焦点三角形的性质(经典!必看).pdf

椭圆中焦点三角形的性质(含答案)

焦点三角形习题 性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a b 2 2 性质二：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形 21F PF 中,21θ=∠PF F 则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明：记2211||,||r PF r PF ==， 由椭圆的第一定义得.4)(,22 22121a r r a r r =+∴=+ 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212 22 1c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(2 2121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =+-θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ+=+-=∴b c a r r 由任意三角形的面积公式得： 2tan 2 cos 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=+?== ?b b b r r S PF F . .2 tan 221θ b S PF F =∴? 同理可证，在椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立. 性质三：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形 21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 性质三 证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ?中，由余弦定理得： 1 222242)(2cos 2 12 221221221212 212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ

高中数学破题致胜方法双曲线焦点三角形的面积

今天我们研究双曲线焦点三角形的面积。12PF F ?由两焦点和双曲线上一点形成，我们把这种三角形叫焦点三角形. 求焦点三角形的面积时，通常会利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，焦点三角形的面积主要有两种求法：1212121211 sin =2c |y |22PF F PF F P S r r F PF S =∠V V g g g 和。 例:已知双曲线2 2 1916x y -=的左、右焦点分别为12F F 、，若双曲线上一点P 使 1290F PF ∠?＝，则1F PF V 的面积是（ ） A.12 B.16 C.24 D.32 解：根据双曲线的定义有：126PF PF =－ 两边平方得：22 1212236PF PF PF PF ＋－＝ 由勾股定理有： 22 2 121212||10032 PF PF F F PF PF ∴Q ＋＝＝， ＝ 121 2S PF PF ∴=＝16 所以本题选B 。 整理： 焦点三角形的面积求法： 2211||,||r PF r PF ==，12F PF θ∠=； 12121sin 2PF F S r r θ=V g ；121 =2||2PF F P S c y V g g ；

注意：讨论焦点三角形的相关性质时，要结合双曲线的定义，简化运算。 再看一个例题，加深印象： 例：已知12F F ，为双曲线22 1C x y -=：的左、右焦点，P 点在C 上，1260F PF ∠?＝，则P 到x 轴的距离为（ ） 解：不妨设 设12(,),,,P x y PF m PF n ＝＝ 由双曲线的定义有：12 2.PF PF m n －＝－＝ 在△21PF F 中，由余弦定理得： 2222(22)-2cos 608(-). 4 m n mn m n mn mn =+? =+= 从而由三角形面积公式有：

双曲线焦点三角形的几何性质

双曲线焦点三角形的几 何性质 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

双曲线焦点三角形的几个性质 在椭圆中，焦点三角形中蕴含着很多性质，这些性质都可以类比到双曲线焦点三角形中：设若双曲线方程为122 22=-b y a x ,21,F F 分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有： 性质1、若θ=∠21PF F 则2cot 221θb S PF F =?特别地，当 9021=∠PF F 时，有221b S PF F =? 性质2、焦点三角形21F PF 在P ∠处的内角平分线，过2F 作平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是？ 性质3、以21,r r 为直径做一个圆与大圆（以21A A 为直径的圆）相切。 性质4、双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。 证明：设双曲线122 22=-b y a x 的焦点三角形的内切圆且三边21F F ，1PF ，2PF 于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为21,A A 所以A 点在双曲线上，又因为A 在21F F 上，A 是双曲线与x 轴的交点即点21,A A 性质5、在双曲线中A ，B 在双曲线上且关于原点对称，P 为椭圆上任意一点，则22b a k k PB PA = 性质6、P 点在x=c 上移动的过程当中，张角APB ∠的取值范围（A ，B 为两顶点）。]arctan ,0[b a 性质7、双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF 的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，则e AP BA =| ||| 证明：由角平分线性质得e a c P F P F B F B F P F B F P F B F AP BA ==--===22||||||||||||||||||||21212211 性质8、双曲线的焦点三角形21F PF 中，βα=∠=∠1221,F PF F PF

