向量在几何中的应用
向量在几何中的应用
（一）教学目标
1.知识与技能：
运用向量的有关知识，解决平面几何中线段的平行、垂直、相等等问题。
2.过程与方法：
通过应用举例，让学生体会用平面向量解决平面几何问题的两种方法——向量法和坐标法。3.情感、态度与价值观：
通过本节的学习，让学生体验向量在解决平面几何问题中的工具作用，增强学生的探究意识，培养创新精神。
（二）教学重点、难点
重点：用向量知识解决平面几何问题。
难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题解决。
（三）教学方法
本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的运用。教学中，教师创设问题情景，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力。
（四）教学过程
向量在几何中的应用
唐山师范学院本科毕业论文 题目向量在解析几何中的应用 学生张红阳 指导教师孟令江副教授 年级10数本2班 专业数学与应用数学 系别数学与信息科学系 唐山师范学院数学与信息科学系 2014年5月
郑重声明 本人的毕业论文（设计）是在指导教师孟令江的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为,本人愿意承担由此产生的各种后果,直至法律责任,并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。 毕业论文（设计）作者（签名）：张红阳 2014 年 4 月 31 日
目录 标题 (1) 中文摘要 (1) 1引言 (1) 2 预备知识 (1) 2.1 向量的概念 (1) 2.2 向量的运算 (1) 2.2.1向量的加法 (1) 2.2.2向量的减法 (1) 2.2.3数量乘向量 (1) 2.2.4两向量的数量积 (1) 2.2.5两向量的向量积 (1) 2.2.6三向量的混合积 (2) 2.2.7法向量的有关概念 (2) 2.2.8线性相关定义 (2) 3 向量在立体几何中的应用 (2) 3.1向量在立体几何中的证明 (2) 3.1.1向量在立体几何中的简单证明 (2) 3.1.2证明两直线平行 (3) 3.1.3证明线面平行 (4) 3.1.4证明面面平行 (6) 3.1.5证明两直线垂直 (7) 3.1.6证明线面垂直 (8) 3.1.7证明面面垂直 (9) 3.2向量在几何中的计算 (10) 3.2.1距离 (10) 3.2.1.1两点间的距离 (10) 3.2.1.2点到直线的距离 (11) 3.2.1.3点面距离 (11) 3.2.1.4异面直线的距离 (12) 3.2.2夹角 (12) 3.2.2.1两异面直线的夹角 (12) 3.2.2.2线面角 (13) 3.2.2.3二面角 (14) 3.2.3求面积 (16) 3.2.4求体积 (17) 参考文献： (18) 致谢 (19) 外文页 (20)
最新复数的几何意义及应用
复数的几何意义及应 用
复数的几何意义及应用 一、教学目标： (一)知识与技能: 通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。 (二)过程与方法:1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力; 2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点； 3、提高知识之间的理解与综合运用能力。 (三)情感、态度、价值观:通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。 二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用 三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用 四、教学工具：计算机、投影仪 五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法 六、教学过程： (一)设置情境，问题引入 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈ R ），连结OZ ，则点Z ，?Skip Record If...? ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是?Skip Record If...?，则向量是?Skip Record If...?的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，|z|=?Skip Record If...?=| a+bi |=?Skip Record If...?（a ，b ∈R ）。 问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差?Skip Record If...?所对应的向量 就是连结?Skip Record If...?并且方向指向（被减数向量）的向量, ?Skip Record If...? (二)探索研究 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设?Skip Record If...?以?Skip Record If...?为圆心， ? Skip Record If...?为半径的圆上任意一点, 则?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 一一对应 向量 O Z
空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)
空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量： ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量． 由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量． 由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ?a ∥b ?a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b ＝0； ③l ∥α ?a ⊥u ?a ·u ＝0； ④l ⊥α ?a ∥u ?a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥?u ∥v ?u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ?u ⊥v ?u ·v ＝0． (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角． 设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2 π,0(∈θ则 ?= >
平面向量易错题解析汇报
