高数习题第五章习题黄立宏第4版
习题5-2
1. 求下列各曲线所围图形的面积：
（1） y =1
2x 2 与x 2+y 2=8(两部分都要计算)；
解：如图D 1=D 2
解方程组?????y =12x 2
x 2+y 2=8
得交点A
(2，2)
(1)
D 1=??02????8-x 2-12x 2d x =π+23
∴ D 1+D 2=2π+4
3,
D 3+D 4=8π-???
?2π+43=6π-4
3．
（2） y =1
x
与直线y =x 及x =2；
解： D 1=??12???
?x -1x d x =????12x 2-ln x 2
1=32-ln2.
(2)
（3） y =e x ，y =e -x 与直线x =1； 解：D =??01()e x -e -x d x =e+1e
-2．
(3)
（4） y =ln x ，y 轴与直线y =ln a ，y =ln b ．(b>a>0)； 解：D =?
?l n a
l n b e y d y =b -a ．
(4)
（5）抛物线y=x2和y=-x2+2；
解：解方程组
?
?
?y=x2
y=-x2+2得交点(1，1)，(-1，1)
D=??
-1
1()
-x2+2-x2d x=4??
1()
-x2+1d x=
8
3．
(5)
（6）y=sin x，y=cos x及直线x=
π
4，x=
9
4
π；
解：D=2
?
?
?
?
π
4
5π
4(sin x-cos x)d x=2[]
-cos x-sin x
5π
4
π
4
=42．
(6)
（7）抛物线y=-x2+4x-3及其在(0，-3)和(3，0)处的切线；
解：y′=-2x+4．∴y′(0)=4，y′(3)=-2．
∵抛物线在点(0，-3)处切线方程是y=4x-3
在(3，0)处的切线是y=-2x+6
两切线交点是(
3
2，3)．故所求面积为
(7)
()()()()
()
3
3
22
2
3
2
3
3
22
2
3
2
4343d2643d
d69d
9
.
4
D x x x x x x x x
x x x x x
????=---+-+-+--+-
????=+-+
=
??
??
（8）摆线x=a(t-sin t)，y=a(1-cos t)的一拱(0≤t≤2π)与x轴，这里a为正常数；解：当t=0时，x=0, 当t=2π时，x=2πa．
所以
()()
()
2π2π
00
2π
2
2
02d 1cos d sin 1cos d 3π.
a
S y x a t a t t a
t t
a ==--=-=?
??
(8)
（9） 极坐标曲线 ρ=a sin3φ，这里a 为正常数； 解：D =3D 1=3·a 22?
??0
π3sin 2
3φd φ
=3a 22 ·?
??0
π3 1-cos6φ2d φ
=3a 24 ·???
?φ-16sin6φπ
30
=πa 24
． (9) （10） 极坐标曲线ρ=2a cos φ，这里a 为正常数；
解：D =2D 1=2???0
π212·4a 2
·cos 2φd φ
=4a 2
???0
π2
1+cos2φ2d φ
=4a 2·12???
?φ+1
2sin2φπ
20
=4a 2·12·π
2
=πa 2．
(10)
2． 2. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积： （1） r =a (1+cos θ)及r =2a cos θ;
解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a 的圆，故D =πa 2．
(11)
（2） r =2cos θ及r 2=3sin2θ．
解：如图12，解方程组?
????r =2cos θr 2=3sin2θ
得cos θ=0或tan θ=3
3, 即θ=π2或θ=π
6．
(12)
D =?
??0
π612·3sin2θd θ+????π
6
π
2
1
2·()2cos θ2d θ
=????
??-34cos2θπ
60
+θ
2+ ????14sin4θπ
2
π
6
=π
6．
3． 3. 已知曲线f (x )=x -x 2与g (x )=ax 围成的图形面积等于9
2
，求常数a ．
解：如图13，解方程组???f (x )=x -x 2
g (x )=ax
得交点坐标为(0，0)，(1-a ，a (1-a ))
∴D =??0
1-a ()x -x 2-ax d x
=????12()1-a ·x 2-1
3x 31-a
=1
6()1-a 3
依题意得 16()1-a 3=92
得a =-2．
(13)
习题5-3
1. 设有一截锥体，其高为h ，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a ，2b 和2A ，2B ，求这截锥体的体积。
解：如图14建立直角坐标系，则图中点E ，D 的坐标分别为：E (a ，h )， D (A ，0)，
于是得到ED 所在的直线方程为：y =h
a -A
(x -A )
(14)
对于任意的y ∈[0，h ]，过点(0，y )且垂直于y 轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的半轴为： x 1=A -A -a h y ，同理可得该椭圆的另一半轴为： x 2=B -B -b
h y ．
故该椭圆面积为
A (y )=πx 1x 2=π????A -A -a h y ????
B -B -b h y 从而立体的体积为 V =??0h
A ()y d y =π??0h
????A -A -a h y ???
?B -B -b h y d y
=1
6
πh []bA +aB +2()ab +AB . 2. 计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图15.
