解析函数

第2章解析函数

2.1 解析函数的概念及C-R 条件

复数作为复数域的向量，是一维向量，或复数是复数域上的一维线性空间.

2-1 ()f z 在000i z x y =+点可导的充分必要条件是（）. （A ）在00(,)x y 点,u v 可导，且满足C-R 条件，即,u v u v x y y x

????==-????在00(,)x y 成立（B ）()f z 在00(,)x y 点的一个邻域内可导（C ）在00(,)x y 点,u v 可微，且满足C-R 条件

（D ）在00(,)x y 点,u v 具有连续的偏导数，且满足C-R 条件

解由上题的推导过程知，若()f z 在0z 点可导，则,u v 在00(,)x y 可微，且

,.u v

u v a b x y

y x

????==-

==???? 在00(,)x y 点成立.

反之，若,u v 在00(,)x y 可微，且满足C-R 条件，则

()i f z u v

z z

??+?=?? i()(||)(i )i(i )(||)

(i )(||)x y x y x x x x x u x u y v x v y o z z z

u x y v x v y o z z z

u v z o z z z ?+?+?+??=+

???+?+?+??=+

??+??=+

?? 故 0()

lim

x x z f z u iv z

?→?=+? 选（C ）. 2-2 若22

22,0(,),(,),()i 0,0xy x y x y u x y v x y xy f z u v x y 2?+≠?+===+??+=?

，则函数()

f z （）.

（A ）仅在原点可导（B ）处处不可导（C ）除原点外处处可导（D ）处处可微

解 (,)u x y 在原点虽有

0y v

x y

??==??但不可微；而除原点外,u v 可微但不满足C-R 条件，因此，()f z 处处不可导. 选（B ）.

()f z z =如此简单一个函数却处处连续但不可导！

2-3 若2

()()i(32)f z x y ax by cxy x y =-+++++处处解析，则(,,)a b c =（）.

（A ）(3,2,2) （B ）(2,3,2)-- （C ）（(2

,3,2)- （D ）(2,3,2)-

解由C-R 条件及

2,2,3, 2.u u v v x a y b cy cx x y x y

????=+=-+=+=+????故2,2, 3.c a b ===- 2-3 若22

()i f z xy x y =+则()f z （）.

（A ）令在直线y x =上可导（B ）仅在直线y x =-上可导

（C ）仅在（0，0）点解析（D ）仅在（0，0）点可导

解 22,2,2,x y x y u y u xy v xy v x ====，要满足C-R 条件，要求

22y x =及22xy xy =-，只有（0，0）点能满足此条件. 选（D ）.

要记住在极坐标下的C-R 条件.

i i ~e e z ri r θθθ??+?中“~”表示等价（无穷小）的意思(0).z ?→这里由于是极坐标故(,)(,);

u u r r u r θθθ?=+?+?-(,)(,)

v v r r v r θθθ?=+?+?-而

i()i ()e e z r r r θθθ+??=+?-当i 0,e z r θθ?=?=?令i 0,e (sin 1isin )r z r θθ?=?=?-+? i ~e i (0)r θθθ??→“～”是等价无穷小的等价符号.

2-4 导出在极坐标下的C-R 条件.

解即i e ,(,(,),()(,)i (,),()z r u u r v v r f z u r v r f z θθθθθ==),==+在(,)r θ处可导的C-R 条件，分两种解法.

1.用坐标变换法

22,u u x u y u u y u x x r r r y r r r θθ???-???=?+?=?+??????? ,u v

x y

????的变化与之一样，故由C-R 条件得 22u x y u v y x v

r r r r r r θθ????-=+???? 及 22u y x u v x y v

r r r r r r θθ

????+=-+???? (2)(1)(2)(1)v

u r x y r u v y x r r θθ???=-??-????????+??=????

得这便是在极坐标下C-R 条件.

2.直接用定义

()()(,)(,)i f z z

f z u r r u r v

θθθ+?-=+?+?-+? i u v =?+? 而 i()i ()e e z r r r θθθ+??=+?-? i i i()e (e 1)r re θθθθ?+?-+?