平面向量易错题解析 1.你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？ 2.你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用2 2 ||→→ =a a ；22||y x a +=） 3.你知道解决向量问题有哪两种途径？ （①向量运算；②向量的坐标运算） 4.你弄清“02121=+?⊥→ → y y x x b a ”与“0//1221=-?→ → y x y x b a ”了吗？ [问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？ （1） 在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=?→ →b a ，不能推 出→ →=0b . （2） 已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有→ →→→→→=??=?c a c b b a . （3） 在实数中有)()(c b a c b a ??=??，但是在向量的数量积中)()(→ → → → → → ??≠??c b a c b a ，这是因为 左边是与→ c 共线的向量，而右边是与→ a 共线的向量. 5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？ 1.向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ±)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直 线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线? AB AC 、 共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。 如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若A B D C =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a bb c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，为基底，则平面内的任一向量a 可表示为 (),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在 原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
向量的减法及其几何意义
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 一、学习目标: 1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义； 2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题. 二、重难点 : 1. 重点：向量减法的三角形法则及其应用； 2. 难点：对向量的减法定义的理解. 三、知识回顾: 1、向量加法的法则： 。 2、向量加法的运算定律： 。 四、探究新知： 1.用“相反向量”定义向量的减法 （1）“相反向量”的定义： 。 (2) 规定：零向量的相反向量仍是 . --=a a （ ）. 任一向量与它的相反向量的和是 +- =0a a （） 如果a 、b 互为相反向量，则=-,=-,+0a b b a a b = （3）向量减法的定义： . 即： 求两个向量差的运算叫做向量的减法. (4).用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b x a +=,则x 叫做a 与b 的差，记作 。 2.向量的减法的三角形法则： 特点：共起点，连终点，方向指向被减向量. 五、典例分析：
例1、已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a b -、c d -. 练习：已知向量，求作向量。 例2.化简:(AB →－CD →)－(AC →－BD → )． ,a b a b -
练习：化简：(1)AB →－CB →－DC →＋DE →＋F A → ； 例3、平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，用a 、b 表示向量、. 变式一：当a ，b 满足什么条件时，+a b 与a b -垂直？ 变式二：当a ，b 满足什么条件时，|+a b | = |a b -|？ 变式三：+a b 与a b -可能是相等向量吗？
向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用 向量是形与数的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简洁与一身，向量的双重身份（既是几何对象又是代数运算对象）决定了向量在解决平面几何问题的重要作用.但是初步接触向量，好多学生还不习惯用向量解决几何中常见的判断几何图形形状，证明全等，直线平行、垂直，求线段的长度，夹角等问题.向量是连接代数与几何间的又一座桥梁，它几乎与中学阶段几何内容与部分代数内容都有联系. 利用向量解答平面几何问题的一般步骤是：1.将题设和结论中的有关元素转化为向量形式； 2.确定必要的基底向量，并用基地表示其他向量； 3.借助于向量的运算解决问题. 共线定理的作用：用向量共线定理可以证明几何中的直线平行、三点共线、三线共点问题．但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b a λr r ＝，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置． 相关结论： 1.平面上三点A B C 、、共线?AB BC λu u u r u u u r ＝.(向量共线且有公共点才能得出三点共线．) 2.点P 为线段AB 的中点，O 为平面内的任意一点?1OP OA OB 2u u u r u u u r u u u r ＝＋． 3.平面上三点A B C 、、共线?O 为不同于A B C 、、的任意一点，OC OA OB λμu u u r u u u r u u u r ＝＋且1.λμ＋＝. 应用一：应用向量知识证明三点共线 例1：如图已知△ABC 两边AB AC 、的中点分别为M N 、，在BN 延长线上取点P ，使NP BN =，在CM 延长线上取点Q ，使MQ CM =. 求证：P A Q 、、三点共线11,22AN b AM a ==u u u r r u u u u r r 解：设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则， 由此可得12BN NP b a ==-u u u r u u u r r r ，12CM MQ a b ==-u u u u r u u u u r r r ， ,()PA AN NP PA b a a b ∴-=+=--=-u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r ， ,()AQ AM MQ AQ b a a b -=+=--=-u u u r u u u u r u u u u r u u u r r r r r ， 即PA PQ =u u u r u u u r ,故有//PA AQ u u u r u u u r ，且它们有公共点A ， 所以P A Q 、、三点共线. 应用二：应用向量知识解决有关平行的问题 例2、证明顺次连结四边形各中点所得四边形为平行四边形. 已知：如图，四边形ABCD E F G H AB BC CD DA ，、、、分别是、、、的中点. 求证：四边形EFGH 是平行四边形. 分析：要证平行四边形，只需证一组对边平行且相等，即它们所 对应的向量相等. 证明：连接AC,Q E F AB BC 、分别是、的中点， ∴11++22EF EB BF AB BC ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11+22AB BC AC =u u u r u u u r u u u r （）=, 同理12 HG AC =u u u r u u u r ∴EF HG =u u u r u u u r //.EF HG EF HG =则且 ∴四边形EFGH 是平形四边形.
