复数与方程

复数与方程

重点难点:一元二次方程

一、二项方程:形如(a0, a n∈C,a n≠0, n∈N)的方程

基本解法:化为的形成，利用复数开方求出它的根。

例1．在复数集中解下列方程

解1)法1、求方程的解，即求复数的4次方根，

∵

∴其4次方根为(k=0,1,2,3)

∴原方程的解为下面4个复数:

法2、求方程的解，即求复数的4次方根。

∵由知1-i为的一个4次方根，

∴由复数的次方根的几何意义有的其余三个4次方根分别为:

∴方程的解分别为1+i, -1+i, -1-i, 1-i。

解2) 令,∴,

∴解之有,∴原方程的根为2-i或-2+i。

注:解二项方程实质就是求一复数的次方根，所以要注意一复数Z的次方根的几种基本求法:<一>，则可用公式

(k=0,1,2,……,n -1)

求其n 个n 次方根。如例(1)解法1，此n 个复数的几何意义是复平面上n 个点，这n 个点均匀分布在以原点为圆心，以

为半径的圆上，组成一个正n 边形。

<二> 若能由已知中找出个Z 的n 次方根Z 0，则可由n 次方根的几何意义求其余n-1个n 个次根如下:

, 。如例(1)解

法2。

<三>若Z 的辐角非特殊值，不好转化为三角形式或也不好看出Z 的n 次方根时，则可以考虑用n 次方根的定义利用代数形式及复数相等直接求。如例(2)。

二、一元二次方程

1. a,b,c ∈R 时基本解法

时，两不等实根可由求根公式

求出，

时，两相等实根。可由上面公式求出，

时，两互为其轭虚根，可由求根公式求出。另:韦达定理仍成立。

2. a,b,c ∈C 时基本解法

判别式定理不成立，所以不能由此判别根的情况。但可由求根公式, δ是b 2-4ac 的一个平方

根 另:韦达定理仍成立。 例2．在复数集中解方程

。

解:∵，∴ =，

∴ 原方程的根为。

注:∵ (x-1)(x 2+x+1)=x 3-1

∴ x 2+x+1=0的根也是x 3=1的根，即1的两个立方虚根。

记,则，其有如下特征:

①

； ②

； ③

；

④；⑤

要注意此特征，并能灵活运用其解决有关问题。

例3．在复数集中解方程①2x2-6ix-6=0；②x2-(5-3i)x+(4-7i)=0。

解①:∵其平方根为，

∴原方程根为，

∵；其平方根为(1-i)或-(1-i)，

∴原方程的根为，即3-2i或2-i。

注:在例3 ①中Δ>0，但有两虚根，可见判别式定理对于复系数的一元二次方程来谈已不成立。要注意不要轻易由Δ的正负情况给根下结论。

三、含的方程

基本解法：1．令Z=x+yi(x,y∈R)，由复数相等转化为实数方程来解决。

2．若由①困难，则看是否能求出|Z|，然后代回去再解。

例4．令,解方程

解:令Z=x+yi(x,y∈R)，则原方程化为:

即，

∴由复数相等的条件有

解之有x=0, y=3(x=4, y=3是增根，舍去）∴原方程的解是3i。

例5．解方程。

分析:三次方程解起来比较困难，所以考虑。

解:∵,∴两边取模有即,

∴,∴|Z|=0或|Z|=1,

当|Z|=0时，Z1=0，当|Z|=1时，含Z=cosθ+isinθ代入原方程有cos3θ-isin3θ=cosθ+isinθ即

cos(-3θ)+isin(-3θ)=cosθ+isinθ，由复数相等条件有:-3θ=θ+2kπ(k∈Z)

∴,∴Z2=1, Z3=-1, Z4=i, Z5=-i,∴原方程有5个根:0，±1，±i。

注:令Z=x+yi(x,y∈R)是解决含的方程的基本出发点。有时由于题目的特殊性，应用此法去解方程会有困难，如出现高次等等，这时要注意题目特点，从题目结构出发，正确运用共轭及模的性质，看能否先求出|Z|，然后再带回解决问题，如解方程Z n=等。

参考练习:

一、在复数集中解下列方程:

二、关于x的方程x2-(2i-1)x+3m-i=0(m∈R)有实根，求这个实根及实数m的取值范围。

三、关于x的方程x2+x+1=0的两个根为α,β，求α100+β100的值。

四、已知虚数α，β是实系数一元二次方程的两个根且，求。

本周参考答案:

