(完整版)精编一元二次方程竞赛训练题一
一元二次方程竞赛训练题
1．方程k k k x k x
(02)13(722
=--++-是实数)有两个实根α、β，且0＜α＜1，1＜β＜2，
那么k 的取值范围是（ ）
（A ）3＜k ＜4； （B ）－2＜k ＜－1； （C ）3＜k ＜4或－2＜k ＜－1 （D ）无解。
2．方程01)8)((=---x a x ，有两个整数根，则=a 3．方程012=--x x 的解是（ ）
（A ）
251±； （B ）251±-；（C ）251±或251±-； （D ）2
5
1±-±． 4．已知关于x 的一元二次方程02
=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，
=+a
c
b 32 ． 5．若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a
c bx ax 的根,则判别式ac b 42
-=?与平方式20)2(b ax M +=的关系是
( )
(A)?>M (B)?=M (C)? 6．若方程k x x =--)4)(1(2 2 有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________. 7．如果方程0)2)(1(2 =+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（ ） （A ）10≤≤m ； （B ）43≥ m ； （C ）143≤ 3 ≤≤m 8．设21,x x 是二次方程032 =-+x x 的两个根，那么，1942 23 1+-x x 的值等于（ ） （A ）;4- （B ）8； （C ）6； （D ）0. . 9．已知m ，n 是有理数，并且方程02 =++n mx x 有一个根是25-，那么m+n 的值是______。 10．求所有正实数a ，使得方程042 =+-a ax x 仅有整数根。 11． 已知且，则＝________。 12．已知：a ，b ，c 三数满足方程组???=+-=+48 c 38c ab 8b a 2 ，试求方程bx 2 +cx-a=0的根。 13．设m 是整数，且方程2320x mx +-=的两根都大于95 -而小于37 ，则m =____________． 14．已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2 )1(3)1(3+-=+b b .则b a a a b b +的值为（ ）. （A ）23 （B ）23- （C ）2- （D ）13- 15．如果x 和y 是非零实数，使得 3=+y x 和03 =+x y x ，那么x +y 等于（ ）. （A ）3 （B ）13 （C ） 2 13 1- （D ）134- 16．已知实数a 、b 、x 、y 满足2=+=+y x b a ，5=+by ax ，则=+++)()(2 2 2 2 y x ab xy b a . 17．实数x 、y 、z 满足x+y +z =5，xy +yz +zx =3，则z 的最大值是 . 18．已知a ，b 是实数，关于x ，y 的方程组 ?? ?+=--=b ax y bx ax x y , 23 有整数解),(y x ，求a ，b 满足的关系式. 19．已知b 2 -4ac 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ） (A) 18ab ≥ (B) 18ab ≤ (C) 14ab ≥ (D) 14 ab ≤ 20．在Rt ABC V 中，斜边AB=5，而直角边BC ，AC 之长是一元二次方程2 (21)4(1)0x m x m --+-=的两根，则m 的值是（ ） A 、4 B 、-1 C 、 4或 -1 D 、-4 或 1 21．已知a 为实数，且使关于x 的二次方程2 2 0x a x a ++=有 实根，该方程的根x 所能取到的最大值是 。 22．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式 141622 2 2 ++=+a a c b ①及 542 --=a a bc ， ②求a 的取值范围． 018)8(2 =-++-a x a x 一元二次方程竞赛训练题 (答案)： 1．解：记2)13(7)(22--++-=k k x k x x f 由124303)2(082)1(02)0(22 2-<<-< ??? ??? ??>-=<--=>--=k k k k f k k f k k f 或 2．8． 原方程整理为设x 1,x 2为方程 的两个整数根，由x 1+x 2=a +8，知a 为整数，因此，x -a 和x -8都是整数。故由原方程知x-a=x-8(=±1) ∴所以a=8 3．（D ） 设0x 是方程的解，则—0x 也是方程的解，排除（A ）、（B ）；（D ）的两值必是方程的解，否则方程的解也不是（C ）． 将)51(2 1-代入方程，左边≠0，排除（C ）． 4．６ 设甲将a 看为a ′，由韦达定理得 ． 于是 ． ， 4 3 8' 6'-===-c b a c a b 由于一次项系数b 的符号不改变判别式的值，因此，乙只能是看错a 或c 的符号．于是a ’ ．4=a c 由①②得 5．(B)设0x 是方程的根,则002 =++c bx ax . 所以202022044)2(b abx x a b ax ++=+ ac b c bx ax a 4)(42020-+++= ac b 42-=. 6．7 4 设y x =2 ，原方程变为0452 =-+-k y y .设此方程有根)0(,βαβα<<，则原方程的四个根为α±，β ±. 由于它们在数轴上对应的四个点等距排列， ∴)(αααβ--=-，故αβ9=. 由韦达定理 5=+βα，得 21=α，2 9=β， 于是 494==-αβk ，∴ 4 7=k . 7．（C ）因为022 =+-m x x 有两根，故m 44-=?≥0，得m ≤1.原方程的三根为11=x ，m x -- =112，m x -+=113.显然， x 2≤x 1≤x 3.注意到-=+221x x 3111x m m =-+>-，由此得4 3>m . 8．（D ）∵x 1,x 2是二次方程032 =-+x x 的两个根， ∴ 03121=-+x x ，03222=-+x x ， 即 1213x x -=，2223x x -=. 由根与系数的关系知121 -=+x x ，从而有 19)3(4)3(1942112221+---=+-x x x x x 74)3(374321122 11++--=++-=x x x x x x 04)1(44)(421=+-?=++=x x . 9．3因为m 、n 为有理数，方程一根25-，那么另一个根为25-- ，由韦达定理。得m = 4 , n = -1 ,∴ m+n=3 10．设两整数根为x , y （x ≤y ） 为整数由于可推出则x x x a x x a y a a xy a y x .4 , 4 .84 , 20 4, 0 2-=∴≠≤≤≤≤?? ?>=>=+ ∴ x=5时，a=25时，y=20时；x=6时，a=18时，y=12； x=7时，a 不是整数，x=8时；a=16，y=8；于是a=25或18或16均为所求。 11解 ．：，即，， ， ， ， 12．由方程组得：a 、b 是方程x 2 -8x+c 2 -28c+48=0的两根 △=-4(c-28)2 ≥0，c=42 a=b=4所以原方程为 x 2+2x-1=0 ． ．所以6126323=+-=+-=a c b b a x 1= 262+-，x 2=2 6 2-- 13．解：这是一个二次方程的区间根问题，可根据二次函数图象的特点建立关于m 的不等式，先求出m 的取值范围，再由m 是整数确 定m 的根． 设f(x)＝3x 2 +mx-2，由二次函数的图象，得 ???????????+ =>+=≥+=7332m -5 9 -04971 m 73-)7 3f(025193m 59-)59f(-04m 2Δ 解得45 134 m 2183<< ∵m 是整数，∴只有m=4． 14．答：选（B ） ∵ a 、b 是关于x 的方程()03)1(312=-+++x x 的两个根，整理此方程，得0152=++x x ， ∵ 0425>-=?