向量的加法及其几何意义
向量的加法及其几何意义 一、教材分析 高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。 二、学生学习情况分析 学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。 三、设计理念
教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。 四、教学目标 根据新课标的要求: 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。及本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点，我把本节课的教学目的确定为： 1、理解向量加法的意义，掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的运算律。 2、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。 3、培养类比、迁移、分类、归纳等能力。 4、进行辩证唯物主义思想教育，数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。
平面向量在几何中的应用
1 / 1 §2. 5.1平面向量在几何中的应用 班级___________姓名____________学号____________得分____________ 一、选择题 1.如果△ABC 的顶点坐标分别是A (4,6),B(-2,1),C (4,-1),则重心的坐标是( ) A.(2,1) B.(2,2) C.(1,2) D.(2,4) 2.在菱形ABCD 中,下列关系中不正确的是( ) A.// B.)()(+⊥+ C.0)()(=-?- D.?=? 3.设O 是△ABC 所在平面内一点，且OB OC OC OA OA OB ?=?=?，则O 是△ABC 的 （ ） A ．垂心 B.重心 C.内心 D.外心 4.在四边形ABCD 中，=a +2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 5.设平面上四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（DB → ＋DC → －2DA → ）·（AB → －AC → ）=0．则ΔABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 . 二、填空题 7.已知AB =a -b,AC =2a-b,|a |=3,|b |=4, a 与b 的夹角为600,则△ABC 的三边的长分别是 ,,. 8.已知M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，若=a ,=b ,则=_______. 9.已知向量a =(x 1，y 1),b =(x 2，y 2),c =(x 3，y 3)，定义运算“*”的意义为a * b =(x 1y 2，x 2y 1).则下列命题：①.若a =(1,2),b =(3,4)，则a * b =(6，4)；②.a * b=b * a ；③. (a *b )*c=a *（b*c ）；④.（a +b ）*c =(a * c )+(b * c )中，正确的命题序号是____三、解答题 10.已知M 为△ABC 的边BC 的中点,求证:AB 2+AC 2=2(AM 2+BM 2). 11.证明三角形的三条中线交于一点. 12.在等腰△ABC 中,BD 、CE 是两腰上的中线，且BD ⊥CE ，求顶角A 的余弦值.
