1
>m ． 综上，当43-m 时，m z z 121=+和m
z z 1
21=?同时成立．
复数集内一元二次方程的解法
复数集内一元二次方程的解法 一、实系数一元二次方程 只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭， 1．判定下列方程根的情况，并解方程 （1）022=++x x ，0722=++x x ，0452=+-x x （2）0122=+-x x 答：4 71i x ±=，05322=+-x x ，09222=+-x x 2．若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1，x 2满足|x 1-x 2|=3，求实数m 的值． |x 1-x 2|=3，|（x 1-x 2）2|=9；则|（x 1＋x 2）2-4x 1x 2|=9，即|25-4m|=9． 3．已知实系数一元二次方程2x 2 ＋rx ＋s=0的一个根为2i-3，求r ，s 的值． 二、复系数一元二次方程 虚根不一定成对，成对也不一定共轭。 1．求方程x 2-2ix-5=0的解．（当b 2-4ac ≥0时，方程的解都是实数吗？） 求方程x 2-2ix-7=0的解 解方程：x 2-4ix+5=0； 解方程：0)2(25222=--++-i x x x x 答：i x x 5 351,221-==（应用求根公式，不能用复数相等） 06)32(2=+++i x i x 答：i x x 3,221-=-=（b 2-4ac 为虚数，） 2．解方程：x 2＋（1＋i ）x ＋5i=0． 2511 22=+++x x x x 答：4151,13,21i x x ±== 2311 22=+-+x x x x 答：4151,13,21i x x ±=-= 三、方程有实根或纯虚根的问题 1．方程x 2+（m+2i ）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m 的值和这方程的解．
复数与导数
复数专题练习 一、 选择题 1、若是纯虚数，则实数的值是（ ） A 1 B C D 以上都不对 2、则是的（ ）条件 A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 既不充分又不必要 3、若，则是（ ） A 纯虚数 B 实数 C 虚数 D 无法确定 4、的值域中，元素的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 无数个 5、，则实数的值为（ ） A B C D 6、若，则方程的解是（ ） A B C D 7、，则的最大值为（ ） A 3 B 7 C 9 D 5 8、已知则的值为（ ） A B 1 C D 3 9、已知，则的值为（ ） A B 1 C D 10、已知方程m 表示等轴双曲线，则实数m 的值为（ ） A B C 22 (1)(32)x x x i -+++x 1-1±22 1(1)(4),.z m m m m i m R =++++-∈23 2.z i =-1m =12z z =12,z z C ∈1212z z z z ?+?(),()n n f n i i n N -+=+∈3()m i R +∈m ±x C ∈||13x i x =+-12+124,1x x ==-43i -+12|34|2z i ++≤||z z =501001z z ++i 2i +11x x +=199619961x x +1-i -i |2||2|z z a --+=±
11、复数集内方程的解的个数是（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 12、复数的模是（ ） A B C D 二、 填空题 13、的平方根是 、 。 14、在复平面内，若复数Z 满足，则Z 所对应的点的集合构成的图形是 。 15、设，则集合A={}中元素的个数是 。 16、已知复数，则复数 = 。 三、解答题 17 在复平面上，设点A 、B 、C ，对应的复数分别为。过A 、B 、C 做平行四边形ABCD ，求此平行四边形的对角线BD 的长。 2 5||60z z ++=1cos sin ,(2)z i ααπαπ=++<<2cos 2α 2cos 2α-2sin 2α2tan 2 α-34i +|1|||z z i += -12ω=-+|()k k x x k Z ωω-=+∈122,13z i z i =-=-215 z i z +,1,42i i +
复数集内一元二次方程的解法
复数集内一元二次方程 的解法 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-