(15)
解：以底面上的固定直径所在直线为x 轴，过该直径的中点且垂直于x 轴的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x 2+y 2=R 2．
过区间[-R ，R ]上任意一点x ，且垂直于x 轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x 对应的圆周上的点为(x ，y )，则该等边三角形的边长为2y ，故其面积等于
A ()x =
3
4()
2y 2=3y 2=3()R 2-x 2 ()-R ≤x ≤R 从而该立体的体积为 V =?
?-R
R
A ()x d x =??-R R
3()R 2-x 2d x
=43
3R 3．
4． 3. 求下列旋转体的体积： （1） 由y =x 2与y 2=x 3围成的平面图形绕x 轴旋转；
解： 求两曲线交点?
??y =x 2
y 2=x 3得(0，0)，(1，1)
V =π??01
()x 3-x 4
d x
=π????14x 4-1
5x 51
=π
20．
（2）由y =x 3，x =2，y =0所围图形分别绕x 轴及y 轴旋转；
解：见图16，V x =π?
?0
2x 6d x =1287π V y =π??08
?
??
?22-y 2
3d y
=64
5π．
（2） 星形线x 2/3+y 2/3=a 2/3绕x 轴旋转； (16) 解：见图17，该曲线的参数方程是：
???x =a cos 3t y =a sin 3t
0≤t ≤2π ， 由曲线关于x 轴及y 轴的对称性，所求体积可表示为
V x =2π??0a
y 2
d x
=2π???π
2
()a sin 3t 2d ()a cos 3t
=6πa 3
???0
π2sin 7t cos 2t d t (17)
=32
105πa 3
4.求下列立体的体积： (1)曲线
与它在处的切线及直线所围成的图形，绕轴旋
转而成的旋转体；
(2)圆片2
2
(5)16x y +-≤，绕x 轴旋转而成的旋转体. 5.证明：由平面图形
，
，绕轴旋转而成的旋转体的体积为
2()b
a
V xf x dx π=?.
习题5-4
1. 求下列曲线段的弧长：
(1)y 2=2x ，0≤x ≤2；(1)22，20y x x =≤≤； (2)ln ,38y x x =≤≤；
(3)d cos ,22
x y t t x π-π-
≤=≤π?
； (4)曲线1ln cos y x =-上自0x =至4
x π
=的一段弧；
(5)曲线arctan x t =，21
ln(1)2
y t =+上自0t =至1t =的一段弧； (6)求抛物线2
12
y x =
被圆223x y +=所截下的有限部分的弧长. 解：(1)见图18，2yy ′=2． y ′=1
y ∴1+y ′2=1+1
y 2．从而 l =2??021+y ′2d x =2
???
2
1+1y 2d x
=2??02
1y 1+y 2d y 2
2 =2??02
1+y 2d y (18)
=y
1+y 2+ln
()y +
1+y 2
??2
0=25+ln(2+5)
（2 l =?
?381+y ′2d x =?
?
3
81+
1
x 2
d x =?
?
3
81+x 2x d x =???
?1+x 2
-ln 1+1+x 2x 8
3
=1+12ln 32．
（3）l =?????π2
π21+y ′2d x =?????
π2
π
21+cos x d x
=?????
π2
π
22cos x 2d x =42???0π2cos x 2d x 2 =42sin x 2
???π
2
=4.
(4) (5)
(6)
2. 设星形线的参数方程为x =a cos 3t ，y =a sin 3t ，a >0求 （3） 星形线所围面积； （4） 绕x 轴旋转所得旋转体的体积； （5） 星形线的全长．
解：(1)D =4??0
a
y d x =4?
??π2
a sin 3t d ()a cos 3t =12a 2
???0
π2sin 4t cos 2t d t
=12a 2
???0
π2()sin 4t ?sin 6t d t =38πa 2．
(2)V x =2π?
?0
a y 2
d x =2π???π
2
()a sin 3t 2d ()a cos 3t =6πa 3
???0
π2 sin 7t cos 2t d t =32
105πa 3 (3)x t ′=-3a cos 2t sin t
y t ′=3a sin 2t cos t
x t ′2+ y t ′2=9a 2sin 2t cos 2t ，利用曲线的对称性，
l =4???0π2x t ′2+ y t ′2
d t =4???0
π2 3a sin 2t cos 2t d t
=12a ???0
π
2
14sin 22t d t =6a ???0π
2 sin2t d t =[]3a ()-cos2t π
20
=6a ． 3. 求对数螺线r =e a θ相应θ=0到θ=φ的一段弧长．
解：l =??0φr 2+r ′2d θ =?
?0
φe 2a θ+a 2e 2a θd θ
=1+a 2a ()e a φ
-1．
4. 求半径为R ，高为h 的球冠的表面积．
解：D =2π?
?R -h
R x 1+x ′2d y
=2π??
??arc sin R -h
R
π2
R cos θ()R cos θ′2+()R sin θ′2d θ
=2π??
