圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析
圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析
圆锥曲线中的三角形问题(特别是与焦半径相关的三角形问题)是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。
一、定值问题
例1． 椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()上一点Ｐ,两个焦点
)0,()0,(21c F c F ，-, 12F PF ?的内切圆记为M ,求证:点P 到M 的切线长
为定值。
证明：设⊙M 与△PF １Ｆ2的切点为A 、B 、C ，如图1,因⊙M 是△PF 1F ２的内切圆，所以|Ｆ1A ｜＝|Ｆ1C|、|F 2Ｃ｜＝|F 2B|，｜PA ｜=｜ＰＢ｜； ∵ |F 1C|+|F 2Ｃ|=2c ，∴ |F １Ａ|+|Ｆ2Ｂ|=2c,由椭圆第一定义知 |PF 1|+|ＰF 2|=2a ,∴ |ＰA ｜＋｜F 1A|+|PB|＋｜Ｆ2B|=2a, ∴ 2｜PA ｜＝2a-２c 即 ｜P Ａ|=a －c 为定值．证毕．
点评：圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础, 而且也是解题的重要工具.对于有些解析几何问题,若从圆锥曲线的定义上去思考,往往会收到避繁就简,捷足先登的解题效果。
二、动点轨迹问题
例2、已知椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()上一动点P,两个焦点)0,()0,(21c F c F ，-， 12
F PF ?的内切圆记为M ,试求圆心M 的轨迹方程 。
解析： 如图１，设∠PＦ1Ｆ2=α、∠PF 2F 1=β，M(x,y ）则在△PF 1F 2中由正弦定理及椭圆的定
义
有||sin ||sin ||
sin[()]
PF PF F F 1212180βααβ==-+°，由等比定理有即1212||||||22sin sin sin()sin sin sin()PF PF F F a c
αβαβαβαβ+=?=++++,又由合分比定理知
tan tan 22a c a c αβ-?=+。由斜率公式知:12,(0),MF MF y y
k k y x c x c
==≠+-由前述不难看出,不论
P
位
于
椭
圆
上
（
异
于
长
轴
两
端
点
)
何
处
,
总
有
12tan
tan
,(0).2
2
MF MF y y a c
k k y x c x c a c
α
β
-?=-?∴
?=-≠+-+ 整理得（ａ-c)x 2
＋（a+ｃ)y ２
=(a-c ）c 2
(ｙ≠0)证毕.
点评:由上获得的方程不难看出,△PＦ1Ｆ2的内切圆圆心M 始终在包含于原椭圆内的一小椭圆上移动．如果△PF F 12中出现两个角，可以考虑应用正弦定理。同时从解题过程，不难得到
一个重要的结论: 已知椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()上一点Ｐ及两焦点F F 12、,若
∠PF F 12=α，∠PF F 21=β,则椭圆的离心率为sin()
sin sin αβαβ
++。
三、方程问题
例3. 如图２,已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上,F F 12、分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P ，∠F PF 123
=π
，且△PF F 12的
面积为23,双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程。
解析：设双曲线的方程为x a y b
a b 222
2100-=>>()，，F c F c 1200()()-，，，，
P x y ()00，。在△ＰF 1Ｆ2中,由余弦定理,得
||||||||||cos
F F PF PF PF PF 12212221223
=+-··π
=-+(||||)||||PF PF PF PF 12212·,即 442212c a PF PF =+||||·，又因为S PF F △1223=，所以
123
2312||||sin PF PF ·π
=，所以
||||PF PF 128·=，所以44822c a =+即b 22=,又因为e c a
==2,所以a 22
3
=
。故所求双曲线方程为
322
12
2
x y
-=。 点评：如果在△PF F 12中仅知一个角，我们经常要联想到余弦定理解决问题。
四、最值.范围问题
例４、 已知曲线C 的方程为x y 2
2
43
1+=,A （－1，0),B(1，０),过点B 的直线ｌ与曲线C
交于M ，Ｎ两点,若∠MAN 为钝角,求直线l 的倾斜角为α的取值范围。
解：（１）若ｌ⊥x 轴,则l 的方程为
x M N =?-1132132
()()，，，,∠°MAN =<23
490arctan (不合题意)。(２)若l 与ｘ
轴重合,则∠M ＡN ＝π(不合题意)。
(3)若l 与x 轴、y 轴不垂直，设l y k x k ：≠=-()()10,代入曲线C 的方程得: 222
2
2
2
1122121222
8412(34)84120()()3434k k k x k x k M x y N x y x x x x k k -+-+-=?+==
++设，，，，
所以AM AN
→→
·212121212(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x y y x x k x x =+++=+++--
2
2
2
1212(1)(1)()1k x x k x x k =++-+++=-+79
3422
k k
因为∠MAN 为钝角,所以AM AN →→<·0所以790097
22
k k -<<<，所以，所以
-<<<<37700377k k 或。所以倾斜角α的范围是:(arctan )(arctan )0373377
，， ππ-
点评:有关三角形角的大小问题可用向量形式转化求解。如在△F PF 12中,∠Ｆ1PF 2为锐角
?>?→→>cos ∠·F PF PF PF 121200;∠Ｆ1PF 2为直角?=?→→
=cos ∠·F PF PF PF 121200；∠F 1Ｐ
Ｆ2为钝角?