一、1．可见为其一个根，所以其余三个根为, ,

。

2. 法一:令x=a+bi(a,b∈R)，则由已知有，解之有

。∴根为0, i,-i。

法2:∵x2+|x|=0，∴x2=-|x|, ∴|x2|=|-|x||

即|x2|=|x|，解之有|x|=0或|x|=1,

当|x|=0时,有x=0,

当|x|=1时，代入原方程有x2+1=0，∴x2=-1,

∴x=i或x=-i。

3．∵, 其平方根,

∴由求根公式x=有此方程的两个根分别为-2, -3i。

4．根为-1±2i。

二、这是复系数方程，已不能用判别式确定有实根的条件，若用求根公式也很繁，所以用复数为零的充要条件来做，令x0为方程的实根，则

∵x0, m∈R, ∴解之有x0=-,m=。

三、由求根公式有x2+x+1=0的两根α=,β=,且可知:α3=1，β3=1，

由其有α3n=1,β3n=1(n∈N),∴α100+β100=α99+1+β99+1=α+β=-1。

四、∵∴，

又,,∴，即，即α3=β3，

∴,

∵, ∴，又，

∴，解之有。

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选择题

1．复数等于（）

A、1+i

B、-1+

C、1-i

D、-1-i

2．复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（）

A、i

B、-i

C、±i

D、±i 3．已知复数z的模为2，则|z-i|的最大值为（）

A、1

B、2

C、

D、3

4．如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2，那么|z+i+1|的最小值是（）

A、1

B、

C、2

D、

5．设复数z=-i(i为虚数单位)，则满足等式z n=z，且大于1的正整数n中最小的是（）

A、3

B、4

C、6

D、7

答案与解析

答案：1、B 2、D 3、D 4、A 5、B

解析：

1．选B。

2．选D。

解：由复数开方的几何意义知，-i的立方根的对应点为均匀分布在以原点为圆心，以1为半径的圆上的3

个点。三个根辐角差为120°，一个根是i，另两根是：

3．选D。本小题考查复数模的概念及复平面内两点距离公式。

解：[解法一]设，则。即a2+b2=4， a2=4-b2≥0，

∴。又。

因此，当b=-2时，。故选D。

[解法二]∵，∴。

[解法三]，复数z对应点Z的集合构成的图形是以原点为圆心，2为半径的圆。|z-i|表示圆上

点与点(0，1)间的距离。从图上看，显然圆上点(0，-2)到点(0，1)的距离为最大，最大距离为3。

4．选A

解：设复数z对应点Z，因为，所以点Z的集合是y轴上以Z1(0，-1)，Z2(0，1)为端

点的线段。表示线段Z1Z2上的点到点(-1，1)的距离。此距离的最小值为点(-1，-1)到点Z1(0，-1)

的距离，其距离为1，故选A。

5．选B。

解：[解法1] 由z n=z，得z n-1=1，即(cos+isin)n-1=1，

cos+isin=1，=2kπ， k∈Z，所以n=3k+1。

n>1，则3k+1>1，k>0， k≥1， n≥321+1=4，n的最小值是4。

[解法2] z=-i是1的立方虚根，所以z3=1。由z n=z，得z n-1=1。n-1应是3的倍数，n-1=3时n=4，4为n的最小值。

复数知识点概要

复数是高中代数的重要内容，在高考试题中约占8％-10％，一般的出一道基础题和一道中档题，经常与三角、解析几何、方程、不等式等知识综合．本章主要内容是复数的概念，复数的代数、几何、三角表示方法以及复数的运算．方程、方程组，数形结合，分域讨论，等价转化的数学思想与方法在本章中有突出的体现．而复数是代数，三角，解析几何知识，相互转化的枢纽，这对拓宽学生思路，提高学生解综合习题能力是有益的．数、式的运算和解方程，方程组，不等式是学好本章必须具有的基本技能．简化运算的意识也应进一步加强．

在本章学习结束时，应该明确对二次三项式的因式分解和解一元二次方程与二项方程可以画上圆满的句号了，对向量的运算、曲线的复数形式的方程、复数集中的数列等边缘性的知识还有待于进一步的研究．1．知识网络图

2．重点

(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.

(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.

(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.

（4）复数集中一元二次方程和二项方程的解法.

3．难点

(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.

(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.

(3)复数的辐角主值的求法.

(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.

4．考查方向

(1)理解复数及有关的概念，掌握复数的代数、几何、三角表示法及其相互转换.

(2)掌握复数运算的法则，能正确的进行复数运算，并理解复数运算的几何意义.