??arc sin R -h
R π2R 2cos θd θ
=2πR 2[]
sin θπ
2arc sin
R -h R
=2πRh ．
5. 求曲线段y =x 3(0≤x ≤1)绕x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积．
解：D =2π??01
y 1+y ′2
d x
=2π??0
1
x 31+9x 4d x
=π18·23()1+9x 43
2??1
=π
27()1010-1．
习题5-5
1. 把长为10m ，宽为6m ，高为5m 的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？ 解：如图19，区间[x ，x +d x ]上的一个薄层水，有微体积d V =10·6·d x 设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为 d w =x ·60g d x =60gx d x ． 于是将水全部抽出所作功为
w =??0
5
60gx d x
=60g 2x 2??5
（19）
=750g (KJ) ．
2. 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m 和6m ，高为20m ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力．
解：如图20，建立坐标系，直线AB 的方程为
y =-x
10+5．
压力元素为
d F =x ·2y d x =2x ???
?-x
10+5d x
所求压力为 F =??0
202x ???
?-x
10+5d x
=????5x 2-1
15x 320
=1467(吨) =14388(KN) 3. 半径为R 的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取离
水面，问做功多少？
解：如图21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为
(x －R )2+y 2=R 2将球从水中取出需作的功相应于将[0，2R ]区间上的许多薄片都上提2R 的高度时需作功的和的极限。取深度x 为积分变量，典型小薄片厚度为d x ，将它由A 上升到B 时，在水中的行程为x ；在水上的行程为2R －x 。因为球的比重与水相同，所以此薄片所受的浮力与其自身的重力之和x 为零，因而该片在水中由A 上升到水面时，提升力为零，并不作功，由水面再上提到B 时，需作的功即功元素为
22222d (2)[π()d ]π(2)[()]d π(2)(2)d w R x g y x x g R x R x R x g R x Rx x x
=-=---=--
所求的功为
220
22230
2223404π(2)(2)d π(44)d 41π2344
π(KJ).3
R
R
R w g R x Rx x x
g R x Rx x x
g R x Rx x R g =--=-+??
=-+ ?
?
?=??
4. 设有一半径为R ，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m 的质点，试求细棒对该质点的引力。
解：如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段d s 对质点N 的引力的近似值即为引力元素
（图22）
（20）
（21）
22d d (d )d d d cos cos d ,
x km s km km F R R R R
km F F R ρρρ
θθρ
θθθ=
====
则
2202
2cos d 2cos d sin
2d d sin sin d x y km km km F R R R km F F R
?
?
?ρρρ?
θθθθρ
θθθ-=====
??
则 2
2sin d 0.y km F R ?
?ρ
θθ-==?
故所求引力的大小为
2sin 2
km R ρ?
，方向自N 点指向圆弧的中点。 5. 求下列函数在[－a ，a ]上的平均值：
(1)()f x =
解：200111π1.arcsin 24
22a
a a a x y x x a a a a -?====+???? (2) 2
().f x x =
解：2
223001111d d .23
3a
a a a a y x x x x x a a a -??====?????? 6. 求正弦交流电i =I 0sin ωt 经过半波整流后得到电流
0πsin ,0π2π0,I t t i t ωωωω?
≤≤??=??≤≤
??
的平均值和有效值。 解：π
π
2π
00
π
00
21sin d 0d cos π
π
ππI I i I t t t t ωω
ω
ω
ωω
ω
ωωω??=
+
=
=-?????
? 有效值
I =
2ππ2π
2222
π
000π
222
0001()d ()d ()d ()d 2π2πsin d 2π4
T i t t i t t i t t i t t T I I t t ωωωωωωωωω??==+????==?????
故有效值为 02
I
I =.
7. 已知电压u (t )=3sin2t ，求
(1) u (t )在π0,2??
????
上的平均值；
解： π2026
()3sin 2d .ππ
u t t t ==?
(2) 电压的均方根值.
解：均方根公式为
()f x =
故
()u t ===
==习题5-6
1. 设某企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为
C ′(x )=x 2－14x +111，R ′(x )=100－2x ．
试求最大利润．
解： 设利润函数L (x )． 则L (x )=R (x )－C (x )－50
由于L ′(x )=R ′(x )－C (x )=(100－2x )－(x 2－14x +111)=－x 2+12x －11 令L ′(x )=0得x =1，x =11．
又当x =1时，L ″(x )=－2x+12>0．当x =11时L ″(x )<0，故当x =11时利润取得最大值．且最大利润为
L (11)=
11
20
(1211)d 50x x x -+--?
3110
13341[611]50111.333
x x x =-+--== 2. 设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x （百台）的边际成本为C ′(x )（万元/百台），边际收入为R ′(x )=7－2x （万元/百台）．
(1) 求生产量为多少时总利润最大？
(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？ 解：(1) 当C ′(x )=R ′(x )时总利润最大． 即2=7－2x ，x=5/2(百台)
(2) L ′(x )=R ′(x )－C ′(x )=5－2x ．
在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为
ΔL (x )=
772
2552
2
2
(52)d 51x x x x
-=-=-?
．
即此时总利润减少1万元.
3. 某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期． 解：投资20年中总收入的现值为
20
5%5%2001200
800e d (1e )
5%
400(1e )2528.4 ()
t y t --?-==
-=-=?万元 纯收入现值为
R =y －800=2528.4－800=1728.4(万元)
收回投资，即为总收入的现值等于投资, 故有
5%200
(1e )8005%
12005ln =20ln =4.46 ().
