导数和微分的计算方法

导数和微分的概念

一元函数微分学 §1 导数和微分的概念基本概念 1. 导数定义 00000)()(lim lim )()(lim 0x x x f x f x y x x f x x f x x x x --=??=?-?+→→?→? 0|)()(00x x dx dy x y x f =='='= 几种极限形式都要掌握函数在某点可导即上述极限存在，极限存在?左右极限都存在且相等，左极限为左导，右极限为右导， )(lim 00x f x y x --→?'=??， )(lim 00x f x y x ++→?'=?? 导数定义是非常重要的概念，一定要灵活掌握。 2. 导函数)(x f ',dx dy . f (x )在（a , b ）可导, f (x )在[a , b ]可导 3. 可导与连续的关系可导一定连续，但连续不一定可导（如函数||x y =在x =0点处连续，但是不可导） 4. 导数的几何意义切线方程：))((000x x x f y y -'=-；法线方程：)() (1000x x x f y y -'- =- 0)(0≠'x f ， 5. 微分的定义

微分的几何意义 6. 微分与导数的关系 )(x f 在x 处可微?)(x f 在x 处可导，且dx x f dy )('= 同时 dx x f dy x x )(|00'==。 §2 导数与微分的计算基本概念 1. 基本初等函数的导数、微分公式（书159页，166页） 2. 导数（微分）四则运算公式 )()())()((x g x f x g x f '±'='±， )()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别地 )())((x f k x kf '='， ) ()()()()())()((2x g x g x f x g x f x g x f '-'=' 特别地 ) ()())(1(2x f x f x f '-='。后面两个公式不要记错。 3. 复合函数的求导法则如何正确运用好复合函数求导法则（必须明确函数的复合过程），并且应到最后一层复合 4．高阶导数（计算同一阶导数）。

数值微分的计算方法

数值微分的计算方法内容摘要求解数值微分问题,就是通过测量函数在一些离散点上的值,求得函数的近似导数。本文就所学知识，归纳性地介绍了几种常用的数值微分计算方法。并举例说明计算，实验结果表明了方法的有效性。关键词数值微分 Taylor 展开式 Lagrange 插值三对角矩阵引言：数值微分即根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点的导数或高阶导数的近似值的方法。常见的可以用一个能够近似代替该函数的较简单的可微函数（如多项式或样条函数等）的相应导数作为能求导数的近似值，由此也可导出多点数值微分计算公式。当函数可微性不太好时，利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜。 1.Taylor 展开式方法理论基础：Taylor 展开式 ()()()() ()() ()()()00000002 2! ! n n x x x x f x f x x x f x f x f x n --'''=+-+ ++ + 我们借助Taylor 展开式，可以构造函数()f x 在点0x x =的一阶导数和二阶导数的数值微分公式。取步长0h >则 ),() (2 )()()(0011' '20' 00h x x f h x hf x f h x f +∈++=+ξξ （1）所以 ),() (2 )()()(0011' '000'h x x f h h x f h x f x f +∈--+= ξξ （2）同理 ),() (2 )()()(0022' '20' 00x h x f h x hf x f h x f -∈+-=-ξξ （3） ),() (2 )()()(0022' '000'x h x f h h h x f x f x f -∈+--= ξξ （4）式(2)和式(4)是计算()' 0f x 的数值微分公式，其截断误差为()O h ，为提高精度，将 Taylor 展开式多写几项 ),() (24 )(6)(2)()()(0011) 4(40'''30''20' 00h x x f h x f h x f h x hf x f h x f +∈++++=+ξξ ),() (24 )(6)(2)()()(0022) 4(40'''30''20' 00x h x f h x f h x f h x hf x f h x f -∈+-+-=-ξξ 两式相减得 )()(6 2)()()(40' ''2000' h O x f h h h x f h x f x f +---+= （5）上式为计算)(0'x f 的微分公式，其截断误差为O(h 2 ),比式（2）和(4)精度高。两式相加，如果],[)(00) 4(h x h x C x f +-∈，则有

