集合充分条件、必要条件、充要条件间关系论文
小议集合与充分条件、必要条件、充要条件间的关系设a、b为两个集合。则ab是指：
xaxb ①
即有：”xa”是”xb”的充分条件，
“xb”是”xa”的必要条件。
反过来，若”xa”是”xb”的充分条件，即xaxb，则ab。
设a、b为两个集合，则a=b是指：
xaxb ②
即有：”xa”是”xb”的充要条件。
反过来，若”xa”是”xb”的充要条件，即xaxb，则a=b。
设p，q为含有变量x的语句，我们引入如下两个集合：
a=，
b=
如果ab，那么每个使p成立的变量x也使得q成立，即：若p 成立，则q也成立，也就使说，从而p是q的充分条件，q是p的必要条件。
反过来，如果p是q的充分条件，那么由p成立可以推出q成立，也就是说，若xa，则一定有xb，从而有ab。
这样一来，要判断p是q的什么条件，只需判断集合a与集合b 的关系即可。有如下结论：
①若ab，则a是b的充分条件：②若a=b，则a是b的充要条件：③除①②外的情况都是既不充分也不必要条件。
第1章 集合与充要条件教案(1)
第一章集合与充要条件 1.1 集合的概念 第一节集合与元素 教学目标： 1．理解集合的概念；理解集合中元素的性质． 2．理解“属于”关系的意义；知道常用数集的概念及其记法． 3．引导学生发现问题和提出问题，培养独立思考和创造性地解决问题的意识． 教学重点： 集合的基本概念，元素与集合的关系． 教学难点： 正确理解基本概念 教学过程： [新授]： 1．集合的概念 （1）一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，我们就说，这个整体是由这些对象的全体构成的集合（简称为集）． （2）构成集合的每个对象都叫做集合的元素． （3）集合与元素的表示方法：一个集合，通常用大写英文字母A,B,C,…表示，它的元素通常用小写英文字母a,b,c,…表示． 2．元素与集合的关系 （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”． （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a?A．读作“a不属于A”．3．集合中元素的特性 （1）确定性（2）互异性（3）无序性： 4．集合的分类 （1）有限集（2）无限集 5．常用数集 自然数集N；正整数集N＋或N*；整数集Z；有理数集Q；实数集R． 6．空集?（不能写成{?}） [巩固]： 例1：判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由． （1）小于10的自然数的全体；（2）某校高一（2）班所有性格开朗的男生； （3）英文的26个大写字母；（4）非常接近1的实数． [点评]：组成集合的对象是确定的，对于一个对象是否是集合中元素，只有两种结果：是或不是，出现形容词修饰的对象不能组成集合． 练习1：判断下列语句是否正确： （1）由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素； （2）所有三角形构成的集合是无限集； （3）周长为20cm的三角形构成的集合是有限集；
(完整版)集合与充要条件练习题
一、选择题 1．下列语句能确定一个集合的是（ ） A 浙江公路技师学院高个子的男生 B 电脑上的容量小的文件全体 C 不大于3的实数全体 D 与1接近的所有数的全体 2．下列集合中，为无限集的是（ ） A 比1大比5小的所有数的全体 B 地球上的所有生物的全体 C 超级电脑上所有文件全体 D 能被百度搜索到的网页全体 3．下列表示方法正确的是（ ） 2.0 (3) A N B Q C R D Z Q π*∈-∈∈∈ 4．下列对象能组成集合的是（ ） A.大于5的自然数 B.一切很大的数 C.路桥系优秀的学生 D.班上考试得分很高的同学 5．下列不能组成集合的是（ ） A. 不大于8的自然数 B. 很接近于2的数 C.班上身高超过2米的同学 D.班上数学考试得分在85分以上的同学 6．下列语句不正确的是（ ） A.由3,3,4,5构成一个集合，此集合共有3个元素 B.所有平行四边形构成的集合是个有限集 C.周长为20cm 的三角形构成的集合是无限集 D.如果,,a Q b Q a b Q ∈∈+∈则 7．下列集合中是有限集的是（ ） {} {}{} {}2.|3..|2,.|10A x Z x B C x x n n Z D x R x ∈<=∈∈-=三角形 8．下列４个集合中是空集的是（ ） {} {}{}{}2222.|10.|.|0.|10A x R x B x x x C x x D x x ∈-=<-=+= 9．下列关系正确的是（ ） .0.0.0.0A B C D ∈?????≠? 10．用列举法表示集合{}2|560x x x -+=，结果是（ ） Ａ．３ Ｂ．２ Ｃ．{}3,2 Ｄ．３,２ 11．绝对值等于３的所有整数组成的集合是（ ） Ａ．３ Ｂ．{}3,3- Ｃ．{}3 Ｄ．３，－３ 12．用列举法表示方程24x =的解集是（ ） {}{}{}{}2.|4.2,2.2.2A x x B C D =-- 13．集合{}1,2,3,4,5也可表示成（ ）
