复数中的方程问题

复数中的方程问题（教师版）

【知识梳理】

1.一元二次方程2

0(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠ (1)0?>?

方程有两个不相等的实数根1,22b x a

-±=; (2) 0?=?方程有两个不相等的实数根1,22b x a

-=; (3) 0?

方程有两个共轭虚根1,2x =注:①实系数一元二次方程的跟只可能是两个都是实数根或两个共轭虚根;

②解实系数一元二次方程,首先要判断?的符号,以确定跟的情况.

2.实系数一元二次方程跟与系数的关系: 方程2

0(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠的两根为12,x x C ∈,则1212b x x a c x x a ?+=-????=??

(*) 注:①12,x x R ∈时(*)式成立,12,x x 为虚数时(*)式也成立;

②若1x 为虚数,则21x x =,且21211212Re ;||b c x x x x x x a a

+==-

== 【基础练习】

1.在复数集内,方程2230x x ++=的解集为

_____{1,1-+--_______. 2.若32i +是方程220(,)x bx c b c R ++=∈的一个根,则c 等于___26___.

2.方程22810()x x t t R -++=∈

则t =____9______. 3.方程2236(1)10x m x m --++=的两个根均为虚数,且两个根的模之和为2,则实数m 的

值为

______.

4.

若实系数一元二次方程的根为121,1x x ==,则这个方程为( B )

A. 2220x x -+=

B.2240x x -+=

C.2220x x ++=

D.2

240x x ++=

5.方程42560x x --=在复数集内的根的个数为( C )

A.2

B.3

C. 4

D.5

6.在复数集内分解因式:223x x -+=____2(x x ____.

【例题解析】

例1. 在复数集中解方程：22(1)2340;(2)40x x x mx ++=++=．)(R m ∈

分析 解实系数一元二次方程要首先计算判别式，以确定根的情况．

解 (1)24230b ac ?=-=-

所以方程的根为：1233,4444

x x =-

+=--． (2)216m ?=-，

当0?>时，即4m >或4m <-时，1,22

m x -±=； 当0?=时，即4m =±，若4,2m x ==-；若4,2m x =-=；

当0?<时，即44m -<<时，1,222

m x =-±．

例2. 已知,αβ是实系数一元二次方程2

0ax bx c ++=的两个虚根，且2R αβ∈，求αβ． 分析 实系数一元二次方程的两个虚根共轭，又z R z z ∈?=．

解 ,αβQ 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个虚根，,αββα∴==． 又因为22222333,(),,()1,R ααααβααβββββαβ

∈∴=?=∴=∴=

所以(

)αβ是1的立方根，又1,22

ααββ≠∴=-±Q ．

例3. 已知方程012=+-px x （R p ∈）的两根为21x x ，，若1||21=-x x ，求实数p 的值. 解：（1）当042

≥-=p ?，即22-≤≥p p 或时，24,242221-+=--=p p x p p x 则4||221-=-p x x ，由5142±=?=-p p

（2）当042<-=p ?，即22<<-p 时，2

4,242221i p p x i p p x -+=--= 则2214||p x x -=-，由3142±=?=-p p 综上35±±=或p 。

例4.已知t R ∈且关于x 的方程220x x t ++=的两个根分别为,αβ，求||||αβ+．

分析 在求||||αβ+的表达式时，方程的根,αβ是实数还是虚数，在变形时方法完全不

同．所以很有必要区分,αβ是实根还是虚根，即对t 分类讨论．

解 44,2,t t αβαβ?=-+=-=．

当0?≥即1t ≤时， ,R αβ∈

，||||αβ+==

2(01),

(0).

t t ≤≤??===?时， ,αβ为一对共轭虚根，,||||βααβ==．

2||αβααα=?=

，则|||||ααβ=+=

综上可知：

2(01),||||(0),(1).t t t αβ≤≤??+=?

