求函数解析式的几种方法教案

北京梦飞翔教育个性化辅导教案

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一、函数的概念 1．函数的定义

设A ，B 是 的数集，如果按照某种确定的 f ，使对于集合A 中的 一个数x ，在集合B 中都有 的数()f x 和它对应，那么就称f ：A B →为从集合A 到集合个B 的一个函数，记作 ，x A ∈．其中， 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合C = 叫做函数的值域．显然，值域C B ?．

（1）函数概念的整体性： 、 、 是决定函数的三要素，这是一个整体，其中核心是对应关系．

（2）函数符号()y f x =的内涵：不表示“y 等于f 与x 的乘积”，而是 “y 是x 的函数”的数学表示，其中x 是自变量，是对应关系作用的对象；f 是对应关系，可以是解析式、图象或表格，也可以是文字描述；

y 是自变量的函数，当x 取允许的具体值时，相应的y 值是其对应的函数值．

（3）()f x 与()f a 的区别与联系：当a 为常数时，()f a 表示当自变量x a =时函数()f x 的值，是一个常量；而()f x 是自变量x 的函数．在一般情况下，()f x 是一个变量，()f a 是()f x 的一个特殊值．

（4）初高中函数定义的比较：初中函数定义是从运动变化的观点出发，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，其中的对应关系是将自变量x 的每一个取值与唯一确定的函数值y 对应起来；高中函数的定义是从集合、对应的观点出发，其中的对应关系是将原象集合中的任一元素与象集合中的唯一确定的元素对应起来．高中函数定义更具一般性，其外延更加丰富，是初中函数定义的延伸和拓展．

2．函数相等

一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的 相同，并且对应关系 ，就称这两个函数相等．

3．分段函数

如果一个函数在定义域的全域上没有统一的对应关系，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫分段函数．分段函数用解析法表示的一般形式：

()()()()112

2,,,,

,.n n f x x A f x x A y f x f x x A ∈??

∈?==???∈?

L

（1）分段函数是一个函数，不是几个函数；其定义域为并集12n A A A A =U UL U ，值域是各段函数值集合的并集．

（2）分段函数的图象要“分段作图”，要注意每一段解析式中自变量的取值范围． 4．映射的概念

设A ，B 是两个非空的集合，如果按照某一个确定的 f ，使对于集合A 中的 一个元素x ，在集合B 中都有 的元素y 和它对应，那么就称对应f ：A B →为从集合A 到集合个B 的一个映射．

（1）映射有三个要素：两个集合B A 、（可以是任意非空集合）、对应关系，三者缺一不可． （2）集合的先后顺序：A →B 与B →A 一般是不同的．

（3）映射是一类特殊的对应，包括多一对应与一一对应．有两个重要特征：A 中元素的任意性（缺一不可）、B 中元素（对应于A 中的元素）的唯一性，但B 中元素可以“剩余”．

（4）象与原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且B b A a ∈∈，．如果元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．象与原象相互依存，不能割裂二者；集合A 中的每一个元素都有象，且象是唯一的；但集合B 中的元素不一定都有原象，有也未必是唯一的．

（5）函数是特殊的映射，是非空数集到非空数集的映射． 【热身练习】

1．如果(),x y 在映射f 下的象是??

?

??+-2,2y x y x ，则()5,2-在f 下的原象是（ ） A ．()10,4- B ．()3,7- C ．()6,4-- D ．3

7,2

2??-- ???

2．给出下列对应：

①(),0,A R B ==+∞，f ：x x →； ②A B N ==，f ：3x x →-；

③{}{}

2,0A x N x B y Z y =∈≥=∈≥，f ：2

22x y x x →=-+； ④()0,,A B R =+∞=，f

：x y →=

其中是从集合A 到集合B 的函数有 ．（写出所有正确答案的序号）

3．设映射f ：2

2x x x →-+是集合A 到B 的映射，其中A B R ==．若实数k B ∈，且k 在A 中不存在原象，则k 的取值范围是 ．

（D）

4．下列四组函数中，表示同一函数的是（）

A．()x

x

f=，()()2x

x

g=B．()x

x

f=，()33x

x

g=

C．()1=

x

f，()

x

x

x

g=D．()1

1+

?

