高等数学(同济大学版)第四章练习(含答案)
第四章 不定积分
一、学习要求
1、理解原函数与不定积分的概念及性质。
2、掌握不定积分的第一类换元法、第二类换元法及分部积分法。
二、练习
1．在下列等式中，正确的结果是( C ). A.'()()f x dx f x =? B.()()df x f x =? C.
()()d f x dx f x dx =?
D.[()]()d f x dx f x =? 2.若ln x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）； A. ln ax B.1ln ax a C.ln x a + D.21(ln )2
x 3.设()f x 的一个原函数是2x e -，则()f x ＝（ B ）；
A. 2x e -
B. 22x e --
C. 24x e --
D. 24x e -
4．''()xf x dx =?（ C ）.
A.'()xf x C +
B. '()()f x f x C -+
C. '()()xf x f x C -+
D. '()()xf x f x C ++.
5
．将化为有理函数的积分，应作变换x =（ D ）. A. 3
t B. 4t C. 7t D. 12t 6.dx = 1/7 ()73d x -，
2cos 2dx x = 1/2 ()tan 2d x ，219dx x =+1/3 ()arctan3d x ； 7. 已知(31)x f x e '-=，则()f x =1
33x e c ++.
8.设()f x 是可导函数，则'()d f x x ?为()f x C +.
9.过点(1,2)且切线斜率为34x 的曲线方程为41y x =+
10.已知()cos xf x dx x C =+?，则()f x =sin x x
- 11.求下列不定积分
解: (1) 2232tan 1tan tan tan 1sin 3
x dx xd x x c x ==+-?? (2) 22arctan 11
x x
x x x x x dx e dx de e c e e e e -===++++??? 5342(3)tan sec tan sec sec x xdx x xd x ?=???
222(sec 1)sec sec x xd x =-?? ()642sec 2sec sec sec x x x d x =-+?753121sec sec sec 753
x x x c =-++
(4)(1(1
1(1)
x
dx dx
x
==-
-+
??
3
2
2
(1)
3
x x c
=-+++
2
,1,
t x t
==-
()
2
32
1
212
2(1)
13
t t
dt t t dt t t c
t
-??
==-=-+
?
+??
??
()
3
1
2
1
3
x c
=-++
3
2
2
(1)
3
x x c
=-+++
(5)22
22
111
(1)ln(1)
1212
x
dx d x x c
x x
=+=++
++
??
(6)
333
2ln ln ln ln
333
x x x
x xdx xd x d x
==?-
???
2
333
111
ln ln
3339
x
x x dx x x x c
=?-=-+
?
(7)()
2211
1ln(1) 111
x x
dx dx dx x dx x c x x x
-
=+=-+++ +++
????
2
1
ln(1)
2
x x x c
=-+++
(8)
2
arctan arctan
2
x
x xdx xd
=
??22
arctan arctan
22
x x
x d x
=-?
22
2
1
arctan
221
x x
x dx
x
=-?
+
?22
11
arctan1
221
x
x dx
x
??
=--
?
+
??
?
21
arctan arctan
222
x x
x x c
=-++
(9) ?
2
12
,,
33
t
t x dx tdt
-
===-
则
原式
2
22
122
()(1)
339
t
t t dt t t dt
-
=?-=--
??
33
2455
22122
()()
99352745
t t
t t dt t c t c
=--=--+=-++
?
（10）
222
23221
222222
x x
dx dx dx
x x x x x x
++
=+
++++++
???
222211(22)(1)ln 22arctan(1)22(1)1
d x x d x x x x C x x x =++++=+++++++++??12．曲线过点2(,3)
e ，且在任意点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，试求此曲线方程.
解：令所求曲线为()y f x =，任意点为(,)x y ，
由已知条件可得： '1()k f x x =
切线＝， 则 1()ln f x dx x C x ==+?； 又因为曲线过点2(,3)e ，可得 23ln 1e C C =+?=， 所以此曲线方程为()ln 1f x x =+.
