必修一指数与指数函数

指数函数

典例分析

题型一 指数函数的定义与表示

【例1】 求下列函数的定义域

(1)32

x

y -= (2)21

3

x y += (3)512x

y ??= ???

(4)()10.7x

y =

【例2】 求下列函数的定义域、值域

⑴11

2

x y -= ； ⑵3x y -=； ⑶2

120.5x x y +-=

【例3】 求下列函数的定义域和值域：

1．x

a y -=1 2．31

)2

1(+=x y

【例4】 求下列函数的定义域、值域

(1)11

0.4

x y -=； (2)y = (3)21x y =+

【例5】 求下列函数的定义域

(1)13x

y =;

(2)y =

【例6】 已知指数函数()(0,x f x a a =>且1)a ≠的图象经过点(3,π)，求(0)f ，(1)f ，

(3)f -的值．

【例7】 若1a >，0b >，且b b a a -+=b b a a --的值为（ ）

A B ．2或2- C ．2- D ．2

题型二 指数函数的图象与性质

【例8】 已知1a b c >>>，比较下列各组数的大小：

①___b c a a ；②1b

a ??

???

1c

a ?? ???

；②11

___b c

a a ；②__a a

b

c ．

【例9】 比较下列各题中两个值的大小：

⑴ 2.51.7，31.7； ⑵ 0.10.8-，0.20.8-； ⑶ 0.31.7， 3.10.9．

【例10】 比较下列各题中两个值的大小

(1)0.80.733，

(2)0.10.10.750.75-， (3) 2.7 3.51.01 1.01，

(4) 3.3 4.50.990.99，

【例11】 已知下列不等式，比较m 、n 的大小

(1) 22m n < (2)0.20.2m n >

(3)()01m n a a a <<<

(4)()1m n a a a >>

【例12】 图中的曲线是指数函数x y a =的图象，已知a

413

,,3105

四个值，则相应于曲线1234,,,c c c c 的a 依次为_______________．

【例13】 已

知a =

函数()x f x a =，若实数m n ，满足()()f m f n >，则m n ，的大小关系为 ．

【例14】

设a

b =

c a ，b ，c 的大小关系是

【例15】 若对[1,2]x ∈，不等式22x m +>恒成立，求实数m 的取值范围．

【例16】 判断函数11

()3

x y -=的单调性．

【例17】 函数||()x f x e =（ ）

A ．是奇函数，在(,0]-∞上是减函数

B ．是偶函数，在(,0]-∞上是减函数

C ．是奇函数，在[0,)+∞上是增函数

D ．是偶函数，在(,)-∞+∞上是增函数

【例18】 已知函数f (x )为偶函数，当()0x ∈+∞，

时，()12x f x +=-,求当()0x ∈-∞，时，()f x 的解析式.

【例19】 证明函数x a y =和x a y -= )10(≠>a a 且的图象关于y 轴对称。

题型三 关于指数的复合函数

1.二次函数复合型

【例20】 求函数2212x x

y -??

= ?

??

单调区间，并证明

【例21】 函数221()3x x

f x -??

= ?

??

的单调增区间为 ，值域为 ．

【例22】 函数()342x x f x =?-，求()f x 在[0,)x ∈+∞上的最小值．

【例23】 求函数1()423x x f x a +=-?+ (R)x ∈的值域．

【例24】 已知4323x x y =-?+，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是

【例25】 求下列函数的单调区间．

⑴2

32

x

x y a -++=（0a >，且1a ≠）；

⑵已知910390x x -?+≤，求函数1111

()4()542

x x y --=-?+最值．

【例26】 函数2

281

(01)x x y a a --+=<<的单调增区间是 ．

【例27】 设()124()x x f x a a =++?∈R ，当(,1]x ∈-∞时，()f x 的图象在x 轴上方，求a 的

取值范围．

【例28】 如果函数221(0,1)x x y a a a a =+->≠在区间[1,1]-上的最大值是14，求a 的值．

【例29】 求函数11()1([3,2])42x x

f x x ????

=-+∈- ? ?????

的单调区间及其值域．

【例30】 已知12x -≤≤，求函数1()3239x x f x +=+?-的最大值和最小值．

【例31】 求函数

()()

444222x x x f x a --=+-+的最小值，并指出使

()

f x 取得最小值时x 的

值

2.分式函数复合型

【例32】 当a ＞1时，证明函数1()1x x

a f x a +=-是奇函数．

【例33】 求证下列命题：

(1)()2x x

a a f x --=（a ＞0，a ≠1)是奇函数；

(2)()(1)1

x x a x

f x a +=-（a ＞0，a ≠1）是偶函数.

【例34】 已知函数()21

21

x x f x -=+，

(1)判断函数()f x 的奇偶性；

(2)求证函数()f x 在()-∞+∞，

上是增函数.