圆锥曲线焦点、焦点三角形类

圆锥曲线焦点、焦点三角形问题 22 xy 13.( 2009 江西卷文) 设 F 1 和 F 2 为双曲线 2 2 1(a 0,b ab P （0,2 b ） 是正三角形的三个顶点 ,则双曲线的离心率为 答案】 B 答案 】 y=x |PF 1 | |PF 2 | 2a |PF 1 |?|PF 2 | 18 2 2 2 |PF 1 |2 |PF 2 |2 4c 2 故有 b ＝ 3。 答案】 3 40.（2009 年广东卷文 ） （本小题满分 14 分） 3 A ． 2 B ． 5 C ． 2 D ．3 解析】由 tan 6 2b 3 有 3c 4b 2 4(c 2 a 2 ),则 e 2,故选 B. 39.（2009 年上海卷理）已知 F 1、 F 2是椭圆 2 C:a x 2 2 a 2 y b 2 1（ a >b > 0）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且 PF 1 PF 2 . 若 PF 1F 2 的面积为 9， 则b = 0 ）的两个焦点 , 若 F 1，F 2 ， 20.（2009 湖南卷文） 抛物线 y 2 8x 的焦点坐标是（ ） A ．（2，0） B ．（- 2，0） C ．（4，0） D ．（- 4，0） 解析 】由 y 2 8x ,易知焦点坐标是 ( 2p ,0) ( 2,0) ，故选 B. 【答案】B 29.（2009 宁夏海南卷理）设已知抛物线 AB 的中点为（ 2， 物线 C 相交于 A ，B 两点。若 C 的顶点在坐标原点， 2），则直线 焦点为 F （1，0），直线 l 与 抛 l 的方程为 ________ . 解析】抛物线的方程为 y 2 4x ， A x 1, y 1 , B x 2,y 2 ,则有 x 1 x 2， 2 y 1 2 y 2 4x 1 4x 2 两式相减得， y 12 y 22 4 x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 x 2 y 1 y 2 直线 l 的方程为 y-2=x-2, 即 y=x 解析】依题意， ，可得 4c 2＋ 36＝4a 2，即 a 2－c 2＝9，

双曲线焦点三角形的几个性质63740讲课讲稿

精品文档 文[1]给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质： 设若双曲线方程为22 22x y 1a b -=，F 1,F 2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有： 性质1、若12F PF ,∠=θ则122F PF S b cot 2 θ=V ；特别地，当12F PF 90∠=o 时，有122F PF S b =V 。

精品文档 222121212221212121222 1212221222 1222PF PF cos |PF ||PF ||FF | 2PF PF cos (|PF ||PF |)2|PF ||PF ||FF | 2PF PF cos (2a)2|PF ||PF |(2c)2PF PF (cos 1)4(a c ) b b PF PF 21cos sin 2 θ=+-θ=-+-θ=+-θ-=-==θ -θ, 12F PF 121S |PF ||PF |sin 2∴=θV 22 b 2sin cos 222sin 2 θθ=?θ2b cot 2θ= 易得90θ=o 时，有122F PF S b =V 性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。 证明：设双曲线22 22x y 1a b -=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为A 1,A 2 121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=- 12|PF ||PF |2a -=Q ，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212A A FF A x A ,A ∴Q 在双曲线上，又在上， 是双曲线与轴的交点即点

双曲线焦点三角形的几个性质

双曲线焦点三角形的几个性质 文[1]给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质： 设若双曲线方程为 222 2 x y 1a b -=，F 1,F 2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有： 性质1、若12F PF ,∠=θ则1 2 2 F PF S b cot 2 θ= ；特别地，当12F PF 90∠= 时，有122 F PF S b = 。 22 2 1212122 2 121212122 2 12122 2 122 2 122 2PF PF cos |PF ||PF ||F F | 2PF PF cos (|PF ||PF |)2|PF ||PF ||F F |2PF PF cos (2a )2|PF ||PF |(2c)2PF PF (cos 1)4(a c )b b PF PF 2 1cos sin 2 θ=+-θ=-+-θ=+-θ-=-== θ-θ , 12F PF 121S |P F ||P F |sin 2 ∴= θ 2 2b 2s i n c o s 22 2sin 2θθ= ?θ 2 b c o t 2θ= 易得90θ= 时，有122 F PF S b = 性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。