，∴ 5-=+b a ，1=a b . 故a 、b 均为负数. 因此 ()23222 2 -=-+- =+-=--=+ab ab b a ab ab b a ab b a ab a b b a a a b b 15．答：选（D ） 将x y -=3代入03=+x y x ，得0323=+-x x x . （1）当x >0时，0323=+-x x x ，方程032=+-x x 无实根； （2）当x <0时，0323=--x x x ，得方程032=--x x 解得2131±=x ，正根舍去，从而2 131-=x . 于是2 137213133-=-+=-=x y . 故134-=+y x . 因此，结论（D ）是在正确的. 16．答：5- 解：由2=+=+y x b a ，得4))((=+++=++bx ay by ax y x b a ， ∵ 5=+by ax ， ∴ 1-=+bx ay . 因而，5))(()()(2222-=++=+++by ax bx ay y x ab xy b a 17．答：3 13 解：∵ z y x -=+5，35)5(3)(32+-=--=+-=z z z z y x z xy ， ∴ x 、y 是关于t 的一元二次方程035)5(22=+-+--z z t z t 的两实根. ∵ 0)35(4)5(22≥+---=? z z z ，即0131032≤--z z ，0)1)(133(≤+-z z . ∴ 3 13≤z ，当3 1==y x 时，3 13=z . 故z 的最大值为3 13. 18．解：将 b ax y +=代入bx ax x y --=23，消去a 、b ，得 xy x y -=3， ………………………（5分） 3)1(x y x =+. 若x +1=0，即1-=x ，则上式左边为0，右边为1-不可能. 所以x +1≠0，于是 1 11123+- +-=+=x x x x x y . 因为x 、y 都是整数，所以11±=+x ，即2-=x 或=x 0，进而y =8或=y 0. 故 ?? ?=-=8 2y x 或 ???==00y x ………………………（10分） 当???=-=82y x 时，代入b ax y +=得，082=+-b a ；当?? ?==0 0y x 时，代入b ax y +=得，0=b . 综上所述，a 、b 满足关系式是082=+-b a ，或者0=b ，a 是任意实数.………………………（15 19．Ｂ 20．设方程的根为12,x x ，依题意 ()2 22121212252x x x x x x =+=+-=()()2 2181m m ---即 2 340m m --=解得 m=4或- 1但12,x x > 0 ，2m - 1> 0 所以 m>0 故m= 4 选A 21．a 为实数，当0a ≠时， 关于a 的二次方程220xa a x ++=有实根，于是140x =-≥V x ∴。 当a=0时，x =0 综上， x ∴ 22．解法1：由①－2×②得2()24(1)0b c a -=+>， 所以1->a ． 当1->a 时，222216142(1)(7)0b c a a a a +=++=++>．…………………10分 又当a ＝b 时，由①，②得 221614c a a =++， ③ 245ac a a =--， ④ 将④两边平方，结合③得()() 2 222161445a a a a a ++=--， 化简得 3224840250a a a +--=， 故 2(65)(425)0a a a +--=， 解得6 5-=a ，或4 211±=a ．所以，a 的取值范围为1->a 且6 5-≠a ，4 211± ≠a ．……………15分 解法2：因为14162222++=+a a c b ，542 --=a a bc ，所以)54(214162)(222--+++=+a a a a c b ＝4842++a a ＝2)1(4+a ， 所以 )1(2+±=+a c b ． 又542--=a a bc ，所以b ，c 为一元二次方程054)1(222=--++±a a x a x ⑤ 的两个不相等实数根，故0)54(4)1(422>---+=?a a a ， 所以1->a ． 当1->a 时，222216142(1)(7)0b c a a a a +=++=++>． …………………10分 另外，当a ＝b 时，由⑤式有054)1(222=--++±a a a a a ， 即05242=--a a ，或056=--a ， 解得4211±=a ，或65-=a ．所以，a 的取值范围为1->a 且6 5-≠a ，4211±≠a …………………15分 二答案: 一、1．解：设2004年城市的人口总量为m ，绿地面积为n ，?这两年该城市人口的年平均增长率为x ，由题意，得 2 (144%)(1)n m x n m ++=1+21%，整理，得（1+x ）2=1.44 1.2,11.21 1.1 x +=±． ∴x 1=21239%,1111x ≈=-（舍去）． 答：这两年该城市人口的平均增长率应控制在9%以内．点拨：本题重点考查增长率的问题． 2．分析：假设当P 点移到E 点时可满足本题的条件，那么就有△ABE 为直角三角形，BE=PB ，EA=PA ，由题意，得PA 2－8PB=1． 解：设经过x 秒后点P 到点A 的距离的平方比点P 到点B 的距离的8倍大1， 由题意，得BE=PB=1×x=xcm ，AE=PA=42+x 2． ∴42+x 2－8x=1．解得x 1=3，x 2=5． 答：经过3秒或5秒后，点P 到点A 的距离的平方比点P 到点B 的距离的8倍大1． 点拨：本题应用了勾股定理和路程=速度×时间这个公式． 3．解：（1）由b 2－4ac ≥0，得（2a －3）2－4a （a －1）≥0，a ≤ 9 8 ． （2）∵x 1，x 2是方程（a －1）x 2－（2a －3）x+a=0的两个根， ∴x 1+x 2=231a a --，x 1x 2=1 a a -． 又∵x 12+x 22=9，∴（x 1+x 2）2－2x 1x 2=9． （231a a --）2－2×1 a a -=9． 整理，得7a 2－8a=0，a （7a －8）=0．∴a 1=0，a 2= 87 （舍去）． 点拨：本题主要应用根与系数的关系及根的情况． 4．分析：由△=b 2－4ac ，得 △=4（2m －3）2－4（4m 2－14m+8）=4（2m+1）． ∵方程有两个整数根， ∴△=4（2m+1）是一个完全平方数，所以2m+1也是一个完全平方数． ∵4 ∴2m+1=16，25，36或49，∵m 为整数，∴m=12或24． 代入已知方程，得x=16，26或x=38，25．综上所述m 为12，或24． 点拨：本题应用的方程有整数根，b 2－4ac 必为一个完全平方数求解． 5．分析：如图所示，半圆的直径=矩形的长=窗宽=窗高；矩形的宽=窗高－半圆半径； 全窗面积=半圆面积+矩形面积． 解：设半圆的半径为xm ，则半圆的直径为2xm ，半圆的面积为2 2 x πm 2， 矩形面积为 x ·2x=2x 2（m 2）， ∴根据题意，有 2πx 2+2x 2=25 7 ，∴25x 2=25．∴x=1或x=－1（舍去）， 当x=1时，2x=2． 答：窗的高和宽都是2m ． 点拨：本题借助图分析比较直观简单，另外本题中x=－1虽符合所列方程，?但不符合题意，故舍去． 6．解：设每千克水果应涨价x 元， 由题意，得（500－20x ）（10+x ）=6 000，解得x 1=5，x 2=10． 要使顾客得到实惠，应取x=5． 点拨：本题与实际问题有关，应考虑题中要使顾客得到实惠这个条件得以应用． 二、 7．分析：本题可以分两种情况进行讨论． 解：（1）当蚂蚁在AO 上运动时，设xs 后两只蚂蚁与O 点组成的三角形面积为450cm 2． 由题意，得 1 2 ×3x ×（50－2x ）=450． 整理，得x 2－25x+150=0． 解得x 1=15，x 2=10． （2）当蚂蚁在OB 上运动时， 设xs 钟后，两只蚂蚁与O 点组成的三角形面积为450cm 2． 由题意，得 1 2 ×3x （2x －50）=450． 整理，得x 2－25x －150=0． 解得x 1=30，x 2=－5（舍去）． 答：15s ，10s ，30s 后，两蚂蚁与O 点组成的三角形的面积均为450cm 2． 点拨：本题考查的是学生的抽象思维能力，使学生学会用运动的观点来观察事物，同时要注意检验解的合理性． 