(完整版)集合与充要条件练习题
13.集合1,2,3,4,5也可表示成（ ） ） B 电脑上的容量小的文件全体 D 与1接近的所有数的全体 ） B 地球上的所有生物的全体 D 能被百度搜索到的网页全体 ） R D.Z Q ） B. 一切很大的数 D.班上考试得分很高的同学 ） B.很接近于2的数 D.班上数学考试得分在85分以上的同学 A.由3,3,4,5构成一个集合，此集合共有3个元素 B.所有平行四边形构成的集合是 个有限集 C.周长为20cm 的三角形构成的集合是无限集 D.如果a Q,b Q,则a b Q 7?下列集合中是有限集的是（ ） A. x Z |x 3 B.三角形 2 C. x | x 2n, n Z D. x R | x 1 0 8?下列4个集合中是空集的是（ ） A. x R|x 2 1 0 B. x|x 2 x C. x|x 2 D. x|x 2 1 0 9?下列关系正确的是（ ） A.0 B.0 C.0 D.0 A.3 B.2 C. 3,2 D.3 , 2 11 .绝对值等于3的所有整数组成的集合是（ ） A.3 B. 3, 3 C. 3 D.3,—3 12 .用列举法表示方程x 2 4的解集是（ ） A. x|x 2 4 B. 2, 2 C. 2 D. 2 A. x|x5 B. x|0x5 、选择题 1 ?下列语句能确定一个集合的是 A 浙江公路技师学院高个子的男生 C 不大于3的实数全体 2?下列集合中，为无限集的是（ A 比1大比5小的所有数的全体 C 超级电脑上所有文件全体 3 ?下列表示方法正确的是（ A.0 N B. 2 Q C. 3 4 ?下列对象能组成集合的是（ A.大于5的自然数 C.路桥系优秀的学生 5?下列不能组成集合的是（ A.不大于8的自然数 C.班上身高超过2米的同学 6 ?下列语句不正确的是（ 10 ?用列举法表示集合 x|x 2 5x 6 0，结果是（
1.4集合的基本运算与充分必要条件
集合的基本运算及充分与必要条件 一、交集、并集、全集、补集的概念（注意补集的前提条件） 单一运算、混合运算、求参数等常用数形结合思想解答这一类题目 二、命题：指一个判断句的语义（实际表达的概念），真假命题的判断 原命题、否命题、逆命题、逆否命题之间的关系 三、条件概念：充分条件、必要条件、充要条件 注意推理方向，可用集合思想判断。常见题型有条件的判断、求条件成立的条件、参数范围 例题：1、设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝ ( ) 2、设全集为R ，A ＝{x|3≤x<7}，B ＝{x|2
(完整版)高中数学一轮复习《1集合与充要条件》教学案
盐城市文峰中学美术生高中数学复习教学案 §1集合与充要条件 【考点及要求】： 1.了解集合含义，体会“属于”和“包含于”的关系，全集与空集的含义； 2.了解并掌握集合之间交，并，补的含义与求法； 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，会判断充分条件、必要条件与充要条件. 【基础知识】： 1.集合中元素与集合之间的关系：文字描述为 和 符号表示为 和 2.常见集合的符号表示：自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 3.集合的表示方法1 2 3 4.集合间的基本关系：1)相等关系：_________A B B A ???且 2)子集：A 是B 的子集，符号表示为______或B A ? 3) 真子集：A 是B 的真子集，符号表示为_____或____ 5.不含任何元素的集合叫做 ，记作 ，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的 6.若已知全集U ，集合A U ?，则U C A = . 7.________A A ?=，_________A ??=，__________A A ?=， _________A ??=，_________U A C A ?=，_________U A C A ?=， 8.若A B ?，则____,___A B A B ?=?= 9.若q p ?,则p 是q 的 条件, q 是p 的 条件. 10.若q p ?,且p q ?,则p 是q 的 条件. 【基本训练】： 1.{}a a a ,202-∈，则a 的值等于_________. 2.若全集{}4,3,2,1,0=U ,且{}3,2=A C U ,则A 的真子集有 个. 3.集合{}{}02,12<-=>=x x x B x x A ，则______=?B A . 4.1>x 是x x >2的_____________ 条件. 【典型例题讲练】 例1.已知集合{}{} 03)32(,082222≤-+--=≤--=m m x m x x B x x x A （1） 若[]4,2=?B A ，求实数m 的值；
