向量在几何中的应用

唐山师范学院本科毕业论文

题目向量在解析几何中的应用

学生张红阳

指导教师孟令江副教授

年级10数本2班

专业数学与应用数学

系别数学与信息科学系

唐山师范学院数学与信息科学系

2014年5月

郑重声明

本人的毕业论文（设计）是在指导教师孟令江的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为,本人愿意承担由此产生的各种后果,直至法律责任,并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。

毕业论文（设计）作者（签名）：张红阳

2014 年 4 月 31 日

目录

标题 (1)

中文摘要 (1)

1引言 (1)

2 预备知识 (1)

2.1 向量的概念 (1)

2.2 向量的运算 (1)

2.2.1向量的加法 (1)

2.2.2向量的减法 (1)

2.2.3数量乘向量 (1)

2.2.4两向量的数量积 (1)

2.2.5两向量的向量积 (1)

2.2.6三向量的混合积 (2)

2.2.7法向量的有关概念 (2)

2.2.8线性相关定义 (2)

3 向量在立体几何中的应用 (2)

3.1向量在立体几何中的证明 (2)

3.1.1向量在立体几何中的简单证明 (2)

3.1.2证明两直线平行 (3)

3.1.3证明线面平行 (4)

3.1.4证明面面平行 (6)

3.1.5证明两直线垂直 (7)

3.1.6证明线面垂直 (8)

3.1.7证明面面垂直 (9)

3.2向量在几何中的计算 (10)

3.2.1距离 (10)

3.2.1.1两点间的距离 (10)

3.2.1.2点到直线的距离 (11)

3.2.1.3点面距离 (11)

3.2.1.4异面直线的距离 (12)

3.2.2夹角 (12)

3.2.2.1两异面直线的夹角 (12)

3.2.2.2线面角 (13)

3.2.2.3二面角 (14)

3.2.3求面积 (16)

3.2.4求体积 (17)

参考文献： (18)

致谢 (19)

外文页 (20)

向量在解析几何中的应用

张红阳

摘 要 本文研究向量在解析几何中的应用，其中有证明和计算。通过用空间向量解决立体几何中的这些问题，揭示了向量在向量在解析几何中的重要作用，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，，使解题变得简单化、程序化。

关键字 向量 立体几何 平行 垂直

1引言

向量是近代数学最重要和最基本的概念之一，是沟通代数、几何、三角等内容的桥梁。它具有丰富的实际背景和广泛的应用。特别对于它解决几何的有关问题时更能体现数学的简易美。向量的引入给数学的解题注入了新的活力，尤其是空间向量的引入对立体几何的解题可谓是革命性的。在空间直角坐标系中，立体几何里的线面平行、垂直论证、角度、距离的计算等问题的解决，都与向量有着密切的关系。

2 预备知识

2.1 向量的概念

定义1: 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量，简称矢。 定义2: 空间或平面的有向线段叫做矢量或向量。 2.2 向量的运算

2.2.1向量的加法

设已知向量a ,b ,空间任意一点O 为十点接连作向量=a ,=b ,得一折线的端点O ，到另一端点B 的向量OB =,叫做两向量与的和，记作=+。

2.2.2向量的减法

当向量b 与c 向量的和等于向量a ,即c =a -b ,由两向量a 与b 求它们的差a -b 的运算叫做向量减法。

2.2.3数量乘向量

实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λ，它的模是λ=λa λ的方向，当0>λ时与的方向相同,当0<λ时与的方向相反。我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘。

2.2.4两向量的数量积

两向量a 和b 的模和他们夹角的余弦的乘积叫做向量a 向量b 的数量积（也称内积），叫做?或，即

)

(,cos ∠=? 2.2.5 与的向量积（也称外积）是一个向量，记作?或者[]，它的模是

(

)

,sin ∠=?, 它的方向与和都垂直。

给定空间的三个向量，，，如果先作前两个向量与的向量积，再作所得的向量与第三个向量的数量积，最后得到的这个数叫做三向量，，的混合积，记作()??或()