【例35】 讨论函数21

()21

x x f x -=+的奇偶性、单调性，并求它的值域．

【例36】 已知1010()1010x x

x x

f x ---=+，判断函数的单调性、奇偶性，并求()f x 的值域．

【例37】 正实数12x x ，及函数

()

f x 满足()()

141x f x f x +=

-，且

()()121

f x f x +=，求

()

12f x x +的最小值

【例38】 设a ∈R ，2

()()21

x f x a x =-

∈+R ，若()f x 为奇函数，求a 的值．

【例39】 在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数（也称高斯函数），它表示x

的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数．例如：[2]2=，[3.1]3=，

[2.6]3-=-．设函数21

()122

x x f x =-

+，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为

题型四 其他综合题目

【例40】 小明即将进入一大学就读，为了要支付4年学费，小明欲将一笔钱存入银行，

使得每年皆有40000元可以支付学费．而银行所提供的年利率为6%，且为连续复利，试求出小明现在必须存入银行的钱的数额．

【例41】 求函数y =

【例42】 已知函数|22|x y =-，

⑴ 作出函数的图象；

⑵ 根据图象指出函数的单调区间；

⑶ 根据图象指出当x 取什么值时，函数有最值．

【例43】 方程22x

x =-的解的个数为 ．

【例44】 已知函数()||1

22

x x f x =-

， ⑴若()2f x =，求x 的值；

⑵若()()220t f t mf t +≥对于[]12t ∈，

恒成立，求实数m 的取值范围．

【例45】 函数()

2lg 34y x x =-+的定义域为M ，当x ∈M 时，求()42234x f x =+-?的最

值.

【例46】 设a 是实数，()2

21

x f x a =-

+ (x ∈R) (1)试证明对于任意()af x 为增函数； (2)试确定a 值，使f (x )为奇函数.

【例47】 因为复杂的函数，往往是由多个简单函数的加、减、乘、除运算得到，或者是

多个函数的复合后得到的，比如下列函数：()()()22x f x g x h x x ==，，

则

()()

f x

g x ，复合后可得到函数

()()2x g f x g ==????和

()

f g x f

==????

的取值，得到的函数称为复合函数；也可以由()()f x g x ，进行乘法运算得到函

数()()2x f x g x =．所以我们在研究较复杂的函数时，常常设法把复杂的函数进行逆向操作，把其拆分转化为简单的函数，借助简单函数的性质进行研究． ⑴复合函数(){}f h g x ????的解析式为 ；其定义域为 ．

⑵可判断()()2x f x g x =是增函数，那么两个增函数相乘后得到的新函数是否一定是增函数？若是请证明，若不是，请举一个反例；

⑶已知函数()2x f x -=，若()()121f x f x +>-，则x 的取值范围为 ．

⑷请用函数()()()()22ln x f x g x h x x k x x ====，，中的两个进行复合，得到三个函数，

使它们分别为偶函数且非奇函数、奇函数且非偶函数、非奇非偶函数．

【例48】 已知函数2()()1

x x a

f x a a a -=--，其中0a >，1a ≠．

⑴判断函数()f x 的奇偶性； ⑵判断函数()f x 的单调性，并证明．

【例49】 已知2

()()(0,1)2

x x a

f x a a a a a -=

->≠-是R 上的增函数，求a 的取值范围．

【例50】 已知函数()x f x b a =(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，

B(3,24).

(1)求()f x ；

(2)若不等式1123x

x

m ????

+≥ ? ?????

在()1x ∈-∞，

时恒成立，求实数m 的取值范围.

【例51】 已知1

1()212x

f x x ??=+ ?-??

． ⑴求证：()0f x >；

⑵若()()()F x f x t f x t =++-（t 为常数），判断()F x 的奇偶性．

【例52】 用{}min a b c ，

，表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设{}()min 2210x f x x x =+-，， (0)x ≥，则()f x 的最大值为（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

【例53】 已知函数()x f x a =满足条件：当(),0x ∈-∞时，()1f x >；当()0,1x ∈时，不等

式，()()()23112f mx f mx x f m ->+->+恒成立，求实数m 的取值范围．

【例54】 如果函数2()(31)x x f x a a a =--(0,1)a a >≠且仔区间[)0,+∞上是增函数，那么

实数a 的取值范围是（ ）

A ．20,3?

? ??? B ．1?????

C ．(

1, D ．2,3??

+∞ ???

【例55】 若关于x 的方程1

1

25

45

0x x m -+-+-?-=有实根，求m 的取值范围．

【例56】 已知

11235723511x y z x y z -+++=++=，，求11235x y z +-++的取值范围。

【例57】 已知

()x

f x =01a a >≠，。 （1）求证：函数()f x 的图像关于点1122??

???，中心对称

（2）求

1239 10101010 f f f f

????????+++??????+

? ? ? ?????????

【例58】已知函数()2x

f x=，()12

2x

g x=+

(1)求函数()

g x的值域；

(2)求满足方程()()0

f x

g x

-=的x的值.