＝0，则有 ( ) A.AO →＝2OD → B.AO →＝OD → C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD → 7．平面上有四个互异点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC → )＝0，则△ABC 的形状是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．无法确定 8．已知两点A(1，0)，B(1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝5π 6，设OC →＝ －2OA →＋λOB → (λ∈R)，则λ等于 ( ) A ．－12 B.1 2 C ．－1 D ．1 9．(2014·大连二模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对应的三角形的边长，若
向量几何在游戏中的应用
向量几何在游戏编程中的使用(一) 来源：ChinaItLab作者：佚名时间：2007-5-10 <1>简单的2-D追踪-Twinsen编写 -本人水平有限，疏忽错误在所难免，还请各位数学高手、编程高手不吝赐教-我的Email-address：popyy@https://www.360docs.net/doc/0217336605.html, Andre Lamothe说：“向量几何是游戏程序员最好的朋友”。一点不假，向量几何在游戏编程中的地位不容忽视，因为在游戏程序员的眼中，显示屏幕就是一个坐标系，运动物体的轨迹就是物体在这个坐标系曲线运动结果，而描述这些曲线运动的，就是向量。使用向量可以很好的模拟物理现象以及基本的AI. 现在，先来点轻松的，复习一下中学知识。 向量v(用粗体字母表示向量)也叫矢量，是一个有大小有方向的量。长度为1的向量称为单位向量，也叫幺矢，这里记为E.长度为0的向量叫做零向量，记为0，零向量没有确定方向，换句话说，它的方向是任意的。 一、向量的基本运算 1、向量加法：a+b等于使b的始点与a的终点重合时，以a的始点为始点，以b的终点为终点的向量。 2、向量减法：a-b等于使b的始点与a的始点重合时，以b的终点为始
点，以a的终点为终点的向量。 3、数量乘向量：k*a，k>0时，等于a的长度扩大k倍；k=0时，等于0向量；k<0时，等于a的长度扩大|k|倍然后反向。 4、向量的内积(数量积、点积)： a.b=|a|*|b|*cosA 等于向量a的长度乘上b的长度再乘上a与b之间夹角的余弦。 它的几何意义就是a的长度与b在a上的投影长度的乘积，或者是b的长度与a在b上投影长的乘积，它是一个标量，而 且可正可负。因此互相垂直的向量的内积为0. 5、向量的矢积(叉积)： a x b = |a|*|b|*sinA*v = c， |a|是a的长度，|b|是b的长度，A是a和b之间的锐夹角，v是与a，b所决定的平面垂直的幺矢，即axb与a、b都垂直。a，b，c构成右手系，即右手拇指伸直，其余四指按由a到b的锐角蜷曲，此时拇指所指方向就是c的方向。因此axb！=bxa，bxa是手指朝b到a的锐角蜷曲时，拇指指向的方向，它和c相反，即-c.a x b的行列式计算公式在左右手坐标系下是不同的，如上图所示。两个向量的矢积是一个向量。 6、正交向量的内积：互相垂直的两个向量是正交的，正交向量的内积为零。a.b = |a|.|b|*cos(PI/2) = |a|.|b|*0 = 0. 二、向量的性质 没有下面的这些性质做基础，我们后面向量技巧的推导将无法进行。 1) a + b = b + a 2) (a + b) + c = a + (b + c) 3) a + 0 = 0 + a = a 4) a + (-a) = 0