数量积的坐标模、夹角练习题一

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

学习目标

1. 熟练掌握向量垂直的两种形式的等价条件

2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.

重点

1. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法及其变式（夹角公式）；

2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.

难点

1. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法及其变式（夹角公式）；

2、熟练掌握向量垂直的两种形式的等价条件；

1、向量数量积的运算率：

⑴向量数量积的交换律： . ⑵()a b λ?＝＝ . ⑶向量的数量积的分配律： ()a b c +?= . ⑷()2a b +＝ . ()()a b a b +?-= .

二、新课导学

探究1：平面向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，怎样用a 与b 的坐标表示a b ?呢？

思考1：设i 、j 是分别与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若两个非零向量a ＝(11,y x ), b ＝(22,y x )，则向量a 与b 用i 、j 分别如何表示？

思考2：对于上述向量i 、j ，则i 2 = ，j 2 = ，i ·j = 根据数量积的运算性质，a b ? =

新知1：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即1212a b x x y y ?=+. 探究1：由平面向量数量积的坐标表示可以得到哪些结论呢？

思考1：设向量a ＝(y x ,)，利用数量积的坐标表示，︱a ︱=

思考2：如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(11,y x ), (22,y x )，那么向量a 的坐标如何表示？︱a

︱= 思考3：设向量a ＝(11,y x ), b ＝(22,y x )，若a ⊥b ，则11,y x ，22,y x 之间的关系如何？

反之成立吗？

思考4：设a 、b 是两个非零向量，其夹角为θ，若a ＝(11,y x ), b ＝(22,y x )，那么

cos θ如何用坐标表示？

新知2：⑴若(),a x y =，则222a x y =+，或22a x y =+.

⑵若()11,A x y ，()22,B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，则()()222121AB x x y y =

-+-. ⑶若()()1122,,,a x y b x y ==，则12120a b x x y y ⊥?+=.

⑷两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==θ是a 与b 的夹角，

则1212

2221122cos x x y y a b

a b x y x y θ+?==+?+

三、典型例题例1、（1）已知()()3,4,5,2a b =-=，求,a b ，a b ?及,a b 之间夹角θ余弦值.

（2）已知()()()2,3,2,4,1,2a b c ==-=--，求a b ?，()()a b a b +?-，()a b c ?+，2()a b + 例2、在△ABC 中，AB =(1, 1)，AC =(2, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值。小结：向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一. 例3、已知()3,2a =--，()4,b k =-，若()()5355a b b a -?-=-，试求k 的值.

五、当堂检测

1. 已知()3,4a =-，()5,2b =，则a b ?等于（）

A.23

B.7

C.23-

D.7- 2. 若()3,4a =-，()5,12b =，则a 与b 夹角的余弦为（） A.6365 B.3365 C.3365- D.6365

- 3. 若()4,3a =-，()5,6b =，则234a a b -?等于（）

A.23

B.57

C.63

D.83

4. ()2,3a =，()2,4b =-，则()()a b a b +?-= .

5. 已知向量()1,2OA =-，()3,OB m =，若OA AB ⊥，则m = .