集合与充要条件测试题Word版
集合与充要条件测试题 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（每小题2分，共30分） 1、①“全体著名文学家”构成一个集合；②集合{0}中不含元素；③{1，2}，{2，1}是不同的集合；上面三个叙述中，正确的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 2、已知集合}12|{<<-=x x M ，则下列关系式正确的是（ ） M A 、∈5 M B 、?0 M C 、∈1 M D 、∈-2π 3、在下列式子中，①}210{1，，∈ ②}210{}1{，，∈ ③}210{}210{，，，，? ④{0,1,2}??≠ ⑤{0，1，2}={2，1，0}，其中错误的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、}3,2,1,0{}1,0{??A ，则集合A 的个数有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 5、下列各式中，不正确的是（ ） A 、A A = B 、A A ? C 、A A ?≠ D 、A A ? 6、已知集合*{|2}A x x x N =≥∈且，*{|6}B x x x N =≤∈且，则B A ?等于（ ） A 、{1，2，3，4，5，6} B 、{2，3，4，5，6} C 、{2，6} D 、{|26}x x ≤≤ 7、集合A={0，1，2，3，4，5}，B={2，3，4}，A B ?=（ ） A 、{0，1，2，3，4，5} B 、{2，3，4} C 、{0，1，2，2，3，3，4，4，5} D 、{1，2，3，4} 8、设{|A x x a =≤=（ ） A 、{}a A ? B 、{}a A ∈ C 、a A ? D 、a A ∈ 9、设{}()M 1{1,2},{1,2,3},S P M S P ===??，则等于（ ）
第一章集合与充要条件测试题
第一章集合与充要条件测试题 班级：姓名：得分： 一、选择题（每小题5分，共50分） 1、下列各项中，可以组成集合的是（） A、某班所有高个子的学生 B、地球上的四大洋 C、某班视力较差的学生 D、上海所有高楼 2.已知集合M={x|x是平行四边形},N={x|x是矩形},P={x|x是正方形},Q={x|x是菱形},则( ) A.M?N B.P?N C.Q?P D.Q?N 3、已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{－1,0} C．{0,1} D．{－1,0,1} 4、.已知集合A={x|x>1},B={x|-1
第一章 集合与充要条件的测试题
第一章 集合与充要条件测试卷 班级： 姓名： 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1、下列选项能组成集合的是（ ） A.著名的运动健儿 B.英文26个字母 C.非常接近0的数 D.勇敢的人 2、设{}a M =，则下列写法正确的是（ ） A ．M a = B.M a ∈ C.M a ? D .a ?≠M 3、设全集为R ，集合{|15}A x x =-<≤，则 =A C U （ ） A.{|1}x x ≤- B.{|5}x x > C.{|1}{|5}x x x x <-≥ D.{|1}{|5}x x x x ≤-> 4、已知{}2<=x x A ，则下列写法正确的是（ ） A ．A ?0 B.{}A ∈0 C.A ∈φ D.{}A ?0 5、设全集{}6,5,4,3,2,1,0=U ，集合{}6,5,4,3=A ，则U C A =（ ） A ．{}6,2,1,0 B.φ C. {},5,4,3 D. {}2,1,0 6、已知集合{}3,2,1=A ，集合{}7,5,3,1=B ，则=B A （ ） A ．{ }5,3,1 B.{},3,2,1 C.{}3,1 D. φ 7、已知集合{}20<<=x x A ，集合{}31≤<=x x B ，则=B A （ ） A {}30<<=x x A B.{}30≤<=x x B C.{}21<<=x x B D.{}30<<=x x B 8、“5a >”是“2a >”的 （ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 二、填空题（每空5分，共4空共20分） 13、用适当的符号（,,,,??∈?=≠≠）填空：