积分、微分、比例运算电路

模拟电路课程设计报告题目：积分、微分、比例运算电路一、设计任务与要求 ①设计一个可以同时实现积分、微分和比例功能的运算电路。 ②用开关控制也可单独实现积分、微分或比例功能 ③用桥式整流电容滤波集成稳压块电路设计电路所需的正负直流电源（±12V）。二、方案设计与论证用桥式整流电容滤波集成稳压块电路设计电路所需的正负直流电源（±12V），为运算电路提供偏置电源。此电路设计要求同时实现比例、积分、微分运算等功能。即在一个电路中利用开关或其它方法实现这三个功能。

方案一：用三个Ua741分别实现积分、微分和比例功能，在另外加一个Ua741构成比例求和运算电路，由于要单独实现这三个功能，因此在积分、微分和比例运算电路中再加入三个开关控制三个电路的导通与截止，从而达到实验要求。缺点：开关线路太多，易产生接触电阻，增大误差。此运算电路结构复杂，所需元器件多，制作难度大，成本较高。并且由于用同一个信号源且所用频率不一样，因此难以调节。流程图如下：图1 方案二: 用一个Ua741和四个开关一起实现积分、微分和比例功能，并且能够单独实现积分、微分或比例功能。优点：电路简单，所需成本较低。电路图如下：积分运算电路微分运算电路比例运算电路比例求和运算电路

图2 三、单元电路设计与参数计算 1、桥式整流电容滤波集成稳压块电路设计电路所需的正负直流电源（±12V ）。其流程图为：图3 直流电源电路图如下：电源变压器整流电路滤波电路稳压电路

V1220 Vrms 50 Hz 0?? U11_AMP T1 7.32 1D21N4007 D3 1N4007D4 1N4007 C13.3mF C23.3mF C3220nF C4220nF C5470nF C6470nF C7220uF C8220uF U2LM7812CT LINE VREG COMMON VOLTAGE U3LM7912CT LINE VREG COMMON VOLTAGE D51N4007D61N4007 LED2 LED1 R11k|?R21k|?23 4 5 D1 1N400715 16 6 7 14 17 图4 原理分析： (1)电源变压器：由于要产生±12V 的电压，所以在选择变压器时变压后副边电压应大于24V,由现有的器材可选变压后副边电压为30V 的变压器。 (2)整流电路：其电路图如下：图5 ①原理分析：桥式整流电路巧妙地利用了二极管的单向导电性，将四个二极管分为两组，

偏导数与全导数偏微分与全微分的关系

偏导数与全导数偏微分与全微分的关系 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

1。偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在d e t a x趋进于0时偏增量的线性主要部分d e t a z=f x（x,y）d e t a x+o(d e t a x) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分

全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系d z=A d x+B d y其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 d z/d t=(偏z/偏u)(d u/d t)+(偏z/偏v)(d v/d t) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数

微积分计算公式

§3-6 常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵1 1 d (1)1 x x x c μ μμμ+≠-= ++? 特别， 2 1 1d x c x x =- +?, 3 223 x x c = +? , x c =? ⑶ 1 d ln ||x x c x =+? ⑷d ln x x a a x c a = +?, 特别， e d e x x x c =+? ⑸sin d cos x x x c =-+? ⑹cos d sin x x x c =+? ⑺ 2 2 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+?? ⑻ 2 2 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+?? ⑼arcsin (0)x x c a a =+>?,特别，arcsin x x c =+? ⑽2 2 1 1d arctan (0)x x c a a a a x = +>+?,特别， 21 d arctan 1x x c x =++? ⑾2 2 1 1d ln (0)2a x x c a a a x a x += +>--? 或 2 2 1 1d ln (0)2x a x c a a x a x a -= +>+-? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+? ⒀cot d ln sin x x x c =+? ⒁ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+? = =?+?? ? ? ⒂πln sec tan 1 sec d d ln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?= =?? ?++ ?????? ?

