函数解析式

编号012 中考数学 用待定系数法求函数的解析式 复习

用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数

为未知数的方程（组）；

（3）解方程（组）得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

1、正比例函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k ，其基本步骤是：

（1）设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程； （3）解方程，求出待定系数k ；

（4）将求得的待定系数的值代回解析式.

2、用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤为：

(1) 设函数的解析式为 y=kx ＋b (k≠0)．

(2) 将已知点的坐标代入函数的解析式，得出方程组． (3) 解方程组，求出待定系数k ，b ；

（4）将求得的待定系数k ，b 的值代回解析式.，得函数的解析式

例：已知一直线经过点A(－1，1)和B(1，－5)，求直线AB 的解析式．

分析:直线的解析式可设为y=kx ＋b ，因为k ，b 待定，由直线过A(－1，1)和B(1，－5)可以确定．

解：设直线AB 的解析式为：y=kx ＋b (k≠0)

∵点A(－1，1)和B(1，－5)在直线y=kx ＋b 上，

∴直线AB 的解析式为y=－3x －2

点评：求函数的解析式可采用待定系数法，这样把求函数的关系转化为解二元一次方程

组的问题来解决，

3、用待定系数法求反比例函数的解析式

反比例函数)0(≠=

k x

k y 图象上的点的坐标满足函数关系式；满足函数关系式的一

对x 、y 值对应的点在其函数图象上，因此，已知反比例函数图象上一个点的坐标，就能用待定系数法确定其解析式．

例： 已知一次函数y=2x －k 的图象与反比例函数x

k y 5+=的图象相交，其中有一个交

点的纵坐标为－4．求这两个函数的解析式． 解：依题意知，在这个交点处y=－4，故有

检验知2

3-

=x ，k=1符合题意．

所以一次函数的解析式为y=2x －1；反比例函数的解析式为x

y 6=．

点拨：待定系数法是确定函数解析式的一种常用方法，在一次函数中我们已经学习过，跟正比例函数y=kx 一样，由于反比例函数)0(≠=

k x

k y 中只有一个系数k 待定，通常

只需知道图象过某一点就可以待定出系数k 来．而本例只给出一个点的一个坐标，通过

反比例函数与一次函数的交点，用联立方程组来待定k 和另一坐标x ，这都是待定系数法确定函数解析式的常用方法．

4、二次函数y=ax 2

的表达式的确定

因为二次函数y=ax 2中只含有一个需待定的系数a ，所以只需给出x 与y 的一对对应值即可求出a 的值．

例：已知抛物线y=ax 2经过点A(－2，－8)． (1) 判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上： (2) 求出此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．

分析：先把点A(－2，－8)代入抛物线的表达式y=ax 2中，确定a 的值，从而确定抛物线y=ax 2的表达式，再把B 点坐标代入验证是否满足抛物线的表达式，最后将y=－6代入表达式，即通过解方程求出横坐标．

解：(1)把(－2，－8)代入y=ax 2得－8=a(－2)2． ∴a=－2．∴抛物线的关系式为y=－2x 2．

∵－4≠－2×(－1)2，∴点B(－l ，－4)不在此抛物线上． (2)由－6=－2x 2，得

，

∴抛物线上纵坐标为－6的点有两个，即(，－6)和(，－6)． 反思：由于抛物线是轴对称图形，所以除顶点外，每一个y 值都对应着两个x 值．注意不要漏掉一个． 5、二次函数y=ax

2

＋c 解析式的确定

二次函数y=ax 2＋c 的解析式中含有a 、c 两个字母系数，一般需要两个独立的条件并用待定系数法确定a 、c 即可．有时在实际问题中，还需要根据抛物线的位置和形状来设出函数表达式，再利用待定系数法来确定函数表达式．

例：已知抛物线y=ax 2＋c 与直线y=x ＋l 交于两点A(1，m)和B(n ，－1)，求抛物线的解析式．

编号013 分析：先由两点A、B在直线y=x＋1上，分别求得m，n的值，从而得A、B两点的坐标，又抛物线过A、B两点，代入表达式中，解方程组得出结论．

解：∵抛物线y=ax2＋c与直线y=x＋l交于两点A(1，m)，B(n，－1)，

∴A(1，2)，B(－2，－1)．

代入抛物线的表达式中，得

解这个方程组，得a=－1，c=3．

所以抛物线的表达式为y=－x2＋3．

反思：解题次序很重要，本题应该先由A、B在直线上，求得m，n的值，然后再用待定系数法求a、c的值，从而得到抛物线的表达式．另外，点在直线或抛物线上，则点的坐标适合直线或抛物线对应的表达式．

6、二次函数y=ax2＋bx＋c(a,b,c为常数，a≠0)解析式的确定

二次函数的解析式有下列三种形式：

（1）一般式：y=ax2＋bx＋c (a、b、c是常数，a≠0)；

（2）顶点式：y=a(x-h)2＋k (a≠0)；（h，k）为函数图象的顶点；

（3）交点式：y=a(x－x

1

)(x－x2) (a≠0) (x1，0)，(x2，0)为函数图象与x轴的交点根据已知条件正确求出二次函数的关系式

用待定系数法求函数解析式时，应当根据已知条件选择适当的二次函数的形式。确定二次函数的解析式一般要三个独立条件，灵活地选用不同方法求出二次函数的解析式是解与二次函数相关问题的关键．

如果知道函数图象与x轴的交点，那么选择交点式；

如果知道函数图象的顶点，那么选择顶点式；

如果知道函数图象上三个一般的点，那么选择一般式。

例1：已知某二次函数，当x=1时有最大值－6，且其图象经过点（2，－8）．求此二次函数的解析式．

解：∵二次函数当x=1时有最大值－6，

∴抛物线的顶点为（1，－6），

∴设所求的二次函数解析式为y=a(x－1)2－6．

∵图象经过点（2，－8）

∴a(2－1)2－6=－8，

∴a=－2，

∴二次函数的解析式为y=－2(x－1)2－6，即y=－2x2＋4x－8．例2、根据下列条件，求抛物线的解析式．

(1)经过点（0，－1），（1，

2

1

-），（－2，－5）；

(2)经过点（－3，2），顶点是（－2，3）；

(3)与x轴两交点（－1，0）和（2，0）且过点（3，6）．

分析：求解析式应用待定系数法，根据不同的条件，选用不同形式求二次函数的解析式，可使解题简捷．但应注意，最后的函数式均应化为一般形式y=ax2＋bx＋c．

解：①设函数解析式为y=ax2＋bx＋c，

把（0，－1），（1，

2

1

-），（－2，－5）代入函数解析式得方程组

∴解析式为 .

② 抛物线的顶点是（－2，3）

∴可设函数解析式为y=a(x＋2)2＋3，

又 y=a(x＋2)2＋3经过点（－3，2）

∴2=a(－3＋2)2＋3

∴a=－1．

∴解析式为.

③ 抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（2，0）.

∴可设函数解析式y=a(x＋1)(x－2)，

又 y=a(x＋1)(x－2)经过（3，－6）

∴－6=a(3＋1)(3－2)

∴

2

3

-

=

a

∴解析式为y= .

即y= .

反思：求二次函数关系式方法，应根据具体问题是灵活应用，选取最简方案．

19、已知抛物线

2

5

2

1

2-

+

=x

x

y．

(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴；

(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．