五、开放性问题 例5、已知12F F ，为双曲线22 221(00)a b x y a b a b ≠-=>>且，的两个焦点，P 为双曲线右 支上异于顶点的任意一点,O 为坐标原点.下面四个命题:①12PF F △的内切圆的圆心必在直线x a =上;②12PF F △的内切圆的圆心必在直线x b =上;③12PF F △的内切圆的圆心必在直线 OP 上； ④12PF F △的内切圆必通过点0a ()，.其中真命题的代号是 （写出所有真命题的 代号）． 解析:设12PF F △的内切圆分别与P Ｆ1、PF 2切于点Ａ、B,与F １Ｆ2切于点Ｍ，则|PA|=｜ PB｜,|F1A|=｜Ｆ１M|，|F2Ｂ｜=|F２Ｍ|，又点P在双曲线右支上,所以|PF1|－|PＦ2｜＝2a，故|Ｆ1M｜－｜F2M|＝2a,而|F1M|＋|F2M｜=2c,设M点坐标为（x，0），则由｜F1M|－｜F2M|=2a可得（x+c）-（ｃ－ｘ）＝２a解得ｘ=a,显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故①、④正确。 点评：本题主要圆锥曲线焦点三角形内切圆问题。其中利用圆锥曲线定义和平面几何性质是问题求解的关键。 双曲线中焦点三角形的探索 基本条件：1：该三角形一边长为焦距2c ，另两边的差的约对值为定值2a 。 2：该三角形中由余弦定理得| |||2||||||cos 212 21222121PF PF F F PF PF PF F ?-+=∠结合定义，有 ()||||24||||2||||||||212 212 212221PF PF a PF PF PF PF PF PF ?+=?+-=+ 性质一、设若双曲线方程为22 2 2x y 1a b -=（a ＞0，b ＞0）， F1,F2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有： 若 12FPF ,∠=θ则 122F PF S b cot 2θ = ；特别地，当 12FPF 90∠= 时，有122F PF S b = 。 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的定义得 . 4)(,2222121a r r a r r =-∴=- 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212221c r r r r =-+θ 配方得： .4cos 22)(2 2121221c r r r r r r =-+-θ 即.4)cos 1(242 212c r r a =-+θ . cos 12cos 1)(22 2221θθ-=--=∴b a c r r 由任意三角形的面积公式得： 2cot 2sin 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θ θθ θ θ θθ?=?=-?== ?b b b r r S PF F . . 2cot 221θ b S PF F =∴? 特别地，当θ＝? 90时， 2cot θ ＝1，所以12 2 F PF S b = 同理可证，在双曲线122 2 2=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立 . 与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?u u u r u u u r u u u r 恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件 9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=?u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 精品文档 文[1]给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质： 设若双曲线方程为22 22x y 1a b -=，F 1,F 2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有： 性质1、若12F PF ,∠=θ则122F PF S b cot 2 θ=V ；特别地，当12F PF 90∠=o 时，有122F PF S b =V 。 精品文档 222121212221212121222 1212221222 1222PF PF cos |PF ||PF ||FF | 2PF PF cos (|PF ||PF |)2|PF ||PF ||FF | 2PF PF cos (2a)2|PF ||PF |(2c)2PF PF (cos 1)4(a c ) b b PF PF 21cos sin 2 θ=+-θ=-+-θ=+-θ-=-==θ -θ, 12F PF 121S |PF ||PF |sin 2∴=θV 22 b 2sin cos 222sin 2 θθ=?θ2b cot 2θ= 易得90θ=o 时，有122F PF S b =V 性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。 证明：设双曲线22 22x y 1a b -=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为A 1,A 2 121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=- 12|PF ||PF |2a -=Q ，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212A A FF A x A ,A ∴Q 在双曲线上，又在上， 是双曲线与轴的交点即点 椭圆焦点三角形 1．椭圆焦点三角形定义及面积公式推导 （1）定义：如图1，椭圆上一点与椭圆的两个焦点12,F F 构成的三角形12 PF F 称之为椭圆焦点三角形． （2）面积公式推导 解：在12PF F ?中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得 2 2 2 1212 12 cos 2PF PF F F PF PF α+-= ?222 1212 (2)2r r c r r +-= ? 22121212()242r r r r c r r +--=22 1212(2)242a r r c r r --= 2212124()22a c r r r r --=212 122b rr r r -= ∴21212cos 2r r b r r α=- 即2 1221cos b r r α =+， ∴12 212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα?==??+2sin 1cos b αα=+=2tan 2 b α． 例1．焦点为12,F F 的椭圆22 14924x y +=上有一点M ，若120MF MF ?=u u u u r u u u u r ，求12 MF F ?的面积． 解：∵120MF MF ?=u u u u r u u u u r ， ∴12MF MF ⊥， ∴ 12MF F S ?=290tan 24tan 242 2 b α ? ==． 例2．在椭圆的22 221(0)x y a b a b +=>>中，12,F F 是它的两个焦点，B 是短轴的 一个端点，M 是椭圆上异于顶点的点，求证：1212F BF F MF ∠>∠． 证明：如图2，设M 的纵坐标为0y ， 图1 F 1 x y O P F 2 圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用 如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。 （1）当焦点内分弦时。 如图1，，所以。 图1 （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。 如图2，，所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（） 解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离 心率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（） 解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。 例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。 例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿ 双曲线焦点三角形的几 何性质 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】 双曲线焦点三角形的几个性质 在椭圆中，焦点三角形中蕴含着很多性质，这些性质都可以类比到双曲线焦点三角形中：设若双曲线方程为122 22=-b y a x ,21,F F 分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有： 性质1、若θ=∠21PF F 则2cot 221θb S PF F =?特别地，当 9021=∠PF F 时，有221b S PF F =? 性质2、焦点三角形21F PF 在P ∠处的内角平分线，过2F 作平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是？ 性质3、以21,r r 为直径做一个圆与大圆（以21A A 为直径的圆）相切。 性质4、双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。 证明：设双曲线122 22=-b y a x 的焦点三角形的内切圆且三边21F F ，1PF ，2PF 于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为21,A A 所以A 点在双曲线上，又因为A 在21F F 上，A 是双曲线与x 轴的交点即点21,A A 性质5、在双曲线中A ，B 在双曲线上且关于原点对称，P 为椭圆上任意一点，则22b a k k PB PA = 性质6、P 点在x=c 上移动的过程当中，张角APB ∠的取值范围（A ，B 为两顶点）。]arctan ,0[b a 性质7、双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF 的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，则e AP BA =| ||| 证明：由角平分线性质得e a c P F P F B F B F P F B F P F B F AP BA ==--===22||||||||||||||||||||21212211 性质8、双曲线的焦点三角形21F PF 中，βα=∠=∠1221,F PF F PF 圆锥曲线离心率和焦点三角形 上课时间：2013.1. 授课教师： 上课内容： 1）学习重难点：圆锥综合复习.重点圆锥和双曲线 2）学习规划：常见题型的解题技巧和方法 1、设12F F ，分别是双曲线2222x y a b -的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠= 且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．52 B ．102 C ．152 D ．5 2、设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0 ，则FA FB FC ++= （ ） A ．9 B ．6 C ．4 D ．3 3、双曲线221102 x y -=的焦距为（ ） A. 32 B. 42 C. 33 D. 43 4、椭圆14 22=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ） A ．23 B ．3 C ．2 7 D ．4 5、直线ｙ＝ｘ－3与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为( ) （A ）48. （B ）56 （C ）64 （D ）72. 6、已知椭圆的中心在原点，离心率2 1=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合，则此椭圆方程为（ ） 13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422 =+y x 7、若双曲线2221613x y p -=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)42 8、已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ） A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 4 3±= 9、双曲线)0(122≠=-mn n y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ） A ．