偏导数与全导数-偏微分与全微分的关联

1。偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分：在detax趋进于0时偏增量的线性主要部分 detaz=fx（x,y）detax+o(detax) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分

同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系 dz=Adx+Bdy 其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。 u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 dz/dt=(偏z/偏u)(du/dt)+(偏z/偏v)(dv/dt) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数如果z=f(x^2,2^x) 只有这种情况下dz/dx才是全导数！

导数与微分练习题答案

高等数学练习题第二章导数与微分第一节导数概念一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3π，2 1 ）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系，可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要（B ）必要但不是充分（C ）充分必要（D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)

常用微分公式

(1)dx dx =nx n -1 ，n ∈N 。 (2)d x dx n x n N n n =∈-11 1,。 (3)dc dx =0，其中c 为常数。(4)(sin x )/=cos x (5)(cos x )/=-sin x 另一种表示：① (x n )/=nx n -1 ② /)(n x =1n 1 1-x ③ (c )/=0 证明： (2)设a 为f (x )=n x 定义域中的任意点，则f /(a )=a x →lim f (x )-f (a ) x -a =a x →lim a x a x n n --=a x →lim ] )(....)())[((121---++?+--n n n n n n n n n n n a a x x a x a x =1) (1-n n a n =1n (n a -1)=1n (1 1-a ) (4)设a 为任意实数，f (x )=sin x f (x )-f (a )x -a = sin x -sin a x -a = a x a x a x -+-2cos 2sin 2 计算f /(a )= a x →lim f (x )-f (a )x -a =a x →lim ( a x a x a x -+-2cos 2sin 2)=cos a 。 (1)(3)(5)自证 (1)f (x )与g (x )为可微分的函数。?f (x )+g (x )为可微分的函数。且d dx (f (x )+g (x ))= d dx (f (x ))+ d dx (g (x ))成立。另一种表示：(f (x )+g (x ))/=f /(x )+g /(x ) 证明：令h (x )=f (x )+g (x )，设a 为h (x )定义域中的任一点 h /(a )=a x →lim h (x )-h (a )x -a =a x →lim a x a g a f x g x f ---+) ()()()( =a x →lim (f (x )-f (a )x -a + g (x )-g (a )x -a )=a x →lim (f (x )-f (a )x -a )+a x →lim (g (x )-g (a )x -a ) =f /(a )+g /(a ) 例：求=+)(35x x dx d ？推论：dx d (f 1(x )+f 2(x )+...+f n (x )) = dx x df dx x df dx x df n )() ()(21+???++

微积分计算方法

学号 1330101009 毕业论文对概率积分解法的研究和讨论院（系）名称：书信学院专业名称：数学教育学生姓名：李建鹏指导教师：杜争光二○一五年

摘要：文章给出了计算概率积分 2 x e dx ∞- -∞ ?的几种简便的计算方法；对以后概率积分的研究和应用具有较好的帮助。关键词：格林公式；奥高公式；重积分；含参变量概率积分 2 x e dx ∞- -∞ ?是重要的积分之一，再数理方程、概率论等方面经常用到，且有广泛的应用。而关于这个积分值的计算问题，有不少人讨论过，大多数方法要用到较深的预备知识，本文给出了几种所需预备知识而又简便的计算方法。

目录方法一：二重积分法 (1) 方法二：三重积分法 (1) 方法三：线积分法 (2) 方法四:面积分法 (3) 方法五:含参变量的无穷积分法 (4) 方法六：二重积分证明法 (6) 参考文献： (8) 致谢: (9)