三、 8．分析：在等腰三角形中，要分清楚腰与底边，本题应进行分类讨论． 解：∵b 、c 是方程x 2+mx+2－12m=0的两个根，∴b+c=－m ，b ·c=2－12m ． （1）若a 为腰，则b=a=3． c=－m －b ，即3（－m －3）=2－ 1 2 m ． 解得m=－225，∴b+c=225 ．∴周长Q=b+c+a= 225+3=375 ． （2）若a 为底，则b=c ． ∴△=m 2－4（2－ 2m ）=0． m 1=－4，m 2=2，∴b+c=4或b+c=－2（舍去）． ∴周长Q=b+c+a=4+3=7． 答：△ABC 的周长为37 5 或7． 点拨：了解形与数结合分类讨论的思想． 9．分析：通过引元，把不满意的总分用相关的字母的代数式表示，然后对代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值． 解：由题意易知，这32个人恰好是第2层至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、?下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数．事实上，设住s 层的人乘电梯，而住在t 层的人直接上楼，s 设电梯停在第x 层，在第1层有y 人没有乘电梯即直接上楼，那么不满意的总分为： s=3[1+2+3+…+（33－x ）]+3（1+2+…+y ）+[1+2+…+（x －y －2）] =3(33)(34)3(1)(2)(1)222x x y y x y x y ?--+----++ =2x 2－（y+102）x+2y 2 +3y+1 684 =2（x － 1024y +）2+18（15y 2－180y+3 068） =2（x －1024y +）2+15 8 （y －6）2+316≥316． 又当x=27，y=6时，s=316，故当电梯停在第27层时，不满意的总分最小，最小值为316． 四、 10．分析：模拟例子，求出a+b ，ab 的值，然后再求值． 解：∵ 21a +1a －－1=0， ∴（1a ）2+1a －1=0． 又∵b 4+b 2－1=0，∴（b 2）2+b 2－1=0．∴ 1a 、b 2 是方程x 2+x －1=0的两个根． ∴1a +b 2=－1，1a ×b 2=－1． ∴ 21ab a +=b 2+1a =－1． 点拨：把1 a 、b 2看成是方程x 2+x －1=0的两个根是解本题的关键所在． 五、11．20% 分析：设月平均增长率为x ，由400（1+10%）（1+x ）2=633.6，解得x=0.2=20%． 点拨：基数×（1+平均增长率）n =n 次增长后到达的数． 12．应设y= 2 1 1 x x ++ 分析：设y=21 1 x x ++，∴原方程为2y +6y=7，∴6y 2－7y+2=0． 点拨：利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 13．2 设一个根为x ，则另一根为2x ，由题意，得 2x ·x=m ，2x+x=3，x=1． ∴m=2． 点拨：由两根之和为－ b a ，两根之积为c a 可得方程． 14．证明：（1）设方程①两个负实根分别为x 1，x 2． 则1212 (4)42(4)0, 0,4 0,0,20,4 0,2 m m m x x x x m ? ?+-?->?>?? +??+<- >?-?>??即 解得m>4． 由方程②有两个实数根知m ≠0，当m>4时，3 m m ->0，即方程②的两根之积为正，? 故方程②的两根符号相同． （2）2 0, 2,23, 32,m n m m m βααβααβα≠?? =??-?+==-? ?-==?? 得 22 (2)392n m m m --=?（n －2）2=92m （m －3） ． 经讨论，m=6时，（n －2）2= 9 2 ×6×3=81． 附加题 分析：方程有两个不相等的实根， ∴△=4（m －2）2－4（m 2－3m+3）=－4m+4>0，∴－1≤m<1． ∵x 1+x 2=－2（m －2），x 1x 2=m 2－3m+3． ∴（1）x 12+x 22=（x 1+x 2）2－2x 1x 2=4（m －2）2－2（m 2－3m+3）=2m 2－10m+10， ∴m 2－5m+5=0． 解得 ．∵－1≤m<1，∴ （2）2 212 1211mx mx x x +--=2222 1221121212211212[(1)(1)][()](1)(1)1 m x x x x m x x x x x x x x x x x x -+-+-+=----+． ∵x 1+x 2=－2（m －2），x 1x 2=m 2－3m+3． ∴上式可化为22 1212 11mx mx x x +--=2（m 2－3m+1）=2（m － 32）2－52 ． ∵－1≤m<1，当m=－1时，最大值为10． 点拨：本题是一道综合性较强的综合题，考查了根的情况、根与系数的关系以及以配方法求最值的问题． 一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程 2 (1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式221 6 k k k -+-的值． 【答案】0. 【解析】 【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】 解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2 则12123940x x x x a a +-?? ??-≥? ＝＝＝ ， 由条件，知12 1212 11x x x x x x ++==3， 即 33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1， 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0， Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则221 06 k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，?=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则17 8 k ≤ ， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使221 6k k k -+-无意义. 综上，代数式221 6 k k k -+-的值为0 【点睛】 本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程， 2．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC= ，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中， 【最新整理，下载后即可编辑】 韦达定理及其应用 【内容综述】 设一元二次方程有二实数根，则，。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1．求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b为实数，且，，求 的值。 思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。 解（1）当a=b时， ； （2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得 ，ab=1. 说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，，等都可以用方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。 其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。 ★★★例2若，且，试求代数式 的值。 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定理，得 ， ∴ 2．