复数的几何意义及应用
复数的几何意义及应用 一、教学目标： (一)知识与技能: 通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。 (二)过程与方法:1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力; 2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点； 3、提高知识之间的理解与综合运用能力。 (三)情感、态度、价值观:通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。 二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用 三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用 四、教学工具：计算机、投影仪 五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法 六、教学过程： (一)设置情境，问题引入 问题1：复数z 的几何意义？设复平面内点Z 表示复数z= a+bi （a ，b ∈R ），连结OZ ，则点Z ，OZ ，复数z= a+bi （a ，b ∈R ）之间具有一一对应关系。 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 复数z=a+bi 问题2：∣z ∣的几何意义？若复数z= a+bi （a ，b ∈R ）对应的向量是OZ ，则向量是OZ 的模叫做复数z= a+bi （a ，b ∈R ）的模，=| a+bi |=22b a +（a ，b ∈R ）。 问题3：∣z 1-z 2∣的几何意义？两个复数的差z z z =-21所对应的向量就是连结21Z Z 并且方向指向（被减数向量）的向量, 2 2122121)()(y y x x z z d -+-==-=一一对应 向量 O Z
(二)探索研究 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 以),(000y x Z 为圆心， )0(>r r 为半径的圆上任意一点, 则r ZZ =0 )0(>r （1）该圆向量形式的方程是什么)0(>=r r （2）该圆复数形式的方程是什么? r z z =-0 )0(>r （3）该圆代数形式的方程是什么? )0()()(22020>=-+-r r y y x x 2．椭圆的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的和等于常数(大于21Z Z )的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为长轴长的椭圆的上任意一点, 则a ZZ ZZ 221=+ )2(21Z Z a > （1）该椭圆向量形式的方程是什么a 2=+ )2(21Z Z a > （2）该椭圆复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a > 变式:以),(211y x Z ),(222y x Z 为端点的线段 （1）向量形式的方程是什么a 2=+ )2(21Z Z a = （2）复数形式的方程是什么? a z z z z 221=-+- )2(21Z Z a = 3．双曲线的定义:平面内与两定点Z 1，Z 2的距离的差的绝对值等于 常数(小于21Z Z ) 的点的集合(轨迹) 设),(y x Z 是以),(211y x Z ),(222y x Z 为焦点，2a 为实轴长的双曲线的上 任意一点,
浅谈向量在中学几何中的应用
浅谈向量在中学几何中的应用 摘要：向量是新教材中的新增内容，以向量为载体的解中学几何问题是新课程高考中出现的新趋势，本文就有关向量在中学几何中的应用谈谈自己的看法。 关键词：向量；向量的模；向量的加法和减法；向量与解析几何；向量与立体几何 一.平面向量在解析几何中的应用 1.向量坐标与点的坐标 向量坐标与点的坐标是不同的，设()()11 2 2, ,,A x y B x y ，则 ()2121 ,A B x x y y =-- ，但当向量是以坐标原点为起点时，向量坐标就是点的坐标，即()1,1OA x y = . 例1（01天津）设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=?OB OA 解：设()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,OA x y = ，()22,OB x y = 22121212124y y OA OB x x y y y y ∴?=+=+ ，又抛物线2 2y x =的焦点为1,02F ?? ? ??， 设直线AB 方程为1 2x m y =+代入22y x =得2210y my --=， 121y y ∴=-，故13 144 O A O B ?=-=- 。 2.利用向量的数量积求夹角 由cos ,a b a b a b ?= 可知,向量的数量积在解决与长度、角度有关的问题时 非常有效. 例2．（04全国）给定抛物线C ：y 2 =4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于AB 两点，设l 的斜率为1，求O A 与OB 的夹角的大小； 解：抛物线的焦点为F （1，0），直线l 的斜率为1，所以l 的方程为1y x =- 将1y x =-，代入方程24y x =，并整理得 2610x x -+= 设()()1122,,,A x y B x y ，则有126x x +=，121x x = ()()()112,212121212,213OA OB x y x y x x y y x x x x ?=?=+=-++=- ||||OA OB === ∴( ) cos ,41O A O B O A O B O A O B ?==- ?
