第六节微分法在几何上的应用.

第八章多元函数微分法及应用(§ 6微分法在几何上的应用)

第六节微分法在几何上的应用

会求空间曲线的切线及法平面方程，会求空间曲面的且平面及法线方程。 空间曲线的切线及法平面方程，曲面切平面及法线方程的求法。

空间曲线的方程组形式给出的情况，求其切线及法平面方程。

一.空间曲线的切线与法平面

1.空间曲线由参数方程给出

设空间曲线的参数方程为 X (t) , y (t) , z w(t)，且三个函数均可导.

t o 时，对应曲线上的点 M o (X o ,y o ,Z o )，

X X o

y '(t o ) Z Z o w (t o )

说明

(1) '(t o ), '(t o ),w(t o )不能同时为零，如果个别为零，按空间解析几何中有关直线对称

式方程的说明理解; ur

T '(t o ), '(t o ),w(t o )称曲线切向量.

切向量的方向余弦

要求: 重占: ■八、作业： 习题 8-6 ( P 52) 4,5,6,9,10

(2 )切线的方向向量

COS

------------ 也 ------------ ,COS

& '(t))2 ( '(t))2 (w'(t))2

'(t)

7( '(t))2 ( '(t))2 (w'(t ))2

y o

的方

第八章多元函数微分法及应用(§6微分法在几何上的应用)

w'(t)

cos

7( '(t))2( '(t))2(w'(t))2

曲线的法平面

通过点M o 而与切线垂直的平面称为曲线在点

M o 处的法平面，方程为

'(t 0)(y y o ) w (t o )(z z o ) 0 ?

求螺旋线X a cos , y a si n , z b 对应于

a X —

__2_ 73

一a

2

切向量的方向余弦为

可见曲线的切线与 Z 轴的夹角（母线的夹角）为定值.

2.空间曲线的方程由

y （X ）, Z （X ）给出

取X 为参数，它就可表示为参数方程的形式

程.

X o

曲线上对应于

M o (X o ,y o ,Z o )，即 y o a 2

73 一a , 2

Z

o

u 切向量T

'()，'()，w()

—a,-,b ，因此 2 2

法平面方程为

|)

a,

孚）

b(z

(X)

若(X),

(X)在 X X o 处可导，曲线在点 M o (X o , y o , Z o )处的切向量

切线方程

1, '(X o ), '(X o )，

X X o

1

y y o '(X o )

z Z o '(X o )

'(t 0)(x X o ) 3处的切线和法平面方

切线方程为

——a 2 a 2 cos

v a sin

b

a 2 cos 2

b 2

'(X)

'(X)，

法平面方程

X X )

'(X 0)(y y o ) '(X o )(Z Z o )

?

例2 .求曲线y 2 2mx , Z

X 在点(x o ,y o ,z o )处的切线及法平面方程.

解 因为2yy 2m , y

2zz 1 ,

所以切向量 切线方程 X X o

y o (y

法平面方程 y o )

m

1 2z

X o

—(y y o ) y o 3.空间曲线

2Z o (Z Z o )

2Z o (Z ZO) 的方程由F(X ,y ,Z) O

给出 G(x,y,z) O 设M o (x o ,y o ,z o )是曲线 上的一点，又设 F,G 对各变量的偏导数连续，且 (F,G) | 石R Mo O ,此时方程组在点 M o 的某邻域内唯一确定一组函数 y (X )

, Z (X), 求曲线在点 M o 处的切线方程及法平面方程. 只要求出 u

'(X o )，得切向量T 1,

'(X o ), '(X o )，为此方程

F(X,

G(X , (X), (X)) (X), (X))

两边对X 求全导数得 F F x y

dx dy dx

G x G y

F z 主 dx

G z 空 dx

F y

G y

dy

dX

dy dX

dz Fz —

dx G dz G

Z

dx F X

G

x

因为J (F,G) (y,z) F y G y

所以可解得 dy

dX

dX

J

J

F Z

G Z

2

z 6, x y z 0在点(1, 2,1)处的切线及法平面方程.

解下面我们依照推导公式的方法来解，将所给方程两边对

解方程组，得

因此，所求切线方程

1.曲面方程由隐式方程

F(x, y,z) 0给出

设曲面 方程为F(x, y,z) 0,点M 0(X 0，y 0，Z 0)为曲面上的一点，又设函数

F(x,y,z)的偏导数在点 M 。连续且不同时为零.

讨论曲面在点 M 0处的切平面，那么曲面在点 M 0处切平面指什么? 为此首先考虑这样一个事实：在曲面上过点 M 0的任何曲线在 M 0的切线位于

同一平面上，下面证明这个事实.

u 于是切向量 T

1巴dz dx

dx

2x 2y dy 1dy

dx

dz dx

2z 空

dx

dy y 子 dx dy

dx

dz z ——

dx dz dx

x

dx

dx

y z

y z

例3 .求曲线

x 求导，得

于是矽1(1

dx (1, ur

从而 T 2,1) dz dx

|

(i, 2,1)

法平面方程为

(X 1)

0(y 2) (z 1)

练习：求曲线x t —,z t .曲面的切平面与法线

,y

t 2

在对应于t 1的点处的切线及法平面方程.

rl 匚

t t o 的全导数存在，于是

一一I t t o

o ?即 dt

F x (X o ,y o ,Z o ) '(t o ) F y (X o ,y o ,Z o ) '(t o )

引入向量n

F x , F y ,F Z .