13.选做题：求-.x e dx ?
解：当0x ≥时，--1,x x x e dx e dx e C -==-+?
? 当0x <时，-2,x x x e dx e dx e C ==+??
()12,0;,0
x x e C x F x e C x -?-+≥?∴=?+
lim lim 0,2.x x F x F x F C C C +-→→==∴==+ ()2,0,0
x x e C x F x e C x -?-++≥?=?+
(1)若x e -是()f x 的原函数，则()2ln x f x dx ?＝ ，若()f x 是x
e -的原函数，则()ln
f x dx x ?＝
. (2) ;（3）4sin xdx ?.
解：(1) ()()x x f x e e --'==-，则()ln 1ln x f x e x
-=-=-， ()22211ln 2
x f x dx x dx xdx x c x =-?=-=-+???. 又()x f x e -'=，则()x x f x e dx e C --==-+?，()ln 111ln x
f x e C C x
-=-+=-+ ()112ln 11ln f x C dx dx C x C x x x x ??=-+=++ ?????.
(2) (
(222arcsin arcsin C ====+???
(
(22C ==+?
（3）()241cos 2sin 4x xdx dx -=
??
()
212cos 2cos 24x x dx -+=?1cos 412cos 213cos 422cos 2442
2x x x dx x dx +??-+ ?????==-+ ????? 31cos 431sin 4cos 2sin 28288432x x x dx x x c ??=-+=-++ ???
? 15.选做题
已知()sin ,0
1,0,x x x f x e x ≥??-
解：(1) ()()()1sin 1,1sin ,011,0,1,1,x x x x x x f x f x e x e x -?-≥≥??-?
?-<-
()()()11sin 1cos 1f x dx x dx x C -=-=--+?? 当1x <时， ()()11211x x f x dx e dx e x C ---=-=-+??
高等数学(同济五版)-第四章-不定积分-练习题册
34 / 8 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 一、求下列不定积分： 1．dx x x ? ． 2．?x x dx 2 ． 3．?-dx x 2 )2(． 4．?-dx x x 2 )1( 5．? +++dx x x x 1133224． 6．?+dx x x 2 2 1． 7．??-?dx x x x 3 2532． 8．?-dx x x x )tan (sec sec ． 二、一曲线通过点)3,(2 e 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程． 第二节 换元积分法
35 / 8 一、填空题： 1．=dx )37(-x d ． 2．=xdx )5(2 x d ． 3．=dx x 3 )23(4 -x d ． 4．=- dx e x 2 )1(2 x e d - +． 5．=xdx 23sin )23(cos x d ． 6．=x dx |)|ln 53(x d -． 7． 291x dx + )3(arctan x d ． 8．=-21x xdx )1(2 x d -． 9． ?=dx x x )(')(φφ ． 10．若 ?+=C x F dx x f )()(则?=)()]([x dg x g f ． 二、选择题(单选)： 设)(x f 为 可导函数，则： (A) ()C x f dx x f +='?)2()2(； (B) ()C x f dx x f +=' ?)2(2)2(； (C) ())2()2(x f dx x f =' ?； (D) C x f dx x f +='?)2()2(． 答：( ) 三、求下列不定积分： 1．?-dx x 3 )23(． 2．? -3 32x dx ． 3．? ?xdx x 210 sec tan ． 4．? x x dx cos sin ． 5．? -dx xe x 2 ． 6．dx x x ? -2 32．
同济大学高等数学1期末试题(含答案)
1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ Λ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分） 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ） A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导，且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<'， 当,0>?x 时，有（A ） A. ,0<>?dy y C. ,0?>y dy 3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ） A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ） A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解
高等数学同济第七版下册课后答案
1.设 u =a -b +2c ， v =-a +3b -c .试用 a ， b ， c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（ -a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形 . 证 如图 8-1，设四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ，已知 AM =MC ， DM MB . 故 AB AM MB MC DM DC . 即 AB// DC AB |=| DC |，因此四边形 ABCD 3.把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D 1， D 2， D 3， D 4 ，再把各 分点与点 A 连接 .试以 AB =c, BC=a 表向量 D 1A , D 2A , D 3A , D A . 4 证 如图 8-2，根据题意知 1 5 1 5 1 5 BD 1 D 1D 2 D 2D 3 a, a, a, 1 5 D 3D 4 a, 1 故 D 1A =-（ 1） =- a- c AB BD 5