当 0,0r θ?→?→时，i i ~i e e z r r θ

θ??+? 故 0i ()l i m

z u v

f z z

?→?+?'=?存在，令0θ?=有

i 0(0)(,)(,)()lim e z u r r u r f z r θθθθ?→?=+?-'=?i 0(0)

(,)(,)i lim e r v r r u r r θθθθ?→?=+?-+?=i 1(i )e u v

r r θ??+?? 令0,0r θ?=?→亦有

0(0)(,)(,)()lim

e x u r u r

f z ri θθθθθθ?→?=+?-'=?i 0(0)

(,)(,)

lim e r v r v r r θθθθθθ?→?=+?-+?i 111()e v u i r r θθθ??=-?? 比较上面等式得 11u u

r r v u r r θ

θ???=????????=-????

与解1所得结果一致.

2-5 研究下列函数的可导性与解析性（1）2()i f z x y =- （2）33()23i f z x y =+

（3）()e cos ie sin x x f z y y =- （4）()sin ch cos sh f z x y i x y =+ 解（1）2,0;0, 1.u u v v

x x y x x

????====-????仅当12x =-时C-R 条件成立，故此函数在直

线1

2x =-

上处处可导.而在复平面上处处不解析. （2）226,0;0,9u u v v x y x y x x

????====????，因此，()f z 仅在两相交直线2223x y =上

处处可导，在全平面处处不解析.

（3）

e cos ,e sin ;e sin ,e cos .x x x x u u v v y y y y x y x y

????==-==????C-R 条件处处成立，且,u v 偏导数处处连续，因而处处可微，即()f z 处处解析.

（4）cos ch ,sin sh ;sin sh ,cos ch .u u v v x y x y x y x y x y x y

????===-=???? ,u v 的偏导数处处连续，且C-R 条件成立，故()f z 处处解析.

2-6 若u iv +是区域D 内的解析函数，那么，v iu +在D 内是否也是解析函数？解只有当()i f z u v =+在D 内为常数时，v iu +才在D 内解析，否则v iu +不解析.

由C-R 条件，

,u v u v x y y x ????==-????，若i v u +也解析，则有,.v u v u x y y x

????==-????于是,v v v v x x y y ????=-=-????，故0,v v v x y

β??==≡??为常数，从而u α=也是常数. 结论，若i u v +是D 内不为常数值的解析函数，则i v u +在D 内不解析.

2-7 如果()f z u iv =+是解析函数，证明222

(|()|)(|()|)|()|.f z f z f z x y

??'+=??

证

|()|f z =

|()||()|uu vv f z f z x y +?

?==

?? 由C-R

条件得|()|f z y ?

?故 222222

2222

()()(|()|)(|()|)x x

u v u u v v f x f z x y u v +++??+=??+

222

|()|.x x u v f z '=+= 2-8 如果()i f z u v =+是解析函数，证明

2222()|()|4|()|f z f z x y

??'+=?? 证 2

|()|f z u v

故

2|()|2()x x f z uu vv x

=+? 2222

2|()|2()x x xx xx f z u v uu vv x ?=+++? （1）同样 2222

2|()|2()y y yy yy f z u v uu vv x

?=+++? （2）由C-R 条件，知()i .x y y y f z u iv v u '=+=-

22222

|()|x y y y

f z u v u v '=+=+ 及 0xx yy xx yy u u v v +=+= 将（1）、（2）两式相加得

2222()|()|4|()|.f z f z x y

??'+=??

2-9 如果()f z 与()f z 均在D 内解析，证明()f z 是常数. 证设()f z u iv =+，则().f z u iv =-由C-R 条件,.u v v u v v x y y y x x

??????==-=-=??????得

0,v v x y ??==??从而0,u u

u x y

α??===??是实常数，v β=是实常数，()i f z αβ=+是常数.

2-10 设()f z 在z 点可导(0)z ≠，证明 ()(i )r u v

f z z r r

??'=

+??，其中e i z r θ= 证在极坐标下i i 1111()(

i )(i )e e r u v v u

f z r r r θθθθ

????'=+=-???? （后面的式子是顺便写出来的）故

()(i )r u v

f z z r r ??'=+??

也可写作 1()(i ).v u

f z z θθ

??'=-??

2.2 初等函数及其解析性

复变量的指数函数具有周期性.

2-11 若12e e z

=，则（）.

（A ）12z z = （B ）122(z z k k π=+为任意整数）（C ）12i z z k π=+ （D ）122i z z k π=- 解由于e z 的周期为2i π，故有

122πi z z m -=（取,m k k =-为任意整数）

得 122πi.z z k =-

要注意Ln z 与ln z 的联系与区别.

2-12 关于复数的对数函数，下面公式正确的是（）.