【同步测试】集合与充要条件的关系综合题
集合与充要条件的关系综合题 1．若集合A ＝{x |x 2-5x ＋4<0}，B ＝{x ||x -a |<1}，则“a ∈(2，3)”是“B ?A ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A ． 【解析】 由题意知A ＝{x |1
中职数学基础模块上册集合与充要条件单元测试练习卷(一)含参考答案
中职数学基础模块上册 集合与充要条件单元测试练习卷（一）含参考答案 一、选择题 1．下列对象不能组成集合的是（） A.所有小于4的整数B．不等式x4->0的所有解 C．某中职学校会计班的差学生 D.方程-2x1=0的所有解 2．下列式子正确的是( )． A．} a? D.} {a {a a? a=C．} a∈B．} {a {a 3．若集合A={3，2}，B={a，3}，且A=B，则a=( ) A．1 B．2 C．3 D.4 4．集合{a，b}的所有子集共有( )个． A．1 B．2 C．3 D. 4 5．方程)5 (+ x=0的解集为（） -x )( 2 A．{2，－5} B．{－2，5} C．{2} D. {－5} 6．设A={0，1，2，3}，B={0，3},则A∩B＝（） A．{1，3} B.{0，3} C．{0，1，2，3} D.以上答案均不正确7．设A＝{0,1,2,3},B＝{1,3,4}，则A∪B＝( ). A. {0,1,2,3. 4} B. φ C. {2,3} D. {2,3,4} 8．已知集合A={1 ,= +y x y （}，则A∩B＝ x） x） ,= -y x y （}，B＝{5 ( )．A. {2,3} B. {(3,2) } C. {3,2} D. {x=3,y=2} 9．设U={1，2，3，4，5}，A＝{3，4}，则A =( ) C U
A ．{1} B ．{2，l} C ．{1，2，5} D ．{1，2，3，4，5} 10.“三角形为等边三角形”是“三角形为等腰三角形”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 11.用列举法表示集合{N x x x ∈=,3}为（ ） A ．{3} B ．{－3} C ．φ D.{－3，3} 12.满足条件{1，2}?A ?{l ，2，3，4}的集合A 共有（ ） A ．2个 B ．3个 C. 4个 D ．5个 二、填空题 13.用适当的符号(“∈”“?”“?”“?”“＝”)填空． (1) 10 Z ； (2){a ，b } {b }; (3)0 φ；(4){3=x x } {-3，3}， 14.设全集U=R ，A={2 利用集合思想探究一类充要条件问题 陈 凌 宗平芬 六盘水市第一中学 553002 数学思维活动中，探究命题的充要条件有极为重要的数学思维价值，这是因为充要条件与等价转化思想如同孪生兄弟，而等价转化思想的广泛应用可将待证（待解）数学问题转化为与之等价的易证（已解）问题。数学关系中的各种充要条件的应用，是实现这种转化的基本手段。 集合思想早已渗透到现代数学研究的各个领域，它也就很自然地成为探索各种充要条件的基础。对于那些可以转化为集合关系的充要条件问题，若能用好集合思想，则能简化思维过程，提高思维效率。并能有效避免对原命题及相应的四种命题形式进行繁琐的转化和过多的（有时甚至是不必要）真假判定，这对于初涉充要条件问题的学生，有更积极的意义。引导学生探究集合思想在充要条件问题中的应用，对提高学生探索充要条件的能力将大有帮助。 一、子集，真子集及相等集合关系中所所蕴含的充要条件问题 首先，从子集关系理解充分条件与必要条件，是指：对于集合A 、B ，若B A ?，则“A x ∈”是“B x ∈”的充分条件，同时称“B x ∈”是“A x ∈”的必要条件。 其次，将充要条件问题以集合思想表现出来，是指： ① 当B A =时，“A x ∈”是“B x ∈”的充分且必要条件； ② 当A B 时（真子集），“A x ∈”是“B x ∈”的充分不必要条件； 同时，称“B x ∈”是“A x ∈”的必要不充分条件； ③ 若上述条件都不成立，则称“B x ∈”是“A x ∈”的既不充分也不必要条件。 二、将充要条件问题以集合关系表现出来，这是用集合关系探究数学知识中的各种充要条件问题的基础，如：探索方程或不等式的解集，即是求方程或不等式成立的充要条件；直角坐标系下的曲线交点问题的求解过程，也就是探索以对应的方程组的解集为其充要条件的过程。 