构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。 （1）试求以和为根的一元二次方程； （2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。 解（1）由韦达定理知 ，。 ， 。 所以，所求方程为。 （2）由已知条件可得 解之可得由②得，分别讨论 （p,q）=(0,0)，(1,0)，(1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2-,1)或(0, 1-)。 第六章 一元二次方程 第19讲 一元二次方程的解法 【思维入门】 1．若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是 ( ) A ．x 2＋3x －2＝0 B ．x 2－3x ＋2＝0 C ．x 2－2x ＋3＝0 D ．x 2＋3x ＋2＝0 2．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为 ( ) A.? ?? ??x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 B.? ?? ??x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2 C.? ?? ??x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 D.? ?? ??x －b 2a 2＝4ac －b 24a 2 3．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的解为____． 4．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝____． 5．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝____． 6. 先化简，再求值：(x －1)÷? ?? ??2x ＋1－1，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根． 【思维拓展】 7．若关于x 的方程m (x ＋h )2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2， 则方程m (x ＋h －3)2＋k ＝0的解为 ( ) A ．x 1＝－6，x 2＝－1 B ．x 1＝0，x 2＝5 C ．x 1＝－3，x 2＝5 D ．x 1＝－6，x 2＝2 8．定义运算“★”：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3 ＋5.若x ★2＝6，则实数x 的值是____． 9．关于x 的一元二次方程为(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0. (1)求出方程的根； (2)m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 七 年 级 数 学 竞 赛 姓名： 得分： 分×12=36） 1．下列说法正确的是（ ） A ．ax+b=0是关于x 的一元一次方程 B ．若a+c=b+c,则a b d d = C ．若关于x 的方程mx+n=0只有一个解，则m ≠0 D ．若（x+y ）(x-y)=0，则x=y 2．如果方程3x+1=4与关于x 的方程302 a x --=的解相同，则a 的值是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 3．若x=3是方程1()13 m x -=的解，则关于x 的方程(1)51m x x m -=+-的解是（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．11 4．若a 与b 互为相反数，则关于x 的方程0(0)ax b a +=≠的解是（ ） A ．1- B ．1 C ．1-或1 D ．不能确定 5．某商品提价10%销售一段时间后，销量不大，于是降价10%销售，则下列说法正确的是（ ） A ．该商品通过两次调价恢复到原价 B ．该商品第二次调价后的售价高于原价 C ．该商品第二次调价后的售价低于原价 D ．以上几种情况都有可能 6．若关于x 的方程2(3)(2)0m m x m --+=是一元一次方程，则方程的解是（ ） A ．12- B ．2- C ．12 D ．2 7．方程12x x -=的同解方程是（ ） A ．322x x -=+ B ．21x x =- C ．21x x =+ D ． 1213 x x -=+ 8．甲、乙两人去商场购物，他俩各自的钱数之比是5:4。甲用了350元，乙用了200元，他俩余下的钱数之比是3:4，则甲、乙两人分别余下（ ） A ．300元，400元 B ．240元，320元 C ．180元，240元 D ．150元，200元 9．受季节影响，某种商品每件按原售价打九折后又降价5块，现在售价为175元，则这种商品每件原售价是（ ） A.180元 B.190元 C.200元 D.210元 10．造一件假品牌衬衣成本只有40元，比正牌衬衣销售价的116还少10元，如 一元二次方程竞赛训练题 1．方程k k k x k x (02)13(722 =--++-是实数)有两个实根α、β，且0＜α＜1，1＜β＜2， 那么k 的取值范围是（ ） （A ）3＜k ＜4； （B ）－2＜k ＜－1； （C ）3＜k ＜4或－2＜k ＜－1 （D ）无解。 2．方程01)8)((=---x a x ，有两个整数根，则=a 3．方程012=--x x 的解是（ ） （A ） 251±； （B ）251±-；（C ）251±或251±-； （D ）2 5 1±-±． 4．已知关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么， =+a c b 32 ． 5．若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42 -=?与平方式20)2(b ax M +=的关系是 ( ) (A)?>M (B)?=M (C)? 二元一次方程组典型例题 【例1】 已知方程组的解x ，y 满足方程5x-y=3，求k 的值. 【思考与分析】 本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法. （１） 由已知方程组消去k ，得x 与y 的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x ，y 的值，最后将x ，y 的值代入方程组中任一方程即可求出k 的值. （２） 把k 当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k 的方程，便可求出k 的值. （３） 将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k 的值. 把代入①，得，解得 k=-4. 解法二： ①×3－②×２，得 17y=k-22， 解法三： ①+②，得 5x-y=2k+11. 又由5x-y=3，得 2k+11=3，解得 k=-4. 【小结】 解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解 二元一次方程组能力提升讲义 知识提要 1． 二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2 12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2 12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当 2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按 二元一次方程整数解的求法进行。 