2 D 2A =-（ AB BD 2）D 3A =-（ AB BD 3）=- a- c 5 3 =- a- c 5 4 D A =-（ AB BD 4） =- a- c. 4 5 4.已知两点 M 1（ 0， 1， 2）和 M 2（ 1， -1， 0） . 试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2及 -2M 1M 2 . M 1M 2 =（ 1-0， -1-1， 0-2） =（ 1， -2， -2） . 解 -2M 1M 2 =-2（ 1， -2， -2） =（ -2， 4， 4） . 5.求平行于向量 a =（ 6， 7， -6）的单位向量 . a 解向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 6 7 6 , , 11 11 11 （ 6， 7， -6）= ， = a 11 其中 a 62 72 ( 6)2 11. 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （ 1， -2， 3）， B （ 2， 3， -4）， C （ 2， -3， -4） ， D （ -2， -3， 1） . 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点 在第三卦限 . 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各 点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4， 3）， C （ 3， 0， 0）， D （ 0，
高等数学(同济大学版)第四章练习(含答案)
第四章 不定积分 一、学习要求 1、理解原函数与不定积分的概念及性质。 2、掌握不定积分的第一类换元法、第二类换元法及分部积分法。 二、练习 1．在下列等式中，正确的结果是( C ). A. '()()f x dx f x =? B.()()df x f x =? C. ()()d f x dx f x dx =? D.[()]()d f x dx f x =? 2.若ln x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）； A. ln ax B.1ln ax a C.ln x a + D.21(ln )2 x 3.设()f x 的一个原函数是2x e -，则()f x ＝（ B ）； A. 2x e - B. 22x e -- C. 24x e -- D. 24x e - 4．'' ()xf x dx =? （ C ）. A.'()xf x C + B. '()()f x f x C -+ C. '()()xf x f x C -+ D. '()()xf x f x C ++. 5 ．将 化为有理函数的积分，应作变换x =（ D ）. A. 3t B. 4 t C. 7 t D. 12 t 6.dx = 1/7 ()73d x -， 2cos 2dx x = 1/2 ()tan 2d x ，2 19dx x =+1/3 ()arctan3d x ； 7. 已知(31)x f x e '-=，则()f x =1 3 3x e c ++. 8.设()f x 是可导函数，则'()d f x x ?为()f x C +. 9.过点(1,2)且切线斜率为34x 的曲线方程为41y x =+ 10.已知()cos xf x dx x C =+?，则()f x =sin x x - 11.求下列不定积分 解: (1) 22 32tan 1tan tan tan 1sin 3 x dx xd x x c x ==+-?? (2) 22arctan 11 x x x x x x x dx e dx de e c e e e e -===++++??? 5 34 2 (3)t a n s e c t a n s e c s e c x x d x x x d x ? =??? 22 2(s e c 1)s e c s e c x x d x =-?? ()642sec 2sec sec sec x x x d x =-+?753121 sec sec sec 753 x x x c = -++
同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)
福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念
高等数学同济第七版7版下册习题全解
第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (
A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n "
9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 同济大学高等数学（下）期中考试试卷2 一.简答题（每小题8分） 1.求曲线?????+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点??? ??1,3,2 π处的切线方程. 2.方程1ln =+-xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？ 3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路： 设椭球面1222222 =++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面 之间的最小距离. 4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若 1)1,1(-=y f ，求)1,1(x f . 二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y x u ???2 . 三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dx dy . 四.（8分）求曲线 ???=--=01, 02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分） ??D y dxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的 三角形区域. 六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤- +-y x 上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z --=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线 1000222=+y x 上的点. （1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率； （2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标. 