对概率积分2 x e dx ∞ --∞ ? 解法的研究和讨论概率积分 2 x e dx ∞ --∞ ? 是重要的积分之一，再数理方程、概率论等方面经常用到，且有广泛的应用。而关于这个积分值的计算问题，有不少人讨论过，大多数方法要用到较深的预备知识，本文给出了几种所需预备知识而又简便的计算方法。方法一：二重积分法现有连续函数 22() (,)x y f x y e -+=在正方形区域:(;)D a x a a y a -≤≤-≤≤；圆域2 2 2 1:()R x y a +≤；圆域：2 222 :(2)R x y a +≤上的二重积分分别为12,,I I I ，即： 22 22 2 () () 2 ()a a a x y x y x a a a D I e d x d y d x e d y e d x -+-+----===????? 22 22 1 2() 10 .(1) a x y r a R I e d x d y d r e d r e πθπ-+--===-???? 2222 2 22() 220 .(1) a x y r a R I e dxdy d r e dr e πθπ-+--===-???? （用极坐标）同时又因：1 2I I I ≤≤,故有 12 lim lim lim a a a I I I →∞ →∞ →∞ ≤≤，即有2 2 lim()a t a a e dt π--→∞ =? ，从而 2 x e dx π ∞ --∞ =? [] 4 方法二：三重积分法首先我们把旋转体的体积概念推广到积分限无穷的情况。再设XOZ 平面上的曲线2 x Z e -=绕Z 轴旋转一周得到的曲面22() x y Z e -+=与平面XOY 围成的体V 。显然，一方面，该体的体积 22() 2 2 () x y e x v V dxdydz dx dy dz e dx -+∞ ∞ ∞ --∞ -∞ -∞ ===?????? ? 另一方面，根据旋转体的体积公式有：

导数与微分的关系

导数与微分的关系宁小青我们知道一个函数在某点可导和可微是等价的，大部分高等数学、经济数学和数学分析课本中都是先引进导数的概念，再引进微分的概念，到底导数和微分这两个概念，哪个概念产生在前、哪个概念产生在后呢？一、微分概念的导出背景当一个函数的自变量有微小的改娈时，它的因变量一般说来也会有一个相应的改变。微分的原始思想在于去寻找一种方法，当因变量的改变也是很微小的时候，能够简便而又比较精确地估计出这个改变量。我们来看一个简单的例子：维持物体围绕地球作永不着地（理论上）的飞行所需要的最低速度称为第一宇宙速度。在中学里，利用计算向凡加速度的办法已经求出这种速度约为7.9千米/秒，现在我们改用另一种思路去推导它。设卫星当前时刻在地球表面附近的A点沿着水平方向飞行，假如没有外力影响的话，那么它在一秒种后本应到达B点，但事实上它要受到地球的引力，因而实际到达的并非是B 点，而是C点，BC=4.9米是自由落体在重力加速度的作用下，第一秒中所走过的距离。容易看出，若C点与地心O的距离与A事点到O的距离是相等的，那么由运动的独立性原理，就可以推断出卫星在沿地球的一个同心圆轨道运行，也就是作环绕地球的飞行了。因此，卫星应具有最小每秒飞行速度恰好在线段AB的长度。△OAB是直角三角形，OA和OC可近似的取为地球的平均半径6371千米，也就是6371000米，于是由勾股定理显然就这样按上式去计算是不可取的——这将导致两个量级的数在直接相减，工作量大不说，在字长较短的计算机上，还可能产生较大的误差。利用乘法公式可将上式改为由于，因此这一项与这一项想比可以忽略不计，于是可以把计算简化为由此计算出千米。这就是说，卫星的速度至少要达到每秒7.9千米才能维持其围绕地球的飞行，此即所要求的第一宇宙速度。上面所计算的，实际上就是函数在处，自变量出现了一个微小的改变量之后，函数值的相应改变量4.9。然而在计算过程中，我们并没有完全精确地去算

导数与微分导数概念

第二章导数与微分第一节导数概念 1.x x x y = ，求y ' 2．求函数y =2tan x +sec x -1的导数y ' 3. x x y 1010 +=，求y ' 4. 求曲线y =cos x 上点)2 1 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 5.3ln ln +=x e y ，求y ' 6.已知? ??<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ 7.设????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ，用定义证明)(x f 在点0=x 处连续，但不可导。

8. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 . 9.讨论函数y =|sin x |在x =0处的连续性与可导性: 10.设函数? ??>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f ，为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？第二节函数的求导法则 1.设()22arcsin x y =，求y ' 2．求函数y =sin x ?cos x 的导数y ' 3．求函数y =x 2ln x 的导数y '

4．求函数x x y ln =的导数y ' 5．求函数3ln 2+=x e y x 的导数y ' 6. )(cos )(sin 2 2x f x f y +=，求y ' 7. n b ax f y )]([+=，求y ' 8. ) ()(x f x e e f y =，求y ' 9. x x x y arcsin 12 +-=，求y ' 10．求函数y =x 2ln x cos x 的导数y ' 第三节高阶导数 1. x x x y ln 1 arctan +=，求y ''

计算方法6_微分方程

习题6 6.1 试用三种方法导出线性二步方法 122+++=n n n hf y y 6.2 用Taylor 展开法求三步四阶方法类，并确定三步四阶显式方法. 6.3 形如 ∑=++=k i k n k j n j f h y 0βα 的k 阶方法称为Gear 方法，试确定一个三步Gear 方法，并给出其截断误差主项。 6.4 试用显式Euler 法及改进的Euler 法 )],(),([2 11n n n n n n n hf y t f y t f h y y +++=++ 6.5 给出线性多步法 ])13()3[(4 )1(212n n n n n f f h y y y +++=--++++αααα 为零稳定的条件，并证明该方法为零稳定时是二阶收敛的. 6.6 给出题(6.5)题中1=α时的公式的绝对稳定域. 6.7 指出Heun 方法 0 0 0 0 1/3 1/3 0 0 2/3 0 2/3 0 1/4 0 3/4 的相容阶，并给出由该方法以步长h 计算初值问题(6.45)的步骤. 6.8 试述刚性问题的基本特征，并给出s 级Runge-Kutta 方法为A -稳定的条件. 6.9 设有???=='00 )(),(y x y y x f y ，试构造形如 )()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα 的二阶方法，并推导其局部截断误差首项。

6.10设有常微分方程初值问题???=='00 )(),(y x y y x f y 的单步法)],(2),([3 111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y ，证明该方法是无条件稳定的。

高数微分公式

初等数学基础知识一、三角函数 1．公式同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1; tan^2(α)+1=sec^2(α);cot^2(α)+1=csc^2(α)·商的关系： tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα ·倒数关系： tanα·cotα=1; sinα·cscα=1; cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式： ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-1/2[ cos(α-β)-cos(α+β)] ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 2 只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。 3诱导公式：记忆规律：竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的） 1 ο45 2 1 ο45 1 2 ο30 ο60 3

十偏导数与全微分(学生用)

第十四章偏导数与全微分 §1. 偏导数与全微分的概念 1．求下列函数的偏导数： (1) 2 2 2 ln()u x x y =+； (2) ()cos()u x y xy =+； (3) arctan x u y =； (4) sin()xy u xye =. 2．设22 22 221sin , 0,(,)0, 0.y x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，考察函数在(0,0)点的偏导数. 3 ．证明函数u =(0,0)点连续但偏导数不存在. 4．求下列函数的全微分： (1) u = (2) yz x u xe e y -=++.

5．求下列函数在给定点的全微分： (1) u =在点(1,1,1)； (2) (u x y =+-0，1）. 6．证明函数22222 22, 0,(,) 0, 0.x y x y f x y x y x y ?+≠?=+??+=? 在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。 7 ．证明：函数22 220(,)0, 0x y f x y x y +≠=+=?在点(0, 0)处偏导数存在，但不可微. 8．设,x y 很小，利用全微分推出下列式(1)(1)m n x y ++的近似公式：

