复数与参数方程( )

(极坐标与参数方程)教学案( 4 )

高二数学 (极坐标与参数方程)教学案( 4 ) 常见曲线的极坐标方程 一、课前自主预习 1.将下列极坐标方程化为直角坐标方程 ⑴5=ρ, ⑵sin 2ρθ=, ⑶πθ4 3 =, 2.写出下列特殊图形的直线方程 图3 图1 _________________ _________________ ____________________ 图5 图4 ______________ ________________ 3.写出下列特殊图形圆的极坐标方程 . 图3 图2 图1 O ____________________ ________________ ________________________ 图5 图4 _____________________ ____________________

4. 若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：_____________ 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为：__________________________________ 二、课堂合作探究 例1：按下列条件写出它的极坐标方程: ⑴求过极点，倾角为π/4的射线的极坐标方程.⑵求过极点, 倾角为π/4的直线的极坐标方程.⑶求过极点及??? ??6, 6πA 的直线方程.⑷求过点?? ? ??6,6πA 平行于极轴的直线⑸求过点?? ? ??6,6πA 且倾斜角为32π的直线方程.. 例2、:按下列条件写出圆的极坐标方程: (1)以()0,3A 为圆心,且过极点的圆(2)以?? ? ??2, 8πB 为圆心,且过极点的圆 (3)以极点O 与点()0,4-C 连接的线段为直径的圆(4)圆心在极轴上,且过极点与点??? ? ? 6,32πD 的圆 例3、自极点O 作射线与直线4=θρsos 相交于点M,在OM 上取一点P,使得OM ·OP=12,求点P 的轨迹方程.

高中数学选修1-2 4-4测试题(复数,统计案例,极坐标与参数方程)

高二数学第一次月考试卷(文科) 一、选择题(共12题,每题5分,共60分) 1、观察下列数的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中,第100项是( ) A ．10 B ．13 C ．14 D ．100 2、若复数3i z =-，则z 在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系; ③回归关系是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法; ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。 A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 4、 向量a 对应的复数是5－4i ，向量b 对应的复数是－5＋4i ，则向量a ＋b 对应的复数是 ( ) A ．－10＋8i B ．10－8i C ．0 D ．10＋8i 5、直角坐标系中点)3,1(-P ，则它的极坐标是( ) A ．)3,2(π B.)34,2(π C ．)3,2(π- D ．)34,2(π- 6、已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是( ) A.y ∧ =1.23x ＋4 B. y ∧ =1.23x+5 C. y ∧ =1.23x+0.08 D. y ∧ =0.08x+1.

7、已知直线l 的参数方程为（t 为参数），则其直角坐标方程为（ ） A ． x+y+2﹣=0 B ． x ﹣y+2﹣ =0 C ．x ﹣y+2﹣ =0 D ．x+ y+2﹣ =0 8、在极坐标系中，点(2，3π )到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B 9、与参数方程为（t 为参数）等价的普通方程为（ ）？ A ．x2+=1 B ．x2+=1（0≤x ≤1） C ．x2+ =1（0≤y ≤2） D ．x2+ =1（0≤x ≤1，0≤y ≤2） 10、 若复数Z=(m-2)+(m 2-3m+2)i 是纯虚数，则实数m 的值为( ) A. 1或2 B.-2 C. 1 D. 2 11、在极坐标系中，直线l 的方程为，则点 到直线 l 的距离为（ ） A ． B ． C ． D ． 12、设z=x+yi （R y x ∈,），且则,2|4|=-z y x 的最小值是（ ） A ．3 B ．3- C ． - D ．-1 二、填空题(共4题,每题5分,共20分)

极坐标与参数方程 经典练习题含答案详解

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ=-+??=? 的（ ）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与? ??==θθ sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7 ．与参数方程为)x t y ?=?? =??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22 14 y x + = B ．22 1(01)4y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．22 1(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤

复数集内一元二次方程的解法

复数集内一元二次方程的解法 一、实系数一元二次方程 只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭， 1．判定下列方程根的情况，并解方程 （1）022=++x x ，0722=++x x ，0452=+-x x （2）0122=+-x x 答：4 71i x ±=，05322=+-x x ，09222=+-x x 2．若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1，x 2满足|x 1-x 2|=3，求实数m 的值． |x 1-x 2|=3，|（x 1-x 2）2|=9；则|（x 1＋x 2）2-4x 1x 2|=9，即|25-4m|=9． 3．已知实系数一元二次方程2x 2 ＋rx ＋s=0的一个根为2i-3，求r ，s 的值． 二、复系数一元二次方程 虚根不一定成对，成对也不一定共轭。 1．求方程x 2-2ix-5=0的解．（当b 2-4ac ≥0时，方程的解都是实数吗？） 求方程x 2-2ix-7=0的解 解方程：x 2-4ix+5=0； 解方程：0)2(25222=--++-i x x x x 答：i x x 5 351,221-==（应用求根公式，不能用复数相等） 06)32(2=+++i x i x 答：i x x 3,221-=-=（b 2-4ac 为虚数，） 2．解方程：x 2＋（1＋i ）x ＋5i=0． 2511 22=+++x x x x 答：4151,13,21i x x ±== 2311 22=+-+x x x x 答：4151,13,21i x x ±=-= 三、方程有实根或纯虚根的问题 1．方程x 2+（m+2i ）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m 的值和这方程的解．

极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题

极坐标与参数方程高考精练（经典39题） 1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3 l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α= ）作平行于()4R π θρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标 系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4 sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ???????+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3???=+=.在极坐标系（与直角 坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方 程为θρcos 4=.

（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π ，半径r=1，P 在圆C 上运动。 （I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极 点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方 程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为 )4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(=θ+πρ.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若圆C 和直线l 相交 于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线???==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变 为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍 得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方 程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度． 9．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是??? ????=+-=. 21, 233t y t x （t 为参数）。求极点在直线l 上的射影点P 的极坐标；若M 、N 分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值。

定积分复数极坐标参数方程理

第三讲 定积分 微积分 【ME 恒学课堂之定积分微积分基础把控】 1. 和式()5 11i i y =+∑可表示为（ ） A.（y 1+1）+（y 5+1） B.y 1+y 2+y 3+y 4+y 5+1 C.y 1+y 2+y 3+y 4+y 5+5 D.（y 1+1）（y 2+1）…（y 5+1） 2. 关于定积分3 321(2)x x dx -+?下列说法正确的是（ ） 3. 求由曲线y=3e x 与直线x=2，y=3围成的图形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为________ 4. 下列各阴影部分面积s 不可以用()()b a s f x g x dx =-??? ??表示的是( ) A. B.

C. D.

5. 计算3 2 (32)= x dx +? 6. 定积分20162015(2016)= dx ? 7. 定积分2 1 ()= x dx -? 8. 用定积分的几何意义求 420 (16)=x dx -?的值 9. 曲线x y cos =与直线0=x ，π=x ,0=y 所围成平面图形面积等于________. 10. 若?=+1 02)2(dx k x ，则__________=k . 11. 根据?=π 200sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围 成的曲边梯形面积下列结论正确的是（ ） A ．面积为0 B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积 C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积 D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积 12. 由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为 13. 分如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sinx(0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的 概率是( ) A. 1 π B.2 π C.3 π D.π4 14. 甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，

矩阵与参数方程

精锐教育学科教师辅导讲义 年级：高三辅导科目：数学课时数：3 课题选修部分复习 教学目的熟练掌握高考数学中选修部分矩阵以及极坐标参数方程的应用 教学内容 一、矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表 示该元素在矩阵中的位置。比如，或表示一个矩阵，下标表 示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。 当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是 零，则称为单位矩阵，记为，即：。

二、矩阵的运算 1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说 ），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即：。 （1）交换律：； （2）结合律：； （3）存在零元：； （4）存在负元：。 2 、数与矩阵的乘法： （1 ）； （2 ）； （3 ）； （4 ）。 3 、矩阵的乘法： 设为距阵，为距阵，则矩阵可以左乘矩阵（注意：距阵德列数等与矩阵的行数），所得的积为一个距阵，即，其中，并且 。 矩阵的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：

（ 1）结合律： ； （ 2）左分配律： ； （ 3）右分配律： ； （ 4）数与矩阵乘法的结合律： ； （ 5）单位元的存在性： 。 若 为 阶方阵，则对任意正整数 ，我们定义： ，并规定： 由于矩阵乘法满足结合 律，我们有： ， 。 注意： 矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是： （1 ）矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便 有意义， 也未必有意义；倘使 都有意义，二者 也未必相等（请读者自己举反例）。正是由于这个原因，一般来讲， ， 。 （2 ）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即 未必能推出 或者。 （3 ）消去律部成立：如果 并且 ，未必有 。 【例】求矩阵 1111A ??= ?--?? 与 1111B -??= ? -?? 的乘积AB 及.BA 解 按公式（1.10），有 111100, 111100111122. 111122AB BA -??????== ??? ?---??????-??????== ??? ?-----??????