对于条件p 与结论q ，若“p 真”等价于集合})(|{真x p x A =，“q 真”等价于集合})(|{真x q x B =，则条件p 与结论q 的关系可通过集合B A ,之间的集合关系来体现： ① 当B A =时，条件p 是结论q 的充分且必要条件； ② 当A B 时，条件p 是结论q 的充分但不必要条件； ③ 当A B 时，条件p 是结论q 的必要但不充分条件； ④ 若在上述情况之外，则条件p 是结论q 的称为既不充分也不必要条件。 以下鳞选出近几年高考试题的典型实例，逐一加以分析，让我们共同欣赏和品味集合思想开出的这朵小花。 例1. (2008高考湖北省理2)若非空集合A 、B 、C 满足C B A = ， 且B 不是A 的子集，则（ ） （A ）“C x ∈”是“A x ∈”的充分条件但不是必要条件 （B ）“C x ∈”是“A x ∈”的必要条件但不是充分条件 “集合”单元测试题 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（每小题2分，共40分） 1、①“全体著名文学家”构成一个集合；②集合{0}中不含元素；③{1，2}，{2，1}是不同的集合；上面三个叙述中，正确的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 2、已知集合{|21}M x x =-<<，则下列关系式正确的是（ ） M A 、∈5 B.0M ? C.1M ∈ D.2 M π - ∈ 3、在下列式子中，①}210{1，，∈ ②}210{}1{，，∈ ③}210{}210{，，，，? ④{0,1,2}??≠ ⑤{0，1，2}={2，1，0}，其中错误的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、}3,2,1,0{}1,0{??A ，则集合A 的个数有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 5、下列各式中，不正确的是（ ） A 、A A = B 、A A ? C 、A A ?≠ D 、A A ? 6、已知集合*{|2}A x x x N =≥∈且，*{|6}B x x x N =≤∈且，则B A ?等于（ ） A 、{1，2，3，4，5，6} B 、{2，3，4，5，6} C 、{2，6} D 、{|26}x x ≤≤ 7、集合A={0，1，2，3，4，5}，B={2，3，4}，A B ?=（ ） A 、{0，1，2，3，4，5} B 、{2，3，4} C 、{0，1，2，2，3，3，4，4，5} D 、{1，2，3，4} 8、 设{|A x x a ==（ ） A 、{}a A ? B 、{}a A ∈ C 、a A ? D 、a A ∈ 9、设{}()M 1{1,2},{1,2,3},S P M S P ===??，则等于（ ） A 、{1，2，3} B 、{1，2} C 、{1} D 、{3} 10、满足条件{}M 1{1,2,3}?=的集合M 的个数是（ ） A 、4 B 、3 C 、2 D 、1 11、设全集{0,123456}U =，，，，，，集合{3456}A =，，，，则U C A =（ ） A 、{0，3，4，5，6} B 、{3，4，5，6} C 、? D 、{0，1，2} 12、225x =的充分必要条件是（ ） A 、55x x ==-且 B 、55x x ==-或 C 、5x = D 、5x =- 13、设3 {|23},{|},2 A x x B x x =-≤<=≥则A B ?=（ ） A 、{|2}x x <- B 、{|23}x x x <-≤或 C 、{|23}x x x <->或 D 、}2|{-≥x x 14、下列集合是无限集的是（ ） A 、{|01}x x ≤≤ B 、2{|10}x x += C 、2{|60}x x x --= D 、{|(1),}n x x n N =-∈ 15、下列四个推理：①()a A B a A ∈??∈ ； ② ()()a A B a A B ∈??∈?； ③ A B A B B ???=； ④A B A A B B ?=??=。