例5. 已知关于x 的方程2

(12)(31)0x i x m i ++--=有实根，求纯虚数m 的值．

分析 关于虚系数一元二次方程求实根，我们所掌握的工具只有方程根的概念。即方程的根

满足该方程，所以可将实数根代入方程，用复数相等来解题．

解 设实数根为0x ，又设(0,)m bi b b R =≠∈，代入原方程整理，得：

20000(3)(21)0,,x x b x i x b R ++++=∈Q ，由复数相等的定义， 得200030,210.

x x b x ?++=??+=?? 解方程组，得121,210=-=b x ，i m 121=∴。

【变式】有关于x 的一元二次方程0)2()(tan 2

=+-+-i x i x θ),(C x R ∈∈θ

（1） 若此方程有一实数根，求锐角θ的值；

（2） 求证：对任意的实数θ，原方程不可能有纯虚数根.

解：（1）设原方程的实数根为x ，则0)2()(tan 2

=+-+-i x i x θ，即 ?

??=+=-?-0102tan 2x x x θ，解得41tan ,1πθθ=?=-=x ； （2）假设0θθ=（R ∈0θ）时，原方程有纯虚数根bi （0≠b ），代入原方程，得

0)1tan (202

=+-+--i b b b θ，从而有???=+=-+01tan 0202θb b b ，该方程组无解，得证。

【巩固练习】

1.k R ∈,方程2(3)40x k i x k ++++=一定有实数根的充要条件是(D )

A.||4k ≥

B.2k ≥+

2k ≤-

C.k =±

D.4k =-

2.对关于x 的方程20x px q ++=,下列说法正确的是(C )

A.若方程有实根,则24p q -为非负实数;

B.若虚数0z 为方程的一个根,则0z 为方程的另一个根;

C.若方程有两个实数根,则,p q 都不是虚数;

D.若,p q 为虚数,则方程两根均为虚数;

3.方程2(2)(5)(22)0i x i x i +-++-=的实数解为___2____.

4.已知,αβ为方程210x x ++=的解,则20002000α

β+=_____-1_______. 5．解关于x 的方程240()x ax a R -+=∈。

解：当4a ≤-或4a ≥

时1(2x a =

±；当44a -<<

时1()2x a = 6.设关于x 的方程2236(1)10x m x m --++=的两根的模的和为2,求实数m 的值.

解：当0?≥

时，即m ≤

或m ≥ 212103

m x x +=>，1212||||||2x x x x +=+=； 即|2(1)|20m m -=?=或2m =（舍去）；

当0?<

m << 1211||||2||2||1x x x x +==?=

，221211||13

m x x x m +===?=

m =；

综上所述，0m =

7.

已知复数(1),z a i i =-为虚数单位且a R +∈,求||z 的取值范围.

解：||R z a +=∈，

241[,)3

a a -+∈+∞，

||)z ∈+∞。 8.已知2c >,设:P 方程260x x c ++=有虚数根;:Q 不等式|2|||2x x c -+->对一切

x R ∈恒成立.如果两个命题,P Q 中有且只有一个是正确的,求c 的范围. (4,9]

9. 设0≥a ，在复数集中解方程a z z =+22

。

解一：设yi x z +=，（R y x ∈,） a xyi y x y x =+++-222222

?????=++-=∴a y x y x x 222220或?????=++-=a

y x y x y 222220， 解得???+±±==)11(0

a y x 或???-+-±==)11(0

a x y 。 所以方程解为)11(a z ++-±=或i a z )11(-±±= 解二：R a z z ∈+-=22

，z ∴为实数或纯虚数。

（1） 若R z ∈，则原方程化为 02||2=-+a z z ，)11(a z ++-±=∴

（2） 若z 为纯虚数，设)0,(≠∈=y R y yi z ， 原方程化为022

=+-a y y 。

当10≤≤a 时，a y -±=11，i a z )11(-±±=∴

10.设C z ∈，0≥a ，解方程0=++i az z z 。 解：原方程变形为i a z z +-=1，①R a

z ∈+-1Θ， 所以z 为纯虚数，且z 的虚部为负数，故直接用z 表示，①两边去模，得：

a

z z +=1，即012=-+z a z ，解得242+±-=a a z （负值舍） i a a z 24

2--=∴