3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解 含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 例题 例1. 选择一组a,c 值使方程组? ??=+=+c y ax y x 275 1.有无数多解， 2.无解， 3.有唯一的解 【例2】 解方程组 【思考与分析】 本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零. 解：由①，得 y=4－mx ， ③ 把③代入②，得 2x+5（4－mx ）=8， 解得 （2－5m ）x=-12，当2－5m ＝0， 即m ＝时，方程无解，则原方程组无解. 当2－5m ≠0，即m ≠时，方程解为 将代入③，得 故当m ≠时， 原方程组的解为 例3. a 取什么值时，方程组? ??=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程 专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值 1.已知2 (3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A.m ≠3 B.m ≥3 C.m ≥-2 D. m ≥-2且m ≠3 2. 已知关于x 的方程2 1 (1)(2)10m m x m x +++--=，问： （1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？ 专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值 3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2 -1=0的常数项为0，求m 的值． 4.若一元二次方程2 (24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 . 专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式 5.已知关于x 的方程x 2 +bx+a=0的一个根是-a （a≠0），则a-b 值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.2 6.若一元二次方程ax 2 +bx+c=0中，a －b+c=0，则此方程必有一个根为 . 7.已知实数a 是一元二次方程x 2 －2013x+1=0的解，求代数式22 1 20122013 a a a +--的值. 知识要点： 1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根. 温馨提示： 1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件. 2.一元二次方程的根是两个而不再是一个. 方法技巧： 1.ax k +bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论. 2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领 初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解 方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。 1.形如方程的解的讨论： ⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解； ②当≠0时，方程无解； ⑵若≠0，方程的解为= 。 2.关于一元二次方程()0a ≠根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数 的关系等相关知识。 ⑴若，则它有一个实数根1x =；若 ，则它有一个实数根1x =-。 ⑵运用数形结合思想将方程()0a ≠根的讨论与二次函数 ()0a ≠的图象结合起来考虑是常用方法。 几个基本模型 （1）设()()2 0f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12,m x x n <<的充要条件是202b m n a b af a ?<-???>?? （2）一般地设m n p <<，设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满 足12,m x n x p <<>的充要条件是()()()000af m af n af p >??? （3）一般地设m n p q <≤<设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ， 满足12m x n p x q <<≤<<的充要条件是()()() ()0000af m af n af p af q >??? （4）一般地设m n ≤设()()2 0f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12x m n x ≤≤≤的充要条件是()()00af m af n ≤???≤?? 一元二次方程的基本知识 形如ax2+bx+c=0(a ≠0)的方程 判别式：△=b2-4ac 求根公式： 韦达定理： 整系数一元二次方程有整数根的必要条件： (1)两个根都是整数；(2)判别式是整数； (3)判别式是整数的完全平方；(4)两根和是整数，两根积是整数. 策略一：利用判别式 例1.当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程 与 的根都是整数。 策略二：利用求根公式 例3．设关于x 的二次方程 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。 策略三：利用方程根的定义 例4. b 为何值时，方程 有相同的整数根？并且求出它们的整数根？ 策略四：利用因式分解 例5. 已知关于x 的方程 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有__个. 2440mx x -+=2244450x mx m m -+--=2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=220x bx --=22(1)0x x b b ---=2(1)210a x x a -+--= 策略五：利用根与系数的关系 例6：求所有正实数a,使得方程 仅有整数根. 例7：当m 是何整数时,关于x 的方程 的两根都是整数? 例8：试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程 有根且只有整数根 例9：已知p 、q 都是质数，且使得关于x 的一元二次方程 至少有正整数根， 求所有满足条件的质数对（p,q ） 例10:已知关于x 的一元二次方程5x 2－5px+12p-15=0的两个根 均为整数，求实数p 的所有可能的值. 