,,或

()。

2.2.7法向量的有关概念

如果一个向量所在直线垂直于平面，则该向量是平面的一个法向量。 2.2.8线性相关定义

对于n （n ≥1）个向量1，2a , ,n a ,如果存在不全为0的n 个数1λ，2λ， ，n λ使得

1λ1+2λ2a + +n λn a =，

那么n 个向量1，2a , ,n a 叫做线性相关。

3 向量在立体几何中的应用

3.1向量在立体几何中的证明 3.1.1向量在立体几何中的简单证明

例1 设互不共线的三向量a ,b 与c ,试证明顺次将它们的始点与终点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零向量。

证明：必要性 设三个向量a ,b ,c 可以构成三角形ABC ，即有AB =a ，=b ,=c ,(下图)， 那么++=，即++=。

充分性 设++=0，作=，BC =，那么AC =+,所以AC +=0，从而是AC 的反向量，因此=CA ，所以，，可构成一个三角形ABC 。 例2 用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

证明：设四边形ABCD 的对角线AC ,BD 交于O 点且互相平分（下图），从图可以看出： =+=+=+=OC DO ,

因此，AB //且|AB |=||，即四边形ABCD 为平行四边形。

B

A

C

3.1.2证明两直线平行

两直线平行即两直线共线。两向量共线的充要条件是它们线性相关。

例3 设()3,2,1==i r OP i i ，试证321,,P P P 三点共线的充要条件是存在不全为零的实数321,,λλλ 使0,321332211=++=++λλλλλλ且r r r

.131331211221r - 设321,,P P P 三点共线，即3121,P P P P 共线，所以存在不全为零的数n m ,使 03121=+P P n P P m ,即0)()(1321=-+-r r n r r m 。由此得 )(321=+--r n r m r n m

因为n m ,不全为零，所以n m n m ,,--不全为零，且0)()()(=+-+-n m n m 令n m n m =-=-=321,,λλλ，且0321=++λλλ。 反过来，设有不全为零的数321,,λλλ，使 0,0321332211=++=++λλλλλλ且r r r 则)(321λλλ+-=

因为332211=++r r r λλλ， 即)(3322132=+++-r r r λλλλ 整理得)()(133122=-+-r r r r λλ

B

D

2

P 3P

1P

即313212=+P P P P λλ

因为321,,λλλ不全为零，所以32,λλ必不全为零。 所以321,,P P P 三点共线。

例4 已知直线⊥OA 平面α，直线⊥BD 平面α，B O 、为垂足，求证：BD OA //.

方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行.

证明：如上图，以点O 为原点，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，，，为沿 x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设}{111,,z y x =，{}2,0,0z =

∵α⊥BD ， ∴⊥⊥,

∴{}{}00,0,1,,1111==?=?x z y x ， {}{}00,1,0,,1111==?=?y z y x j BD ， ∴{}1,0,0z BD =

∴z 1=，又z 2=，且B O 、为两个不同的点， ∴OA BD //. 3.1.3证明线面平行

1、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），若

αλλ//2211a e e a ?+=。

2、已知面α外的直线a 的方向向量为，平面α的法向量是，则若α//0a ?=?。 例 5 如下图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,Q P 、分别是对角线

BF AC 、上的一点,且FQ AP =,求证BCE PQ 平面//.

思路：把,作为平面α的一组基底，将用,BE 线性表示。 证明：设λ=

，

∵FQ AP =，AC BF = ∴FB FQ λ=

，

法一： ∴++= FB BE AC λλ++-=

()()

+++--=λλ ()()AB BE BE AB BC +-+++-=λλ

BE BC )1(λλ-+-= BCE PQ 平面//∴

法二：以B 为原点，AC BA BE 、、所在直线分别为z y x 、、轴建立直角坐标系，设正方 形的边长为1,则()()()()0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,0λλλλ----Q P B A ，

BCE B

BE BC BCE BE BC BE AB BC AB 面且面⊥∴????

??

?

=??⊥⊥,, {}{},1,0,1,0,1,0--=-=λλPQ AB

()()()0100110=-?+?-+-?=?∴λλ PQ AB ⊥∴ 即BCE PQ 面//

3.1.4证明面面平行

（1）利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面判定定理即得； （2）求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行.

