48、复数中方程问题.doc

三、复数中的方程问题

【教学目标】

1．掌握判别式小于零的实系数一元二次方程的复数根的求法． 2．掌握一元二次方程根与系数的关系并能用于解决一些方程根的问题． 3．在解决问题的过程中体会转化与分类讨论的数学思想的应用．

【教学重点】

一元二次方程的根的讨论．

【教学难点】

含字母系数的方程根的情况的讨论，

x 3

1 的根的应用．

【教学过程】 一．知识整理

1．实系数一元二次方程的根的情况

设方程 ax 2 bx

c 0 （ a ， b ， c R 且 a 0 ），判别式△ b 2 4ac ．

（1）当△

0 时，方程有两个不相等的实数根：

x 1

b

b 2 4a

c b

b 2 4ac

2a

， x 2

2a ．

（2）当△

0 时，方程有两个相等的实数根：

x 1 x 2 b

．

（3）当△

0 2a

时，方程有两个共轭虚根：

x 1

b

4ac b 2 i b

4ac b 2 i

2a

， x 2

2a ．

2．代数式 a 2 b 2 （ a ， b R ）的因式分解

利用 | z |2

z z ，有 a 2 b 2

(a bi )( a bi )

3．复系数一元二次方程根与系数的关系 设方程 ax 2

bx c 0 （ a ， b ， c C 且 a 0 ）的两个根为 x 1 ， x 2 ，则

x 1 x 2

b

x 1 x 2

a ．

c

a

4．方程 x 3

1

的根

方程

x 3

1 有三个根，

1

1 ， x 2

1 3

i ， x 3

1 3

i ．若记

1 3

i ，

x 2

2

2

2

2

2

则 有性质：

3

1（

3 n

1， n Z ），

2

， 1 2

0．

二．例题解析

【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算

【题目】

在复数范围内分解因式． （1） a 4 b 4 ；

（2）

1 x

2 x

3 ．

2

【解答】

解：（ 1）

a 4

b 4

( a 2 b 2 )( a 2 b 2

) ( )( )( a bi )( a bi )

．

a b a b （2）

1 x

2 x

3 1 ( x 2 2x 6) 1

[( x 1) 2 ( 5) 2 ]

2 2 2

1 ( x 1 5 )( x 1 5 ) ．

2 i i

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算

【题目】

（1）若 3 2i 是实系数方程 2x 2 bx c 0 的根，求实数 b 与 c ； （2）若 3

2i 是方程 2x 2 bx c

4i

0 的根，求实数 b 与 c ．

【解答】

(3 2i )

b

(3 2i )

解；（ 1）由题意， 3

2i 是方程的另一根，则

2 ，

(3 2i )(3

c

2i )

2

所以 b 12 ， c 26 ．

（2）将 3

2i 代入方程得 2(3

2i )2

b(3 2i ) c 4i 0 ，整理得，

10 3b c 0 b 10 (10 3b c) (20 2b)i 0，所以

2b

，解得

．

20 c

20

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算 【题目】

（1）已知 x 2

x

1 0 ，求 x

30

x 40 x 50 的值．

（2）若 a 2

a 1 0 ，求 a

17

1

a 17 的值．

【解答】

解：（ 1）由 x

2

x 1 0，得 x

1

3

i ，所以 x 3

1，

2 2

所以 x 30

x 40 x 50

1 x x 2

0 ．

（2）由 a

2

a 1 0 ，得 a

1 3

i ，

2

2

当 a

1

3

i 时，则 a

（

1 3

i ）， a 3 1，a 17 ( )17

17

2 ，

2 2

2

2

1 1

，所以 a 17

1 (

2

)

1 ．

a 17

2

a 17

同理可得，当 a

1 3

i 时，也有 a 17

1 1．

2

2

a 17

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，证明题，中，逻辑思维

【题目】

证明：在复数范围内，方程

| z |2 (1 i ) z (1 i )z

5 5i （ i 为虚数单位）无解．

2 i

【解答】

证明：原方程化简为 | z |

2

(1 i )z (1 i )z 1 3i ，设 z x yi （ x ， y R ），代入

上述方程，得 x 2

y 2 2xi

2yi

1 3i ，所以 x 2

y 2 1

，消去 y ，整理得

2x

2y 3

8x 2

12x 5 0 ，此方程的判断式△

( 12) 2 4 8 5

16 0 ，故 x 无实数解．

所以，原方程在复数范围内无解．

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题

【题目】

已知关于 x 的二次方程x 2( 2a 1) x a 20 有虚根，且此根的三次方是实数，求实数

a的值．

【解答】

解法一：设方程的虚根为m ni（m，n R 且 n 0 ），由 ( m ni ) 3为实数，得 n 3m ，

m(1 3i ) ，由根与系数的关系，得2m (2a 1)