2 40x ax a -+=2(1)10 x m x m --++=0 1)2(2=-+++r x r rx 05)108(2=+--pq x q p x 一元二次方程100道计算题练习 1、)4(5)4(2 +=+x x 2、x x 4)1(2 =+ 3、2 2 )21()3(x x -=+ 4、31022 =-x x 5、（x+5）2=16 6、2（2x －1）－x （1－2x ）=0 7、x 2 =64 8、5x 2 - 5 2 =0 9、8（3 -x ）2 –72=0 10、3x(x+2)=5(x+2) 11、（1－3y ）2+2（3y －1）=0 12、x 2 + 2x + 3=0 13、x 2 + 6x －5=0 14、x 2 －4x+ 3=0 15、x 2 －2x －1 =0 16、2x 2 +3x+1=0 17、3x 2 +2x －1 =0 18、5x 2 －3x+2 =0 19、7x 2 －4x －3 =0 20、 -x 2 -x+12 =0 21、x 2 －6x+9 =0 22、22 ( 32)(23)x x -=- 23、x 2 -2x-4=0 24、x 2 -3=4x 25、3x 2＋8 x －3＝0（配方法） 26、(3x ＋2)(x ＋3)＝x ＋14 27、(x+1)(x+8)=-12 28、2(x －3) 2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x －24＝0 30、（2x-1）2 +3（2x-1）+2=0 31、2x 2－9x ＋8＝0 32、3（x-5）2 =x(5-x) 33、(x ＋2) 2＝8x 34、(x －2) 2＝(2x ＋3)2 35、2720x x += 36、2 4410t t -+= 37、()()24330x x x -+-= 38、2 631350x x -+= 39、()2 231210x --= 40、2 223650x x -+= 补充练习： 一、利用因式分解法解下列方程 (x －2) 2＝(2x-3)2 042=-x x 3(1)33x x x +=+ x 2x+3=0 ()()0165852 =+---x x 二、利用开平方法解下列方程 11 一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．阅读下列材料 计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则： 原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝ 在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+） （2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4 （3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3 【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2 【解析】 【分析】 （1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算． （2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a． （3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解． 【详解】 （1）令+＝t，则： 原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝ （2）令a2﹣5a＝t，则： 原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2 （3）令x2+4x＝t，则原方程转化为： （t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴t1＝0，t2＝﹣4 当x2+4x＝0时， x（x+4）＝0 解得：x 1＝0，x 2＝﹣4 当x 2+4x ＝﹣4时， x 2+4x +4＝0 （x +2）2＝0 解得：x 3＝x 4＝﹣2 【点睛】 本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算． 2．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元. （1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？ （2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了 1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了 2%3a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23 a ，求a 的值. 【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30. 【解析】 【分析】 （1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解； （2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】 （1）设销售A 品牌的建材x 件. 根据题意，得()60009000126966000x x +-≥， 解这个不等式，得56x ≤， 答：至多销售A 品牌的建材56件. （2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件， 根据题意，得 ()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2323a a a a a ??????-?+++?-=?+?+ ? ? ??????? ， 令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=， 解这个方程，得1230,10 y y ==， 1 / 8 1 1 ? 1 1 ? 《一元一次方程》竞赛试题 1．已知 x =一 1 是关于 x 的方程 7x 3 一 3x 2+kx+5=0 的解，则 k 3+2k 2-11k-85= ． (“信利杯”竞赛题) 2． 方 程 1 (20x + 50) + 2 (5 + 2x ) - 1 (4x + 10) = 0 的 解 为 ； 解 方 程 6 3 2 ? ? ? ? ( x - 3) - 3? - 3? - 3 = 0 ，得 x= ． A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数 8．解关于 x 的方程： （1）ax-1=bx (2)4x+b=ax-8 (3)k(kx-1)=3(kx-1) 9．A 为何值时，方程 x + a = x - 1 (x - 12) 有无数个解？无解？ 2 ? 2 ? 2 2 ? ? 3 2 6 3. 已知关于 x 的方程 2a(x 一 1)＝(5 一 a)x+3b 有无数多个解，那么 a ＝ ． (“希望杯”邀请赛试题) 4. 和方程 x 一 3＝3x+4 不同解的方程是( )． 10． 已知方程 2(x+1)=3(x-1)的解 为 a+2， 那么方程 2[2(x+3)-3(x-a)]=3a 的解 为 ． 11．已知关于 x 的方程 9x-3=kx+14 有整数解，那么满足条件的所有整数 k = ． 1 12．已知 1 + 4( 1 + 1 ) = 1 3 ，那么代数式1872 + 48 ? ( 1999x ) 的值为 ． A ．79—4＝59—11 B ． + 2 = 0 x + 3 4 1999 x 4 1999 + x C ．(a 2+1)(x 一 3)＝(3x+4)(a 2+1) D ．(7x 一 4)(x —1)＝(5x 一 11)(x 一 1) 5．已知 a 是任意有理数，在下面各题中(1)方程 ax=0 的解是 x=1 13. 若(3a+2b)x 2+ax+b=0 是关于 x 的一元一次方程，且有唯一解，则 x = ． 14. 有 4 个关于 x 方程 (1)x-2=-1 (2)(x-2)+(x-1)=-1+(x-1) (3)x=0 (4) x - 2 + 1 = -1 + 1 (2) 方程 ax ＝a 的解是 x ＝1 其中同解的两个方程是（ ） x - 1 x - 1 (3) 方程 ax=1 的解是 x ＝ 1 A ．（1）与（2） B ．（1）与（3） C ．（1）与（4） D ．（2）与（4） a x x x (4) 方程 a x = a 的解是 x ＝±1 结论正确的个数是( )． A.0 B ．1 C ． 2 D ．3 (江苏省竞赛题) 15．方程1? 2 + 2 ? 3 + + 1995 ?1996 = 1995 的解是（ ） A ．1995 B ．（1996 C ．1997 D ． 1998 16．已知a + 2 = b - 2 = c = 2001 ，且a + b + c = 2001k ，那么k 的值为（ ）． 2 1 ? 3 ? 1 A ． 1 B ．4 C ． - 1 D ．－4 6．方程 x - 6 ?36 - 12(5 x + 1)? = 3 x - 2 的解是（ ） 4 4 A ． 