例6 在三棱柱111ABC A B C -中，

侧棱垂直于底面，在底面ABC 中ABC ∠=0

90,D 是BC 的中点，且1A B //面1AC D ，1D 为11B C 的中点，求证：面11A BD //面1AC D 证明：以B 点为原点，如图建立坐标系，设c BB b BC a AB ===1,2,，则

),,0(),,2,0(),,0,0(),,0,(),0,,0(),0,2,0(),0,0,0(),0,0,(1111c b D c b C c B c a A b D b C B a A

法一：{BD ,011= D AC BD DC BD 1111//,//面∴∴

??

??

???=??∴B B A BD BD A A BD D AC A D

AC BD 11111

11111,,////且面面面

D AC BD A 111//面面∴

法二： {}{}{},,,0,0,,,,2,11c b DC b a c b a AC =-=-= 设面D AC 1的法向量{}111,,z y x =，

???????=?=?=?∴00011DC m AC ，即 ??=+=++-=++-000021111111cz by by ax cz by ax ，解得????

?????=-=-=111111z z z b c y z a c x ，令11=z ，则

???

?

??--

=∴1,,b c a c 设面11BD A 的法向量{}222,,z y x n =，

{}{}{

}c b b a D A c a A ,,0,0,,,,0,1111=-=--= ???????=?=?=?∴0001

111BD D A n B A ，即 ??=+=++-=-+-00000222222cz by by ax cz ax ，解得????

?????

=-=-=222222z z z b c y z a c x ，令12=z ，则

?

?????

--

=∴1,,b c a c ，=， ∴面11A BD //面1AC D 3.1.5证明两直线垂直

不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为和，则有⊥?=?

例7 如图，已知四棱锥ABCD P -的底面为等腰梯形，CD AB //,BD AC ⊥，垂足为H ，

PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.证明：BC PE ⊥

证明：以H 为原点，HP HB HA ,, 分别为z y x ,,轴， 线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则()0,0,1A ，()0,1,0B ,

设)0,0)(,0,0(),0,0,(>

则)0,2,21(),0,,0(m

E m D . 可得}{}0,1,,,2,21{-=-=m n m

，

002

2=+-=

?m

m ， ∴BC PE ⊥. 3.1.6证明线面垂直

方法一：直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，则有αλ⊥??=l .

方法二：直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面”即可。 例8 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1BB 中点，O 是底面ABCD 中心， 求证：AC D OE 1面⊥.

证明：以E 为原点，以1DD DC AD 、、所在直线为z y x 、、轴，设正方体的棱长为2，则 ()()()()()0,1,1,1,2,2,2,0,0,0,2,0,0,0,21O E D C A ,所以

{}{}{}{}1,1,1,2,2,0,0,2,2,2,0,211=-=-=-=CD AD 设平面C AD 1的法向量为{}111,,z y x =，则

??

??

???=?=?=?0001

1CD n AD ，即???????=-=+-=+-0220220

22111111z y y x z x ，解得111z y x ==。

令a z y x ===111（a 为任意常数），所以{}{}1,1,1,,a a a a n == 即a =

也就证明了AC D OE 1面⊥

例9 长方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别是棱1CC BC 、上的点，CE AB CF 2==,

4:2:1::1=AA AD AB .证明ED A AF 1平面⊥.

证明：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设1=AB ,依题意得 )0,2

3

,1(),4,0,0(),1,2,1(),0,2,0(1E A F D 已知}{?

?????

-=??????-

-==0,21,1,4,23,1,1,2,11ED EA AF 于是0,01=?=?

因此E ED EA ED AF EA AF =?⊥⊥11,,又 所以ED A AF 1平面⊥ 3.1.7证明面面垂直

1、不重合的平面α与β的法向量分别为，，则有βα⊥

?=?0.

2、面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 例10 在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别是1BB ，CD 的中点， （1）求证：F D AD 1⊥；(2)证明平面⊥AED 平面F AD 1

分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，（1）中“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题.（2）中，找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的

向量）线性表示.