5%2008005%4
T T -?-==-?年
4. 某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%（每年），若打算10年后攒够5万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱？ 解：设每年以均匀流方式存入x 万元，则
5=
10
(10)0.050
e d t x t -?
即 5=20x (e 0.5-1)
0.514(e 1)
x =
-≈0.385386万元=3853.86元．
5. 设某商品从时刻0到时刻t 的销售量为(),0,,0,x t kt t
T k 欲在T 时在将数量为
A 的该商品销售完，试求
(1) t 时的商品剩余量，并确定k 的值；
(2) 在时间段0,T 上的平均剩余量.
6. 设某酒厂有一批新酿好的酒，如果现在（假定t =0）就售出，总收入为0R （元）.如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为
5
0.
t R
R e
假定银行的年利率为r ，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求0.06r 时的t 值.
习题五
1.填空题
（1）在曲线2y x =（01x ≤≤）上取（2,t t ）（01t <<）.设1A 是曲线2y x =（01x ≤≤），直线2y t =和0x =围成的面积；2A 是由曲线2y x =（01x ≤≤），直线2y t =和1x =围成的面积，则t 取_____时，12A A A =+取最小值. （2）由曲线arctan r r θ=与两条射线0θ=及
θ=
_____.
（3）曲线0
tan d 04x
y t t x π?
?=
≤≤ ??
??
的弧长s = )21ln(+ .
（4）设有曲线y =，过原点作其切线，则以曲线、切线、及x 轴所围成平面图形，绕
x 轴旋转一周所得立体表面积为_____.
（5）已知曲线()y f x =过点()0,0，且其上任一点(,())x f x 处的切线斜率为x
e ，则函
数()f x 在[]
0,1上的平均值为_____.（国防科大10-11年秋季第一大题第5小题） 2.选择题：
（1与坐标轴所围成图形的面积为（）.
A.
13 B. 121e π??- ??? C. 141e π??+ ??? D. 121e π??
+ ???
（2）由曲线及三条曲线围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积等于（）.
A. 141e π??
- ??? B. 1 C. 14 D. 23
（3）设无穷长直线L 的线密度为1，引力常数为k ，则L 对距直线为a 的单位质点A 的引力
为（）. A.
2k a B. k a C. 22k a D. 2k a
（4）峰值为m V ，周期为T 的三角形波的电压平均值为（）. A.
2m V B. C. 4m V
D. 3. (1)求曲线1)y x
=
<≤与坐标轴所围成图形的面积；
(2)曲线1)y x
=
≥与坐标轴围成的图形是否存在有限面积？请说明理由. 4. 记S 为介于曲线x
y e -=与x 轴之间的无界图形，求S 的面积及S 绕x 轴旋转一周所得
旋转体的体积. 解：S 的面积为022()
20
x
x x
A e dx e dx e +∞
+∞
----∞
+∞=
==?-=?
?.
S 绕x 轴的旋转体体积为()
2
220
()20
x x x V e dx e dx e ππππ+∞
+∞
----∞
+∞===-=??.
5. 设()y f x =为[
)0,+∞上的非负连续函数，且对于任何0b >，其曲线()(0)y f x x b =≤≤于x 轴、y 轴及x b =所围成的曲边梯形S 绕x 轴旋转所得旋转体的体
积为
22
b π
.
（1）求函数()f x ；
（2）计算不定积分
ln ()d ()f x x f x ?.
解：由题设220
()2
b
f x dx b π
π
=
?
，两边关于b 求导数，有2()f b b =，由此得
6.已知某容器内表面形状是由曲线段20,
01121,x y x x ≤≤?=?≤≤-?
，（单位：m ）绕y 轴旋转一周所
成.
（1）求该容器的容积；
（2）如果容器装满水，问将水全部提升到高出容器顶面1m 处时，需做功多少？ 解：（1）容器的容积
3
3
2
15
(1)2
V x dy y dy πππ==+=
?? （2）利用微元法可得将水全部提升到高出容器顶面1m 处所做的功为
3
3
20
32
(4)(1)(4)2
W x y pgdy y y pgdy pg πππ=-=+-=
??（焦耳） 7.半径为5m ，深为2m 的圆锥形水池（锥顶朝下）贮满水，要将水全部抽至池面上方5m 高处，问至少要做多少功？
8.洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，端面椭圆的长轴长为2m ，与水平面平行，短轴长为1.5m ，水箱长4m.当水箱里注有一半水时，水箱的一个端面所受的水压力是多少？ 9.求铅直放在水中的平面薄板一侧所受的水压力.薄板如图所示.上半部是三角形，下半部是半径为3m 的半圆，三角形顶部恰好在水面上.
9题图
10.设星形线3cos x a t =，3
sin y a t =上每一点处的线密度打打小等于该点到原点距离的立方，在原点O 处有一单位质点，求星形线在第一象限弧段对这质点的引力.