163 B ．83 C ．3 16 D ．38 10、设椭圆2212516 x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2 OM OP DF =+ ，则||OM = ． 11、已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的 焦点，若||2||FA FB =，则k = ( ) A. 1 3 B.23 C. 23 D. 223 12、若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则a=________. 双曲线焦点三角形面积公式的应用 广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007） 定理 在双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意 一点，θ=∠21PF F ，则2 cot 2 21θ ?=?b S PF F . 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的第一定义得 .4)(,2||222121a r r a r r =-∴=- 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212 22 1c r r r r =-+θ、 配方得：.4cos 22)(2 21212 21c r r r r r r =-+-θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =-+θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ-=--=∴b a c r r 由任意三角形的面积公式得： 2cot 2 sin 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=-?== ?b b b r r S PF F . .2 cot 221θ ?=∴?b S PF F 同理可证，在双曲线122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解 例1 设1F 和2F 为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足?=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是（ ） A. 1 B. 2 5 C. 2 D. 5 / 解：,145cot 2 cot 221=?=?=?θ b S PF F ∴选A. 例2 (03天津)已知1F 、2F 为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF PF ?的值是___________. 解: ,12 cot 2 cot 221==?=?θ θ b S PF F ?=∴ 452 θ ,即.90?=θ ∴21PF PF ⊥，从而.021=?PF 例3 已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且?=∠6021PF F ，△21PF F 的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程. 解：由31230cot 2 cot 2221=?=?=?b b S PF F θ 得：.122=b 又,2122 =+=a b e .41212 =+ ∴a 从而.42 =a ∴所求的双曲线的标准方程为 112422=-y x ，或112 42 2=-x y . 金指点睛 ` 1. 已知双曲线14 22 =-y x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，且△21PF F 的面积为3，则 21PF PF ?的值为( ) A. 2 B. 3 C. 2- D. 3- 2.（05北京6）已知双曲线的两个焦点为)0,5(),0,5(21F F -，P 是此双曲线上的一点，且 2||||,2121=?⊥PF PF PF PF ，则该双曲线的方程是（ ） A. 13222=-y x B. 12322=-y x C. 1422=-y x D. 1422 =-y x 3.（05全国Ⅲ）已知双曲线12 2 2 =-y x 的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且021=?MF ， 圆锥曲线焦点弦问题 θ2222 sin 2c a ab - 高考题：1.过抛物线)0(22 >=p py x 的焦点F 作倾斜角为300的直线与抛物线交于A 、B 两点（点A 在y 轴左侧），则 =FB AF 解:由公式：11cos +-= λλθe 得:11-21+=λλ，解得λ=3，∴=FB AF 3 1 2.双曲线122 22=-b y a x ，AB 过右焦点F 交双曲线与A 、B ，若直线AB 的斜率为3， 4=则双曲线的离心率e= 解：∵由已知tan θ=3∴θ=600, 由公式：11cos +-= λλθe 得：e 11-21+=λλ=1 41 -4+ ∴ e= 5 6 3.（2010高考全国卷）已知椭圆C ：12222=+b y a x （a>b>0）,离心率23 =e ，过右焦点且 斜率为k （k>0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若3=，则k=（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、2 解：由公式：11 cos +-= λλθe 得cos θ=3 1∴ k=tan θ=2;故选B 。 4.2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为 ，过 且斜率为的直线交 于 两点。若 ，则 的离心率为（ ） 解 这里，所以，又，代入公式得，所 以 ，故选。 5.