复数与方程

复数与方程 重点难点:一元二次方程 一、二项方程:形如(a0, a n∈C,a n≠0, n∈N)的方程 基本解法:化为的形成，利用复数开方求出它的根。 例1．在复数集中解下列方程 解1)法1、求方程的解，即求复数的4次方根， ∵ ∴其4次方根为(k=0,1,2,3) ∴原方程的解为下面4个复数: 法2、求方程的解，即求复数的4次方根。 ∵由知1-i为的一个4次方根， ∴由复数的次方根的几何意义有的其余三个4次方根分别为: ∴方程的解分别为1+i, -1+i, -1-i, 1-i。 解2) 令,∴, ∴解之有,∴原方程的根为2-i或-2+i。 注:解二项方程实质就是求一复数的次方根，所以要注意一复数Z的次方根的几种基本求法:<一>，则可用公式

(k=0,1,2,……,n -1) 求其n 个n 次方根。如例(1)解法1，此n 个复数的几何意义是复平面上n 个点，这n 个点均匀分布在以原点为圆心，以 为半径的圆上，组成一个正n 边形。 <二> 若能由已知中找出个Z 的n 次方根Z 0，则可由n 次方根的几何意义求其余n-1个n 个次根如下: , 。如例(1)解 法2。 <三>若Z 的辐角非特殊值，不好转化为三角形式或也不好看出Z 的n 次方根时，则可以考虑用n 次方根的定义利用代数形式及复数相等直接求。如例(2)。 二、一元二次方程 1. a,b,c ∈R 时基本解法 时，两不等实根可由求根公式 求出， 时，两相等实根。可由上面公式求出， 时，两互为其轭虚根，可由求根公式求出。另:韦达定理仍成立。 2. a,b,c ∈C 时基本解法 判别式定理不成立，所以不能由此判别根的情况。但可由求根公式, δ是b 2-4ac 的一个平方 根 另:韦达定理仍成立。 例2．在复数集中解方程 。 解:∵，∴ =， ∴ 原方程的根为。 注:∵ (x-1)(x 2+x+1)=x 3-1 ∴ x 2+x+1=0的根也是x 3=1的根，即1的两个立方虚根。 记,则，其有如下特征: ① ； ② ； ③ ；

一元三次方程与复数

浅谈解一元三次方程 江苏省泰州中学袁蕴哲 一、由几个方程引出的讨论 解下列方程： 1、x-1=0 2、x2-1=0 3、x2+1=0 4、x3-1=0 易知，方程1的解为x=1，方程2的解为x=±1，方程3无实数根，方程4的解为x=1。对于2、3两个一元二次方程，有根的判别式Δ=b2-4ac，根据Δ的正负来判断方程根的个数。那么，对于形如ax3+bx2+cx+d=0的方程，我们要判断根的个数，最好的方法就是图像法：令f(x)=ax3+bx2+cx+d，可直观地看出f(x)的零点数，就是方程的根。 如方程5x3+x2-6x+1=0（见下图），易知，该方程有三个根。 将此函数平移，可得到与x轴分别有1个、2个、3个交点，说明任意一元三次方程可能有1～3个实根。 即：一元n次方程最多有n个实根。 再来看方程3，可移项为x2=-1，两边开方，得到。负数的偶次方根是没有意义的，但为了使这个方程有解，我们规定，就有i2=-1。易知，原方程的解就为x=±i。 由于数i没有实际的意义，只在解方程时为了使方程有解才引入，故把i称为虚数