证明：设双曲线 222 2 x y 1a b - =的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双 曲线的两个顶点为A 1,A 2 121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=- 12|PF ||PF |2a -= ，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212 A A F F A x A ,A ∴ 在双曲线上，又在上，是双曲线与轴的交点即点 性质3、双曲线离心率为e ，其焦点三角形PF 1F 2的旁心为A ，线段PA 的延长线交F 1F 2的延长线于点B ，则 |BA |e |AP | = 证明：由角平分线性质得 12121212|F B ||F B ||F B ||F B ||BA |2c e |AP | |F P | |F P | |F P ||F P | 2a -=== ==-

焦点三角形的性质

椭圆中焦点三角形的性质及应用 定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等. 一．焦点三角形的形状判定及周长、面积计算 例1 椭圆上一点P 到焦点21,F F 的距离之差为2，试判断21F PF ?的形状. 解：由 112 162 2=+y x 椭圆定义： 3||,5||.2||||,8|||212121==∴=-=+PF PF PF PF PF PF . 又4||21=F F Θ，故满足：,||||||2 12 212 2PF F F PF =+故21F PF ?为直角三角形. 说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功. 性质一：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形 21F PF 中,21θ=∠PF F 则2 tan 221θ b S PF F =?。 θ cos 2)2(212 2212 2 12PF PF PF PF F F c -+==Θ)cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θ θθcos 12)cos 1(244) cos 1(24)(2 222 22121+= +-=+-+= ∴b c a c PF PF PF PF 2 tan cos 1sin 2122212 1θθθb b PF PF S PF F =+==∴? 性质二：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角 形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。 证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ?中，2 12 2 121212cos PF PF F F PF PF -+= θ2 12 21221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=

双曲线焦点三角形性质练习题

双曲线焦点三角形性质练习题 【例7】已知1F 、2F 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使?=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围． 【例8】已知椭圆19 42 2=+y x 的两个焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个项点，21PF PF >，则21 PF PF 的值是 ． 【例9】已知P 是双曲线2 214 x y -=上的一点，1F 、2F 是两焦点,且021=?PF PF ,则21F PF ?的面积为（ ） A ．6 B ．4 C ．2 D ．1 【例10】设P 是双曲线22 1412 x y -=右支上的一个动点，1F 、2F 为左右两个焦点,在?PF 1F 2中,令α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，则2tan 2tan β α ÷的值为（ ） A ．3 1 B ．223- C ．3 D ．与P 的位置有关 【例11】设1F 、2F 分别是双曲线22 221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90o，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为（ ） A B C D 【例12】双曲线1822=-y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为双曲线上的动点，当21·0PF PF <时，点P 的横坐标的取值范围是（ ） A ．（354- ，354） B ．(354-，22-]∪[22，354) C ．(7354- ，7354) D ．(7354- ，22-]∪[22，7354) 【例13】已知椭圆22162x y +=与双曲线2 213 x y -=共焦点，两个公共焦点分别为1F 、2F ，

双曲线焦点三角形的几何性质

双曲线焦点三角形的几个性质 在椭圆中，焦点三角形中蕴含着很多性质，这些性质都可以类比到双曲线焦点三角形中：设若双曲线方程为122 22=-b y a x ,21,F F 分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有： 性质1、若θ=∠21PF F 则2cot 221θb S PF F =?特别地，当ο9021=∠PF F 时，有221b S PF F =? 性质2、焦点三角形21F PF 在P ∠处的内角平分线，过2F 作平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是？ 性质3、以21,r r 为直径做一个圆与大圆（以21A A 为直径的圆）相切。 性质4、双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。 证明：设双曲线122 22=-b y a x 的焦点三角形的内切圆且三边21F F ，1PF ，2PF 于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为21,A A 所以A 点在双曲线上，又因为A 在21F F 上，A 是双曲线与x 轴的交点即点21,A A 性质5、在双曲线中A ，B 在双曲线上且关于原点对称，P 为椭圆上任意一点，则22b a k k PB PA = 性质6、P 点在x=c 上移动的过程当中，张角APB ∠的取值范围（A ，B 为两顶点）。]arctan ,0[b a 性质7、双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF 的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，则e AP BA =| ||| 证明：由角平分线性质得 e a c P F P F B F B F P F B F P F B F AP BA ==--===22||||||||||||||||||||21212211 性质8、双曲线的焦点三角形21F PF 中，βα=∠=∠1221,F PF F PF