复数集内一元二次方程的解法 一、实系数一元二次方程 只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭， 1．判定下列方程根的情况，并解方程 （1）022=++x x ，0722=++x x ，0452=+-x x （2）0122=+-x x 答：4 71i x ±=，05322=+-x x ，09222=+-x x 2．若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1，x 2满足|x 1-x 2|=3，求实数m 的值． |x 1-x 2|=3，|（x 1-x 2）2|=9；则|（x 1＋x 2）2-4x 1x 2|=9，即|25-4m|=9． 3．已知实系数一元二次方程2x 2＋rx ＋s=0的一个根为2i-3，求r ，s 的值． 二、复系数一元二次方程 虚根不一定成对，成对也不一定共轭。 1．求方程x 2-2ix-5=0的解．（当b 2-4ac ≥0时，方程的解都是实数吗？） 求方程x 2-2ix-7=0的解 解方程：x 2-4ix+5=0； 解方程：0)2(25222=--++-i x x x x 答：i x x 5351,221-= =（应用求根公式，不能用复数相等） 06)32(2=+++i x i x 答：i x x 3,221-=-=（b 2-4ac 为虚数，） 2．解方程：x 2＋（1＋i ）x ＋5i=0．
251122=+++x x x x 答：4151,13,21i x x ±== 2311 22=+-+x x x x 答：4151,13,21i x x ±=-= 三、方程有实根或纯虚根的问题 1．方程x 2+（m+2i ）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m 的值和这方程的解． 2．已知方程x 2+mx+1+2i=0（m ∈C ）有实根，求|m|的最小值． 解方程 关于x 的方程03)12(2=-+--i m x i x 有实数解，则实数m 满足的条件是( C ) A ．41-≥m B ．41-≤m C ．121=m D ．12 1-=m R k ∈，方程04)3(2=++++k x i k x 一定有实根的充要条件是(D ) A ．4≥k B ．522-≤k 或522+≥k C ．23±=k D ．4-=k 一元二次方程缺少常数项，必有零根（一个特殊的实根） 设βα与是实系数一元二次方程0m x 2=++x 两个虚根，且3=-βα，求m 。答：25=m 利用?-=?-= -i βα 已知i 2321+-是方程022=++kx x （C k ∈）的一个根，求k 的值。答：i 2323+（不能用求根公式、虚根成对定理求解，可利用根适合方程解答） 关于x 的方程02=++a x x 有两个虚根，而且2=-βα，则实数a 的值是( A ) A ．45 B ．21 C ．5 2 D ．2 若方程035)(2)1(2=-++-+i x i a x i （R a ∈）有实根，求合适的a 。答：3 7= a 或－3 关于x 的方程22210123ix ix i x a x --=--有实数根，求实数x 的值。答：571-=a 或11。 7．设关于x 的方程0)3(22=+++i tx t t x 有纯虚数根，求实数t 的值。答：3-=a 8．
复数与方程
复数与方程 重点难点:一元二次方程 一、二项方程:形如(a0, a n∈C,a n≠0, n∈N)的方程 基本解法:化为的形成，利用复数开方求出它的根。 例1．在复数集中解下列方程 解1)法1、求方程的解，即求复数的4次方根， ∵ ∴其4次方根为(k=0,1,2,3) ∴原方程的解为下面4个复数: 法2、求方程的解，即求复数的4次方根。 ∵由知1-i为的一个4次方根， ∴由复数的次方根的几何意义有的其余三个4次方根分别为: ∴方程的解分别为1+i, -1+i, -1-i, 1-i。 解2) 令,∴, ∴解之有,∴原方程的根为2-i或-2+i。 注:解二项方程实质就是求一复数的次方根，所以要注意一复数Z的次方根的几种基本求法:<一>，则可用公式
(k=0,1,2,……,n -1) 求其n 个n 次方根。如例(1)解法1，此n 个复数的几何意义是复平面上n 个点，这n 个点均匀分布在以原点为圆心，以 为半径的圆上，组成一个正n 边形。 <二> 若能由已知中找出个Z 的n 次方根Z 0，则可由n 次方根的几何意义求其余n-1个n 个次根如下: , 。如例(1)解 法2。 <三>若Z 的辐角非特殊值，不好转化为三角形式或也不好看出Z 的n 次方根时，则可以考虑用n 次方根的定义利用代数形式及复数相等直接求。如例(2)。 二、一元二次方程 1. a,b,c ∈R 时基本解法 时，两不等实根可由求根公式 求出， 时，两相等实根。可由上面公式求出， 时，两互为其轭虚根，可由求根公式求出。另:韦达定理仍成立。 2. a,b,c ∈C 时基本解法 判别式定理不成立，所以不能由此判别根的情况。但可由求根公式, δ是b 2-4ac 的一个平方 根 另:韦达定理仍成立。 例2．在复数集中解方程 。 解:∵，∴ =， ∴ 原方程的根为。 注:∵ (x-1)(x 2+x+1)=x 3-1 ∴ x 2+x+1=0的根也是x 3=1的根，即1的两个立方虚根。 记,则，其有如下特征: ① ； ② ； ③ ；
复数与复变函数