所以方程的虚根为

4m2 a 2

，消去 m ，得

4a2 4a 1 a 2 ， 4a 2 3a 1 0 ，解得a 1或 a 1 ．

4

解法二：设方程的虚根为z1，则另一虚根为 z2 z1，

因为 z13 R ，所以z13 z13

3

z23，z13 z23 z2 )( z12 z1 z2 z22 )

z1 0 ， (z1 0 ，

因为 z1 z2，所以 z12 z1 z2 z22 0 ，即 ( z1 z2 ) 2 z1 z2，由根与系数的关系，

( 2a 1) 2 a 2 ， 4a 2 3a 1 0 ，解得a 1或 a 1 ．

4

三．课堂反馈

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算

【题目】

若 3 2i 是方程2x2bx c 0 （b，c R ）的一个根，则c_________．

【解答】

答案： 26

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算

【题目】

已知 2 ai ， b i 是实系数一元二次方程x2px q 0 的两根，则p_________ ，q____________．

【解答】

答案： 4 ， 5

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算

【题目】

若是方程 x31的一个虚根，则(1 2 )(1 2 )___________．

【解答】

答案： 4

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，中，运算

【题目】

在复数范围内解方程：| z |2 ( z z)i 3 i

（ i 为虚数单位）．

2 i

【解答】

解：原方程化简为| z |2 ( z z)i 1 i ，设z x yi （x，y R ），代入上述方程，得

x 2 y 2 x 1

2 2

i ，所以1

，解得

2

，

x y 2xi 1

2x 1 3

y i

2

所以，原方程的解为z 1 3

i 或 z 1

3

i ．

2 2 2 2

四．课堂小结

1．实系数一元二次方程，在判别式小于零时，有一对共轭虚根（虚根成对）．利用这一点，在已知一根的情况下，就可以知道另一根，再结合根与系数的关系，就使问题得到简

化．2．由于实系数一元二次方程在复数范围必有两根，因此在复数范围内二次多项式的因式

分

解一定可以分到一次式的乘积．

3．如果方程的系数含有虚数，则不能用△来判断方程有无实根，共轭虚根定理也不成立，

但根与虚数的关系仍成立．这类题如果给出方程有实根的条件，可用复数相等的充要条件转化为实数方程组求解．所以说，复数问题实数化总是解决复数问题的基本策略．

五．课后作业

【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，填空题，易，运算

【题目】

在复数范围内分解因式：

（1）x2 2x 16 ____________________．

（2）x2 2x cos 1 _________________________．

【解答】

答案：（ 1）( x115i )( x 115i )

（ 2）( x cos i sin )( x cos i sin )

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算

【题目】

设一元二次方程 2x 2ax b 1 0 （ a ，b R ）的一个虚根是 1i ，则实数a__________，b _________．

【解答】

答案： 4 ， 3

【属性】高三，复数，复数开平方问题，填空题，易，运算

【题目】

复数 3 4i 的平方根为______________．

【解答】

答案： 2 i ， 2 i

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算

【题目】

已知方程 x 2(4 i ) x 4 ai 0 （a R）有实根 b ，且 z a bi ，求z．

【解答】

解： z 2 2i ．

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，选择题，中，运算

【题目】

方程 z | z | 1 3i 中 z 的解是（）

A．1

3 i

2 2

B．

1 3

i C． 4 3i D．4 3i

2 2

【解答】

答案： C

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】

已知实数 p 满足不等式2x

1 0 ，试判断方程z

2 2z 5 p 2

0有无实数根，并给

出

x 2

证明．

【解答】

解；由已知 2 p 1 ，所以 1 p 2 4 ，所以方程z2 2z 5 p 2 0 的判别式

2 4

△ 4 4(5 p2 ) 4( p 2 4) 0 ，所以原方程无褛根．

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算

【题目】

在复数范围内解方程x3 6 3x22x ．

【解答】

解：把原方程化为x3 1 3x2 2 x 5 ( x 1)( x2 x 1) (x 1)(3x 5) ，

( x 1)( x 2 4x 6) 0，解得 x1 1， x2 2 2i ， x3 2 2i ．

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题

【题目】

已知关于 x 的方程 x2 x m 0 （m R ）的两根为、．

（1）若| | 3，求 m 的值；

（2）若| | | | 3 ，求 m 的值．

【解答】

解：（ 1）因为|| 3 ，所以 ||29 ，所以 | ()24| 9 ， |1 4m |9 ，

解得 m 5

2 ．

或 m

2

1

（2）①当、为实数，即 1 4m 0 ， m 时，

4

(| | | |) 2 9 2 2 2 | | 9 ( )2 2 2 | | 9

1 2m

2 | m | 9 ，当0 m 1

时无解；当m 0 时， m 2 ．4

1

②当、为一对共轭虚数时，即时，，由 | | | | 3 ，可知

m

3 9 4

| | ，则 m | |2 ．

2

9 4

综上， m 2 或 m ．

4

【题目资源】

【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算

【题目】

1．在复数范围内分解因式

（1）x4 16 ；

（2）x2 2x 5 ；

（3）x3 8 ．

【解答】

解：（ 1）x4 16 ( x2 4)( x 2 4) (x 2)( x 2)( x 2i)( x 2i) ．

（2）

x 2 2

x

5 (

x

1) 2 22 (

x

1 2

i

)(

x

1 2 )