六、课后作业

《成才之路》

平面向量数量积的坐标表示模夹角

§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教材分析本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段．它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一．课时分配本节内容用1课时的时间完成. 课题：§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目标重点：平面向量数量积的坐标表示. 难点：向量数量积的坐标表示的应用. 知识点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．能力点：通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法. 教育点：经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神. 自主探究点：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 考试点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．易错易混点：若非零向量与的夹角为锐角（钝角），则0(<0)>?a b ，反之不成立. 拓展点：1221//0x y x y ?-=a b 与12120x x y y ⊥?+=a b ．教具准备：多媒体和实物展台课堂模式一、引入新课复习 1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作OA =a ，OB =b ，则(0π)AOB θθ∠=≤≤叫与的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量 cos θa b 叫与的数量积，记作?a b ，即有?a b =cos θa b ，(0π)θ≤≤．并规定0与任何向量的数量积为0．平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变．向量的坐标表示，对向量的加、减、数乘运算带来了很大的方便．若已知向量与的坐标，则其数量积是唯一确定的，因此，如何用坐标表示向量的数量积就成为我们需要研究的课题．【设计意图】回顾两个非零向量夹角的概念及平面向量数量积的意义，为探究数量积的坐标表示做好准备．创设情境激发学生的学习兴趣．二、探究新知 1．探究一：已知两个非零向量 ()()1122,,,x y x y =a =b ,怎样用与的坐标表示数量积?a b 呢？因为()()1122x y x y ?++a b =i j i j 22 12122112x x x y x y y y =+?+?+i i j i j j 又1?=i i ，1?=j j ，0?=?=i j j i ，所以?a b 2121y y x x +=．这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．即?a b 2121y y x x +=．【设计意图】问题引领，培养学生的探索研究能力 2.．探究二：探索发现向量的模的坐标表达式

高中数学4.5.3利用坐标计算数量积同步练习湘教版2

高中数学 4.5.3 利用坐标计算数量积同步练习湘教版必修2 1．已知a＝(3,4)，b＝(－2，－1)，则 (a－b)·(a＋2b)等于( ) A．5 B．10 C．15 D．20 2．已知向量n＝(a，b)，向量n与m垂直，且|m|＝|n|，则m的坐标为( ) A．(b，－a) B．(－a，b) C．(－a，b)或(a，－b) D．(b，－a)或(－b，a) 3．已知a＝(1，m)与b＝(n，－4)共线，且c＝(2,3)与b垂直，则m＋n的值为( ) A．16 3 B． 20 3 C． 15 2 D．－4 4．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|(a＋b)·c＝5 2 ，则a与c的夹角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 5．已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上有一点P，使AP·BP有最小值，则点P的坐标是( ) A．(－3,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0) 6．已知向量a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝__________. 7．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 8．已知a＝(3,0)，b＝(k,5)，且a与b的夹角为3π 4 ，则k的值为__________． 9．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|k a＋b||a－k b|(k＞0)．(1)用k表示数量积a·b； (2)若a·b＝ 5 16 (|a|＋|b|)，求k的值． 10．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值．

利用坐标计算数量积

利用坐标计算数量积各位评委老师，你们好 ! 我是8号考生，今天我说课的题目是《利用坐标计算数量积》，下面我将从教材分析、教法与学法分析、教学过程与教学评价四方面对本节课的设计与理解进行说明。 (第一部分) 教材分析教材分析主要体现在以下三方面： 1、教材的地位与作用本节课是湘教版《数学》必修第四章第5.3节的内容，它是在前面学习了两向量数量积计算的基础上学习的，同时为后面学习向量的综合应用奠定了知识基础，所以本节课在教材中起到承上启下的作用。在高考中，向量知识是必考的内容，特别是数量积计算的应用，往往与三角形问题，圆锥曲线问题相结合，在大题中出现，因此利用坐标计算数量积作为研究向量的基础就显得十分重要。 2、教学目标根据本节的内容特点、课标要求以及学生的实际水平，我将本节课的教学目标定位为： (1)知识目标：理解并掌握利用坐标计算数量积，求模，求夹角，并会利用两向量垂直的条件求解 (2)能力目标：培养学生观察、分析、归纳、推理的自学能力，为学生可持续发展打下基础。 (3)情感目标：通过以利用坐标计算数量积的学习，激发学生的学习兴趣；培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 3、教学重点与难点根据已确定的教学目标，我把本节课的教学重点定为: 教学重点：掌握利用坐标计算数量积，求模，求夹角，两向量垂直条件的应用；教学难点：利用坐标计算数量积，求模，求夹角公式的推导，两向量垂直条件的推导以及应用；