证明：建立空间直角坐标系如图，并设2=AB ，

则()0,0,0A ,()0,2,0D ,()2,0,01A ,()2,2,01D ,()1,0,2E ,()0,2,1=F . (1)}{0,2,0=, }{2,0,11-=D ,

∴0)2(012101=-?+?+?=?D ∴F D AD 1⊥

(2) }{1,0,2=AE ,}{2,0,11-=F D ，()020121=-++?=?F D AE

AE F D ⊥∴1

由（1）知F D AD 1⊥， 又A AE AD =?， AED F D 平面⊥∴1， M FD A F D 111平面? 11FD A AED 平面平面⊥∴ 3.2向量在几何中的计算 3.2.1距离

3.2.1.1两点间的距离

两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点()1111,,z y x P ，()2222,z y x P

，则两点间的距离

()()()212212212z z y y x x d -+-+-=

=

例1 在三棱锥ABC S -中，面⊥SAC 面ABC ，AC SA ⊥，AC BC ⊥

6=SA ,21=AC ,8=BC ，求SB 的长.

解：如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系，则 ()0,0,0A ,(

)

0,21,

8B ,()6,0,0S ，

所以()()

()110621

0802

2

2

=-+-+-=

=SB

3.2.1.2点到直线的距离

如图,求得向量在向量的射影长为d ,则点P 到直线AB 的距离等于

22

d AP -.

例2 设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，ABCD PA 平面⊥，1,4,3===PA BC AB 求点

P 到直线BD 的距离.

解：以A 为原点，AP AD AB 、、所在直线为z y x 、、轴，则 ()()()1,0,0,0,4,0,0,0,3P D B ,则{}{}0,4,3,1,0,3-=-=

则在上的射影长d =

,又10=.

所以点P 到直线BD 的距离 51359-102

=??

?

??==

d 。

3.2.1.3点面距离

任取一点α∈Q 得,是平面α

的法向量，则有：

点P 到平面α的距离d =

（向量在法向量的射影的长度）。

例3 求点()3,4,2-M 到平面0322:=++-z y x α的距离。 解：取平面α上一点()0,3,0Q ，则}{3,1,2

--=，

平面α的法向量}{2,1,2-=，

则点()3,4,2-M 到平面0322:=++-z y x α的距离

()()()()3

12122

311222

2

2=

+-+?-+-?-+?=

=

d 。 3.2.1.4异面直线的距离

知a ，b 是两异面直线，a 的方向向量为a ,b 的方向向量为b A a ∈，b B

∈，则两异面直线

的距离d =

。

例4 正方体1111D C B A ABCD -,棱长为1，求异面直线D A AC 1与的距离。

解：以1A 为原点，A A B A D A 11111、、为z y x 、、轴，则

()()()()1,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,01D C A A ,所以{}{}0,1,1,1,0,11==AC D A , 设AC 上有一点()1,,11y x M ，则()0,,11y x AM =，显然,//AM AC 即

1

111y x =，令21

1=x ，

则???

??=1,21,21M ,同理，求得A 1上一点??? ??=21,0,21N ，????

??

--=21,21,0，则

异面直线D A

AC 1与的距离3

3=

=

d 3.2.2夹角

3.2.2.1两异面直线的夹角

a ，

b 是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，a ，b 所成的角为θ，则有

(

)

=

∠=,cos cos θ.

例5 已知正四棱锥ABCD S -的侧棱与底面边长都相等,E 是SB 的中点，则SD AE ,所成角的余弦值是多少？

解：连接DE ，以D 为原点，DC DA 、所在直线为y x 、轴，以DC DA ?方向为y 轴，设正四棱 锥的棱长都是2，则

()()()2,1,1,0,0,0,22,23,23,0,0,2S D E A ???? ??,则{}

2,1,1,22,23,21=?

??

???-=

则3

1232

22

123121cos =??+?+?-=

=

θ .

3.2.2.2线面角

设平面α的斜线l 与面α所成的角为β，若,,l B A ∈m 是面α的法向量，则有

()

m AB ,cos sin ∠=β.