高等数学第四章 不定积分教案
第四章 不定积分 知识结构图： ???????? ???????????????????????分部积分法第二换元积分法 第一换元积分法直接积分法求不定积分基本公式性质 几何意义定义不定积分原函数 教学目的要求： 1．理解原函数与不定积分的概念，理解两者的关系，理解不定积分与导数的关系；掌握不 定积分的几何意义与基本性质。 2．理解与掌握积分的基本公式，掌握不定积分的基本运算，会熟练地用直接积分法、第一 类换元积分法、第二换元积分法（代数换元）、分部积分法求不定积分。 3．了解不定积分在经济问题中的应用。 教学重点： 1．原函数与不定积分的概念 2．不定积分的性质与基本积分公式 3．直接积分法 4．换元积分法 5．分部积分法 教学难点： 1．不定积分的几何意义 2．凑微分法、分部积分法求不定积分 第一节 不定积分的概念与基本公式 【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。直接积分法求函数的不定积分。 【教学目的】理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的几何意义；理解并掌握不定积分的基本性质；熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。 【教学重点】1．原函的概念；2.不定积分的概念；3.不定积分的几何意义；4.不定积分的基本性质；5.不定积分的基本公式；6.直接积分法计算不定积分。 【教学难点】1．理解不定积分的几何意义；2．记忆不定积分公式。 【教学时数】2学时 【教学进程】
一、原函数与不定积分的概念 (一)原函数的概念 前面我们所学的知识是：已知一个函数，求这个函数的导数；在现实生活中往往有：已知一个函数的导数，求原来这个函数的问题， 如：①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为x k 2=,求此曲线的方程。 ②已知某产品的边际成本MC ，要求该产品总成本的变化规律()C C q =． １．原函数定义 定义4．1 设)(x f 是定义在区间I 内的已知函数．如果存在可导函数)(x F ，使对于任意的I x ∈，都有 )()(x f x F ='或dx x f x dF )()(= 则称函数)(x F 是函数)(x f 的一个原函数。 例1 指出下列函数的原函数: ①x x f cos )(= ②23)(x x f = ③x a x f =)( ④x x f 1)(= 教师将举例分析：如(cos )sin x x '-=，则cos x -是sin x 在R 上的一个原函数。 2()2x x '=，则 2x 是2x 的一个原函数。 教师再问：（1）是否所有的函数都有原函数？什么样的函数才有原函数存在呢？在此， 我们不作讨论．我们只给出一个重要的结论． 结论：如果函数()f x 在某区间上连续，则其原函数一定存在 （2）25x +是不是2 x 在R 上的一个原函数呢？学生回答：是 （3）提出一个函数若存在原函数，则有几个呢？引入 2.原函数个数 定理4．1 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C +也是()f x 的原函数，且()f x 的所有原函数都具有()F x C +的形式（C 为任意常数）． (二)不定积分的概念 教师指出：在以上的分析中我们看到一个函数()f x 有原函数存在，则有无数多个，它们都可以表示为()F x C +的形式，我们把它叫做()f x 的不定积分。 １．不定积分定义 定义4．2 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数，则称()f x 的全体原函数()F x C +（C 为任意常数）为()f x 的不定积分，记作 C x F dx x f +=?)()(
高等数学(同济大学版)第四章练习(含答案)
第四章 不定积分 一、学习要求 1、理解原函数与不定积分的概念及性质。 2、掌握不定积分的第一类换元法、第二类换元法及分部积分法。 二、练习 1．在下列等式中，正确的结果是( C ). A. '()()f x dx f x =? B.()()df x f x =? C. ()()d f x dx f x dx =? D.[()]()d f x dx f x =? 2.若ln x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）； A. ln ax B.1ln ax a C.ln x a + D.21(ln )2 x 3.设()f x 的一个原函数是2x e -，则()f x ＝（ B ）； A. 2x e - B. 22x e -- C. 24x e -- D. 24x e - 4．'' ()xf x dx =? （ C ）. A.'()xf x C + B. '()()f x f x C -+ C. '()()xf x f x C -+ D. '()()xf x f x C ++. 5 ．将 化为有理函数的积分，应作变换x =（ D ）. A. 3t B. 4 t C. 7 t D. 12 t 6.dx = 1/7 ()73d x -， 2cos 2dx x = 1/2 ()tan 2d x ，2 19dx x =+1/3 ()arctan3d x ； 7. 已知(31)x f x e '-=，则()f x =1 3 3x e c ++. 8.设()f x 是可导函数，则'()d f x x ?为()f x C +. 9.过点(1,2)且切线斜率为34x 的曲线方程为41y x =+ 10.已知()cos xf x dx x C =+?，则()f x =sin x x - 11.求下列不定积分 解: (1) 22 32tan 1tan tan tan 1sin 3 x dx xd x x c x ==+-?? (2) 22arctan 11 x x x x x x x dx e dx de e c e e e e -===++++??? 5 34 2 (3)t a n s e c t a n s e c s e c x x d x x x d x ? =??? 22 2(s e c 1)s e c s e c x x d x =-?? ()642sec 2sec sec sec x x x d x =-+?753121 sec sec sec 753 x x x c = -++
高等数学 第四章不定积分课后习题详解
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
高等数学第四章不定积分课后习题详解
高等数学第四章不定 积分课后习题详解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)
思路: 被积函数52 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积 分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★ (9) 思路 = 11172488x x ++==，直接积分。 解 ：715888.15x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)211 x x e dx e --?