(第二部分) 教法与学法分析 1.教法分析基于本节课的内容特点，我主要采用以下几种教学方法： 1）.直观演示法 2）.集体讨论法 3）.活动探究法 4）.讲练结合法并充分利用现代技术教学手段，使学生主动参与数学实践活动，在教师的指导下发现问题、分析问题和解决问题。 2.学法分析学生作为教学活动中的主体，在学习过程中学生的参与度和参与状态将会影响教学效果，因此在学法的选择上，我主要采用以下几种： 1）.自主探究法 2）.合作交流法 3）.观察发现法 4）.归纳总结法 (第三部分) 教学过程本节课的教学过程由以下几个教学环节构成： 1、复习导入：教师利用多媒体课件跟学生简单回顾向量的线性组合，向量的坐标表示的相关知识，为本节课的公式推导奠定了知识基础。 2、新课探究教师利用多媒体课件将例3的题目展示出来，教师提出问题“利用已知条件，我们如何计算两向量的数量积，计算两向量的模，两向量垂直时坐标要满足什么条件？”让学生分组讨论，整理出本组同学所想到的思路。在整个讨论交流过程中，教师对正确的认识加以赞赏，对错误的见解加以分析，并对胆怯的学生加以鼓励。通过分组讨论，学生得出以下的方案，教师利用多媒体将方案展示出来。 2111e y e x u +=，2212e y e x v += 由前面的数量积计算公式() 212122122111)(y y x x e y e x e y e x v u ++?+=?＝ 2 121y x +=，通过分组讨论，让学生体会到团结协助的精神，同时，也化解了本节课的教学难点。

人教版高中数学必修四平面向量数量积的坐标表示、模

一、选择题 1．(2012·辽宁高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1 解析：由a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )可得a ·b ＝2－x ＝1，故x ＝1. 答案：D 2．已知点A (－1,0)、B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB ⊥a ，则实数k 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析：AB ＝(2,3)，a ＝(2k －1,2)，由AB ⊥a 得2×(2k －1)＋6＝0，解得k ＝－1. 答案：B 3．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( ) A ．(－3,0) B ．(2,0) C ．(3,0) D ．(4,0) 解析：设P (x,0)，则AP ＝(x －2，－2)， BP ＝(x －4，－1)， ∴AP · BP ＝(x －2)(x －4)＋2 ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3时，AP ·BP 最小，此时P (3,0)．答案：C 4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则AD · BD 等于( ) A ．6 B ．8 C ．－8 D ．－6 解析：如图，AD ＝BC ＝AC －AB ＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)， BD ＝AD －AB ＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)，则AD · BD ＝(－1)×(－3)＋(－1)×(－5)＝8. 答案：B

苏教版数学高一《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》精品教案

§2.4平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ?b ，即有a ?b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义：数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1? e ?a = a ?e =|a |cos θ； 2? a ⊥b ? a ?b = 0 3? 当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b |. 特别的a ?a = |a |2或 a a a ?=|| 4? cos θ = | |||b a b a ? ；5?|a ? b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(λa )?b =λ(a ?b ) = a ?(λb ) 分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课： ⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ?. C

苏教版数学高一必修四作业 2.4平面向量数量积的坐标表示(第二课时)

一、填空题 1．已知a ＝(2,3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)，则a ·(b ＋c )＝________. 解析：∵b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)， ∴b ＋c ＝(－2,4)＋(－1,2)＝(－3,6)．又∵a ＝(2,3)， ∴a ·(b ＋c )＝(2,3)·(－3,6)＝2×(－3)＋3×6 ＝－6＋18＝12. 答案：12 2．已知a ＝(2,4)，b ＝(1,3)，则|3a －2b |＝________. 解析：a ＝(2,4)，b ＝(1,3)，则3a －2b ＝(6,12)－(2,6)＝(4,6)． ∴|3a －2b |＝ 42＋62＝52＝213. 答案：213 3．已知a ＝ (1，－1)，b ＝(－2,1)，如果(λa ＋b )⊥(a －λb )，则实数λ＝________. 解析：λa ＋b ＝(λ－2,1－λ)，a －λb ＝(1＋2λ，－1－λ)，由(λa ＋b )⊥(a －λb )，得(λ－2)(1＋2λ)＋(1－λ)(－1－λ)＝0， ∴λ＝1±52 . 答案：1±52 4．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于________．解析：由a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)得2a ＋b ＝(3,3)， a － b ＝(0,3)，设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝(2a ＋b )·(a －b )|2a ＋b |·|a －b |＝932·3＝22. ∵0≤θ≤π，∴θ＝π4 .