（A ）1212Ln()Ln Ln z z z z =+ （B ）1212ln()ln ln z z z z =+

（C ）2

Ln 2Ln z z = （D ）2

ln 2ln z z = 解由定义

121212Ln()Ln ||iArg()z z z z z z =+

1122Ln ||iArg Ln ||iArg z z z z =+++

12Ln Ln .z z =+

（B ）不正确在于121212Ln()Ln ||iArg()z z z z z z =+

而当12arg arg π,z z +>或12arg arg πz z +≤-时， 1212arg()arg arg z z z z ≠+，故（B ）

不成立.

2-13 Ln(1)-和它的主值分别是（）.

（A ）1Ln(1)()πi,(2

k k -=+为整数）主值ln(1)0-= （B ）Ln(1)(21)πi,k -=-主值ln(1)πi -= （C ）Ln(1)(21)πi,k -=-主值ln(1)πi -=-

（D ）Ln(1)ln1iA rg(1)-=+-，主值ln(1)πi -=

解 L n (1)l n 1i A r g (1)i (2π.m -=+-=+，取1(m k m =-为整数，k 也是整数）得

Ln(1)i(21)π,ln(1)πi.k -=--= 选（B ）.

注意复变量的三角函数与实变量三角函数的联系与差别.

2-14 设k 为整数，则方程sin 0z =的根是（）.

（A ）πi z k = （B ）2πz k = （C ）πz k = （D ）2πz k =

解即

i i e e 02i

z z

--=，即2i e 1.z =设2i 2i ,e e (cos2isin 2)1z y z x y x x -=+=+=，故0,cos 21,π.y x x k === 选（C ）

2-15 证明对数函数的下列性质.

（1）1212Ln()Ln Ln z z z z =+ （2）1

122

Ln Ln Ln z z z z =- 并说明以上性质对于函数ln z 未必成立.

证（1）121212Ln()Ln ||Arg()z z z z i z z =+ 1122Ln ||iArg Ln ||iArg z z z z =+++ 12Ln Ln z z =+ （2）可用（1）的结果：

1112222

Ln Ln(

)Ln Ln .z z

z z z z z =?=+ 故 1

122

=Ln Ln .z z z z - 以上等式成立的意思是说

12Arg()z z 与12Arg +Arg z z 是相同的集合.而对于主值：

121212ln()ln ||iarg(),z z z z z z =+

111ln ln ||iarg z z z =+ 222ln ln ||iarg .z z z =+

不一定总有1212arg arg arg().z z z z += 如121i,i,z z =--=-则121i z z =-+

121233arg()π,arg ,arg()424

z z z z ππ=-

=-= 12

125

a r g a r g πa r g ().4

z z z z +=-≠ 故 12ln ln z z +一般不一定与12ln z z 相等，但当12arg arg z z ππ<+≤时，公式成立，

如 ππ

l n (1)l n (i i )i ()i π22

=?=+=不成立. z z ln 2ln 2≠这是复函数与实函数不同之处，值得注意。

z z ln 2

ln =都是成立的.

2-16 说明下列等式是否正确.

（1）2

Ln 2Ln z z =；（2）1

Ln 2

z =

解（1）不正确，因为

22Ln 2ln ||iArg z z z =+

而2Ln 2ln ||2iArg .z z z =+ 由于112Arg 2arg 4,(z z k k π=+是整数）而 222Arg 2arg 2π,(z z k k =+是整数）两个集合不相同.

（2）正确1arg 2z ，另一个是1

arg π.2

z +

故 11

ln ||i(arg )22

z z k π=

++ 而 11i

L n l n ||(a r g 2π)222

z z z =++ 11

ln ||i(arg π).22z z m =++ ①

而 1i =+或1i.-- 11π

Ln(1i)ln 2i(2π)24m +=++ ②

213

Ln(1i)ln 2i(2π)24m π--=+-

21π

ln 2i[(21)π]24

m =+-+ ③

②式对应于①式2k m =，为偶数时的值；③式对应于①式221k m =-即奇数的值，故它们

是相等的.

反过来，便可以看出（1）不成立的原因. 若 2

Ln(1i)ln 22iArg(1i)+=++

ln 2i(4π)2k =++ ④ 而 2

2πLn(1i)ln 2i=ln2i(+2π)2

k +=+ ⑤

④式比⑤式中的虚部少了“一半”原因是尚有

22Ln(1i)Ln(1i)+=--

而 2Ln(1)i +与2Ln(1i)--是不一样的.