-

=x

x

x

f，()1

2-

=x

x

g

5．下列各图中，可以表示函数()x

f

y=的只可能是（）

6．若函数()23

f x x

=-，其定义域{}

15

A x N x

=∈≤≤，则()

f x的值域是．

7．设函数()

2

2

1

x

f x

x

=

+

，则()()()()

111

1234

234

f f f f f f f

??????

++++++=

? ? ?

??????

．

二、复合函数

如果y是u的函数，记作()

y f u

=，其定义域为A；又u是x的函数，记作()

u g x

=，其值域为C，且C A≠Φ

I，则y通过中间变量

．．．．

u而成为x的函数，记为()

y f g x

=??

??，称之为y关于x的复合函数；其中u

叫做中间变量

．．．．，

()

y f u

=叫做外层函数

．．．．，

()

u g x

=叫做内层函数

．．．．．

（1）复合函数的本质：对x的任意一个取值通过对应关系g得到唯一确定的u值，而对此u的取值通过对应关系f得到唯一确定的y值：y

u

x f

g?→

?

?→

?；即：对x的任意一个取值通过对应关系g与f的相继

作用得到唯一确定的y值与之对应，故y也是自变量

．．．．．x的函数

．．．．

（2）此概念表明在研究复杂函数时可将其分解成简单或基本函数，化繁为简；关键是要正确分析复合层次即分清复合函数是由哪些简单函数、经过怎样的复合关系复合而成的．如：函数2

2

2-

+

=x

x

y可看作是由外层函数与内层函数复合而成．

（3）内层函数的值域C满足的条件“C A≠Φ

I”是为了保证两个函数可以复合

．．．．．．．．．．．．．；否则复合函数不存在，如对于函数

()

y f u

==()21

u g x x

==--，其复合函数()

y f g x

=??

??不存在．1．复合函数的解析式

第一种类型，已知()

f x、)

(x

g，求()

f g x

??

??：函数()

f g x

??

??可以理解为以

()

g x为“自变量”、对应法则为f的函数，故视()

g x为一个整体代替()

f x中的x即可求出()

f g x

??

??．

第二种类型，已知()f g x ????、()g x ，求()f x ：换元法、配凑法． ．【试一试】

1．设函数()21f x x =-，()211g x x

=+.求()2

1f x +、()f g x ????、()f f x ????的解析式.

2．设函数()()2(0)

21,1(0)x x f x x g x x x ?>=-=?+≤?

，求函数()f g x ????和()g f x ????的解析式．

函 数 解 析 式 的 几 种常见 求 法

三、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则

b

ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([

∴???=+=342b ab a ∴?

????

?=-===32

12b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或

四、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的

运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知2

2

1

)1

(x x x

x f +

=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式

解：2)1()1(2-+=+

x x x x f Θ， 21

≥+x

x 2)(2-=∴x x f )2(≥x

三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注

意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=

x t ，则1≥t ，2)1(-=t x

Q x x x f 2)1(+=+

∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f

1)(2-=∴x x f )1(≥x

x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2

x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点

则?????=+'-=+'32

22y y x

x ，解得：???-='--='y y x x 64

，

Θ点),(y x M '''在)(x g y =上

x x y '+'='∴2

把??

?-='--='y

y x x 64

代入得：

)4()4(62--+--=-x x y

整理得672

---=x x y

∴67)(2---=x x x g

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方

程组求得函数解析式。

例5 设,)1(2)()(x x

f x f x f =-满足求)(x f 解 Θx x

f x f =-)1(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成

x

1

，得： x

x f x f 1

)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：

x

x x f 32

3)(--= 例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1

1

)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 解 Θ)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，

)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴

又1

1

)()(-=

+x x g x f ① ， 用x -替换x 得：1

1)()(+-=-+-x x g x f 即1

1

)()(+-

=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得

11)(2-=

x x f ， x

x x g -=21

)( 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，

使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f

解Q 对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2

+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2

++=x x x f

七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭

代等运算求得函数解析式。

例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有

ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f

解Θ +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，

∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，

又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ① 分别令①式中的1,21x n =-L 得：

(2)(1)2,

(3)(2)3,()(1),

f f f f f n f n n -=-=--=L L

将上述各式相加得：n f n f Λ++=-32)1()(，

2

)

1(321)(+=+++=∴n n n n f Λ +∈+=

∴N x x x x f ,2

1

21)(2