．

i

（3）

x 3 8

x

3

23 (

x

2)(

x

2 2

x

4) (

x

2)(

x

1 3

i

)(

x

1 3 )

．

i

2．若实系数一元二次方程x2ax b 0 有一个虚根为2i ，则a_______，b______．

【解答】

答案： 0 ， 4

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算

【题目】

关于复数 z 的方程 | z |22zi 1 2i 的解集是________________．

【解答】

答案： { 1 , 1 2i }

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算

【题目】

方程 x2kx 2 0 有一个根是1i ，则它的另一个根是_________．

【解答】

答案： 1 i

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算

【题目】

a 为实数，方程2x28x a 1 0 的一个虚根的模是 5 ，则 a__________ ．

【解答】

答案： 9

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，选择题，易，运算

【题目】

方程z2 | z | 0 的复数解有（）

A．1 个 B ． 2 个 C ． 3个D．无数个

【解答】

答案： C

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算

【题目】

已知方程 3 0 （ a ，

b R ）有一个根为．

x ax b 1 （1）求a，b满足的关系式；

（2）若此方程的另两个根为虚数，求实数a 的取值范围．

【解答】

解：（ 1）由题意，1 a b 0 ，即 a b 1．

（2）由（ 1），b a 1，故方程变为x3 ax a 1 0 ，即 (x 3 1) a( x 1) 0 ，( x 1)( x2 x 1) a(x 1) 0 ， ( x 1)( x 2 x 1 a) 0 ，

所以方程的另两根就是方程x 2 x 1 a 0

的两根，故△0 ，

即 1 4(1 a) 0 ， a 3 ．所以，实数 a 的取值范围是 3 , ．

4 4

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算

【题目】

已知方程 x 24x k 0 有一个虚数根为12i ，求 k 的值．

【解答】

解：由 x 24x k 0 ，得 k x24x ，将x 1 2i 代入，得 k 74i ．

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，中，运算

【题目】

设、是方程x27 x m 0 的两个虚根，且| | | | 8 ，则实数 m________．

【解答】

答案： 16

由题意，、是共轭虚数，所以 2 | | 8 ， | | 4，于是 | |216 ，即m16 ．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算