（08高考江西）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物 线交于 两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解 如图3，由题意知直线 与抛物线的地称轴的夹角 ，当点 在 轴左侧时， 设，又，代入公式得，解得，所以。 6.（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。 7.已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿ 解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。8.（2009年高考福建）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿ 解由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。 11.（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿ 解易知均在右支上，因为，离心率，点准距 ，因倾斜角为，所以。由焦半径公式得， 。 双曲线焦点三角形的几个性质 文[1]给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质： 设若双曲线方程为 222 2 x y 1a b -=，F 1,F 2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有： 性质1、若12F PF ,∠=θ则1 2 2 F PF S b cot 2 θ= ；特别地，当12F PF 90∠= 时，有122 F PF S b = 。 22 2 1212122 2 121212122 2 12122 2 122 2 122 2PF PF cos |PF ||PF ||F F | 2PF PF cos (|PF ||PF |)2|PF ||PF ||F F |2PF PF cos (2a )2|PF ||PF |(2c)2PF PF (cos 1)4(a c )b b PF PF 2 1cos sin 2 θ=+-θ=-+-θ=+-θ-=-== θ-θ , 12F PF 121S |P F ||P F |sin 2 ∴= θ 2 2b 2s i n c o s 22 2sin 2θθ= ?θ 2 b c o t 2θ= 易得90θ= 时，有122 F PF S b = 性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。 证明：设双曲线 222 2 x y 1a b - =的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双 曲线的两个顶点为A 1,A 2 121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=- 12|PF ||PF |2a -= ，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212 A A F F A x A ,A ∴ 在双曲线上，又在上，是双曲线与轴的交点即点 性质3、双曲线离心率为e ，其焦点三角形PF 1F 2的旁心为A ，线段PA 的延长线交F 1F 2的延长线于点B ，则 |BA |e |AP | = 证明：由角平分线性质得 12121212|F B ||F B ||F B ||F B ||BA |2c e |AP | |F P | |F P | |F P ||F P | 2a -=== ==- 圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析 圆锥曲线中的三角形问题（特别是与焦半径相关的三角形问题）是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。 一、定值问题 例 1. 椭圆 x a y b a b 22 22 10+ =>>()上一点P ，两个焦点 )0,()0,(21c F c F ，-， 12F P F ?的内切圆记为M ，求证：点P 到M 的切 线长为定值。 证明：设⊙M 与△PF 1F 2的切点为A 、B 、C ，如图1，因⊙M 是△PF 1F 2的内切圆，所以|F 1A|=|F 1C|、|F 2C|=|F 2B|，|PA|=|PB|； ∵ |F 1C|＋|F 2C|=2c ，∴ |F 1A|＋|F 2B|=2c ，由椭圆第一定义知 |PF 1|＋|PF 2|=2a ，∴ |PA|＋|F 1A|＋|PB|＋|F 2B|=2a ， ∴ 2|PA|=2a－2c 即 |PA|=a －c 为定值．证毕． 点评：圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础, 而且也是解 题的重要工具.对于有些解析几何问题,若从圆锥曲线的定义上去思考，往往会收到避繁就简,捷足先登的解题效果。 二、动点轨迹问题 例2、已知椭圆 x a y b a b 2 2 2 210+=>>()上一动点P ，两个焦点)0,()0,(21c F c F ，-， 12F P F ?的内切圆记为M ，试求圆心M 的轨迹方程 。 解析： 如图1，设∠PF 1F 2=α、∠PF 2F 1=β，M(x ，y)则在△PF 1F 2中由正弦定理及椭圆的定 义有||s i n ||s i n || s i n [()]PF PF F F 1212180βααβ== -+°，由等比定理有即1212||||||22sin sin sin() sin sin sin() PF PF F F a c αβ αβαβ αβ+= ? = ++++，又由合分比定理知 tan tan 2 2 a c a c α β -?= +。由斜率公式知：1 2,(0),M F M F y y k k y x c x c == ≠+-由前述不难看出，不 论P 位于 椭圆上 （ 异 于长 轴两端点）何处，总有 12tan tan ,(0).2 2 M F M F y y a c k k y x c x c a c α β -?=-?∴ ?=- ≠+-+ 整理得(a －c)x 2 ＋(a ＋c)y 2 =(a －c)c 2 (y≠0)证毕． 点评：由上获得的方程不难看出，△PF 1F 2的内切圆圆心M 始终在包含于原椭圆内的一小椭圆上移动．如果△PF F 12中出现两个角，可以考虑应用正弦定理。