焦点三角形问题(解析版)

第一篇圆锥曲线 专题01焦点三角形问题 焦点三角形的边角关系如下： 三条边：122F F c =122PF PF a +==22a c +三角形周长c e a =222a b c =+三个角：随着动点P 的移动，三个角都在变化，可能为锐角，直角和钝角，这里我们只研究顶角P ∠，利用余弦定理，P ∠又和三边a,b,c 的大小有关系三角形的面积：12S ah =底为定值，面积最大时高最大1sin 2 S ab c =面积和三边长有关系 一、与焦点三角形边长有关的问题 焦点三角形中三边长涉及a,c ，因此最直观的是可以根据三边关系求出离心率的值或取值范围，前提是三边之间存在可以转化的关系。 若单独分析三角形的两个腰长，则若能够构成三角形，则需满足1a c PF a c -≤≤+例1椭圆22 221x y a b +=的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在一点P ，满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.

例2.已知12,F F 是椭圆22 221x y a b +=的左右焦点，若在其右准线上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ， 则椭圆的离心率的取值范围是________. 【解析】求离心率的范围问题，需要根据条件列出不等式，在含有动点的题目中，需要找出动态的量和常量之间的大小关系。 题目中：2122PF F F c ==因为点P 在右准线上下移动，2PF 虽然是常量，但由于不知道a,b,c 的关系，因此还是相对的变量。本题的定值为2 2a F H c c =-

在2RT PHF 中，2 22,2a PF F H c c c >≥-解得：313 e ≤<例3.设12,F F 是双曲线2214 x y -=的左右焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ?∠=，则12PF F ?的面积是________.方法一： 方法二： 此题目有更简单的做法，方法一只是为了巩固焦半径的知识，设12,PF x PF y ==则有：4x y -=，又因为22 20x y +=解得：2xy =，因此面积等于1. 上面两题都是关于焦点三角形中两条腰长的问题，在焦点三角形中两腰长之和为2a ，底边为2c ，因此三边之间暗含离心率的关系，因此在一些出现焦点三角形求离心率的问题中一般腰长和底边之间都存在一个可以互相转化的关系，通过这个关系可以求出离心率。例4已知12,F F 是双曲线22 221x y a b -=的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线交于不同的四点，顺次连接焦点和这四点恰好组成一个正六边形，求该双曲线的离心率________.

双曲线焦点三角形的几个性质

双曲线焦点三角形的几个 性质 Prepared on 22 November 2020

双曲线焦点三角形的几个性质 文[1]给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质： 设若双曲线方程为 22 22 x y 1 a b -=，F1,F2分别为它的左右焦点，P为双曲线上任意一点，则有： 性质1、若 12 F PF, ∠=θ则 12 2 F PF S b cot 2 θ =；特别地，当 12 F PF90 ∠=时，有12 2 F PF S b =。 222 121212 22 12121212 22 1212 22 12 22 12 2 2PF PF cos|PF||PF||FF| 2PF PF cos(|PF||PF|)2|PF||PF||FF| 2PF PF cos(2a)2|PF||PF|(2c) 2PF PF(cos1)4(a c) b b PF PF2 1cos sin 2 θ=+- θ=-+- θ=+- θ-=- == θ -θ , 12 F PF12 1 S|PF||PF|sin 2 ∴=θ 2 2 b 2sin cos 22 2sin 2 θθ =? θ 2 b cot 2 θ =

易得90θ=时，有122F PF S b = 性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。 证明：设双曲线2222x y 1a b -=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为A 1,A 2 121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=- 12|PF ||PF |2a -=，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212 A A FF A x A ,A ∴在双曲线上，又在上， 是双曲线与轴的交点即点 性质3、双曲线离心率为e ，其焦点三角形PF 1F 2的旁心为A ，线段PA 的延长 线交F 1F 2的延长线于点B ，则|BA | e |AP |=