答案：π4 5．已知a ＝????1，12，b ＝????0，－12，c ＝a ＋kb ，d ＝a －b ，c 与d 的夹角为π4 ，则k 等于________．解析：由条件得c ＝(1，12－12k )，d ＝(1,1)，从而c ·d ＝1＋12－12k ＝2·1＋(12－12k )2·cos π4 ，解得k ＝1. 答案：1 二、解答题 6．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，m ＝a －λb ，n ＝2a ＋b ，按下列条件求实数λ的值： (1)m ⊥n ；(2)m ∥n ；(3)|m |＝5. 解：m ＝a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，n ＝2a ＋b ＝(7,8)， ∴(1)m ⊥n ?(4＋λ)×7＋(3－2λ)×8＝0?λ＝529 ； (2)m ∥n ?(4＋λ)×8－(3－2λ)×7＝0?λ＝－12 ； (3)|m |＝5? (4＋λ)2＋(3－2λ)2＝5?5λ2－4λ＝0 ?λ＝0或45 . 7．已知m ＝(1,1)，向量n 与m 的夹角为3π4 ，且m ·n ＝－1，求向量n . 解：设n ＝(x ，y )．由m ·n ＝－1得x ＋y ＝－1. (1) 因为向量n 与m 的夹角为3π4 ，有m ·n ＝|m ||n |cos 3π4 ＝－1，所以|n |＝1，即x 2＋y 2＝1. (2) 由(1)(2)得x ＝－1，y ＝0，或x ＝0，y ＝－1，所以n ＝(－1,0)，或n ＝(0，－1)． 8．已知点A (2,2)、B (4,1)，O 为坐标原点，P 为x 轴上一动点，当AP · BP 取最小值时，求向量PA 与PB 的夹角的余弦值．解：设点P (x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)．