其中正确的个数为（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 16、若U ＝{三角形}，A ＝{直角三角形}，U C A ＝（） A 、{锐角三角形} B 、{钝角三角形} C 、{等腰直角三角形} D 、{钝角三角形或锐角三角形} 17、若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是 （ ） A 、3.14 B 、 5- C 、 3 7 D 18、平面内，与一条线段AB 的两个端点所构成的视角090APB ∠=的P 点的集合是 （ ） A 、一条直线 B 、一条线段 C 、一条射线 D 、一个圆（不包含点A ，B ） 19、若全集,{|2,},{|21,}U Z M x x k k Z N x x k k Z ===∈==+∈，则下列关系式成立的是 （ ） 四种条件与集合间的包含关系 四种条件是指充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件，建立与p 、q 相应的集合，即{}{})(:,)(:x q x B q x p x A p ==四种条件与集合间的包含关系如下： 1、 充分必要条件 若q q p 但,?≠>p ，则p 是q 的充分不必要条件。从集合间的包含关系看B A ? 例1 已知)0(012:,102:22>≤-+-≤≤-m m x x q x p ，若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围。 思路点拨：先求不等式的解集，然后根据充分不必要条件的意义建立不等式组求解即可。 解：102:≤≤-x p 设集合{}102≤≤-=x x A 由)0(01222>≤-+-m m x x 得)0(0)]1()][1([>≤+---m m x m x )0(11:>+≤≤-∴m m x m q 设集合{} )0(11>+≤≤-=m m x m x B 的充分不必要条件是p q Θ A B ?∴ ? ??≤+->-???<+-≥-∴101211012m 1m m m 或 解得 33<≤m m 或 3≤∴m 又0>m 所求实数m 的取值范围为30≤ 集合和充分必要条件基础知识总结 知识点梳理 1、集合的三要素： 2、常见不等式的解法 3、集合的运算： 4、集合间的关系: 5、充分必要条件的判断 一、集合的定义 1、判断对错 (1)集合{2x +x,0}中实数x 可取任意值.( ) (2)任何集合都至少有两个子集.( ) (3)集合{}2/1A x y x ==+与集合{}2/1B y y x ==+是同一个集合.( ) (4)若A={0,1},B={(x,y)|y=x+1},则A ?B.( ) 2.已知集合A={x|2x -2x+a>0},且1?A,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[1,+∞) D.[0,+∞) 二、集合的运算 1、 (2013·湖北高考)已知全集为R,集合A={x| 112x ?? ≤ ??? },B={x| 2 680x x -=≤}, 则A ∩(?RB)=( ) A.{x|x ≤0} B.{x|2≤x ≤4} C.{x|0≤x<2或x>4} D.{x|0 从集合包含关系看条件的充要性 用集合语言作为工具来描述数学事实、研究数学问题，在高中数学课程中已经得到了很充分的体现。但是不足的是，在实际应用中，用集合描述的对象大多限于数集和图形集合，自觉把集合工具应用于其它数学对象的还不多。 事实上，能够用集合来描述的数学对象还有很多，这里我们尝试用集合来表示命题间的关系，看看它们给叙述和思维过程都带来哪些便利。 例如，命题“菱形的对角线互相垂直”，反映的是这样一个事实：一个四边形如果是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。也就是说，四边形为菱形是这个四边形对角线互相垂直的充分条件；用集合语言来描述就是“菱形的集合是对角线互相垂直的四边形集合的一个子集”。 一般地，命题“若A 则B”，可以用集合语言描述成“满足条件A 元素构成的集合M 是满足条件B 的元素构成的集合Ｎ的子集。” 由此，我们可以把充要条件关系表述成： 1.A 是B 的充分条件，即集合A 是集合B 的子集（为了叙述方便，这里把符合条件A 、B 的元素构成的集合直接说成集合A 、B ，不再加以区别，下同）；A 是B 的充分不必要条件，即A 是B 的真子集。（图1-1） 2.A 是B 的必要条件，即集合B 是集合A 的子集；A 是B 的必要不充分条件，即B 是A 的真子集。（图1-2） 3.A 是B 的充要条件，即集合A 等于集合B ，（图1-3） 4.A 是B 的既不充分又不必要条件，即集合A 、B 之间不互相包含。（图1-4） 利用以上的结论，有助于加深对“充要条件”关系的理解，同时又可以直观地用集合包含关系解决一些“充要条件”的问题。 图1-1 图1-2 图1-3 图1-4怎样利用集合关系探究充要条件
集合与充要条件
四种条件与集合间的包含关系
集合和充分必要条件基常见题型及方法
高中数学必修一 从集合包含关系看条件的充要性