例6 如图，直三棱柱1111D C B A ABCD -中，底面是等腰直角三角形，

90=∠ACB ,侧棱21=AA ，E D 、分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ?的重心G .求B A 1与平面

ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）

； 解：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设a CA 2=，则

)0,0,2(a A ，)0,2,0(a B ，)1,0,0(D , )2,0,2(1a A ，)1,,(a a E ，)3

1

,32,32(a a G ， ∵?

??

???---

=32,3,3a a ，{}1,2,0a BD -=，032322=-=?a BD GE ，

∴1=a ，，{

}2,2,21-=BA ，?

?????-=31,34,32

为平面ABD

的法向量，且3

7,cos 1=

=

??BG BA . ∴ B A 1与平面ABD 所成角的余弦值是3

7. 3.2.2.3求二面角

方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向)，则

若二面角βα--l 是“锐角型”，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，

即|

|||cos 2121n n ?=θ.

若二面角βα--l 是“钝角型”，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即

|

|||cos 2121n n ?=θ.

方法二：如下图，在二面角的棱B A 、上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、

内求出与l 垂直的向量21n n 、，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即

|

|||cos 2121n n ?=

θ.

例7 在长方体1111D C B A ABCD -中，2,4,21===AA BC AB ,点Q 是BC 的中点，求此时二面角Q D A A --1的大小。

解：如图所示，建立空间直角坐标系xyz O -， 依题意：(),2,0,01A ()()0,4,0,0,2,2D Q {}{}0,2,2,2,2,21-=-=∴QD Q A ， 面D AA 1的法向量{}0,0,11=n ， 设面DQ A 1的法向量{}3212,,a a a n =，

则?????=+-=?=-+=?,

022,022*********a a QD n a a a A n ??

?==?,2,1312a a a a (}11122,,a a a n =∴， 令11=a ，则{}2,1,12=n ， ∴(

)

6

66

11,cos 21=

?=

=

∠n n ， 二面角的平面角为锐角，

∴二面角Q D A A --1的大小为6

6arccos

。 法二：过A 作D A 1的垂线，交D A 1于M ，过Q 作D A 1的垂线，交D A 1于N ,

O （

A 1

{}{}11111,,0,,,0z y z y D A ==，{}2,,0111-=z y A 则 .024,111=-∴⊥z y D A AM 5

8,54,//1111==∴z y A A ?

?????

=∴58,54,

0 同理，求得?

???

??=54,52,

0 (

)

6

6,cos =

=

∠, ∴二面角Q D A A --1的大小为6

6arccos 。 3.2.3求面积

由于平行四边形ABCD

面积S ?=，所以三角形的面积是平行四边形的面积的一半。

S ABC ?=

?2

1

特别地当C B A 、、三点均在Oxy 面上，且坐标为()0,,11y x A ，()0,,22y x B ，()0,,33y x C ，时1

11

2

33

2211

y x y x y x S ABC ε

=

?（ε=1或-1，保证面积取正值）。 例8 已知空间三点)5,2,3(),5,1,2(),3,2,1(--C B A , (1）试求ABC S ?.

(2）求三角形的AB 边上的高

解:(1)S ABC ?=

?2

1

}{}{8,0,2,2,3,1-=-=

k j i AC AB 612248

2

231

++=--=?

21661224222=++=

?，

213=∴?ABC S . (2)设AB 边上的高为CH ，

S ABC 21

=? ，

=

∴,

又()1423122

2=+-+=

,

6314

216==

.

3.2.4求体积

三个不共面向量c b a ,,的混合积的绝对值等于以c b a ,,为棱的平行六面体的体积，

()

V ,,=。四面体的体积等于以,,为棱的平行六面体体积的六分之一，即()

c b a V ,,6

1

=

。

例9 已知空间四点的坐标()()()()1,1,1,1,1,0,0,1,0,0,0,0D C B A 求四面体BCD A -的体积及A 到平面BCD 的距离。

解 ()()()()1,1,1,1,1,0,0,1,0,0,0,0D C B A

}{}{}{}}{{

1,0,1,1,0,0,1,1,1,1,1,0,0,1,0=====∴BD BC AD AC AB

j 01000++==?∴

，

1010222=++=

?

由初等几何知识，四面体BCD A -的体积V 等于以AD AC AB ,,为棱的平行六面体的体积的

6

1

,则