(完整word版)高等数学第四章不定积分习题,DOC
第四章不定积分 §4–1不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上)( '，则F(x)叫做)(x f在该区间上的一个,)(x f的 F= x f )(x A(1,6)和B(2,- .[] 三．单项选择题 1．c为任意常数，且) F=f(x),下式成立的有。 ('x （A）?= =F(x)+c; ('f(x)+c;（B）?dx x F) dx ( f) x （C）?=dx x F)()('x F+c;(D)?dx ('=F(x)+c. x f) 2.F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有。
48 （A ）F(x)=cG(x);（B ）F(x)=G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c;(D))()(x G x F ?=c. 3．下列各式中是||sin )(x x f =的原函数。 (A)||cos x y -=;(B)y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D)y={. 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 dx x -2 x 2sin 9.dx x x 2 )2sin 2(cos -?10.? ++dx x x 2cos 1cos 12 11.?dx x x x 2 2 cos sin 2cos 12.?++-dx x x x 3322332 13.dx x x )12 13( 22?--+14.?-dx x x x )tan (sec sec
15.?- dx x x x )1 1(216.dx x x ? -+11 五．应用题 1．一曲线通过点(2e ,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该 曲线的方程. 2．一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是32t (米/秒),问: ? 15．= -? dx x x 1 12 = -? dx x x 2 2)1 (11=-? 2 )1(11x x d _________ 16.若??≠=++=)0________()(,)()(a dx b ax f c x F dx x f 则 二．是非判断题 1． ??+?=??? ??=c x x d x dx x x 21 2111ln .[]
高等数学 第四章不定积分课后习题详解
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题41 1、求下列不定积分: 知识点:直接积分法得练习——求不定积分得基本方法。 思路分析:利用不定积分得运算性质与基本积分公式,直接求出不定积分！★(1) 思路: 被积函数 ,由积分表中得公式(2)可解。 解: ★(2)
思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3) 思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: ★(4) 思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: ★★(5) 思路:观察到后,根据不定积分得线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6) 思路:注意到,根据不定积分得线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易瞧出(5)(6)两题得解题思路就是一致得。一般地,如果被积函数为一个有理得假分式,通常先将其分解 为一个整式加上或减去一个真分式得形式,再分项积分。 ★(7) 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（- +-）2 ★(8) 思路:分项积分。 解: 2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++? ? ★★(9) 思路:？瞧到,直接积分。
高等数学第四章不定积分课后习题详解
第4章不定积分 内容概要
课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析： 利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质， 将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将
北大版高等数学第四章 微分中值定理与泰勒公式答案 习题4.1
习题 4.1 3 2 12121.()32[0,1][1,2]R o lle 0,(0)(1)(2)0,()[0,1][1,2]R o lle 620,6 3 (0,1),(1,2),()()0. 332.f x x x x f f f f f x x x x x x f x f x =-+==='-+== = ''====2 验证函数在区间及上满足定理的条件并分别求出导数为的点. 处处可导故在区间及上满足定理的条件.f (x )=3x 讨论下列 解11 1 1 ()[1,1]R o lle ,,(1,1),()0. (1)()(1)(1),,;(2)()1(1)()(1)(1)(1)(1) (1)(1)()0,(1,1),()0. 1 (2)(m n m n m n m n f x c f c f x x x m n f x f x m x x n x x m n x x m m x n n x c f c m f x -----∈-'==+-=- '=+--+--'=+----== ∈-=+'函数在区间上是否满足定理的条件若满足求使为正整数解1/3 2),(0). 33.()ln [1,],?11(),()(1)ln ln 11(1), 1. 4.L ag ran g e (1)|sin sin |||; (2)|tan tan |||,,(/2,/2);(3) ln x f f x x e c f x f e f e e c e x c y x x y x y y x x y b a b b b a ππ-'=- =='= -=-== -=--≤--≥-∈--<<不存在写出函数在区间上的微分中值公式并求出其中的应用中值定理,证明下列不等式:解2 2 2 (0). (1)|sin sin ||(sin )|()||co s |||||.(2)|tan tan ||(tan )|()|sec ||||.(3) ln ln ln (ln )|()((,)). 5.()(1)(4)x c x c x c a a b a x y x x y c x y x y y x x y x c y x y x b a b b a b a b a x b a c a b a a c a P x x x ===-<<'-=-=-≤-'-=-=-≥----'<=-=-= ∈< =--证明多项式的导函数的证1,212,. ()1,2,R o lle ,,,()(2,1),(1,1),(1,2). 6.,,,:()co s co s 2co s (0,). n n P x P x c c c f x c x c x c n x π±±---=+++ 三个根都是实根并指出它们的范围有四个实根根根据定理它的导函数有三个实根又作为四次多项式的导函数是三次多项式,最多三个实根,故的导函数的三个根都是实根,分别在区间设为任意实数证明函数在内必有根证
高等数学第4章课后习题答案(科学出版社)
第四章 习题解答 习 题 4-1 1.求下列不定积分： (1) (2) 2(23)d x x x +?； (3) ?+)1(d 22x x x ； (4) 2cot d x x ?? +?? ?； (6) 2 1 (1)x x -? ； (7) 1 d 1cos 2x x +?； (9) 221 d sin cos x x x ?； (10){}max ||,1d x x ?. 2.设某曲线上任意点处的切线的斜率等于该点横坐标的立方，又知该曲线通过原点，求此曲线方程. 3.验证函数21sin 2x ，21cos 2x -，1 cos24x -是某同一函数的原函数. 解答： 1.求下列不定积分： （1 ）解 532 25 12 5 212d 1()3 x x x C x C - -+-== +=-++-?． （2）解：?+x x x d )32(2 C x x x +3 ln 29+6ln 62+2ln 24= （3） =+-=+???22221d d )1(d x x x x x x x C x x +--arctan 1 (4) 解：? ?? -+-=+-x x x x x x x d )1(csc d 1 1d )cot 1 1( 2222 =C x x x +cot arcsin （ 5 ）113135 2222222242 (2)d 235x x x x x x x x x C -=-=-+=-++? ??