15 14 ? B ． - 15 14 ? C ． 45 14 D ． - 45 14 17．若 k 为整数，则使得方程(k-1999)x=2001-2000x 的解也是整数的 k 值有 A ．4 个 B ．8 个 C ．12 个 D ．16 个 一元二次方程提高题 一、选择题 1. 已知a是方程x2+x-仁0的一个根，则- 的值为( ) a - 1 a - a A .-严 B . 1 C . - 1 D . 1 7 2. 一元二次方程x(x2) 2 x的根是( ) A.x=1 B.x=0 C.x=1 和x=2 D.x=-1 和x=2 3 .为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( ) 2 2 A. 289 (1 - x) =256 B . 256 (1 - x) =289 C. 289 (1 - 2x) =256 D . 256 (1 - 2x) =289 4.岑溪市重点打造的天龙顶山地公园在2013年12月27日试业了.在此之 前，公园派出小曾等人到某旅游景区考察，了解到该景区三月份共接待游客 20万人次，五月份共接待游客50万人次?小曾想知道景区每月游客的平均 增长率x的值，应该用下列哪一个方程来求出？( ) 2 2 2 A. 20 (1+x) =50 B . 20 (1 - x) =50 C . 50 (1+x) =20 D . 50 ( 1 -x) 2=20 5?某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一 张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( ) A. x(x 1) 2070 B . x(x 1) 2070 C. 2x(x 1) 2070 D . x(x 1 2070 x 6.若关于x的方程x2- 4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是 A . m<- 4 B . m>- 4 C . m< 4 D . m> 4 7.已知实数a, b分别满足a2 6a 4 0, b2 6b 4 0,且a工b，则b - a b 的值是【】 A. 7 B . —7 C . 11 D . —11 &已知关于x的方程kx2 1 k x 1 0，下列说法正确的是 A. 当k 0时，方程无解 B. 当k 1时，方程有一个实数解 C. 当k 1时，方程有两个相等的实数解 D. 当k 0时，方程总有两个不相等的实数解 9.若x2 Mxy 4y2是一个完全平方式，那么M的值是( ) A. 2 B. ± 2 C. 4 D. ± 4 二、填空题 10 .已知方程x2+ ( 1 - _上；)x -」.=0的两个根X1和X2，贝U X/+X22= ______ 2 1 1 11.已知m和n是方程2x —5x —3 = 0的两个根，^ U —+—=___________. m n 2 2 12 .若将方程x 6x 7，化为x m 16，则m = __________________ . 13 .已知(x2+ y2) (x2—1+ y2)—12=0，则x2+ y2的值是___________ ? 14 .某种药品原价为60元/盒，经过连续两次降价后售价为48.6元/盒.设平 均每次降价的百分率为x，则根据题意，可列方程为_________ . 15 .若Va 4+ b 1 0 ,且一元二次方程kx2 ax b 0有实数根，则k 的取值范围是________ ? 三、计算题 2 16 .解方程：(x+3) - x (x+3) =0 . 按要求解方程： 一元二次方程竞赛题解题 一. 升次 例1.（2006年海南初赛）已知a,b 是一元二次方程 x 2 -X-1=0 的两个根，则代数式3a 2+2b 2-3a -2b 的值等于 ________________________________________________ . 二. 降次 例2.（江苏第8届数学竞赛）已知a,3是方程 X 2 -X-仁 0的两根，求 4 +3 的值。 三. 配偶 例3.（2001年黄冈中考）已知a ,3是方程X 2+2X -7=0 的两个实数根，求 2+3 2+4 的 值. 四. 减元 例4. （2005年湖州市“期望杯”数学竞赛题）设 的两根，则 X i 3-4X 22+19 等于（ 五.正难则反 ⑴x 2-2（m-1）x+m 2=0 例5.若下列三个关于的方程： （2） X 2-2（m+1）x+m （m+3）=0 （3） x 2+2mx+m 2-2m+4=0 至少有一个方程有实数根，求实数 m 的取值范围. 六. 巧用ab+a+b+1和ab-a-b+1的因式分解 例6.（第17届江苏初中数学竞赛题）求满足如下条件的所有 kx 2 +（k+1）x+（k-1）=0 的根都是整数。 七. 巧用结论“当a+b+c=0时，一元二次方程 ax 2+bx+c=0 必有一根是1 例7.（第18届江苏初中数学竞赛题）若关于X 的方程rx 2-（2r+7）x+（r+7）=0 的根是正整数，则 整数 r 的值可以是 ______________________________ . 八. 反客为主 例8.（1998年香港数学竞赛题）求所有正整数a,使得方程x 2 -a x+4a=0 仅有整数根. X 1,X 2是一元二次方程 X 2+X -3=0 )A.-4 B.8 C.6 D.0 k 值：使关于X 的方程 与一元二次方程有关的竞 赛题 Prepared on 22 November 2020 与一元二次方程有关的竞赛题 一、降次 （一）直接用方程降次 1．当2 19941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值为 。 分析与解： 2．若,132=-x x 则200572129234+--+x x x x 的值等于 。 分析与解： 3．设0772=+-x x ，则42749x x ++= 。 分析与解： （二）用根的关系式降次 4．已知βα,是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 。 分析与解： 5．设21,x x 是二次方程032=-+x x 的两个根，求19422 31+-x x 的值。 分析与解： 二、用根的判别式解题 6．已知c b a ,,是整数，且,01,422=-+=-c ab b a 求c b a ++的值。 分析与解： 7．已知c b a ,,均为实数，且4=+b a ，,103422-=-c ab c 求ab 的值。 分析与解： 8．已知b a ,为整数，且032=-+-b ax x 有两个不相等的实数根； 07)6(2=-+-+b x a x 有两个相等的实数根；0)5()4(2=-+-+b x a x 没有实数根，则b a += 。 分析与解： 9．m 为整数时，关于x 的方程0)223()1(422=+-+--k m m x m x 的根是有理数，求k 的值。 分析与解： 10．证明：已知关于x 的一元二次方程022=++c Bx Ax ① 022=++A Cx Bx ② 022=++B Ax cx ③中，至少有一个方程有实数根。 分析与解： 11．设p 1、p 2、q 1、q 2为实数，且),(22121q q p p +=?证明方程0112=++q x p x 和0222=++q x p x 中至少有一个实数根。 分析与解： 七 年 级 数 学 竞 赛 姓名： 得分： 3分×12=36） 1．下列说法正确的是（ ） A ．ax+b=0是关于x 的一元一次方程 B ．若a+c=b+c,则a b d d = C ．若关于x 的方程mx+n=0只有一个解，则m ≠0 D ．若（x+y ）(x-y)=0，则x=y 2．如果方程3x+1=4与关于x 的方程302 a x --=的解相同，则a 的值是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 3．若x=3是方程1()13 m x -=的解，则关于x 的方程(1)51m x x m -=+-的解是（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．11 4．