同时从解题过程，不难得到一个重要的结论： 已知椭圆 x a y b a b 22 22 10+ =>>()上一点P 及两焦点F F 12、，若 ∠PF F 12=α，∠PF F 21=β，则椭圆的离心率为 sin()sin sin αβαβ ++。 三、方程问题 例3. 如图2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F F 12、分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P ，∠F P F 123 = π ，且△PF F 12的 面积为23，双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程。 解析：设双曲线的方程为 x a y b a b 22 22 100- =>>()，，F c F c 1200()()-，，，， 圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。 （1）当焦点内分弦时。 如图1，，所以。 图1 （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。 如图2，，所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（） 解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心 率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（） 解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。 例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时， 设，又，代入公式得，解得，所以。 例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。 例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点 且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿ 圆锥曲线焦点、焦点三角形问题 22 xy 13.( 2009 江西卷文) 设 F 1 和 F 2 为双曲线 2 2 1(a 0,b ab P （0,2 b ） 是正三角形的三个顶点 ,则双曲线的离心率为 答案】 B 答案 】 y=x |PF 1 | |PF 2 | 2a |PF 1 |?|PF 2 | 18 2 2 2 |PF 1 |2 |PF 2 |2 4c 2 故有 b ＝ 3。 答案】 3 40.（2009 年广东卷文 ） （本小题满分 14 分） 3 A ． 2 B ． 5 C ． 2 D ．3 解析】由 tan 6 2b 3 有 3c 4b 2 4(c 2 a 2 ),则 e 2,故选 B. 39.（2009 年上海卷理）已知 F 1、 F 2是椭圆 2 C:a x 2 2 a 2 y b 2 1（ a >b > 0）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且 PF 1 PF 2 . 若 PF 1F 2 的面积为 9， 则b = 0 ）的两个焦点 , 若 F 1，F 2 ， 20.（2009 湖南卷文） 抛物线 y 2 8x 的焦点坐标是（ ） A ．（2，0） B ．（- 2，0） C ．（4，0） D ．（- 4，0） 解析 】由 y 2 8x ,易知焦点坐标是 ( 2p ,0) ( 2,0) ，故选 B. 【答案】B 29.（2009 宁夏海南卷理）设已知抛物线 AB 的中点为（ 2， 物线 C 相交于 A ，B 两点。若 C 的顶点在坐标原点， 2），则直线 焦点为 F （1，0），直线 l 与 抛 l 的方程为 ________ . 解析】抛物线的方程为 y 2 4x ， A x 1, y 1 , B x 2,y 2 ,则有 x 1 x 2， 2 y 1 2 y 2 4x 1 4x 2 两式相减得， y 12 y 22 4 x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 x 2 y 1 y 2 直线 l 的方程为 y-2=x-2, 即 y=x 解析】依题意， ，可得 4c 2＋ 36＝4a 2，即 a 2－c 2＝9， 双曲线焦点三角形性质练习题 【例7】已知1F 、2F 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使?=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围． 【例8】已知椭圆19 42 2=+y x 的两个焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个项点，21PF PF >，则21 PF PF 的值是 ． 【例9】已知P 是双曲线2 214 x y -=上的一点，1F 、2F 是两焦点,且021=?PF PF ,则21F PF ?的面积为（ ） A ．6 B ．4 C ．2 D ．1 【例10】设P 是双曲线22 1412 x y -=右支上的一个动点，1F 、2F 为左右两个焦点,在?PF 1F 2中,令α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，则2tan 2tan β α ÷的值为（ ） A ．3 1 B ．223- C ．3 D ．与P 的位置有关 【例11】设1F 、2F 分别是双曲线22 221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90o，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为（ ） A B C D 【例12】双曲线1822=-y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为双曲线上的动点，当21·0PF PF <时，点P 的横坐标的取值范围是（ ） A ．（354- ，354） B ．(354-，22-]∪[22，354) C ．(7354- ，7354) D ．