高中数学经典解题技巧和方法：平面向量
高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。 首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及基本概念 （1）了解向量的实际背景。 （2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。 （3）理解向量的几何意义。 2．向量的线性运算 （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。 （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。 （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。 3．平面向量的基本定理及坐标表示 （1）了解平面向量的基本定理及其意义。 （2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 （3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。 （4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 4．平面向量的数量积 （1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 （4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系。 5. 向量的应用 （1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。 （2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。 好了，搞清楚平面向量的上述内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的
向量的加减法运算及其几何意义
课题 向量的加减法运算及其几何意义 知识点一：向量的基本概念： （一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 （二）探究学习 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行， 要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a
平面向量系列之几何意义法
平面向量系列 几何意义法解题 一、 平面向量的几何意义 ? 平面向量既有坐标表示，也有几何表示（即有向线段表示），利用平面向量的几何意义解题，在解决某些数学问题时往往能起到避繁就简的效果。 ? 首指向尾首尾相连，?+ ? 指向被减向量共起点，?- ? b a b t a b t a ⊥?-=+|||| ? 即矩形形对角线相等的平行四边，?-=+|||| ? 即菱形 四边形对角线互相垂直的平行，?=-+0))(( 二、例题精析 例1、（2017，崂山区校级期末改编）已知,是非零向量，则下列条件中,夹角等于0 120的是（ ） A 、||||-=+ B 、 ||||||-== C 、||||||+== D 、 ||2||||=-=+ 【解析】：由题知b a ,是非零向量，则||||b a b a -=+表示对角线相等的平行四边形，即为矩形，故b a ,夹角为090；而|||||a |b a b -==表示b a ,所在的边与其中一条对角线长度相等，故构成的三角形为等边三角形，故b a ,夹角为060；|||||a |b a b +==表示b a ,所在的边与其中一条对角线长度相等，故构成的三角形为等边三角形，画出图形可知，b a ,夹角为060的补角，即为0120；||2||||a b a b a =-=+表示对角形相等的矩形，且对角线长度等于某一边长的2倍，b a ,夹角为090。故选C 。 例2、（2017，金台区期末改编）已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，满足 |,2|||-+=-则ABC ?一定是（ ） A 、等腰直角三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形 D 、等边三角形 【解析】：|,2|||-+=-||||||+=-+-=?，即对角线相等，对角线相等的平行四边形是矩形，所以ABC ?一定是直角三角形，选B 。
向量的加法及其几何意义.doc
向量的加法及其几何意义 高一数学备课组 —、教材分析 《普高中课程标准数学教科书数学（必修（4））》（人教（版））。第二章 2. 2 平面向量的线性运算的第一节“向量的加法及其儿何意义” （89-94页）。《向量》这一章是前一轮教材中新增的内容。高考考纲有明确说明，同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2. 1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算, 是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。 二、学生学习情况分析 学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。 三、设计理念 教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段，调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。 教学目标 根据新课标的要求：培养数学的应用意识是半今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。及本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点，我把本节课的教学目的确定为： 1、理解向量加法的意义，掌握向量加法的儿何表示法，理解向量加法的运算律。 2、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。 3、培养类比、迁移、分类、归纳等能力。
《向量加法运算及其几何意义》教学设计
《向量加法运算及其几何意义》教学设计 一、教材分析 《普高中课程标准数学教科书数学（必修（4））》(人教（版）)。第二章2．2平面向量的线性运算的第一节“向量加法运算及其几何意义”（89--94页）。《向量》这一章是前一轮教材中新增的内容。高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。 二、学生学习情况分析 学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。 三、设计理念 教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。 四、教学目标
复数的几何意义及应用.