(imaginary number)，意为虚幻的、不存在的数；相对的，我们之前接触的所有数都叫实数(real number)。 规定了虚数以后，类似x2+1=0的方程也可以解了，而且有2个根。 二、解高次方程的数学史话 一元三次方程，乃至更高次方程的解法，经过了漫长的时间才得以给出，塔尔塔利亚、卡当（也译作卡尔丹）、费拉里、阿贝尔等人对这一问题的解决做出了卓越的贡献。 数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛·冯塔纳。冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔利亚”，也就是意大利语中“结巴”的意思。后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔利亚”来称呼冯塔纳。 经过多年的探索和研究，塔尔塔利亚利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。但是塔尔塔利亚不愿意将他的这个重要发现公之于世。 当时的另一位意大利数学家兼医生卡当，对塔尔塔利亚的发现非常感兴趣。他几次诚恳地登门请教，希望获得塔尔塔利亚的求根公式。后来，塔尔塔利亚终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡当。卡当通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了塔尔塔利亚的秘密。 卡当把塔尔塔利亚的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作《大法》中，但并未提到塔尔塔利亚的名字。随着《大法》在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般求解方法，因此后人就把这种求解方法称为“卡当公式”。 塔尔塔利亚知道卡当背信弃义的行为后非常生气，要与卡当辩论，卡当排出了他的学生费拉里应战。费拉里也是天资过人，他在老师的基础之上，进一步研究了一元四次方程的解法。由于塔尔塔利亚不会解四次方程，这场论战也就不了了之了。 后来挪威学者阿贝尔终于证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5 ，那么此方程不可能用根式求解。即不存在根式表达的一般五次方程求根公式。这就是阿贝尔定理。高次方程求解的工作就此告一段落。 值得注意的是，卡当在研究三次方程时，遇到了给负数开根的问题，就首次引入了复数的概念，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 三、复数与一元方程的解 将实数与虚数相加，就得到复数(complex number)，一般用z表示，可写作： z=a+bi 其中a为复数的实部，b为复数的虚部。当b=0时为实数，a=0，b≠0时为虚数，又叫纯虚数。由此，数的概念又扩展了一步：从实数集到复数集（用C表示）。表示如下： 复数实数 有理数 整数 自然数正整数 负整数 分数 无理数 虚数

2018高考数学解题技巧极坐标与参数方程

2018高考数学解题技巧 解答题模板3：极坐标与参数方程 1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22 221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ =??=?为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ =??=?为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ， 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即2≥y ，可见与以上参数方程等价的普通方程为)2(422≥=-y y ，显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.

第一章-复数与复变函数

复变函数教案 2012—2013学年度第二学期 任课教师郭城 课程名称复变函数 采用教材高教三版（钟玉泉编） 周课时数 4 数统学院数学教育专业2010 年级1班

引言 数学从产生、有发展到现在，已成为分支众多的学科了，复变函数是其中一个非常重要的分支。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论，简称函数论。 我们知道，在解实系数一元二次方程ax2+bx+x=O(a≠o1时，如果判别式b2-4 ac

48、复数中方程问题.doc

三、复数中的方程问题 【教学目标】 1．掌握判别式小于零的实系数一元二次方程的复数根的求法． 2．掌握一元二次方程根与系数的关系并能用于解决一些方程根的问题． 3．在解决问题的过程中体会转化与分类讨论的数学思想的应用． 【教学重点】 一元二次方程的根的讨论． 【教学难点】 含字母系数的方程根的情况的讨论， x 3 1 的根的应用． 【教学过程】 一．知识整理 1．实系数一元二次方程的根的情况 设方程 ax 2 bx c 0 （ a ， b ， c R 且 a 0 ），判别式△ b 2 4ac ． （1）当△ 0 时，方程有两个不相等的实数根： x 1 b b 2 4a c b b 2 4ac 2a ， x 2 2a ． （2）当△ 0 时，方程有两个相等的实数根： x 1 x 2 b ． （3）当△ 0 2a 时，方程有两个共轭虚根： x 1 b 4ac b 2 i b 4ac b 2 i 2a ， x 2 2a ． 2．代数式 a 2 b 2 （ a ， b R ）的因式分解 利用 | z |2 z z ，有 a 2 b 2 (a bi )( a bi ) 3．复系数一元二次方程根与系数的关系 设方程 ax 2 bx c 0 （ a ， b ， c C 且 a 0 ）的两个根为 x 1 ， x 2 ，则 x 1 x 2 b x 1 x 2 a ． c a

4．方程 x 3 1 的根 方程 x 3 1 有三个根， 1 1 ， x 2 1 3 i ， x 3 1 3 i ．若记 1 3 i ， x 2 2 2 2 2 2 则 有性质： 3 1（ 3 n 1， n Z ）， 2 ， 1 2 0． 二．例题解析 【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算 【题目】 在复数范围内分解因式． （1） a 4 b 4 ； （2） 1 x 2 x 3 ． 2 【解答】 解：（ 1） a 4 b 4 ( a 2 b 2 )( a 2 b 2 ) ( )( )( a bi )( a bi ) ． a b a b （2） 1 x 2 x 3 1 ( x 2 2x 6) 1 [( x 1) 2 ( 5) 2 ] 2 2 2 1 ( x 1 5 )( x 1 5 ) ． 2 i i 【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算 【题目】 （1）若 3 2i 是实系数方程 2x 2 bx c 0 的根，求实数 b 与 c ； （2）若 3 2i 是方程 2x 2 bx c 4i 0 的根，求实数 b 与 c ． 【解答】 (3 2i ) b (3 2i ) 解；（ 1）由题意， 3 2i 是方程的另一根，则 2 ， (3 2i )(3 c 2i ) 2 所以 b 12 ， c 26 ． （2）将 3 2i 代入方程得 2(3 2i )2 b(3 2i ) c 4i 0 ，整理得，