【题目】

已知关于 x 的方程 ax2(1 2i) x 2a(1 i ) 0 有实根，求实数 a 的值．

【解答】

解：设方程实根为x0，则 ax02(1 2i )x02a(1 i )0 ，

即 (ax02 x0 2a) (2x0 2 a)i 0 ，所以ax02 x0 2a 0 ，所以 x0 a ，所以

x0 a 0

a 3 3a 0 ，解得a 0 或a 3 或 a 3 ．

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维

【题目】

若虚数 z 满足 z38 ，求 z22z 3 的值．

【解答】

解：由已知， z3 8 z3 23 ( z 2)( z2 2z 4) 0 ，因 z 为虚数，故 z2 2z 4 0 ，所以 z2 2z 3 1．

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维

【题目】

在复数范围内解关于 x 的方程 x 2 5 | x | 6 0 ．

【解答】

解：若 x 为实数，则原方程可化为(| x | 2)(| x | 3) 0 ，解得x 2 ， x 3 ．

若 x 为虚数，设x a bi （a, b R 且 b 0 ），原方程化为(a bi) 2 5 a 2 b 2 6 0 ,

所以 a 2 b2 5 a 2 b2 6 0

，因为 b 0 ．故 a 0 ，b2 5 | b | 6 0 ，

2ab 0

(| b | 6)(| b | 1) 0 ，b 1 ．

所以，原方程的解为 2 ， 2 ， 3 ， 3 ， i ，i ．

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】

10

解关于 z 的方程| z | z ．

1 2i

【解答】

解：原方程可化为| z | z 2 4i ，设z a bi （a, b R ），则原方程可化为

a 2 b2 (a bi ) 2 4i a2 b2 a 2

，解得 a 3 ， b 4 ．

b 4

所以，原方程的解z 3 4i ．

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算

【题目】

方程 x2(tan i )x ( 2 i) 0 中，为锐角，若实数a是方程的一个解，求与a的值．【解答】

解：由题意， a 2 (tan i )a (2 i ) 0 ， a2 a tan2 ( a 1)i 0，

所以 a 2 a tan 2 0

，解得

a 1

，．

a 1 0 tan 1

所以，

4

， a 1．

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】

已知复数 w 满足 w 4 (3 2w)i ，z 5

| w 2 | ，求一个以z为根的实系数一元二次w

方程．【解答】

解：由 w 4 (3 2w)i ，所以 w(1 2i ) 4 3i ，w 2 i

5

| i | 3 i ，，所以 z

2 i

故另一根为 3 i ，设所作方程为x2 px q 0 ，则 p (3 i ) (3 i ) 6 ，

q (3 i )(3 i) 10 ，所以所求方程为x2 6x 10 0 ．

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维

【题目】

关于 x 的实系数方程2x 23ax a2 a 0 至少有一个模为1的根，求实数 a 的值．【解答】

解：①当根x 为实数时， 9a2 8(a 2 a) 0 ， a2 8a 0 ，a 8 或 a 0 ．

由 | x | 1 x 1 ．当 x 1 时，a2 2a 2 0 ， a 无实数解；当x 1 时，a 2 4a 2 0 ，解得 a 2 2 ．

②当根 x 为虚数时，8 a 0，| x | 1 x x 1 ，即 a 2 a 1， a 2 a 2 0

，解

2

得 a 1或 a 2 （舍去）．

综上，

a 1 ，或 a 2 2 或 a 2 2 ．

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维

【题目】

若 z C ，关于x的一元二次方程x2zx 4 3i 0 有实根，求复数z 的模的最小值．【解答】

解： zx x 2 4 3i ，当x 0时，此等式不成立，故 x 0 ．所以，

3

i ， | z |x 2 2

82 x225

z x 4 4 3 x 2 25 8 3 2 x x x x x2 x 2

所以，当 x 2 25 ， x 5 时， | z | 取最小值 3 2 ．

x2

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题

【题目】

已知△ABC 顶点为直角坐标分别为A( a , 4) ， B(0 , b) ， C (c , 0) ．若虚数x 2 ai （ a 0 ）是实系数一元二次方程x2 cx 5 0 的根，且 A 是钝角，求 b 的取值范围．【解答】

解：由已知，虚数x 2 ai 也是实系数一元二次方程x2 cx 5 0

的根，所以

(2 ai) ( 2 ai) c

1 ， c 4 ，则 A 、 C 的坐标为A(1 , 4) ， C 4 , 0)

(2 ai)(2 ai ) 5 ，解得

a ，所以 AB ( 1 ,

b 4) ， AC (3 , 4) ，因 A 是钝角，故AB AC 13 4b0 ，

16

．所以 b 的取值范围是13 , 16 16 ,．

又当 AB ， AC 共线时， b

3 4 3 3

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，逻辑思维

【题目】

已知关于 x 的方程 x22x a 0 （a R）有两个根、，求|| | |的最小值．【解答】

解：①当△ 4 4a 0 即 a 1 时，、是实数， (| | | |) 2 2 2 2 || ( ) 2 2 2 | | 4 2(| a | a) ．

当 0 a 1时，(| | | |) 2 恒为

4 ；当

a

时， (| | | |) 2 4 ．

即

a 1 时， | | | |的最小值为 2 ．

② 当△ 4 4a 0 ，即 a 1 时，、是一对共轭虚数，故 | | | | 2 | | 2

2 a 2 ．

综上， | | | |的最小值为 2 ，取得最小值时 a 的取值范围是 [ 0 , 1] ．

【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，数学探究

【题目】

已知复数 z1， z2满足条件 | z1 | 2， | z2 | 2 ，是否存在非零实数m ，使得z1 z2 1 和

1 m

z1 z2 同时成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．m

【解答】

z1

1

z1 z2

1

z2 m

，故 z1， z2是方程 x2 1 x 1

解：据题意，得m ，即0 的z1 z2 1 z1 z2 1 m m

m m

两个根．

（1）当△0 即 m 1 且 m 0 时，z1 ， z2 R ，记f (x) x2 1 x 1 ，

4 m m

f ( 2) 0 f (2) 0

则 | z1 | 2 ， | z2 | 2 2

1

，解得m 3

2 ．2m 4

m 1

且 m 0 4

（2）当△0 ，即 m 1 时， z1、 z2为一对共轭虚数，则| z1 |2 z1 z2 1 ，由 | z1 | 2 ，

得1

1

4 m

4 ，所以 m ．

m

3

4

1 1 1

综上，当 m z2 z2

或 m 时， z1 和 z1 同时成立．

4 4 m m