2-17 求下列各式的值:

(1)exp[(1i π)/4]+ (2)i

3 (3)i (1i)+ (4) i ln(1i)+ 解（1）14exp[(1i π)/4]e (cos

isin )44

+=+

4e (1i).=+

（2）i iln3i(ln3i2)2π3e e (cosln3isinln3),(k k e k π+-===+是整数）

（3

）1i[ln 2(2)](2)

i iLn(1i)

(1i)e

isin i k k e

ππ++-+++===

（4

）i

ln(1i)(

2π)i 4

k k +=-++是整数）. 2-18 讨论函数ln z 和Ln z 的解析性及其导数.

解 ln ln ||iarg z z z ω==+,此函数在0z =点和负实轴上不连续，在0z =时ln ||

z 无意义；在负实轴0y =上，0x <，当0

lim arg πy z +→=；而0

lim(arg )πy z -

→=-，故不连续；从而ln z 不可导.而除0z =和负实轴外，反函数e z ω=存在，且e 0z ω

'=≠，故

211(ln )e z z '=

= 即除原点和负实轴外，ln z 处处可导，且

(ln )z z

对于ln ln 2πi z z k =+（k 为整数），对每个固定的k ，Ln z 也是除原点和负实轴外处处可导，且

(Ln )(ln ).z z z

''==

即Ln z 在它每一个单值的分支上（即对每个固定整数k ），除原点和负实轴外处处可导，且1

(Ln ).z z

2-19研究幂函数a

w z =的解析性质，并求其导数.

解 Ln (Ln 2)e

e z

z k w ααπ+==

因此，a

z 是多值函数，对应于Ln z 的每个单值分支，幂函数也是单值的，且Ln z 的每个单值分支上除0z =和负实轴外处处解析，因而，幂函数在每个单值分支（即对每个固定的k ），

除原点与负实轴外处处解析，且

(ln i2)1()[e ]n z k z z z z

απααα

α+-''==?

=，对每个固定的k 均成立.

注意

z 的两个分支不一样.

2-20

求1

z =-'

的值.

解

Ln (Ln i2π)2

e z z k z +==有2个单值分支，对应0k =和1k =.

故

11i

.2i

2z =-=-'===±± 即对应0k =

1(i π)2

i =-==

1i .2i 2

z =-=

=- 而对应1k =

.2i 2

z =-=

高中数学函数解析式求法

函数解析式的表示形式及五种确定方式函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。一、解析式的表达形式解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。例1、设函数(]() ???+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为。解：当(]1,∞-∈x 时，由4 12= -x 得，2=x ，与1≤x 矛盾；当()+∞∈,1x 时，由4 1log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。 1待定系数法若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。

高考求函数解析式方法及例题

高考求函数解析式方法及例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

函数专题之解析式问题求函数解析式的方法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。，求f(x)的解，待定系数法 ()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。 x y ()f x 例题：

解法一、 1222x x a ? -= =2248b ac a ∴-=21 ()21 2f x x x ∴=++1 c =又1 ,2,12a b c = ==解得2 ()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40 a b -=得解法二、 (0)1f =41 a k ∴+=12 22x x -=222k a -∴=1 ,12 a k ∴= =-22 1 ()(2)121212 f x x x x ∴= +-=++()y f x =2 x =-得的对称轴为 (2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k =++设二【换元法】（注意新元的取值范围）已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入 ))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。三【配凑法（整体代换法）】若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出)(x f 的式子。

高中数学-求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的六种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可. 例1 已知f （x x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解：设x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2 x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2)(x +2 x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有 f （x ）= x 2－1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ???=++=+822b a b b a 解得 ???==. 7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.

高三数学一轮复习求解函数解析式的几种常用方法

2009届一轮复习求解函数解析式的几种常用方法高考要求: 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力. 重难点归纳: 求解函数解析式的几种常用方法主要有: 1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法； 2.换元法或配凑法，已知复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法； 3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法. 典型题例示范讲解: 例1.(1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1 (1 2 x x a a --.(其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式. (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x )的表达式. 命题意图:本题主要考查函数概念中的三要素:定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力. 知识依托:利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域. 错解分析:本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错. 技巧与方法:(1)用换元法；(2)用待定系数法. 解:(1)令t=log a x (a >1,t >0;01,x >0;0