(6) 33571 2 44444214(1)(1)d ()d 47 x x x x x x x x x C x ----=-?=-=++??? (7) 解 2111 d d tan 1cos 22cos 2x x x C x x ==++?? (8) 解：?x x x x d sin cos 2cos 2 2??-=-=x x x x x x x x d )cos 1sin 1(d sin cos sin cos 222222 C x x +--=tan cot (9) 解：222222221sin cos 11 d d d d sin cos sin cos cos sin x x x x x x x x x x x x +==+???? 22sec d csc d tan cot x x x x x x C =+=-+?? (10) 解：},,1max{)(x x f =设??? ??>≤≤--<-=1,11,11 ,)(x x x x x x f 则. 上连续在),()(+∞-∞x f Θ， )(x F 则必存在原函数，1 >,+2 11≤≤1,+1<,+2 1=)(32 212 x C x x C x x C x x F 须处处连续，有又)(x F Θ )+21( lim =)+(lim 121 →21 →+C x C x x x ，,2 1 112C C +-=+-即 )(lim )21(lim 21321C x C x x x +=+-+→→ ，,12 1 23C C +=+即 ,1C C =联立并令.1,2 1 32C C C C +==＋可得 .1,12111,211,21},1max{2 2 ???? ? ? ???>++≤≤-++-<+-=?x C x x C x x C x dx x 故 2. 解：设所求曲线方程为)(x f y =，其上任一点),(y x 处切线的斜率为 3d d x x y =，从而 ?+= =C x x x y 4 34 1d .
高数 练习与答案 第四章
第四章 导数的应用 例1 设)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且 12 1 010===)(,)()(f f f ， 证明存在)1,0(∈ξ，使1)(='ξf 。 证：设x x f x F -=)()(，则02 121121)21()21(>=-=-=f F 01101)1()1(<-=-=-=f F 由介值定理存在)1,2 1 (∈t ，使0)(=t F ， 又00)0()0(=-=f F 在],0[t 上)(x F 满足罗尔定理的条件，故存在)1,0(),0(?∈t ξ，使 0)(='ξF ，即 1)(='ξf 例2 已知bx ax x x f ++=2 3 )(在1=x 有极值2-，试确定系数b a ,。 解：由?? ?-=++==++='2 1)1(0 23)1(b a f b a f 得3,0-==b a 。 例3 当2 0π<
0sin )(,2 cos )(<-=''- ='x x g x x g π ),2 0(π <
同济大学(高等数学)_第四章_不定积分
第四章 不定积分 令狐采学 前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法． 第1节 不定积分的概念与性质 1.1 不定积分的概念 在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为 ()s s t =， 则质点在时刻t 的瞬时速度表示为 ()v s t '=． 实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度 ()v v t =，
求出质点的位移函数 ()s s t =． 即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念． 1.1.1原函数 定义1如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有 ()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数． 例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1 (ln )'(0),x x x =>所以ln x 是 1x 在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件． 定理1如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有 ()()'=F x f x ． 简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义
高等数学测试及答案(第四章)
高等数学测试（第四章） 一. 选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中（ ）是()f x 的原函数。 A 21x - B 21x + C 22x x - D 2 2x x + 2. 若函数 ln x x 为()f x 的一个原函数，则不定积分()xf x dx '?=（ ） A 1ln x C x -+ B 1ln x C x ++ C 12ln x C x -+ D 12ln x C x ++ 3. 已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数()f x =（ ） A 1 B -1 C 0 D x 4. 若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '=（ ） A 1x B 21x - C ln x D ln x x 5. 若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（ ） A 1+x sin ； B x sin 1-； C 1+x cos ； D x cos 1-． 6. 设F )(x 是)(x f 的一个原函数，则下列各式正确的是（其中常数0>a ）（ ） A ． ?+=c ax F a dx ax f x )(ln 1)(ln 1 B ．?+=c ax aF dx ax f x )(ln )(ln 1 C ．?+=c ax F x dx ax f x )(ln 1)(ln 1 D ．?+=c ax F dx ax f x )(ln )(ln 1 7.()xf x dx ''=? ( ) A.()()xf x f x dx '-? B. ()()xf x f x C ''-+ C.()()xf x f x C '-+ D. ()()f x xf x C '-+ 8.下列式子中正确的是（ ） A ．()()x F x dF =? B ．()() C x F x dF d +=?