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100 z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π= -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2[cos( sec θπ θπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ） z z z z 222=- （C ） z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设 y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的 轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3 π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向 量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ） i -3 （D ） i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数
一元三次方程与复数
浅谈解一元三次方程 江苏省泰州中学袁蕴哲 一、由几个方程引出的讨论 解下列方程： 1、x-1=0 2、x2-1=0 3、x2+1=0 4、x3-1=0 易知，方程1的解为x=1，方程2的解为x=±1，方程3无实数根，方程4的解为x=1。对于2、3两个一元二次方程，有根的判别式Δ=b2-4ac，根据Δ的正负来判断方程根的个数。那么，对于形如ax3+bx2+cx+d=0的方程，我们要判断根的个数，最好的方法就是图像法：令f(x)=ax3+bx2+cx+d，可直观地看出f(x)的零点数，就是方程的根。 如方程5x3+x2-6x+1=0（见下图），易知，该方程有三个根。 将此函数平移，可得到与x轴分别有1个、2个、3个交点，说明任意一元三次方程可能有1～3个实根。 即：一元n次方程最多有n个实根。 再来看方程3，可移项为x2=-1，两边开方，得到。负数的偶次方根是没有意义的，但为了使这个方程有解，我们规定，就有i2=-1。易知，原方程的解就为x=±i。 由于数i没有实际的意义，只在解方程时为了使方程有解才引入，故把i称为虚数
(imaginary number)，意为虚幻的、不存在的数；相对的，我们之前接触的所有数都叫实数(real number)。 规定了虚数以后，类似x2+1=0的方程也可以解了，而且有2个根。 二、解高次方程的数学史话 一元三次方程，乃至更高次方程的解法，经过了漫长的时间才得以给出，塔尔塔利亚、卡当（也译作卡尔丹）、费拉里、阿贝尔等人对这一问题的解决做出了卓越的贡献。 数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛·冯塔纳。冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔利亚”，也就是意大利语中“结巴”的意思。后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔利亚”来称呼冯塔纳。 经过多年的探索和研究，塔尔塔利亚利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。但是塔尔塔利亚不愿意将他的这个重要发现公之于世。 当时的另一位意大利数学家兼医生卡当，对塔尔塔利亚的发现非常感兴趣。他几次诚恳地登门请教，希望获得塔尔塔利亚的求根公式。后来，塔尔塔利亚终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡当。卡当通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了塔尔塔利亚的秘密。 卡当把塔尔塔利亚的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作《大法》中，但并未提到塔尔塔利亚的名字。随着《大法》在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般求解方法，因此后人就把这种求解方法称为“卡当公式”。 塔尔塔利亚知道卡当背信弃义的行为后非常生气，要与卡当辩论，卡当排出了他的学生费拉里应战。费拉里也是天资过人，他在老师的基础之上，进一步研究了一元四次方程的解法。由于塔尔塔利亚不会解四次方程，这场论战也就不了了之了。 后来挪威学者阿贝尔终于证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5 ，那么此方程不可能用根式求解。即不存在根式表达的一般五次方程求根公式。这就是阿贝尔定理。高次方程求解的工作就此告一段落。 值得注意的是，卡当在研究三次方程时，遇到了给负数开根的问题，就首次引入了复数的概念，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 三、复数与一元方程的解 将实数与虚数相加，就得到复数(complex number)，一般用z表示，可写作： z=a+bi 其中a为复数的实部，b为复数的虚部。当b=0时为实数，a=0，b≠0时为虚数，又叫纯虚数。由此，数的概念又扩展了一步：从实数集到复数集（用C表示）。表示如下： 复数实数 有理数 整数 自然数正整数 负整数 分数 无理数 虚数
48、复数中方程问题.doc