(7354- ，22-]∪[22，7354) 【例13】已知椭圆22162x y +=与双曲线2 213 x y -=共焦点，两个公共焦点分别为1F 、2F ， 课题：探究抛物线中的焦点弦问题 【学习目标】： 探讨解决抛物线中有关焦点弦问题的思想方法. 【问题探究】： 抛物线定义：平面内与一个定点F 的距离和一条定直线l 距离相等的点的轨迹. 问题一：已知过抛物线2 2(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则?AB = （1）：12AB x x p =++ （2）：m i n AB 问题二、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于,A B 两点，' ',A B 为,A B 在准线上的射影， 则' ' ?A FB ∠= （3）：' ' 90A FB ∠= （4）：以Q 为圆心，以'' A B 为直径的圆切AB 于F 点 (x 1,y 1) (x 2,y 2) x y B′ A′ (x 1,y 1) (x 2,y 2) x y F′B′ A′Q 问题三、已知过抛物线2 2(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于,A B 两点，'' ,A B 为,A B 在准线上的射影， 则以,A B 为直径的圆与准线的位置关系？ （5）：以P 为圆心，以AB 为直径的圆切''A B 于Q 点 （6）：90AQB ∠ = 问题四、已知过抛物线2 2(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则1212?,?x x y y == （7）：22 121 2,4 p x x yy p ==- 问题五、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则11 ?AF BF += （8）：112A F B F p += (x 1,y 1) (x 2,y 2) x y B′ A′Q P (x 1,y 1) (x 2,y 2) x y (x 1,y 1) (x 2,y 2) x y 与焦点弦相关的问题 8.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质(定值1） 问题探究８ 已知椭圆22 143 x y +=,1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ,B 两点,是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?恒成立.并由此求∣A Ｂ∣的最小值.(借用柯西不等式) 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件 9.椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质(定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=,1F 为椭圆之左焦点,过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ,B 两点和Ｃ，Ｄ两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ,使AB CD AB CD λ+=?恒成立.并由此求四边 形AB ＣＤ面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 10.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于Ａ，B 两点,AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ,使1AB F D λ=恒成立? 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长 轴于点D ,则∣D Ｆ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半(F 为焦点) 备用课件 设双曲线焦点弦ＡB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣D Ｆ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半(F 为焦点) 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ,则∣ＤF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： ； （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反； ②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一 致； ③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像； 二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。 圆锥曲线焦点弦公式及应用 湖北省阳新县高级中学邹生书 焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有 ；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有 。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为， 点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又 ，所以。 （1）当焦点内分弦时。 如图1，，所以 。 图1 （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。 如图2，，所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右 焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（） 解这里，所以，又，代入公式得，所 以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的 离心率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（） 解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得， 所以，所以，故选。 