(3)掌握好复数集中一元二次方程和二项方程的解法.

高考题目解析

1．有关复数的代数形式运算的试题的特点是强调基础，试题难度与教材的习题相当。高考重视共轭复数与复数模的考查。

2．复数的三角形式及其运算是高考的重点，尤其文科，近些年大部分解答题都是求复数的三角形式，求复数的模与辐角主值。要掌握利用三角公式化复数为三角形式。

3．复数运算的几何意义也是高考中重复性很强的试题。有关复平面内两点距离公式，复数乘、除法运算几何意义的试题出现频率很高。另外，对圆、椭圆方程的复数形式都有考查。

4．有关复数的方程：包括实系数一元二次方程与二项方程。

5．复数解答题总是在知识网络交汇点处命题，常在三角和复数的交汇点处命题，1999年试题在复数、三角、不等式、反三角函数的交汇点处命题。

1．设z∈C,解方程。（92·全国·文）

本题主要考查复数相等的条件及解方程的知识。

解：设。依题意有：,

由复数相等的定义，得：

将(2)代入(1)式，得

解此方程并经检验得：。

∴

2．已知z∈C，解方程。（92·全国·理）

本题考查复数相等的条件及解方程的知识。

解：设，将代入原方程，得：

,

整理得：，

根据复数相等的定义，得：由(1)得x=-1,

将x=-1代入(2)式，解得y=0, y=3。∴。

3. 已知z=1+i,（1）设求ω的三角形式；

（2）如果=1-i，求实数a,b的值。（94·全国·理）

本题考查共轭复数，复数的三角形式等基础知识及运算能力。

解：（1）由z=1+i，有

（2）由z=1+i，有

由题设条件知：根据复数相等的定义，

得解得

说明：本题为94年解答题的第一题，难度系数为0.85，也就是说绝大多数考生都能较好地完成本题。每年解答题第一题都是这样难度等级为“易”的试题，回答此类试题时，一定力争不失分。

4．设复数，求复数z2+z的模和辐角。（95·全国·文）

本题主要考查复数的有关概念，三角公式及运算能力。

解：

∵，∴，∴。

所以复数z2+z的模为；辐角为

5．设z是虚数, ω=z+是实数，且-1<ω<2。(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；

（2）设u=。求证：u为纯虚数；（3）求ω-u2的最小值。（96·上海）

本题考查复数的概念、复数的模、复数的运算、不等式的知识，以及运算能力和推理能力。

解：（1）设

,

∵ω是实数，b≠0，∴a2+b2=1,即|z|=1,

∵ω=2a, -1<ω<2，∴z的实部的取值范围是()。

（2）

∵a∈(),b≠0,∴u为纯虚数。

（3）ω-u2=2a+=2a-=

∵a∈(),∴a+1>0。∴ω-u2≥2×2-3=1。

当a+1=，即a=0时上式取等号。∴ω-u2的最小值是1。

说明：本题是道综合题，(1)和(2)属于基本题。在(3)中不难得到ω-u2=2a-，以后的变化需要一定的技巧，首先使的分子不含字母，=。在得到ω-u2=后，为使用平均

值不等式，需将2a-1变形为2(a+1)-3。这样ω-u2=，不难用平均值不等式求得最小值。还需要注意，一定要讨论等号是否能成立。

6．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数z2=1+i，求Z1和Z3对应的复数。（96·全国·理）

本题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力。

解：设Z1，Z3对应的复数分别为z1, z3。依题意得：

说明：本题满分8分，难度系数为0.62。属难度为“较易”的解答题，位置在解答题第一题。本题的关键是必须正确理解复平面上的点与复数一一对应，以及复数运算的几何意义。

7．已知复数, 。复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q。证明

ΔOPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）。（97·全国·理）

本小题主要考查复数的基本概念，复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力。

解：[解法一]

因为OP与OQ的夹角为。

因为。

由此知ΔOPQ有两边相等且其夹角为直角，故ΔOPQ为等腰直角三角形。

[解法2]因为所以z3=-i。

因为，所以。

于是。由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|。

由此知ΔOPQ有两边相等且其夹角为直角，故ΔOPQ为等腰直角三角形。

说明：本题难度系数为0.71，属“较易”。解法1是根据两复数的辐角差为90°，由复数辐角的定义得

OP⊥OQ。解法2是根据复数除法的几何意义证出OP⊥OQ。本题还可用复平面上两点距离公式和勾股定理逆定理来证明，不过计算量较大。