复数的几何意义及应用 、教学目标: (一) 知识与技能： 通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。 (二) 过程与方法：1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力 2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点； 3、提高知识之间的理解与综合运用能力。 (三) 情感、态度、价值观：通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学, 对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。 二、教学重点 三、教学难点 四、教学工具复平面内两点间距离公式的应用复平面内两点间距离公式的应用计算机、投影仪 探究式教学法、问题解决教学法 (一) 设置情境，问题引入 问题1:复数z的几何意义？设复平面内点Z表示复数z= a+bi (a, b € R),连结OZ,则 点Z , OZ ，复数z= a+bi (a, b€ R)之间具有一一对应关系。 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应一一对应 一一对应 复数z=a+bi ?向量OZ 问题2: I z I的几何意义？若复数z= a+bi (a, b € R)对应的向量是OZ ,则向量是OZ 的模叫做复数z= a+bi (a, b€ R)的模，|z|= 0Z =| a+bi |=J a2b2(a, b€ R)。 问题3：I Z1-Z2 I的几何意义？两个复数的差z1z2z所对应的向量就是连结ZZ2并 且方向指向(被减数向量)的向量，
d z i Z2 Z2Z1 v'(x i X2)2 (y i y2)2 （二）探索研究根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程： 1圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹） 设Z（x, y）以Z0（x0,y0）为圆心，r（r 0）为半径的圆上任意一点， 则ZZ0 r （r 0） （1）该圆向量形式的方程是什么？玄r（r 0） （2）该圆复数形式的方程是什么？z z0 r （r 0） （3）该圆代数形式的方程是什么？（x x0）2（y y0）2 r2（r 0） 2. 椭圆的定义:平面内与两定点Z l, Z2的距离的和等于常数（大于乙Z2 ）的点的集合（轨迹）设Z（x, y）是以Z i（x i，y2） Z2&2,曲为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任意一点， 则ZZ, ZZ2 2a （2a 乙Z2） （1）该椭圆向量形式的方程是什么？|ZZ2 2a （2a 乙Z2） （2）该椭圆复数形式的方程是什么？z z, z z22a （2a 乙Z2） 变式:以乙（x,, y2）Z2（X2,y2）为端点的线段 （1）向量形式的方程是什么？|ZZ」|ZZ2| 2a （2a Z,Z2） （2）复数形式的方程是什么？z z, z z2 2a （2a Z,Z2） 3. 双曲线的定义：平面内与两定点Z1, Z2的距离的差的绝对值等于 常数（小于乙Z2）的点的集合（轨迹） 设Z（x, y）是以Z i（x i，y2）Z2&2, g为焦点，2a为实轴长的双曲线的上 任意一点，
向量加法运算及其几何意义(教学设计)(精选、)
2．2．1向量加法运算及其几何意义（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量； 2．能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行计算； 二、过程与方法： 1．经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程； 2．体会数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． [教学重点] 向量加法定义的理解；向量加法的运算律． [教学难点] 向量加法的意义 一、复习回顾，新课导入 1．物理学中，两次位移, OA AB的结果与位移OB是相同的。 2．物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合力如何求得？ 3．引入：两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出，本节将研究向量的加法。 二、师生互动，新课讲解 1．已知向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB BC AC += 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求作两个向量的方法叫做三角形法则，简记“首尾相连，首是首，尾是尾”。 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OABC，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量与任一向量a，规定a+0=0+a=a 例1（课本P81例1）已知向量a,b，用两种方法（三角形和平行四边形法则）求作向量a+b。 作法一：在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则OB=a+b. 作法二：在平面内任取一点O，做OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作OBCA，则OC=a+b。 变式训练1：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？ 2．归纳： 1.两个向量的和仍是一个向量。 2.当a,b不共线时，a+b的方向与a、b都不同向，且|a+b|<|a|+|b|. 3.当a与b共线时， (1)若a与b同向，则a+b的方向与a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|. (2)若a与b反向，当|a|>|b|时，a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；当|a|<|b|时，a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|. 3. 向量加法的运算律 探究：数的加法满足交换律与结合律，即对任意a,b∈R，有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)，任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律？ 要求学生画图进行探索. （1）如图作ABCD，使AB=a，AD=b，则BC=b，DC=a，
高中数学人教版必修4平面向量向量的加法及其几何意义教学设计
高中数学人教版必修4平面向量向量的加法及其几何 意义教学设计 15、向量的加法及其几何意义 一、教材分析 《普高中课程标准数学教科书数学（必修（4））》(人教（版）)。第二章2．2平面向量的线性运算的第一节“向量的加法及其几何意义”（89--94页）。《向量》这一章是前一轮教材中新增的内容。高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。 二、学生学习情况分析 学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。 三、设计理念 教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使