9．求下列函数指定阶的偏导数： (1) 3 3 sin sin u x y y x =+,求633u x y ???； (2) ln()u ax by =+,求m n m n u x y +???. §2. 求复合函数偏导数的链式法则 1．求下列函数指定的偏导数：（1）．设(,,),x y z Φ=Φ ,,,x u v y u v z uv =+=-=求, u v ?Φ?Φ ??. （2）设),,22(xyz z y x f z --=求x z ?? 2. 求下列函数指定的偏导数（假定所有二阶偏导数都连续） (1) 2 2 (,)u f xy x y =，22u x ?? ； (2) (,)x y u f y z =,2u x y ???； (3) 2 2 2 ()u f x y z =++,22u y ??； (4) (,,)x u f x y xy y =+,2u y x ???.

第二章导数与微分总结

第二章导数与微分总结一、导数与微分概念 1．导数的定义设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量()()00x f x x f y -?+=?。如果极限 ()()x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?0000lim lim 存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0 x x y =' ， 0x x dx dy =，()0 x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在，则称函数()x f y =在点0x 处不可导。导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 ()()() 000 lim x x x f x f x f x x --='→ 我们也引进单侧导数概念。右导数：()()()()() x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='++ →?→+000000lim lim 0 左导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='-- →?→-000000lim lim 0 则有 ()x f 在点0x 处可导()x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线 ()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()() ()()()01 0000≠'-'- =-x f x x x f x f y

常微分方程、积分与微分的运算,答案

实验4 常微分方程、积分与微分的运算，答案 1、用solve 函数求下列非线性方程组的解 ?????=-+=-+0 2)sin(0 2)cos(y x xe y ye x [x,y]=solve('cos(x)+y*exp(x)-2=0','sin(y)+x*exp(y)-2=0') x = .80871239676291248869235921095744 y = .58332318056058057050322825668096 2、对于二阶微分方程)sin(22t y y y =+'+'' （1）利用ode45方法，求当1)0(=y ，1)0(-='y 在300≤≤t 时y 的数值图解。（2）利用dsolve 函数求当1)0(=y ，1)0(-='y 时的特解y ，画出300≤≤t 时y 的曲线，并与（1）中y 的数值图解作比较。（1）建立ff.m 函数 function dx=ff(t,x) dx=[x(2);-2*x(2)-x(1)+2*sin(t)]; 建立调用函数 x0=[0 1]; [t,x]=ode45('ff',[0,30],x0) plot(t,x(:,1)) （2）

求y 的解： >> y=dsolve('D2y+2*Dy+y=2*sin(t)','y(0)=0','Dy(0)=1','t') y = exp(-t)+2*exp(-t)*t-cos(t) 作曲线： >> t=0:0.1:30; >> y=exp(-t)+2*exp(-t).*t-cos(t); >> plot(t,y) 3、分别用Simpson 法、 Newton-Cotes 法、梯形法trapz 以及符号积分函数int 计算定积分?π 0sin dx x 。先建立ff.m 函数 function f=ff(x) f=sin(x); Simpson 法：在主窗口调用： [S,n]=quad('ff',0,pi) S = 2.0000 n = 33 Newton-Cotes 法： [S,n]=quad8('ff',0,pi) S = 2.0000 n = 18

第二章导数与微分

第二章导数与微分数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学.微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”.微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生.本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节导数概念从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代.而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展.生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展.在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1)求变速运动的瞬时速度； (2)求曲线上一点处的切线； (3)求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题.牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 内容分布图示 ★引言★变速直线运动的瞬时速度 ★平面曲线的切线★导数的定义★几点说明 ★利用定义求导数与求极限（例1、例2）★例3 ★例4★例5★例6★例7 ★左右导数★例8★例9 ★导数的几何意义★例10★例11 ★导数的物理意义★可导与连续的关系 ★例12★例13★例14★例15 ★内容小结★课堂练习 ★习题2-1★返回内容要点：一、引例：引例1:变速直线运动的瞬时速度；引例2:平面曲线的切线二、导数的定义： x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质:函数增量与自变量增量的比值x y ??是函数y 在以0x 和x x ?+0为端点的区间上的平均变化率，而导数0|x x y ='则是函数y 在点0x 处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. 根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤： 1．求函数的增量：); ()(x f x x f y -?+=?