双曲线中的焦点三角形性质整理.pdf

双曲线中的焦点三角形 江苏省盱眙中学 赵福余 1.设双曲线19 42 2=?y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，若?=∠6021PF F ，则21PF F ?的面积为 . 设双曲线为()0,0122 22>>=?b a b y a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上， 性质1 ：若θ=∠21PF F ，则21PF F ?的面积为 . 性质2：通过以上求解过程，若θ=∠21PF F ，则=21PF PF ；21PF PF 的最小值是 . （1）设双曲线14 42 2=?y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，?=∠9021PF F ，则21PF F ?的周长为 . （2）若1F 、2F 分别是双曲线19 162 2=?y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且6=AB ，则2ABF ?的周长是 . 2.双曲线焦点三角形21PF F ?的内切圆与21F F 相切于点A ，则=21.AF AF . 性质3：切点A 的位置为 . 3.设双曲线()0,0122 22>>=?b a b y a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，O 是中心，则OP PF PF t 2 1+=的范围是 . 性质4：21.PF PF 与OP 的等式关系为 . 4.设双曲线()0,0122 22>>=?b a b y a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线右支上一点若离心率2=e ，则=2tan 2tan β α .

性质5：=2tan 2tan β α .（用离心率e 表示） 5.双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF ?的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，若4=BA ，2=AP ，则离心率=e . 性质6：=e .（用BA ， AP 表示）

椭圆、双曲线中与焦点三角形有关的问题.

椭圆、双曲线中与焦点三角形有关的问题（一） 学习目标：1探究焦点三角形的有用结论，能理解、会应用，体会到一些有用的结论将会 为解析几何的解题带来帮助。 2在探究中体会数形结合思想，化归思想在数学中的应用。 复习旧知：1三角形面积公式；2三角形中的勾股定理、余弦定理；3椭圆、双曲线的定义 典例探究： 探究1 计算焦点三角形的周长 例1椭圆112 162 2=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上。求12F PF D 的周长。 探究2 判定焦点三角形的形状 例2椭圆112 162 2=+y x 上一点P 到焦点1F 、2F 的距离之差为2，试判断12F PF D 的形状。 探究3 与焦点三角形有关的椭圆离心率问题 例3设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF D 为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。 探究4 与焦点三角形有关的椭圆方程问题 例4若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到 探究5 计算焦点三角形的面积 例5椭圆124 492 2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，求12F PF D 的面积。 例6设1F 、2F 为2 214x y -=的两个焦点，点P 在曲线上，若1290F PF ? ，求12F PF D 的面积。

例7椭圆14 22 =+y x 的左右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，当12F PF D 的面积最大时，求21PF ?的值。 例8 若P 是椭圆164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ，求12F PF D 的面积。 例9若1F 、2F 是双曲线22 1916 x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且?=∠6021PF F ，求12F PF D 的面积。 练习巩固： 1.已知1F 、2F P 为椭圆C 上的一点，且。若12PF F ?的面积为9，则b = 。 2.已知椭圆2 221(1)x y a a +=>的两个焦点分别为1F ,2F ,P 为椭圆上一点,且1260F PF ∠= ,则12||||PF PF ?的值等于 。 3已知椭圆的方程为22 1,97 x y +=1F 、2F 是椭圆的两个焦点，若点P 是椭圆上的一点，且12 45PF F ? ，求12PF F ?的面积。 4点P 为椭圆22 154 x y +=上的一点，以点P 以及焦点1F 、2F 为顶点的三角形的面积为1，

双曲线及其性质知识点及题型归纳总结

双曲线及其性质知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、双曲线的定义 平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为 {})20(22121F F a a MF MF M <<=-. 注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支. （2）当212F F a =时，点的轨迹是以1F 和2F 为端点的两条射线；当02=a 时，点的轨迹是线段21F F 的垂直平分线. （3）212F F a >时，点的轨迹不存在. 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“a F F 221>”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a ，2b 的值），注意222c b a =+的应用. 二、双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质如表10-2所示.