八.（14分） 设曲面∑是双曲线2422=-y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行. （1）写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标； （2）若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积. 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，，A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的W K域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 第四章 不定积分 前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法． 第1节 不定积分的概念与性质 1.1 不定积分的概念 在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为 ()s s t =， 则质点在时刻t 的瞬时速度表示为 ()v s t '=． 实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度 ()v v t =， 求出质点的位移函数 ()s s t =． 即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念． 1.1.1原函数 定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有 ()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数． 例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0), x x x =>所以ln x 是 1 x 在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件． 定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有 ()()'=F x f x ． 简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数． 定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论： 本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。 同济大学2015-2016学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 填空选择题(3'824'?=) 1. 极限1 2 02lim( )23h h h e h -→-=+. 2. 积分(12sin ) cos '(12sin )2 f x x f x dx C --?-=+? . 3. 函数2 20 ()sin(1)x F x t dt = +? 的导函数4'()2sin(1)F x x x =+. 4. 曲线3 22 (1)1(12)3 y x x =++-≤≤的弧长14 3 s = . 5. 极限0 lim ()x x f x -→=+∞的定义是 【D 】 () 0,0A εδ?>?>, 当00x x δ<-<时, 有()f x A ε-<; () 0,0B εδ?>?>, 当x δ>时, 有()f x ε>; () 0,0C M X ?>?>, 当x X >时, 有()f x M >; () 0,0D M δ?>?>, 当00x x x δ-≤<时, 有()f x M >. 6. 若123(),(),()y x y x y x 是二阶微分方程"()'()()y a x y b x y c x =++的三个线性无关的解, 则该方程的通解为 【D 】 112233()()()( )A C y x C y x C y x ++, 其中123,,C C C 是任意常数; 11223 ()()()()B C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 11223 ()()[()()]C C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 112233()()()( )D C y x C y x C y x ++ , 其中任意常数1231C C C ++=. 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 定义：如果在区间I 上，可导函数 ()F x 的导函数为()f x ，即对于任一x I ∈都有 ()()F x f x '=或d ()()d ,F x f x x =则称函数()F x 为()f x （或()d f x x ）在区间I 上的 一个原函数. 例如：因() 22x x '=，故2 x 是2x 的一个原函数. 定理（原函数存在定理）：如果函数 ()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数 ()F x ，使对任一x I ∈都有()().F x f x '=即连续函数必有原函数. 注：①如果()f x 有一个原函数的话，那么()f x 就有无限多个原函数. ②()f x 的任意两个原函数只差一个常数. 定义：在区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()d f x x ）在区间I 上的不定积分，记作()d f x x ?， 其中? 称为积分号， ()f x 称为被积函数，()d f x x 称 为被积表达式， x 称为积分变量. 即()d ().f x x F x C =+? 注：()d f x x ?是()f x 的原函数，故有 d ()d ()d f x x f x x ? ?=???或d ()d ()d ;f x x f x x ??=??? 又因为()F x 是()F x '的原函数，所以有()d ()F x x F x C '=+?或d ()().F x F x C =+? 所以记号? 与d 是互逆的 例：求 d x x ? 解：由于2 2 x x ' ??= ??? ，所以22x 是x 的一个原函数，因此2 d 2 x x x C = +? 例：求1 d x x ? 解：当0x ＞时，有1(ln )x x '= 当0x ＜时，有[]11ln()(1)x x x '-= ?-=-，故ln |1d |x C x x =+? 函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线. 