例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜 角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴 左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。 例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿ 解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代 入公式得，所以。 例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿ 解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式 ，代入公式得，所以所以，所以。 定理2已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准 距（焦点到对应准线的距离）为。过点的弦与曲线的焦点所在的轴的夹 双曲线焦点三角形的几个 性质 Prepared on 22 November 2020 双曲线焦点三角形的几个性质 文[1]给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质： 设若双曲线方程为 22 22 x y 1 a b -=，F1,F2分别为它的左右焦点，P为双曲线上任意一点，则有： 性质1、若 12 F PF, ∠=θ则 12 2 F PF S b cot 2 θ =；特别地，当 12 F PF90 ∠=时，有12 2 F PF S b =。 222 121212 22 12121212 22 1212 22 12 22 12 2 2PF PF cos|PF||PF||FF| 2PF PF cos(|PF||PF|)2|PF||PF||FF| 2PF PF cos(2a)2|PF||PF|(2c) 2PF PF(cos1)4(a c) b b PF PF2 1cos sin 2 θ=+- θ=-+- θ=+- θ-=- == θ -θ , 12 F PF12 1 S|PF||PF|sin 2 ∴=θ 2 2 b 2sin cos 22 2sin 2 θθ =? θ 2 b cot 2 θ = 易得90θ=时，有122F PF S b = 性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。 证明：设双曲线2222x y 1a b -=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为A 1,A 2 121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=- 12|PF ||PF |2a -=，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212 A A FF A x A ,A ∴在双曲线上，又在上， 是双曲线与轴的交点即点 性质3、双曲线离心率为e ，其焦点三角形PF 1F 2的旁心为A ，线段PA 的延长 线交F 1F 2的延长线于点B ，则|BA | e |AP |= 第一篇圆锥曲线 专题01焦点三角形问题 焦点三角形的边角关系如下： 三条边：122F F c =122PF PF a +==22a c +三角形周长c e a =222a b c =+三个角：随着动点P 的移动，三个角都在变化，可能为锐角，直角和钝角，这里我们只研究顶角P ∠，利用余弦定理，P ∠又和三边a,b,c 的大小有关系三角形的面积：12S ah =底为定值，面积最大时高最大1sin 2 S ab c =面积和三边长有关系 一、与焦点三角形边长有关的问题 焦点三角形中三边长涉及a,c ，因此最直观的是可以根据三边关系求出离心率的值或取值范围，前提是三边之间存在可以转化的关系。 若单独分析三角形的两个腰长，则若能够构成三角形，则需满足1a c PF a c -≤≤+例1椭圆22 221x y a b +=的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在一点P ，满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是________. 例2.已知12,F F 是椭圆22 221x y a b +=的左右焦点，若在其右准线上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ， 则椭圆的离心率的取值范围是________. 【解析】求离心率的范围问题，需要根据条件列出不等式，在含有动点的题目中，需要找出动态的量和常量之间的大小关系。 题目中：2122PF F F c ==因为点P 在右准线上下移动，2PF 虽然是常量，但由于不知道a,b,c 的关系，因此还是相对的变量。本题的定值为2 2a F H c c =- 在2RT PHF 中，2 22,2a PF F H c c c >≥-解得：313 e ≤<例3.设12,F F 是双曲线2214 x y -=的左右焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ?∠=，则12PF F ?的面积是________.方法一： 方法二： 此题目有更简单的做法，方法一只是为了巩固焦半径的知识，设12,PF x PF y ==则有：4x y -=，又因为22 20x y +=解得：2xy =，因此面积等于1. 上面两题都是关于焦点三角形中两条腰长的问题，在焦点三角形中两腰长之和为2a ，底边为2c ，因此三边之间暗含离心率的关系，因此在一些出现焦点三角形求离心率的问题中一般腰长和底边之间都存在一个可以互相转化的关系，通过这个关系可以求出离心率。例4已知12,F F 是双曲线22 221x y a b -=的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线交于不同的四点，顺次连接焦点和这四点恰好组成一个正六边形，求该双曲线的离心率________.双曲线中焦点三角形的探索
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