极坐标与参数方程习题

！ 极坐标与参数方程习题 一、选择题 1.直线12+=x y 的参数方程是（ ） A 、???+==1 22 2 t y t x （t 为参数） B 、???+=-=1412t y t x （t 为参数） C 、 ???-=-=121 t y t x （t 为参数） D 、?? ?+==1 sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ） A ．0 B ．1 C ．-2 D ．8 3.已知??? ? ? -3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( ) . A 、?? ? ? ?- 3,5π B 、?? ? ? ?3 4, 5π C 、?? ? ? ?- 3 2,5π D 、?? ? ? ?- -35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线 对称的是（ ） A ．（-ρ，θ） B ．（-ρ，-θ） C ．（ρ，2π-θ） D ．（ρ，2π+θ） 5.点() 3,1-P ，则它的极坐标是 ( ) A 、?? ? ? ? 3, 2π B 、?? ? ? ?34, 2π C 、?? ? ? ?- 3,2π D 、?? ? ? ?- 34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲 线13cos :sin x C y θ θ =+?? =? （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ). 】 7.参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是（ ）

复数复习提纲

复数 一、知识点梳理： 1、i 的周期性： i 4 =1，所以，i 4n+1 =i, i 4n+2 =-1, i 4n+3 =-i, i 4n =1()n Z ∈ ()44142430n n n n i i i i n Z ++++++=∈ 2、复数的代数形式：(),a bi a b R +∈，a 叫实部，b 叫虚部，实部和虚部都是实数。 {}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。N Z Q R C. 3、复数相等：a bi c di a c +=+?=且b=d ；00a bi a +=?=且b=0 4、复数的分类：0,0)0)0,0)Z a bi a a ?? =+≠≠??≠?? ≠=?? 实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3,62i i ++也没有大小。 5、复数的模：若向量u u r OZ 表示复数z ，则称u u r OZ 的模r 为复数z 的模， 22||z a bi a b =+=+； 积或商的模可利用模的性质（1）112n n z z z z z ?=???L L ，（2）()11 2 22 0z z z z z =≠ 6、复数的几何意义： 复数(),z a bi a b R =+∈←??? →一一对应 复平面内的点(,)Z a b () ,Z a bi a b R =+∈? u u r 一一对应 复数平面向量OZ ， 7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 8、复数代数形式的加减运算 复数z 1与z 2的和：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数z 1与z 2的差：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数的加法运算满足交换律和结合律 数加法的几何意义：复数z 1=a +bi ，z 2=c +di (),,,a b c d R ∈；OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ， d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i 复数减法的几何意义：复数z 1-z 2的差(a －c )+(b －d )i 对应1212Z Z OZ OZ =-u u r u r u u u u r u u u u r ，两个 复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 9. 特别地，AB z =u u u r z B －z A .，B A AB z AB z z ==-u u u r 为两点间的距离。 12||||z z z z -=-z 对应的点的轨迹是线段12Z Z 的垂直平分线；0||z z r -=， z 对应的点的

典型极坐标参数方程练习题带答案

极坐标参数方程练习题 1在直角坐标系xOy 中，直线Ci ： x = — 2，圆C 2： (x -1)2 + (y — 2)2= 1,以坐标原点为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1) 求 C i , C 的极坐标方程； n (2) 若直线C 3的极坐标方程为 归~4(p€ R),设C 2与C 3的交点为M , ”，求厶C 2MN 的面 积. 解：(1)因为x = pcos 0 ， y = pin 0，所以C i 的极坐标方程为pcos B= — 2， C 2 的极坐标方程为 p 2— 2 pcos 0 — 4 psin 0 + 4 = 0. n (2)将 0= ~4代入 p 2— 2 p cos 0 — 4 pin 0 + 4= 0，得 p 2 — 3 2 p + 4= 0，解得 p i = 2 2，p 2= 2故 p — p= 2,即 |MN| = 2. 1 由于C 2的半径为1,所以△ C 2MN 的面积为 4. (2014辽宁，23, 10分，中)将圆x 2 + y 2= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标 变为 原来的2倍，得曲线C. (1) 写出C 的参数方程； (2) 设直线I : 2x + y — 2 = 0与C 的交点为P 1,巨，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，求过线段 P 1P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程. x = X 1, 解：(1)设(X 1, y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x , y),依题意，得 c y = 2y 1, 由 X 1 + y 2= 1 得 x 2 + 2y 2 = 1. 即曲线C 的方程为x 2 +y 4 = 1. x = cos t , 故C 的参数方程为 (t 为参数). y =2sin t 不妨设P 1(1, 0), P 2(0, 2),则线段P 1P 2的中点坐标为 2 1，所求直线斜率为k =?, ⑵由 y 2 x 2+4 = 1, 4 解得 2x + y — 2 = 0 x = 1, y = 0 x = 0, y = 2.