三、复数中的方程问题 【教学目标】 1．掌握判别式小于零的实系数一元二次方程的复数根的求法． 2．掌握一元二次方程根与系数的关系并能用于解决一些方程根的问题． 3．在解决问题的过程中体会转化与分类讨论的数学思想的应用． 【教学重点】 一元二次方程的根的讨论． 【教学难点】 含字母系数的方程根的情况的讨论， x 3 1 的根的应用． 【教学过程】 一．知识整理 1．实系数一元二次方程的根的情况 设方程 ax 2 bx c 0 （ a ， b ， c R 且 a 0 ），判别式△ b 2 4ac ． （1）当△ 0 时，方程有两个不相等的实数根： x 1 b b 2 4a c b b 2 4ac 2a ， x 2 2a ． （2）当△ 0 时，方程有两个相等的实数根： x 1 x 2 b ． （3）当△ 0 2a 时，方程有两个共轭虚根： x 1 b 4ac b 2 i b 4ac b 2 i 2a ， x 2 2a ． 2．代数式 a 2 b 2 （ a ， b R ）的因式分解 利用 | z |2 z z ，有 a 2 b 2 (a bi )( a bi ) 3．复系数一元二次方程根与系数的关系 设方程 ax 2 bx c 0 （ a ， b ， c C 且 a 0 ）的两个根为 x 1 ， x 2 ，则 x 1 x 2 b x 1 x 2 a ． c a
4．方程 x 3 1 的根 方程 x 3 1 有三个根， 1 1 ， x 2 1 3 i ， x 3 1 3 i ．若记 1 3 i ， x 2 2 2 2 2 2 则 有性质： 3 1（ 3 n 1， n Z ）， 2 ， 1 2 0． 二．例题解析 【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算 【题目】 在复数范围内分解因式． （1） a 4 b 4 ； （2） 1 x 2 x 3 ． 2 【解答】 解：（ 1） a 4 b 4 ( a 2 b 2 )( a 2 b 2 ) ( )( )( a bi )( a bi ) ． a b a b （2） 1 x 2 x 3 1 ( x 2 2x 6) 1 [( x 1) 2 ( 5) 2 ] 2 2 2 1 ( x 1 5 )( x 1 5 ) ． 2 i i 【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算 【题目】 （1）若 3 2i 是实系数方程 2x 2 bx c 0 的根，求实数 b 与 c ； （2）若 3 2i 是方程 2x 2 bx c 4i 0 的根，求实数 b 与 c ． 【解答】 (3 2i ) b (3 2i ) 解；（ 1）由题意， 3 2i 是方程的另一根，则 2 ， (3 2i )(3 c 2i ) 2 所以 b 12 ， c 26 ． （2）将 3 2i 代入方程得 2(3 2i )2 b(3 2i ) c 4i 0 ，整理得，
复数范围内实系数一元二次方程(19题)答案知识讲解
复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案） 1 、若实系数一元二次方程的一个根是13+，则这个方程可以是 228039 x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++= 2(x x 3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下 列等式成立的是（ C ） (A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ?=-≥ (C)1212,b c x x x x a a +=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由； (1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总 有两个根．（ √ ） (2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另 一个根是12i -．（ ? ） (3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √） 5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -?=+． 解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+． 由复数相等，有3133x y y x -=??-=?，，解得543.4 x y ?=-????=-??，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z 12 i 7、适合方程2560z z -+=的复数z ； 若z R ∈，则2 5602,32,3z z z z z z -+=?==?=±=± 若z 为虚数， 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠ ，则2()60a bi +-= 222226026020a b a b abi ab ??--=-+-=??=?? 2222606056010a b b b b b a ??--=??--=?+-=?=±?=?? 所以，方程的解为2,2,3,3,,i i ---。 8、解方程210x ix i -+-= （1）x R ∈ （2）x C ∈ 解：（1）1x = （2）11x orx i ==-
复数的基本知识