题型归纳及思路提示 题型1 双曲线的定义与标准方程 思路提示 求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径： （1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a ，b ，c ，即利用待定系数法求方程. （2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程. 例10.11 设椭圆1C 的离心率为 13 5 ，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ ） A. 13422 22=-y x B. 151322 22=-y x C. 14322 22=-y x D. 112 1322 22=-y x 解析 设1C 的方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ， 则?????==13 5262a c a ，得???==513c a .

双曲线中焦点三角形的探索

双曲线中焦点三角形的探索 基本条件：1:该三角形一边长为焦距2c,另两边的差的约对值为定值 2:该三角形中由余弦定理得 2 2 2 cos F1PF2 |PF1| |PF2| |F1F2| 2|PF1||PF2|结合定义，有 2 2 x y 性质一、设若双曲线方程为a b? 1 (a> 0, b > 0), F1,F2分别为它的左右焦点, 上任意一点，则有: 若F1PF2 ,则S VF1PF2 b cot - 2 ;特别地，当 F1PF2 90o时，有S V FPF2 b2 。 P为双曲线 证明：记|PF1 1 r i,|PF2|由双曲线的定义得 在厶F1PF2中，由余弦定理得: 2 「 1 2 r22r1r2 cos (2c) 2 . 2 配方得：(r1 ◎2「订 2 2「订 2 cos 4c2. 2 2 即4a 2r1 r2 (1 cos ) 4c . 由任意三角形的面积公式 得: F1PF2 1r1r2sin b2 2 1 cos b2 2sin cos- 2 2 2si n2 - 2 b2cot_ 2 特别地，当 =90时, cot 一 2 =1,所以S VFPF2 b2 2 2 同理可证，在双曲线a 2 x 2 1 b2( a>0, b>0)中，公式仍然成立. 例4 若P是双曲线64 2 止1 36上的一点，F1、F2是其焦点，且F1PF 2 60 求

600 2 2 △ F 1PF 2的面积. 2 2 2x_ x_ i 解法一：在双曲线 64 36 中，a 8，b 6,c 10,而 60 .记 I PF i I r i , |PF 2| r 2 . 点P 在双曲线上， 由双曲线定义得： r i r 2 2a 16. 2 在厶F i PF 2中，由余弦定理得：ri 2 「2 2「i 「2cos (2c)2. 配方，得: ：(A 心)2 「i 「2 400 400 ?1 「2 256.从而 r i r 2 i44. 2 y - i 2 解法二： 在双曲线64 36 中， b 36，而 60 . 考题欣赏 (20i0全国卷i 理) (9)已知F i 、 F 2为双曲线C ： 2 2 x y i 的左、右焦点，点 P 在 C 上，/ F i P F 2=600 ， 贝y P 至u x 轴的距离为(A) 2 (B) 6 (C) .3 2 (D) .6 【答案】 B (20i0全国卷i 文) (8)已知F i 、F 2为双曲线 C ：x 2 y 2 i 的左、右焦点，点 P 在 C 上，/ F i P F 2 = 600 ，则 | PF i 〔?PF ? | (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 【答案】B 【解析i 】.由余弦定理得COS / RPF 2二购 |PF 异 厅尸异 2|PF i ||PF 2| | PF i g PF 2 | 4 【解析2】由焦点三角形面积公式得: S F i PF 2 b 2 %

椭圆焦点三角形的性质

椭圆的焦点三角形 基础再现： 已知椭圆22 122:1(0)x y C a b a b +=>>的焦点为21,F F ，长轴端点为21,A A ，短轴端点为21,B B ，P 为椭圆上任意一点，O 为坐标原点． 1. 焦半径1PF 的范围：[]c a c a +-,．类似的：OP 的范围：[]a b ,． 2. 焦点三角形的周长：c a L 22+=． 3. []22221,b c b PF PF -∈?，当且仅当P 位于短轴端点时取得22c b -，长轴端点时取得2b ． 4. 21PF F ∠在点P 位于短轴端点时取得最大值． 类似的：21PA A ∠在点P 位于短轴端点时取得最大值． 特别的：过焦点的所有弦中通径通径最短，通径：a b L 2 2= 5. 焦点三角形的面积： ⅰ．2121sin 2 1PF F PF PF S ∠??=． ⅱ．p y c b b S =?=+?=2tan cos 1sin 22θθθ，当且仅当点P 位于短轴端点时面积取得最大值bc ． 6. 22121cos e PF F -≥∠，其中e 为椭圆离心率． 7. P F F F PF PF F e 212121sin sin sin ∠+∠∠=，其中e 为椭圆离心率． 实战演练 1．已知椭圆()()22 1:1,3,0,3,02516x y C A C +=-，B 为椭圆上一点，则在ABC ?中B C A sin sin sin +的值为 ． 2．已知21,F F 为椭圆22 1:12516x y C +=的两个焦点， 过1F 的直线交椭圆于B A ,，且1222=+B F A F ，则=AB ．