平面向量坐标运算及其数量积习题

平面向量坐标及数量积练习 1. 已知e 1→,e 2→是一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( ) A. e 1→, e 1→+e 2→ B. e 1→—2e 2→, e 2→—2e 1→ C. e 1→—2e 2→, 4e 2→—2e 1→ D. e 1→+e 2→, e 1→—e 2→ 2. 若a →,b →不共线且λa →+μb →=0→(λ , μ ∈ R), 则 ( ) A. a →=0→,b →=0→ B. λ=μ=0 C. λ=0, b →=0 D. a →=0→, μ=0 3. 如图1，ΔABC 中，M, N, P 顺次是AB 的四等分点, CB →=e 1→, CA →=e 2→, 则下列正确的是( ) A. CN →=12e 1→+12e 2→, CM →=14e 1→+34e 2→ B. AB →=e 1→—e 2→, CP →=14e 1→+34 e 2→ C. CP →=34e 1→+14e 2→, AM →=14(e 1→+e 2→) D. AM →=14 (e 1→—e 2→), AB →=e 1→+e 2→ 4. 若|a →|=1,|b →|=2,c →=a →+b →且c →⊥a →, 则向量a →与b →的夹角为 ( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 5. 已知单位向量i →与j →的夹角为60°,则2j →—i →与i →的关系为 ( ) A. 相等 B. 垂直 C. 平行 D. 共线 6 下列命题中真命题的个数为 ( ) ①|a →·b →|=|a →|·|b →|；②a →·b →=0 ? a →=0→或b →=0; ③ |λa →|=|λ|·|a →|; ④ λa →=0→ ? λ=0或a →=0→ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设a →,b →,c →是单位向量，且a →·b →=0，则(a →—c →)·(b →—c →)的最小值为 ( ) A. —2 B. 2—2 C. —1 D. 1— 2 8. 若点A 的坐标是(x 1, y 1)，向量AB →的坐标为(x 2, y 2)，则点B 的坐标为 ( ) A ．(x 1—x 2, y 1—y 2) B ．(x 2—x 1, y 2—y 1) C ．(x 1+x 2, y 1+y 2) D ．(x 2—x 1, y 1—y 2) 9. 已知M(3，—2), N(—5,—1)，且MP →=2MN →, 则MP → = ( ) A ．(—8，1) B ．(—4, 12) C ．（—16, 2） D ．(8, —1) 10 与a →=(3,4)垂直的单位向量是 ( ) A. (45, 35) B. (—45, —35) C. (45, —35)或(—45, 35) D. (45, 35)或(—45, —35) 11. A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以ΔABC 为 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 12.已知A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形ABCD 为 ( ) A.正方形 B.菱形 C.梯形 D. 矩形 13.已知a →=(—3,4),b →=(5,2),c →=(1,—1), 则(a →·b →)·c →等于 ( ) A. —14 B. —7 C. (7,—7) D. (—7,7) 14.已知A(—1,1),B(1,2),C(3, 12) , 则AB →·AC →等于 ( ) A. 52 B. 152 C. —52 D. —152 15已知|m →|=6 ,n →=(cos θ,sin θ), m →·n →=9, 则m →, n →的夹角为 ( ) A.150o B.120 o C.60 o D.30 o 16.若a →=(—2,1)与b →=(—1,—m 5 )互相垂直，则m 的值为 ( ) A. —6 B.8 C. —10 D. 10 17. 已知M(3, —2), N(—5,—1)，且MP → = 12 MN →，则P 点的坐标 ( ) A ．(—4, 12) B ．(—1, —32 ) C ．(—1, 32 ) D ．(8, —1) 18. 已知a → = (3, —1), b → = (—1, 2), c → = 2a → + b →, 则 c → = ( ) A ．（6，—2） B ．（5，0） C ．（—5，0） D ．（0，5） 19. 已知a →=(—6, y ), b →=(—2, 1), 且a →与b →共线，则x = ( ) A ．—6 B ．6 C ．3 D ．—3 20. 已知A(2,—1),B(3,1), 与AB →方向相反的向量a →是 ( ) A ．a →=(1, 12) B ．a →=(—6,—3) C ．a →=(—1,2) D ．a → =(—4,—8)

平面向量数量积的坐标表示模夹角

平面向量数量积的坐标表示模夹角教学目标 1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点) 2．会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(难点) 3．分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点) [基础·初探] 教材整理平面向量数量积的坐标表示、模、夹角阅读教材P106“探究”以下至P107例6以上内容，完成下列问题．1．平面向量数量积的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a| 3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB →＝ 4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与b夹角为θ，则 cos θ＝ a·b |a|·|b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 . 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0度．()

(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．( ) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( ) 解：(1)×.因为当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 的夹角也可能为180°. (2)√.由向量数量积定义可知正确． (3)×.因为两向量的夹角有可能为180°. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× [小组合作型] 平面向量数量积的坐标运算 (1)(2016·安溪高一检测)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，且a·b ＝－1，则x 的值等于( ) A ．1 2 B ．－12 C ．32 D ．－32 (2)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，2)，则a·b ＝________，a ·(a －b )＝________. (3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b ·c ＝5，则向量c ＝________. 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．解：(1)因为a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，