补充复数的基本知识： 1、虚数单位 由于在实数集R 内负数不能开平方，所以在实数集内方程012=+x 无解。引入虚数，虚数单位符号为j ，并规定 （1） 它的平方等于-1，即12-=j ； （2）j 可以和实数一起进行四则运算，原有的加、减运算规律仍然成立。 性质：j j =1；12-=j ；j j -=3；14=j 一般地，对于任意整数n ，有： 14=j n ；j j n =+14；124-=+j n ；j j n -=+34 2、复数集 定义：形如),(R b a bj a ∈+的数称为复数。 通常用大写拉丁字母Z 表示一个复数，即),(R b a bj a Z ∈+= 其中 a 称为复数Z 的实部，a Z =)Re(； b 称为复数Z 的虚部，b Z =)Im(； 举例：j 32+，j 51-+，j 3的实部、虚部？ ??? ???????≠=≠???=+)0a ()0a ()0b ()0b (非纯虚数纯虚数虚数无理数有理数实数复数bj a 3、复数的相等及共轭复数 定义：如果两个复数的实部相等，虚部也相等，则称这两个复数相等，即 d b c,a dj c ==?+=+bj a 定义：如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数互为
共轭复数。 复数bj a Z +=的共轭复数记作bj a Z -= 例：3j 2j,1++的共轭复数 注：b a bj a bj a 22))((+=-+ 4、复数的几何表示（复平面） 任何一个复数bj a +都可以由一对有序实数)b ,a (唯一确定；反之，任何一对有序实数)b ,a (都能唯一确定一个复数bj a +；因此，复数bj a Z +=与平面直角坐标系中的点)b ,a (Z 是一一对应关系。于是，可以在平面直角坐标系中用横坐标为a ，纵坐标为b 的点)b ,a (Z 表示复数bj a Z +=。 用来表示复数的直角坐标平面称为复平面。 复数bj a Z +=与复平面上的点)b ,a (Z 是一一对应关系。即 复数bj a Z +=?点)b ,a (Z 矢量（或向量）：既有大小又有方向。矢量可以用带箭头的有向线段来表示，箭头的方向表示矢量的方向，线段的长度表示矢量的大小。如下图所示：
复数复习提纲
复数 一、知识点梳理： 1、i 的周期性： i 4 =1，所以，i 4n+1 =i, i 4n+2 =-1, i 4n+3 =-i, i 4n =1()n Z ∈ ()44142430n n n n i i i i n Z ++++++=∈ 2、复数的代数形式：(),a bi a b R +∈，a 叫实部，b 叫虚部，实部和虚部都是实数。 {}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。N Z Q R C. 3、复数相等：a bi c di a c +=+?=且b=d ；00a bi a +=?=且b=0 4、复数的分类：0,0)0)0,0)Z a bi a a ?? =+≠≠??≠?? ≠=?? 实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3,62i i ++也没有大小。 5、复数的模：若向量u u r OZ 表示复数z ，则称u u r OZ 的模r 为复数z 的模， 22||z a bi a b =+=+； 积或商的模可利用模的性质（1）112n n z z z z z ?=???L L ，（2）()11 2 22 0z z z z z =≠ 6、复数的几何意义： 复数(),z a bi a b R =+∈←??? →一一对应 复平面内的点(,)Z a b () ,Z a bi a b R =+∈? u u r 一一对应 复数平面向量OZ ， 7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 8、复数代数形式的加减运算 复数z 1与z 2的和：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数z 1与z 2的差：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数的加法运算满足交换律和结合律 数加法的几何意义：复数z 1=a +bi ，z 2=c +di (),,,a b c d R ∈；OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ， d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i 复数减法的几何意义：复数z 1-z 2的差(a －c )+(b －d )i 对应1212Z Z OZ OZ =-u u r u r u u u u r u u u u r ，两个 复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 9. 特别地，AB z =u u u r z B －z A .，B A AB z AB z z ==-u u u r 为两点间的距离。 12||||z z z z -=-z 对应的点的轨迹是线段12Z Z 的垂直平分线；0||z z r -=， z 对应的点的
复数集内一元二次方程的解法教学提纲