极坐标和参数方程题型及解题方法

一、复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为),(y x ，在极坐标系下的坐标为),(θρ，则有下列关系成立：ρ θx = cos ，ρ θy = sin ， 3、 参数方程?? ?==θ θ sin cos r y r x 表示什么曲线？ 4、 圆2 2 2 )()(r b y a x =-+- 的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设ρ=OP OP ，又θ=∠xOP . ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置. 6、参数方程的意义是什么？ 二、题型与方法归纳 1、 题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） { 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化

(3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 22 2（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可 消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有42 2=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即2≥y ，可见与以上参数方程等价的普通方程为)2(422≥=-y y ，显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B. 练习1、与普通方程2 10x y +-=等价的参数方程是（ ）（t 为能数） 解析：所谓与方程2 10x y +-=等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解. 对于A 化为普通方程为[][]2 101101x y x y +-=∈-∈，，，，； 对于B 化为普通方程为2 10(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，； 对于C 化为普通方程为2 10[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞，， ，，; 对于D 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，. 而已知方程为2 10(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，，显然与之等价的为B . 练习2、设P 是椭圆2 2 2312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 . 分析：注意到变量),(y x 的几何意义，故研究二元函数2x y +的最值时，可转化为几何问题.若设2x y t +=，则方程2x y t +=表示一组直线，（对于t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然),(y x 既满足2 2 2312x y +=，又满足2x y t +=，故点),(y x 是方程组 222312 2x y x y t ?+=? +=?的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一???==t y t x A 2cos sin ???-==t y t x B 2tan 1tan ???=-=t y t x C 1???==t y t x D 2sin cos

极坐标与参数方程习题

、选择题1.直线y A 、 C 、极坐标与参数方程习题 2x 1的参数方程是（ 2 X t ( t为参数) y 2t2 1 爲11（t为参数） 2.已知实数x,y满足x3cosx 2 0, 8y3 A. 0 C . 3.已知M A、5, x 2t y 4t cos2y -2 1 （t为参 数） sin 2si n 笃，下列所给出的不能表示点的坐标的是 B 、 4 5込 C 5,- 3 4.极坐标系中，下列各点与点P （p, 0 ) (0^k n, 在直线 对称的是（） A. (- p,B) B. (- p, -0) C . (p, 2 n- 0) 0) 5?点P1, 3，则它的极坐标是（ A、2,3 B 、 4 2,13 6.直角坐标系xoy中，以原点为极点, （t为参 数） 1 2y D . k€Z）关于极轴所 D . (p, 2 n + x轴的正半轴为极轴建极坐标 系，设点A,B分别在曲线G：x 3 cos（为参数）和曲线C2： 1 y sin

上，则 AB的最小值为 （）. A.1 B.2 C.3 D.4 1 7.参数方程为x t t （t为参数）表示的曲线是（） y 2 A. —条直线B .两条直线C .一条射线 D .两条射线 x 1 2t 8.若直线X ' t为参数与直线4x ky 1垂直，则常数k （） y 2 3t A.-6 B. 1 6 C.6 D. 1 6 9.极坐标方程4cos 化为直角坐标方程是() A. (x 2)2 y2 4 B. x2y2 4 C. x2 (y 2)2 4 D. 2 2 (x 1) (y 1) 4 10.柱坐标(2, 2, 3 1）对应的点的直角坐标是（）. A.( 1, 3,1) B.( 1, 3,1) C.( .3, 1,,1) D.( .3,1,1) 11.已知二面角 1 的平面角为，P为空间一点，作PA PB ,AB为垂足，且PA 4 , PB 5，设点A、B到二面角I 的棱I的距离为别为x, y .则当变化时，点（x, y）的轨迹是下列图形中的