高一数学优质课比赛平面向量数量积的坐标表示教案

平面向量数量积的坐标表示一、本教学设计主要思考的几个问题： 1、教材的地位和作用是什么？ 2、学生在学习中会遇到什么困难？ 3、如何根据新课程理念，设计教学过程？ 4、如何结合教学内容，指导学生学法、发挥评价作用、发展学生能力？二、教材分析： 1、向量是近代数学中最重要的概念之一； 2、向量的几何形式与代数形式的“双重身份”以及它的一套优良的运算系统使它成为“重要工具” 和“桥梁”； 3、数量积的坐标表示为解决“形”中的长度、角度等问题带来了方便； 4、有助于理解和掌握数形结合的思想方法； 5、为学习物理等其他学科解决实际问题作准备；三、教学目标分析： ⒈知识目标：(1)掌握数量积和模的坐标； (2)掌握两向量垂直的充要条件(等价条件)、夹角公式． ⒉能力目标：(1)领悟数形结合的思想方法； (2)培养学生自主学习及提出、分析、解决问题的能力． ⒊情感目标：体验探索的乐趣认识世间事物的联系与转化．四、教学的重点、难点分析：重点：数量积坐标表示的推理过程．难点：公式的建立与应用．五、学生分析：知识上：学习过向量加减法坐标运算和数量积定义性质运算等；方法上：研究过向量加减法坐标运算的推理过程；思维上：由经验型抽象思维逐渐过渡理论性严谨抽象思维；能力上：主动迁移、主动重组整合的能力较弱. 六、教学方法和教学手段分析： 1、建构主义学习理论认为：学生的认知结构是通过同化和顺化而不断发展，学习不是对教师所授予的知识被动接受，而是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动的建构过程。学生真正获得知识的消化，是把新的学习内容正确纳入已有的认知结构，使其成为整个认知结构的有机组成部分，所以在教学中，以向量为载体，按照“直观感知----操作确认-----思辩论证”的认识过程展开。通过创设良好的问题情境，不断引导学生观察、实验、思考、探索，通过自己的亲身实践，充分发挥学生学习的主动性，培养学生的自主、合作、探索能力。同时采用电脑课件的教学手段，加强直观性和启发性，提高课堂效益； 2、运用“导学探究式” 教学方法； 3、本节课的基调定为，自主探索、民主开放、合作交流、师生对话、分层评价； 4、多媒体信息技术教学手段整合教学过程. 七、学法指导： 1、根据本节课特点及学生的认知心理，把重点放在如何让学生“会学习”这一方面，学生在教师营造的“可探索”环境里，积极参与、生动活泼地获取知识、善于观察类比、掌握规律、主动发现、积极探索质疑，从而培养学生观察能力、想象能力、探索思维能力，设计转化、分析问题及解决问题的能力； 2、紧紧围绕数形结合这条主线；认知主体

数量积的模和坐标表示

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的： 1.掌握平面向量数量积运算规律； 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题； 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律. 教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入： 1．平面向量数量积（内积）的定义： 2．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1? e ?a = a ?e =|a|cos θ； 2? a ⊥b ? a ?b = 0 3? 当a 与b 同向时，a ?b = |a||b|；当a 与b 反向时，a ?b = -|a||b|. 特别的a ?a = |a|2或a a a ?=|| 4?cos θ = ||||b a b a ? ； 5?|a ?b| ≤ |a||b| 3．练习：（1）已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)与a 垂直，则a 与b 的夹角是（） A.60° B.30° C.135° D.４５° （2）已知|a|=2，|b|=1，a 与b 之间的夹角为3 π，那么向量m=a-4b 的模为（） A.2 B.23 C.6 D.12 二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 和b 的坐标表示b a ?？. 1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ?2121y y x x += 2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.

高中数学人教版必修平面向量数量积的坐标表示、模、夹角作业(系列四)

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角目标 1.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模． 1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝____________. 即两个向量的数量积等于________________． 2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ?________________. 3．平面向量的模 (1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝________________. (2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB → |＝________________________. 4．向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________. 一、选择题 1．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 2．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12 3．已知a ，b 为平面向量，a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665 4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.????79，73 B.????－73，－79 C.????73，79 D.????－79 ，－73

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 学习重点：平面向量数量积的坐标表示学习难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用课堂探究：一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ?b ，即有a ?b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义：数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1? e ?a = a ?e =|a |cos θ； 2? a ⊥b ? a ?b = 0 3? 当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b |. 特别的a ?a = |a |2或a a a ?=|| 4? cos θ =| |||b a b a ? ；5?|a ?b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(λa )?b =λ(a ?b ) = a ?(λb ) 分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课： C