精品文档 精品文档复数集内一元二次方程的解法 实系数一元二次方程复系数一元二次方程 ?的作用可以用来判断根的情况不能用来判断根的情况 求根公式适用适用 韦达定理适用适用 一、实系数一元二次方程 只有实系数一元n次方程的虚根才成对共轭， 1．判定下列方程根的情况，并解方程 （1）0 2 2= + +x x，0 7 2 2= + +x x，0 4 5 2= + -x x （2）0 1 22= + -x x答： 4 7 1i x ± =，0 5 3 22= + -x x，0 9 2 22= + -x x 2．若关于x的方程x2+5x+m=0的两个虚数根x1，x2满足|x1-x2|=3，求实数m的值．|x1-x2|=3，|（x1-x2）2|=9；则|（x1＋x2）2-4x1x2|=9，即|25-4m|=9． 3．已知实系数一元二次方程2x2＋rx＋s=0的一个根为2i-3，求r，s的值． 二、复系数一元二次方程 虚根不一定成对，成对也不一定共轭。 1．求方程x2-2ix-5=0的解．（当b2-4ac≥0时，方程的解都是实数吗？） 求方程x2-2ix-7=0的解 解方程：x2-4ix+5=0； 解方程：0 )2 ( 2 5 22 2= - - + + -i x x x x答：i x x 5 3 5 1 ,2 2 1 - = =（应用求根公式，不能用复数相等）0 6 ) 3 2( 2= + + +i x i x答：i x x3 ,2 2 1 - = - =（b2-4ac为虚数，） 2．解方程：x2＋（1＋i）x＋5i=0． 2 5 1 1 2 2 = + + +x x x x 答： 4 15 1 ,1 3,2 1 i x x ± = = 2 3 1 1 2 2 = + - +x x x x 答： 4 15 1 ,1 3,2 1 i x x ± = - = 三、方程有实根或纯虚根的问题 1．方程x2+（m+2i）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m的值和这方程的解．
二阶常系数非齐次线性微分方程的复数解法(2009.10.22)
二阶常系数非齐次线性微分方程的复数解法 王 捷 （烟台南山学院 山东烟台 265713） 摘要： 在二阶常系数非齐次线性微分方程中，非齐次项的形式为 1()e ()cos x m f x P x x λω=或 2()e ()sin x m f x P x x λω=的情况占大多数，对于这类微分方程，使用复数法求特解，可使计算量减 少将近一半. 关键词：微分方程；非齐次项；特解；复数法. 中图分类号： 01—0 文献标识码：B The use of complex number methods for Second-order constant coefficient Non-homogeneous linear differential equation Wangjie (Yantai nanshan University, Yantai,Shandong, 265713) Abstract ：In the second-order constant coefficient non-homogeneous linear differential equation, it accounts for the majority shen non-homogeneous terms are 1()e ()cos x m f x P x x λω=and 2()e ()sin x m f x P x x λω=. For this type of differential equations, if methods of complex number are using special solution, the calculation of the amount reduced by nearly half. Keywords ：differential eguation ；Of non-homogeneous ；particular solution ；methods of complex number. 在高等数学（同济五版）微分方程一章中， 对于非齐次项为 ()e [()cos ()sin ]x l n f x P x x P x x λωω=+ 的二阶常系数非齐次线性微分方程，特解* y 的求法非常繁琐，即便遇到()0 l P x =或()0n P x =，即 ()e ()cos x l f x P x x λω= 或 ()e ()sin x n f x P x x λω= 的情况，也得将其视为 ()e [()cos 0sin ]x l f x P x x x λωω=+? 或 ()e [0cos ()sin ]x n f x x P x x λωω=?+ 的情况进行求解.即特解的形式都须设为 *(1)(2)e [()cos sin ]k x m m y x R x x R x λωω=+? 的形式，k 按i λω±不是特征方程的根或是特征方程的根分别取0和1.然而，在二阶常系数非齐次线性微分方程中，非齐次项形如 1()e ()cos x m f x P x x λω= 或 2()e ()sin x m f x P x x λω=
复数中的方程问题
复数中的方程问题（教师版） 【知识梳理】 1.一元二次方程2 0(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠ (1)0?>? 方程有两个不相等的实数根1,22b x a -±=; (2) 0?=?方程有两个不相等的实数根1,22b x a -=; (3) 0?