椭圆中焦点三角形性质探究公开课优质课比赛获奖教案

椭圆中焦点三角形性质探究 教材分析：本节是人教版选修2-1第二章2.2椭圆之后专题课，是椭圆知识的延续。焦点三角形蕴含着椭圆很多耳目一新的几何性质，这些性质浑然一体，相得益彰。在全国各地的高考模拟试题及高考试题中以焦点三角形为载体的问题，更是层出不穷，精彩纷呈。故值得我们去探究与总结。 学情分析： 学生已初步具备解析几何思想。也已经掌握椭圆的定义和相关性质，但是对于常考题型，还没有全面了解。焦点三角形是圆锥曲线中一种特殊的三角形，受到其几何图形的影响与三角形面积相关的考点，学生往往自顾不暇，计算繁琐。 教学目标： 1、知识上，能一起探究焦点三角形的常用结论。如三角形形状判断，顶角 问题，面积问题，离心率问题等，体现了知识的整合性 2、思想上，能理解、会应用，体会到一些有用的结论将会为解析几何的解题带来帮助； 3、行动上，笔不离手，认识到有效的计算是解答解析几何问题的必备手段。教学思想： 数学在其自身的发展过程中充满了合情推理和逻辑推理的过程，充满了数学实验的过程，如何使学生在数学学习中受到数学文化的熏陶，体验到数学思想方法的美妙，进而使思维品质得到有效的锻炼，逐步形成用数学看世界的思维方式呢？那么，本节课就是一个很好的载体。圆锥曲线是中学数学的难点和重点，以椭圆双为背景的问题往往是学生学习结合的难点，在学习解析几何初步的过程中，结合新课标要求，学生必须掌握一个经典的知识点及焦点三角形的相关问题，在焦点三角形知识点的探求中，学生会逐步的发现问题，经历搜索解决问题，这正是学习数学的妙处。 课程资源： 导学案：网络上关于“焦点三角形”资源。 教学重点：

发现焦点三角形的题型与解决思路 教学难点： 解析几何与平面几何思想方法的融合 教学方法与工具： 导学案“以学定教”式，小组合作讨论 教学内容： 圆锥曲线在高考中常以大题和小题各出一题的形式来考察，而小题一般是性质的灵活运用。在椭圆之中有一个三角形就是高考常客。 学生活动1：观察图中三角形，尝试发现三角形的顶点与椭圆的关系。 定义： 椭圆上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形； 学生活动2：观察焦点三角形，结合椭圆特征，发现三角形中一些常见结论。 （提示：因为焦点是定点，只有一个顶点为动点，因此与其相关的最值问题层出不穷。因此可以从边、角、周长、面积等角度探究） 总结：关于椭圆焦点三角形的常见问题： 一、焦点三角形的形状与周长问题 二、焦点三角形的顶角问题 三、焦点三角形的面积问题 四、焦点三角形相关的离心率问题 一、焦点三角形的形状与周长问题 问题1：椭圆 22 11612x y +=上一点P 到两焦点1,2F F 的距离之差为2，试判断12PF F 的形状 . 2 21(4x M y y k x A B +==练习1：已知点椭圆与直线交于点、，则ABM 的周长为（ ） A.4 B.8 C.12 D.16

椭圆中焦点三角形的性质(含答案)