第十三讲：多元函数的偏导数与全微分的练习题答案

第十三讲：多元函数的偏导数与全微分的练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．设2(,)f x y x y xy y +-=+ 则(,)f x y = （A ） A ． ()2x x y - B ．2xy y + C ．()2 x x y + D ．2x xy - 解： (,)()f x y x y x y y +-=+ []1()()()2 x y x y x y = ++-- (,)()2x f x y x y ∴=- 2． 22 1cos lim 1x x y o e y x y →→++= （D ） A ． 0 B ．1 C ． 1e D ． 2 e 解：22cos (,)1x e y f x y x y =++在点（1，0）连续 '221cos cos 0lim 11102x x y o e y e e x y →→∴==++++ 3．设(,) f x y 在点00(,)x y 处有偏导数存在，则0000(2,)(,)lim h o f x h y f x h y h →+--=（D ） A ．0 B ．'00(,)x f x y C ．'002(,)x f x y D ．'003(,)x f x y 解：原式=0000(2,)(,)lim 22h o f x h y f x y h →+-? 0000(,)(,)lim h o f x h y f x y h →--+- ='''0000002(,)(,)3(,)x x x f x y f x y f x y += 4．(,)z f x y =偏导数存在是(,)z f x y =可微的（B ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．无关条件

一元函数微分公式

【大小】【打印】【关闭】启航考研数学系列精讲之二一元函数积分的计算（一）一元函数积分包括不定积分与定积分，以及作为定积分推广的广义积分．对于不定积分需要掌握的，除了原函数与不定积分的概念与基本性质外，就是基本积分公式与两种基本积分方法。这是因为任何积分过程最终都要化为基本积分公式中已有的形式，否则就需要再进一步简化，而两种基本的积分方法，变量替换法(换元积分法)与分部积分法是简化积分的主要方法。除此之外，一些特殊的积分方法，如：有理函数积分法、三角函数有理式的积分法、某些简单无理式的积分法等，则是在特定情况下的特殊方法。由于不定积分的计算是最基本的，它渗透于一切积分之中，所以这里将不单独予以讲述，而是将其融合于定积分的计算之中。为了帮助读者查找，在分类讲述例题之前将列出基本积分公式。借助于牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式，定积分可化为被积函数的任一原函数在积分上限与下限两点函数值的差。这样，只要能求出原函数就解决了定积分的计算问题，而求原函数则是不定积分所解决的问题。然而，定积分的计算过程并不是分为求原函数与求原函数在上、下限函数值的差两个步骤，而是把两者结合起来。这样，如同不定积分一样，定积分也有两个基本方法，那就是变量替换法与分部积分法。牛顿—莱布尼兹公式的基础是关于变限积分求导数的定理，同时在如何求极限的部分也涉及到，这里就不再重复了。一、定积分的变量替换法定理设f(x)在区间[a,b]上连续，代换x＝Ф(t)满足条件：

(1)Ф’(t)在[α,β]上连续； (2)Ф(α)=a,Ф(β)=b，并且当α≤t≤β时，a≤Ф(t)≤b，则（1）注 (1)在定理的叙述中，，，定义于区间[α,β]，说明呈上升趋势．实际上，呈下降趋势也是一样的，亦即定理中的区间[α,β]，刖改为[β,α]。 (2)在定积分作变量替换时，一定要同时更换积分限，而且积分限的更换可以采用表格形式表示。 (3)不定积分的变量替换有第一与第二换元法之分。相应于第二换元积分法就是公式(1)中左端的x换成右端的t；相应于第一换元积分法(凑微分法)就是把右端的t换成左端的x。几种常用的凑微分形式：（1）（2）（3）（4）（5）