若a 与b 互为相反数，则关于x 的方程0(0)ax b a +=≠的解是（ ） A ．1- B ．1 C ．1-或1 D ．不能确定 5．某商品提价10%销售一段时间后，销量不大，于是降价10%销售，则下列说 法正确的是（ ） A ．该商品通过两次调价恢复到原价 B ．该商品第二次调价后的售价高于原价 C ．该商品第二次调价后的售价低于原价 D ．以上几种情况都有可能 6．若关于x 的方程2(3)(2)0m m x m --+=是一元一次方程，则方程的解是（ ） A ．12- B ．2- C ．12 D ．2 7．方程12x x -=的同解方程是（ ） A ．322x x -=+ B ．21x x =- C ．21x x =+ D ． 1213 x x -=+ 8．甲、乙两人去商场购物，他俩各自的钱数之比是5:4。甲用了350元，乙用 了200元，他俩余下的钱数之比是3:4，则甲、乙两人分别余下（ ） A ．300元，400元 B ．240元，320元 C ．180元，240元 D ．150元，200元 9．受季节影响，某种商品每件按原售价打九折后又降价5块，现在售价为175 元，则这种商品每件原售价是（ ） A.180元 B.190元 C.200元 D.210元 10．造一件假品牌衬衣成本只有40元，比正牌衬衣销售价的116 还少10元，如果按正牌衬衣销售价的45%批发给商贩，一件假牌衬衣获利（ ） A.320元 B.360元 C.400元 D.440元 一元二次方程测试题 （时间 120分钟满分150分） 一、填空题:（每题2分共50分） 1.一元二次方程(1－3x )(x +3)=2x 2 +1 化为一般形式为： ，二次项系数 为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。 2.若m 是方程x 2 +x －1＝0的一个根，试求代数式m 3 +2m 2 +2013的值为 。 3.方程 ()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 4.关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 5.若代数式5242 --x x 与122 +x 的值互为相反数，则x 的值是 。 6.已知322-+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 7.若方程()112 =?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 8.已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 9.已知关于x 的一元二次方程x 2 +bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根，则b 的值是 。 10.设x 1，x 2是方程x 2 ﹣x ﹣2013=0的两实数根，则 = 。 11.已知x=﹣2是方程x 2 +mx ﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是 。 12.若 ，且一元二次方程kx 2 +ax+b=0有两个实数根，则k 的取值范 围是 。 13.设m 、n 是一元二次方程x 2 ＋3x －7＝0的两个根，则m 2 ＋4m ＋n ＝ 。 15.若关于x 的方程x 2 +（a ﹣1）x+a 2 =0的两根互为倒数，则a = 。 16.关于x 的两个方程x 2 ﹣x ﹣2=0与有一个解相同，则a = 。 17.已知关于x 的方程x 2 ﹣（a+b ）x+ab ﹣1=0，x 1、x 2是此方程的两个实数根，现 给出三个结论：①x 1≠x 2；②x 1x 2＜ab ；③．则正确结论的序号 是 ．（填上你认为正确结论的所有序号） 18.a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，且满足1-a +(b －2)2 +|a+b+c|=0，满足条件的一元二次方程是 。 【内容综述】 设一元二次方程 宀肚…。佃弄°）有二实数根可和也，贝U “f 的关系, 为韦达定理。 其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中 数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1. 求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a , b 为实数，且以+力十l = n , “ + 十1 = （］，求石打的值。 思路注意a , b 为方程Q +覽+1 = 0的二实根；（隐含A 土 0）。 解（1）当a=b 时， （2）当说护■^时，由已知及根的定义可知，a ，b 分别是方程*打"1二D 的两根，由韦 达定理得 .b d _ 盘2 +於 _ ?4对'一M)_ [-餌一*1 ..—4 — ---- ---------- -- -------------------- - ----------------- -- / L? h ■ 说明此题易漏解a=b 的情况。根的对称多项式对，工扌 程的系数表达出来。一般地，设 可「丁为方程宀E = D 的二根，'-卅+对，则有递 推关系。 其中n 为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出 a ，b 值进而求出所求多项式值，但计算量 较大。 ★★★例2若榊3=疏+1 ,池27-1 = 口且聊5|,试求代数式也G 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为 宀，由根的定义知m n 为方程*-z = 0的二不等实根，再由韦达定理, 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数 a ， b ，c 称之 b 电等都可以用方 的值。 初中数学竞赛专题选讲(初三.1) 一元二次方程的根 一 、内容提要 1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是：x=a ac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式 ① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是： b 2－4a c ≥0. ② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是： b 2－4a c 是完全平方式?方程有有理数根. ③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根?p 2－4q 是整数的平方数. 3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么 ① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)； ② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=a ac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b － , x 1x 2=a c (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件 整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0?x 1=0 ， a+b+c=0?x 1=1 ， a －b+c=0?x 1=－1. 二、例题 例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1. 求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根. 证明 （用反证法） 设 两个方程都没有两个不相等的实数根， 那么△1≤0和△2≤0.人教培优一元二次方程辅导专题训练附答案
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