专题1：椭圆中焦点三角形的性质及应用 性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a b 2 2 证明： 性质二：已知椭圆方程为 ),0(122 22 >>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2 tan 221θ b S PF F =?. 证明： 性质三：已知椭圆方程为),0(122 22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形 21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 例1. 若P 是椭圆 164 1002 2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且?=∠6021PF F ， 求△21PF F 的面积. 例2.已知P 是椭圆 19 252 2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点， 2 1 | |||2121= ?PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D. 3 3 例3.已知椭圆 19 162 2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 779 C. 49 D. 49或7 79 例 4. 已知1F 、2F 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使 ?=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。

练习题： 1. 椭圆124 492 2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 24 2. 椭圆14 22 =+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ?的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 3. 椭圆14 22 =+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积 最大时，21PF PF ?的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 2- 4．已知椭圆1222 =+y a x （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点， 且?=∠6021PF F ，则||||21PF PF ?的值为（ ） A ．1 B ．3 1 C ． 3 4 D ． 3 2 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上， 直线1PF 与2PF 倾斜角的差为?90，△21PF F 的面积是20，离心率为3 5， 求椭圆的标准方程. 专题2：离心率求法： 1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.32 C.53 D.63 2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________． 4.已知A 为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)上的一个动点，直线AB 、AC 分别过焦点F 1、 F 2，且与椭圆交于B 、C 两点，若当AC 垂直于x 轴时，恰好有|AF 1|∶|AF 2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率． 5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点 的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的2 3，求椭圆的离心率．

双曲线焦点三角形的几个性质

文[1]给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质： 设若双曲线方程为22 22x y 1a b -=，F 1,F 2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有： 性质1、若12FPF ,∠=θ则122F PF S b cot 2θ=；特别地，当12FPF 90∠=时，有122F PF S b =。

222121212221212121222 1212221222 1222PF PF cos |PF ||PF ||FF | 2PF PF cos (|PF ||PF |)2|PF ||PF ||FF | 2PF PF cos (2a)2|PF ||PF |(2c)2PF PF (cos 1)4(a c ) b b PF PF 21cos sin 2 θ=+-θ=-+-θ=+-θ-=-==θ -θ, 12F PF 121S |PF ||PF |sin 2∴=θ 22 b 2s i n c o s 222sin 2 θθ=?θ2b c o t 2θ= 易得90θ=时，有122F PF S b = 性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。 证明：设双曲线22 22x y 1a b -=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为A 1,A 2 121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF | -=-=- 12|PF ||PF |2a -=，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212A A FF A x A ,A ∴在双曲线上，又在上， 是双曲线与轴的交点即点

椭圆双曲线焦点三角形问题

椭圆、双曲线的焦点三角形问题 一、有关面积的问题，方法：面积公式、余弦定理 2 2 例1.如图，F2分别是椭圆C: a + 1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，/ F!AF2 = 60°. (1)求椭圆C的离心率；A ⑵已知△ AF1B的面积为40W，求a, b的值. 解(1)由题意可知，△ AF1F2为等边三角形，a= 2c, 1 所以e= * y=- 3（x —c）. 将其代入椭圆方程3x2+ 4y2= 12c2，得B g,—j 所以|AB| = yj1 + 3 ? 5c —0 =喘. 由S△ AF I B = ^AF i llA BI sin/ F1AB =寺寮宁=^^孑二40.3，解得a= 10，b= 5 , 3. 方法二设|AB| = t.因为|AF2|= a,所以|BF2|= t— a. 由椭圆定义|BF11+ |BF2|= 2a 可知，|BF1|= 3a—t， 8 再由余弦定理（3a —t）2= a2+ t2—2atcos 60 可得，t = 8a 5 由S △ AF1B = 1a fa 于=253a2= 40 .3知， a= 10，b = 5"』3. 例2如图2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F2分别为左、右焦点，双 曲线的右支上有一点P,/ F j PF2，且△ PF| F2的面积为2 3，双曲线的离心率 3 为2,求该双曲线的方程. 2 2 解析：设双曲线的方程为令- 1(a 0, b 0) , F1( -c, 0), F2 (c, 0), a b P(x0, y0).在^ PF1F2中，由余弦定理，得 2 2 \ 2 乂 2 - IF1F2I2=|PF『-1PF212-2| PF11 ?|PF2| ? cos (IPF1L IPF2I) |PF1| TPF2I， 3