垂直.

因为曲线

是曲面上过点 M o 的任一条曲线，它们在

M o 的切线都与同一个向量 n 垂

直，所以曲面上过点 M o 的一切曲线在点 M o 的切线都在同一个平面上，这个平面称为曲面 在点M o 的切平面，切平面方程为

F x (X o , y o ，Z o )(x X o ) F y (X o , y o ，Z o )(y y 。) F z (X o , y 。，Z o )(z z 。)

曲面 在点M o 的切平面的法向量 n F x ,F y ,F Z 简称为曲面的法向量. 过点M o 且垂直于切平面的直线称为曲面在点

M o 的法线，其方程为

在曲面上过点M o 任意引一条曲线，其参数方程为

y

(t)

(t)， w(t)

且'(t o ), '(t o ),w(t o )不全为零，由于曲线位于曲面上，满足 F( (t), (t),w(t)) 0，又

因为F(x,y,z)在点M o 处有连续偏导数，且 '(t o ), '(t o ), w(t o )存在，上式的复合函数在

F z (X o , y o ,Z o )w(t o ) o ?

上式表明，曲线

在点M o 处的切线向量 u

T

'(t o ), '(t o ),w(t o )与一个确定向量 n

X X o y y o

z Z o

F x (X o ,y o ,Z o )

F y (X o ,y o ,Z o )

F z (X o ,y o ,Z o )

例4 .求曲面e z Z xy 3在点(2,1,o)处的切平面方程及法线方程. 解令 F (x, y,z) e z

xy 3，则

n F x 'F y ’F z

y, x,e

1

,即有 n |(2,1,o ) IZO ,

在点(2,1,o)处切平面方程为

(X 2)

2(y 1) o(z o) o ，

X 2y

X 2 y 1

法线方程为—

1 2

M 0(X0, y0, Z o)处切平面及法线方程.

z，可见F x f x(x, y), F y f y(x,y), F z 1，则曲面

在点M o处法向量为n f x(X o, y。)，f y(X o, y。)，1 ,

于是切平面方程为f x(x o,y o)(x x o) f y(x o,y o)(y y。) z z。,

f x(X0,y0)(x x。)f y(X0,y0)(y y。)，

f x(x x。) f y(y y o)表示全微分的几何意义，即曲面

Z f (X, y)在点M。处切平面上点的竖坐标的增量(正象一元函数表切线的纵坐标增量)

(2)若曲面的切平面的法向量的方向角为,，并假定向量的方向是向上的(即使得它与Z轴的正向所成的角是锐角)，则法向量的方向余弦如何求?

若曲面方程为Z f (x, y)，则

y21在点M o(2,1,4)处的切平面及法线方程.

1,所以n f x，f y, 1 2x,2y, 1 ，即有

n |

M04,2, 1，

2.曲面方程由显式方程Z f (X, y)给出，即邛

0 1Z

求曲面Z f (X, y)在点

令F(x,y,z) f(x,y)

法线方程为

x x。y y o z Z o f x(X0,y0)f y(x0,y0)

说明

(1)函数Z f (x,y)在点(X0,y0)的全微分为

dz

因此切平面方程Z Z o

cos

f x

2 2

f f

' X I y

COS 1 y

2 2

f f

' X I y

cos

若曲面方程为F(x, y,z)

cos f——

J F X2 F y2 F ，cos . ------------------ ,cos

J F X2 F y2 F z2

F z

J F X2F y2

F；

例5.求旋转抛物面Z X2

解因为f (x, y) X2y2

于是过点M o 的切平面方程为

法线方程为

1, 1,2

y 2z

7.设曲面S 方程xyz a 3（a 0），求曲面S 上任一点（X 0,y 0,Z 0）处切平面方程,

并证明曲面S 的所有切平面与坐标面形成的四面体的体积为定值

解 设 F(x, y,z) xyz a 3，则 F x

yz ，F y xz ， F z xy ，

所以在点M 0（X 0, y 。，Z 0）的切平面方程为

4(x 2) 2(y 1) (z 4) 0 ,

4x 2y

例6.求椭球面x 2 2y 2 z 2 1上平行于平面

2z 0的切平面方程.

解因为切平面的法向量为

2x,4y,2z , 而平面

y 2z 0法向量为

又因为ri//n'，

x

所以-

1

切平面方程为

（X

(y

黑 2（

z ￡）0，

(x

店）

(y

黑）2（

z 退）0，

X 0） X 0Z 0（y y 。） X 0y 0（z z 。） 0

于是，切平面与三坐标面围成立体体积为

思考题

z f （X, y ）给出，如何求在点 M （X o ,y o ,Z o ）的切平面方程?

y f （x ）,z g （X ）的交线，如何求在 X X o 对应点处的切线方 程？

1 1 V

3 2（3Xo

3y

o

）3Z

O

9

2XoyoZo

9

—a 3 （定值）

2

y o Z o （X y o Z o x

c 3

X o Z o y X o y o Z 3a .

将其化为截距式

y 3a

3a-1 y o Z o

X o Z o x o y o 截距分别为

y o Z o

3a 3

X o Z o

3y o ,

3a 3 X o y o

3z o

不妨设

X o

o

, y o

O,

Z o

1.若曲面由方程

2.若曲线是两个柱面