高数第四章重点
第四章 原函数存在定理：连续函数一定有原函数. 函数f(x)的原函数图形称为积分曲线的 =?x dx 2sin ?=xdx 2csc C x +-cot ?++=C x x x d x )t a n l n (s e c s e c ?=xdx x tan sec C x +sec ?xdx csc C x x +-=)cot ln(csc ?=xdx x cot csc C x +-csc C x a x a a dx x a +-+=-?ln 21122 =?dx a x C a a x +ln C a x a x a dx a x ++-=-?ln 21122 C a x x dx a x +±+=±?)ln(1 2222 ?? ???<-=>==0,10,00,1sgn )(x x x x x f R 内是否存在原函数？ 不存在 因为x=0处不可微 结论：每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数 a 3+ b 3=（a+b ）（a 2-ab+b 2） a 3-b 3=（a-b ）（a 2+ab+b 2） (a+b)3= a 3+b 3+3a 2b+3ab 2 求积分的方法： 1.三角代换的目的是化掉根式. 2.当分母的阶较高时, 可采用倒代换 3.积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的 4.当被积函数含有两种或两种以上的根式l k x x ,, 时，可采用令n t x =（其中 n 为各根 式指数的最小公倍数 5.凑微分 6.分部积分法（若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积 考虑将正余 函数和指数函数放入积分里做分部积分法） 若被积函数是幂函数和反三角函数或幂函数和对数函数则把幂函数放入积分里面
高数第四章 不定积分
第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 1. 若()2 1x +为()f x 的一个原函数，则下面哪些也是()f x 的原函数？ 答：2 +2x x 是。因为它与()2 1x +只差一个常数，而另外三个函数与()2 1x +不是相差常数. 2. 求下列不定积分 (1) 解 211 dx C x x =-+? (2) 解 11 10 1011.10111x x dx x C C +=+=++? (3) 解 14 13 313.14 13 x C x C += +=++ (4) 解 335 12 2 212.35 12 x dx x C x C +== =++?? (5) 解 5 3 2 22.3x dx x C - -==-+? (6) 解 arcsin .x C =+ 3. 已知函数()y f x =是导数等于1x +,且该函数过点()2,5,求这个函数. 解 由题目条件可得 ()()2 11,2 y f x x dx x x C ==+= ++? 且()215222C = ++,故1C =,所以()2 112 f x x x =++. 4. 已知曲线上任一点的切线斜率为2 3x ,且曲线过点()1,1,求此曲线方程. 解 由题目条件得233y x dx x C ==+? ,且11C =+,故0C =,所以3 y x =. 5. 求下列不定积分. (1) 解 102510.ln10 x x x x dx dx C == +?? (2) 解 715 8 88.15 x dx x C ==+? (3) 解 2 11335222222282 44.35x x dx x dx x dx x x C --==-+=++??? (4) 解 ()2 sec sec tan sec sec tan tan sec .x x x dx xdx x xdx x x C +=+=++???
高等数学第四章习题详细解答答案
1 习 题 4-1 1.求下列不定积分： （1）解：C x x x x x x x x x +-=-=-??-25232122d )5(d )51 ( （2）解：?+x x x d )32(2C x x x ++?+=3 ln 296ln 622ln 24 （3）略. (4) 解：???-+-=+-x x x x x x x d )1(csc d 11 d )cot 11 (2222 =C x x x +--cot arcsin (5) 解：?x x x d 2103 C x x x x x x +===??80ln 80d 80d 810 (6) 解：x x d 2sin 2?=C x x x x ++=-=?sin 2 121d )cos 1(21 (7)?+x x x x d sin cos 2cos C x x x x x x x x x x +--=-=+-=??cos sin d )sin (cos d sin cos sin cos 22 (8) 解：?x x x x d sin cos 2cos 22??-=-=x x x x x x x x d )cos 1sin 1(d sin cos sin cos 222222 C x x +--=tan cot (9) 解： ?? ?-=-x x x x x x x x x d tan sec d sec d )tan (sec sec 2=C x x +-sec tan (10) 解：},,1max{)(x x f =设?? ???>≤≤--<-=1,11,11,)(x x x x x x f 则. 上连续在),()(+∞-∞x f ， )(x F 则必存在原函数，???????>+≤≤-+-<+-=1,2 111,1 ,21)(32212x C x x C x x C x x F 须处处连续，有又)(x F )21(lim )(lim 12121C x C x x x +-=+-+-→-→ ，,2 1112C C +-=+-即 )(lim )21(lim 21321C x C x x x +=+-+→→ ，,12 123C C +=+即 .