高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 第十章重积分95 数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 96一、《高等数学》(第七版)下册习题全解 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 209 教材习题同步解析 习题4-1 2. 求下列不定积分: (2)x ?; (3)x (4)?x x x d 32; (5) ?x x x d 1 2 ; (11)x x x d )1(13? -+）（; (12)?-x x x d )1(2; (15)x x e e x x d 1? ??? ? ??--; (16)?x e x x d 3; (19)? x x d 2 cos 2; (20)?+x x d 2cos 11; (21)? -x x x x d sin cos 2cos ; (22)?x x x x d sin cos 2cos 2 2; (23)? x x d cot 2; (25)22d 1 x x x +?. (26)?++x x x x d 12322 4. 解 (2)35 222 d 5 x x x x C ==+?? . (3)x C =. (4)C x x dx x x x x += =? ? 3 3373 210 3d . (5) C x x x x x x x +?-==? ?- 132d d 1 252 . 209 (11) x x x d )1(13?-+）（x x x x d 132? ?? ? ??-+-= ?? ? ? - + - =x x x x x x x d d d d 23 21 2 C x x x x +-+-=25 23 35 2 3231. (12) ()? ? +-= -x x x x x x x d 21d 12 2 C x x x x x x x ++-=??? ? ??+-=? -25 232123212152342d 2. (15)C x e x x e x x e e x x x x +-=??? ? ??-=???? ??-? ?--21212d d 1. (16)C e C e e x e x e x x x x x x ++=+= =? ? 1 3ln 3)3ln()3(d )3(d 3. (19)? ?+=x x x x d 2cos 1d 2cos 2 C x x x x ++=+=? )sin (2 1d )cos 1(21. (20)? ?+==+C x x x x x tan 21 d cos 21d 2cos 112. (21)x x x x x x x x x d sin cos sin cos d sin cos 2cos 22?? --=- ? +-=+=C x x x x x cos sin d )sin (cos . (22)222222cos 2cos sin d d cos sin cos sin x x x x x x x x x -=? ? 22 1 1d sin cos x x x ??=- ??? ?C x x +--=tan cot . 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 分，共 ?分） ．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ） （?）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （ ）()||f x x = 和 ( )g x = （ ）()f x x = 和 ( )2 g x = （ ）()|| x f x x = 和 ()g x = ．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续，则a = （ ） （?） （ ） 1 4 （ ） （ ） ．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ） （?）1y x =- （ ）(1)y x =-+ （ ）()()ln 11y x x =-- （ ） y x = ．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ） （?）连续且可导 （ ）连续且可微 （ ）连续不可导 （ ）不连续不可微 ．点0x =是函数4 y x =的（ ） （?）驻点但非极值点 （ ）拐点 （ ）驻点且是拐点 （ ）驻点且是极值点 ．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ） （?）只有水平渐近线 （ ）只有垂直渐近线 （ ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （ ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 ． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ） （?）1f C x ?? -+ ??? （ ）1f C x ?? --+ ??? （ ）1f C x ?? + ??? （ ）1f C x ?? -+ ??? ． x x dx e e -+?的结果是（ ） （?）arctan x e C + （ ）arctan x e C -+ （ ）x x e e C --+ （ ） ln()x x e e C -++ ．下列定积分为零的是（ ） （?）424arctan 1x dx x π π-+? （ ）44 arcsin x x dx ππ-? （ ）112x x e e dx --+? （ ）()1 2 1 sin x x x dx -+? ?．设()f x 为连续函数，则 ()1 2f x dx '?等于（ ） （?）()()20f f - （ ）()()11102f f -????（ ）()()1 202f f -????（ ）()()10f f - 二．填空题（每题 分，共 ?分） ．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = ．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '= ．21 x y x =-的垂直渐近线有条 ． ()21ln dx x x = +?同济大学高等数学2
(完整word版)同济大学版高等数学期末考试试卷
高等数学同济第七版7版下册习题 全解
同济大学(高等数学)-第四章-不定积分
同济大学2015-2016学年高等数学(B)上期末考试试卷
高等数学同济七版第四章电子教案
高等数学同济第七版上册知识点总结归纳
高等数学同济第七版版下册习题 全解
同济高等数学第七版第4章习题解答
同济大学版高等数学期末考试试卷