(完整word版)沪教版高二下学期复数复习题
复数复习题 一、复数的概念：实部、虚部、纯虚数、共轭复数、虚数单位 1、设复数121,1()z i z xi x R =-=-∈，若12z z +为实数，则x =___________． 2、已知复数124,Z i Z t i =+=+，且12Z Z ?是实数，则实数t 的值___________． 3、若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a =___________． 4、若 (x －2i)y =y +i,x 、y ∈R,i 为虚数单位,到y x =___________． 5、若复数()z a bi a b R =+∈、是虚数，则a 、b 应满足的条件是 ( ) .0,0A a b =≠ .0,0B a b ≠≠ .0,C a b R ≠∈ .0,D b a R ≠∈ 6、使复数z 为实数的充分而不必要条件为（ ） A ．2z 为实数 B.z z +为实数 C.z z = D.z z = 7、如果复数=z 421i i -+（其中i 为虚数单位），那么z Im （即z 的虚部）为___________． 8、复数i i -+1123的虚部是___________． 9、已知复数z 1=3+4i, z 2=t +i ，且z 1· 2z 是实数,则实数t =___________． 10、若复数z=a +b i(a 、b ∈R),则下列正确的是 ( ) A 2z >2z B 2z =2z C 2z <2z D 2 z =z 2 11、设123z z z z 、、、是复数，下列四个命题 ① 复数()()z a b a b i =-++（a b R ∈、），当a b =时，z 为纯虚数； ② 若221223()()0z z z z -+-=，那么123z z z ==； ③ 如果120z z -<，那么12z z <； ④ z z +为实数，且z z =. 以上命题中，正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 12、下列四个命题： ①满足z z 1=的复数只有±1,±I; ②若a ,b 是两个相等的实数,则(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数;
复数的基本概念与基本运算
复数的基本概念与基本运算 一、《考试说明》中复数的考试内容(1)数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；(2)复数的代数表示与向量表示；(3)复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；(4)复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。二、考试要求（1）使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念．掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换；（2）掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义；（3）掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法．（4）通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力．（5）通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育．三、学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；?(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z = r(cosθ+isinθ) , OZ(Z(a,b)) , z=a+bi (3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；复(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三
角数实数集集形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根纯虚数集ω的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）；(7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。四、本章知识结构与复习要点1．知识体系表解 1 1/16页2．复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位，规定2i,,1，形如a+bi的数称为复数，其中a，b?R．(2)复数的分类(下面的a，b均为实数) (3)复数的相等设复数，那么的充要zz,zabizabiababR,，,，,,(,,,)121112221122条件是：．abab,,且1122 (4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b?R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的． 2 2/16页复数 z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b) abR,,，，向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．(7)复数与实数不同处?任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．?实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．3．有关计算：?**n4k，rrkNrN,,,nN,ii,i怎样计算？（先求n被4除所得的余数，），，，，1313?,,,，i、,,,,i
复数模与方程典型例题