北师大版《平面向量数量积的坐标表示》word教案

2.6平面向量数量积的坐标表示一.教学目标： 1.知识与技能（1）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. （2）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. （3）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识. 2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手段，通过应用帮助学生掌握几个公式的等价形式，然后和同学一起总结方法，最后巩固强化. 3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一个崭新的认识；提高学生迁移知识的能力. 二.教学重、难点重点: 平面向量数量积的坐标表示以及推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示. 难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想【创设情境】 [展示投影]引入：请同学们回忆一下实数与向量的乘积的坐标表示以及两向量共线的坐标表示：【探究新知】平面两向量数量积的坐标又如何表示呢？ 1. 推导坐标公式：设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2)，x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：i ?i = 1，j ?j = 1，i ?j = j ?i = 0. ∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j ∴a ?b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ?j + x 2y 1i ?j + y 1y 2j 2 = x 1x 2 + y 1y 2 从而获得公式：a ?b = x 1x 2 + y 1y 2 2.长度、角度、垂直的坐标表示 ①a = (x , y ) ? |a|2 = x 2 + y 2 ? |a | = 22y x + ②若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则?→ ?AB =2 212 21)()(y y x x -+- ③co s θ = | |||b a b a ??2 2 222 1 2 12121y x y x y y x x +++= ④∵a ⊥b ? a ?b = 0 即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）【巩固深化，发展思维】 1.设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ?b

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角、教学分析平面向量的数量积，教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分. 前面我们学习了平面向量的数量积以及平面向量的坐标表示?那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后，就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面，由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角，因此在实现向量数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算，结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的，这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基二、教学目标 1知识与技能: 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算;

能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2、过程与方法: 通过用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系，明确数学是研究数与形有机结合的学科。 3、情感态度与价值观: 能用所学知识解决有关综合问题。三、重点难点教学重点:平面向量数量积的坐标表示. 教学难点:向量数量积的坐标表示的应用四、教学设想（一）导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节，我们

平面向量数量积的坐标表示

§5.7平面向量数量积的坐标表示教学目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。教学重点：平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式教学难点：向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用教学方法; 启发式教学过程：一、复习引入 1．两平面向量垂直的充要条件。2．两向量共线的坐标表示：二、新课讲解： 1．x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：i ?i = 1，j ?j = 1，i ?j = j ?i = 0 2．设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2) 则 ∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j ∴a ?b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ?j + x 2y 1i ?j + y 1y 2j 2 = x 1x 2 + y 1y 2.从而获得公式：a ?b = x 1x 2 + y 1y 2 3．长度、夹角、垂直的坐标表示 1?长度：a = (x , y ) ? |a|2 = x 2 + y 2 ? |a | =22y x + 2?两点间的距离公式：若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则=221221)()(y y x x -+- 3? 夹角：co s θ =||||b a b a ??222221212 121y x y x y y x x +++= 4?垂直的充要条件：∵a ⊥b ? a ?b =0即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示的区别） 4、阅读课本120页例1与例2.完成课本121页练习。三、例与练习例1、如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90?，求点B 和向量的坐标。

必修四平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(附答案)

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 [学习目标] 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．思考已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a ·b ？上述结论是怎样推导的？答案推导：∵a ＝x 1i ＋y 1 j ，b ＝x 2i ＋y 2 j ， ∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1 j )·(x 2i ＋y 2 j ) ＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1 j ·i ＋y 1y 2 j 2. 又∵i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0， ∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 知识点二平面向量的模 (1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21. (2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 思考设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为平面内任意两点，试推导平面内两点间的距离公式．答案推导：∵AB →＝OB →－OA → ＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1) ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 知识点三平面向量夹角的坐标表示设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得： cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22 . 特别地，若a ⊥b ，则有x 1x 2＋y 1y 2＝0；反之，若x 1x 2＋y 1y 2＝0，则a ⊥b .

数量积的坐标模、夹角练习题一

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