平面向量数量积的坐标表示模夹角

§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

教材分析

本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段．它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一．

课时分配

本节内容用1课时的时间完成.

课题：§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

教学目标

重点：平面向量数量积的坐标表示.

难点：向量数量积的坐标表示的应用.

知识点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．

能力点：通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法. 教育点：经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神.

自主探究点：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

考试点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．

易错易混点：若非零向量与的夹角为锐角（钝角），则0(<0)>?a b ，反之不成立.

拓展点：1221//0x y x y ?-=a b 与12120x x y y ⊥?+=a b ．

教具准备：多媒体和实物展台

课堂模式

一、引入新课

复习 1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量与，作OA =a ，OB =b ，则(0π)AOB θθ∠=≤≤叫与的夹角.

2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量

cos θa b 叫与的数量积，记作?a b ，即有?a b =cos θa b ，(0π)θ≤≤．并规定0与任何向量的数量积为0．

平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变．向量的坐标表示，对向量的加、减、数乘运算带来了很大的方便．若已知向量与的坐标，则其数量积是唯一确定的，因此，如何用坐标表示向量的数量积就成为我们需要研究的课题．

【设计意图】回顾两个非零向量夹角的概念及平面向量数量积的意义，为探究数量积的坐标表示做好准备．创设情境激发学生的学习兴趣．

二、探究新知

1．探究一：已知两个非零向量

()()1122,,,x y x y =a =b ,怎样用与的坐标表示数量积?a b 呢？ 因为()()1122x y x y ?++a b =i j i j 22

12122112x x x y x y y y =+?+?+i i j i j j 又1?=i i ，1?=j j ，0?=?=i j j i ，所以?a b 2121y y x x +=．

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．即?a b 2121y y x x +=．

【设计意图】问题引领，培养学生的探索研究能力

2.．探究二：探索发现向量的模的坐标表达式

若

(),x y a =，如何计算向量的模a 呢？

若

(

1,A x )2y ，如何计算向量AB 的模即、两点间的距离呢？ AB AB ==

【设计意图】在向量数量积的坐标表示基础上，探索发现向量的模

3.探究三：向量夹角、垂直、平行的坐标表示

设与都是非零向量，

()()1122,,,x y x y =a =b ,如何判定⊥a b 或计算与的夹角a,b 呢？

（1）、向量夹角的坐标表示 cos θ=

（2）、1212=00x x y y ⊥??+=a b a b

（3）、

1221//0x y x y ?-=a b 【设计意图】在向量数量积的坐标表示基础上两向量垂直，两向量夹角的坐标表达式，提醒学生⊥a b 与//a b 坐标表达式的不同．

三、理解新知

1、向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有：

(1)求两点间的距离(求向量的模)；

(2)求两向量的夹角；

(3)证明两向量垂直．

2、已知非零向量

()()1122,,,x y x y =a =b ， 若1221//0

x y x y ?-=a b ； 1212=00x x y y ⊥??+=a b a b

两个命题不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．

【设计意图】让学生学会怎样学习概念；培养学生透过现象看本质的能力，使学生养成细致、全面地考虑问题的思维品质．

四、运用新知

例1、已知向量与同向，

()1,2=b ，10?a b =，求： (1)向量的坐标；(2)若

()2,1-c =，求()a c b ． 解：(1)∵与同向，且

()1,2=b ， ∴(),2(0).

λλλλ>a =b = 又∵10?a b =，∴410λλ+=，∴2λ=，∴()2,4.a =

(2)∵22(1)40??+-?=a c =，∴()0=a c b b =0．

【变式】已知()4,3=-a ，1=b ，且5?a b =，求向量的坐标．

=a

解： 设(),x y =b ，则221435x y x y ?+=?-=? 解得4535x y ?=????=-??∴43,55-??= ???b ． 【设计意图】熟练应用向量数量积的坐标公式．

例2、已知向量()4,3=a ，()1,2=-b ．

(1)求与的夹角的余弦值；

(2)若向量λ-a b 与+2a b 垂直，求的值．

解：

(1)5==a

，==b

14322?-?+?=a b =，

∴

cos θ=

==a b a b (2)．()()()

4,3,24,32λλλλλ---=+-a b = ()()()

8,61,27,8++-=2a b =． 若λ-a b ⊥+2a b ，

则7(4)8(32)0λλ++-=，解得529λ=．

【设计意图】熟练应用向量的夹角公式．

例3.已知()1,2=a ，()1,λ=b ，分别确定实数的取值范围，使得：

(1)与的夹角为直角；

(2)与的夹角为钝角；

(3)与的夹角为锐角．

解：

设与的夹角为，==a

，==b ， ()1,2(1,)12λλ

?=+a b = (1)因为与的夹角为直角，

所以0?a b =，所以120λ+=，所以12λ=-．

(2)因为与的夹角为钝角，所以cos 0θ<且cos 1θ≠-，

即0?a b <且与不反向．

由0?a b <得120λ+<，故12λ<-，

由与共线得2λ=，故与不可能反向． 所以的取值范围为

1,2??-∞- ???． (3)因为与的夹角为锐角，所以cos 0θ>且cos 1θ≠，

即0?a b >且与不同向．

由0?a b >，得12λ>-，由与同向得2λ=．

所以λ的取值范围为()1,22,2??-+∞ ???

． 【设计意图】熟练应用向量的夹角公式，由于两个非零向量与的夹角满足(0π)θ≤≤，所以用cos θ=

a b

a b 来判断，可将分五种情况：cos 1,0θθ==?；cos 0,90θθ==?；cos 1,180θθ=-=?；

cos 0θ<且cos 1θ≠-，为钝角；cos 0θ>且cos 1θ≠，为锐角．

五、课堂小结

1．向量夹角的坐标表示

cos θ=

2.1221//0x y x y ?-=a b 与12120x x y y ⊥?+=a b ；

3．若非零向量与的夹角为锐角（钝角），则0(<0)>?a b ，反之不成立；

4．已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质，可以求其数量积、两向量的长度和它们的夹角，此外，求解数量积的有关综合问题，应该注意函数思想与方程思想的运用．

【设计意图】培养学生归纳整合知识能力，培养学生思维的灵活性与严谨性．

六、布置作业

1.阅读课本106107P

-

2.必做题课本A 组第9、10、11题

【设计意图】学生养成先复习后做作业的学习习惯． 七、教后反思

1．结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线的原则，为此，我通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，鼓励学生自主探索，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题．在教学中，我适时的对学生学习过程给予评价，适当的评价，可以培养学生的自信心，合作交流的意识，更进一步地激发了学生的学习兴趣，让他们体验成功的喜悦．

2．利用多媒体辅助教学，可以加大一堂课的信息容量，极大提高学生的学习兴趣．