复数模与复数方程典型例题 例1在复数范围内分解：（1）2x 2+3x+3 (2)x 2+xy+2y 2 (3) x 4+x 2y 2+y 4 (4)x 4+y 4 例2求平方根： （1）3+4i (2) 5+12i 例3解方程：（1）z 2+z =0 （2）z 2-4z +3=0 (3)x 2-(5+i)x+5i=0 例4已知m ∈R,关于x 的方程x 2+(1-2i)x+3m-i=0有实根，求m 并解此方程。 例5已知1-i 是方程x 3-5x 2+8x-6=0的一个根，求方程的其它根？ 例6(1)已知z 满足2-z =1，求：i z 2+的取值范围？ (2)已知z 满足z =1,求z 2-z+1的模的最大与最小值？ 例7（1）已知方程x 2+x+m=0两虚根为βα,,且βα-=3，求实数m 的值。 （2）已知方程x 2+x+m=0两根为βα,,且βα-=3，求实数m 的值。 例8已知方程x 2+2x+m=0两根为βα,,且m ∈R ，求α+ β的值。 例9已知z 满足z =2且存在实数a ，使（z-a ）2=a, 求z 和a 的值。 例10设w 为x 2+x+1=0的根，则(1)1+w+w 2+w 3+… +w 2005 (2) w 2005+w 2005 例11设实系数方程2x 2+3ax+a 2-2a=0至少有一个模为2的根，求实数a 的值？ 例12设z 为虚数，ω=z+z 1是实数,且-1<ω<2 (1) 求z 的值及z 的实部的取值范围？ (2) 设u= z z +-11,求证：u 为纯虚数；（3）求ω-u 2的最小值。 例13已知：1z =2z =1，且21z z +=2,求21z z -的值? 例14已知: βα,是方程ax 2 +bx+c=0两虚根,且βα2 ∈R ，求βα的值。 例15在研究复数性质时规定：如果对n 个复数a 1,a 2…..a n ,存在不全为零的n 个实数k 1,k 2… k n ,使得k 1a 1+k 2a 2+….+k n a n =0成立，那么a 1,a 2….a n 叫做“线性相关”，据此，请判断三个 复数1，-i,2+2i 是否线性相关？若线性相关，请给出一组实数。
复数集内一元二次方程的解法
复数集内一元二次方程的解法 一、实系数一元二次方程 只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭， 1．判定下列方程根的情况，并解方程 （1）022=++x x ，0722=++x x ，0452=+-x x （2）0122=+-x x 答：4 71i x ±=，05322=+-x x ，09222=+-x x 2．若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1，x 2满足|x 1-x 2|=3，求实数m 的值． |x 1-x 2|=3，|（x 1-x 2）2|=9；则|（x 1＋x 2）2-4x 1x 2|=9，即|25-4m|=9． 3．已知实系数一元二次方程2x 2＋rx ＋s=0的一个根为2i-3，求r ，s 的值． 二、复系数一元二次方程
虚根不一定成对，成对也不一定共轭。 1．求方程x 2-2ix-5=0的解．（当b 2-4ac ≥0时，方程的解都是实数吗？） 求方程x 2-2ix-7=0的解 解方程：x 2-4ix+5=0； 解方程：0)2(25222=--++-i x x x x 答：i x x 5351,221-= =（应用求根公式，不能用复数相等） 06)32(2=+++i x i x 答：i x x 3,221-=-=（b 2-4ac 为虚数，） 2．解方程：x 2＋（1＋i ）x ＋5i=0． 2511 22=+++x x x x 答：4151,13,21i x x ±== 2311 22=+-+x x x x 答：4151,13,21i x x ±=-= 三、方程有实根或纯虚根的问题 1．方程x 2+（m+2i ）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m 的值和这方程的解． 2．已知方程x 2+mx+1+2i=0（m ∈C ）有实根，求|m|的最小值． 解方程 关于x 的方程03)12(2=-+--i m x i x 有实数解，则实数m 满足的条件是( C )
复数的运算及一元二次方程
复数的运算及一元二次方程 基础训练： 1、已知z 1=2－i ，z 2=1+3i ，则复数 521z z i +的虚部为 2、设i y i i x -+-=+1231 (x ∈R ，y ∈R )，则x =__________；y =__________． 3、若,232=+z z 则z=____________． 4、若n i i )11(+-是实数，则最小的正整数n =____________． 5 、设复数32 z =的模||z =23，求实数m 的值． 6、复数z 满足1122 1z i z i ++-=，则1z i ++的最小值与最大值分别是 7、7＋24i 的平方根为__________． 8、设2]31)1(2[i i x ++=是方程20x ax b ++=的根，求实数a 、b 的值． 9、将42 2x x --在实数范围内可分解为_________；在复数范围内分解为____________． 10、设关于x 的方程22230x ax a a ++-=，至少有一个根的模为1，试确定实数a 的值． 综合练习： 1、已知z=1＋i ，1 22+-++z z b az z =1－i ，求实数a 、b 的值。 2、设()1f z z =-，123z i =+，25z i =-，试求)(21z z f -和)11( 2 1z z f +． 3、已知z 是虚数且z z =2，则(1)122+++z z =_______________．
4、已知z 是复数，2z i +、2z i -均为实数(i 为虚数单位)，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 5、已知x y R ∈，，复数12()z x x y i =--，22(41)z y x i =++，当122(1)z i z i -=-+时， ⑴ 求12||z z ?； ⑵ 求()z z 125-的值． 6、若||1z =，且2120z z z ++ <，求复数z ． 7、已知1z =，求1z i -+的最大和最小值． 8、复数z 满足1z i -=，若12z i ω=+-，则ω在复平面上对应点的轨迹方程为
