数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.1 1.1.1～1.1.2

1．1.1～1.1.2 变化率问题

导数的概念

1．平均变化率

函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率Δy

Δx ＝□

01f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

.

若函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义，则函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率是Δy

Δx ＝□

02f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

.

2．瞬时变化率

设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时，函数值的改变量Δy ＝□

03f (x 0＋Δx )－f (x 0)．

如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy

Δx 趋近于一个常数L ，则常数L 称为函数f (x )在x 0的瞬时变化率，记作□

04lim Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

＝L .

3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数

一般地，函数y ＝f (x )在点x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy

Δx ＝□

05lim Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或□

06y ′|

x ＝x 0.即f ′(x 0)＝□

07lim Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

. 简言之，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是y ＝f (x )在x ＝x 0处的□

08瞬时变化率．

导数概念的理解

(1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0.

(2)若f′(x0)＝lim

Δx→0Δy

Δx存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值．

(3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，

于是f′(x0)＝lim x→x0f(x)－f(x0)

x－x0

与概念中的f′(x0)＝lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx意

义相同．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()

(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()

(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()

答案(1)√(2)×(3)×

2．做一做

(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)＝2x＋1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是________．

(2)函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．

(3)函数y＝f(x)＝1

x在x＝－1处的导数可表示为________．

答案(1)2(2)2(3)f′(－1)或y′|x

＝－1

探究1求函数的平均变化率

例1求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．

[解]函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为

f(x0＋Δx)－f(x0) (x0＋Δx)－x0＝

[3(x0＋Δx)2＋2]－(3x20＋2)

Δx

＝6x0·Δx＋3(Δx)2

Δx＝6x0＋3Δx.

当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.

[结论探究]在本例中，分别求函数在x0＝1,2,3附近Δx取1

2时的平均变化率

k1，k2，k3，并比较其大小．

[解]由例题可知，函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.

当x0＝1，Δx＝1

2时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为k1＝6×1＋3×0.5＝7.5；

当x0＝2，Δx＝1

2时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为k2＝6×2＋3×0.5＝13.5；

当x0＝3，Δx＝1

2时，函数在[3,3.5]上的平均变化率为k3＝6×3＋3×0.5＝19.5.

所以k1

拓展提升

求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，主要步骤是：

(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)；

(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0；

(3)得平均变化率Δy

Δx＝

f(x1)－f(x0)

x1－x0

.

【跟踪训练1】(1)若函数f(x)＝x2－1，图象上点P(2,3)及其邻近一点Q(2＋

Δx,3＋Δy)，则Δy

Δx＝()

A．4 B．4Δx C．4＋Δx D．Δx

(2)求y＝x在x0到x0＋Δx之间的平均变化率________．

答案(1)C(2)

1

x0＋Δx＋x0

解析(1)∵Δy＝(2＋Δx)2－1－(22－1)＝4Δx＋(Δx)2，∴Δy

Δx＝

4Δx＋(Δx)2

Δx＝4＋

Δx.

(2)∵Δy＝x0＋Δx－x0，∴y＝x在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为Δy Δx＝

x0＋Δx－x0

Δx＝

1

x0＋Δx＋x0

.

探究2求平均速度与瞬时速度

例2若一物体运动的位移s与时间t关系如下：(位移单位：m，时间单位：s)

s ＝???

3t 2＋2，t ≥3，29＋3(t －3)2，0≤t <3.求： (1)物体在t ∈[3,5]上的平均速度； (2)物体的初速度v 0；

(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．

[解] (1)因为物体在t ∈[3,5]上的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，

物体在t ∈[3,5]上的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝48

2＝24(m/s)．

(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． 因为物体在t ＝0附近的平均变化率为

Δs Δt ＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2

Δt

＝3Δt －18，

所以物体在t ＝0处的瞬时变化率为lim Δt →0

Δs

Δt ＝lim Δt →0

(3Δt －18)＝－18，即物体的

初速度为－18 m/s.

(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． 因为物体在t ＝1附近的平均变化率为

Δs Δt ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2

Δt

＝3Δt －12，

所以物体在t ＝1处瞬时变化率为lim Δt →0

Δs

Δt ＝lim Δt →0

(3Δt －12)＝－12，即物体在t

＝1时的瞬时速度为－12 m/s.

【跟踪训练2】 已知质点M 做直线运动，且位移随时间变化的函数为s ＝2t 2＋3(位移单位：cm ，时间单位：s)．

(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，求Δs Δt ； (2)当t ＝2，Δt ＝0.001时，求Δs

Δt ； (3)求质点M 在t ＝2时的瞬时速度．

解 Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt ＝2(t ＋Δt )2＋3－(2t 2＋3)Δt ＝4t ＋2Δt .

(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时， Δs

Δt ＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)． (2)当t ＝2，Δt ＝0.001时，

Δs

Δt ＝4×2＋2×0.001＝8.002(cm/s)．

(3)v ＝lim Δt →0

Δs

Δt ＝lim Δt →0

(4t ＋2Δt )＝4t ＝4×2＝8(cm/s)．

探究3 求函数f (x )在某点处的导数

例3 已知函数y ＝f (x )＝???

3x 2＋2，0≤x ＜3，

29＋3(x －3)2

，x ≥3， 求此函数在x ＝1和x ＝4处的导数． [解] 当x ＝1时，f (x )＝3x 2＋2，

所以Δy ＝3(1＋Δx )2＋2－(3×12＋2)＝6Δx ＋3(Δx )2. 所以Δy Δx ＝6Δx ＋3(Δx )2Δx ＝6＋3Δx .

所以f ′(1)＝lim Δx →0

Δy

Δx

＝lim Δx →0

(6＋3Δx )＝6. 当x ＝4时，f (x )＝29＋3(x －3)2，

所以Δy ＝29＋3(4＋Δx －3)2－[29＋3×(4－3)2] ＝6Δx ＋3(Δx )2.

所以Δy Δx ＝6Δx ＋3(Δx )2Δx ＝6＋3Δx .

所以f ′(4)＝lim Δx →0

Δy

Δx ＝lim Δx →0

(6＋3Δx )＝6.

拓展提升

(1)求函数在某点处的导数可以分为以下三步：①计算Δy ；②计算Δy

Δx ；③计算lim Δx →0

Δy Δx .

注意：对于分段函数求导数问题，一定要先判断这一点在函数的哪一段上，再确定此点所满足的函数解析式．

(2)求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在x ＝x 0处的导数表达式，再代入变量求导数值．

【跟踪训练3】 函数y ＝x ＋1

x 在x ＝1处的导数是( ) A ．2 B ．5

2 C ．1 D ．0 答案 D

解析因为y′＝li m

Δx→0f(x＋Δx)－f(x)

Δx

＝lim

Δx→0x＋Δx＋

1

x＋Δx

－

?

?

?

?

?

x＋

1

x

Δx

＝lim

Δx→0?

?

?

?

?

?

1－

1

x(x＋Δx)＝1－

1

x2，

所以y′|x

＝1

＝1－1＝0.故选D．

1.函数在一点处的导数就是该点的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个常数，不是变量.

2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是其导函数y＝f′(x)在x＝x0处的函数值.

1．在平均变化率的定义中，自变量的改变量Δx满足()

A．Δx>0 B．Δx<0 C．Δx≠0 D．Δx＝0

答案 C

解析由平均变化率的定义可以得出结论．

2．若函数f(x)＝2x2的图象上有点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则Δy

Δx的值

为()

A．4 B．4x

C．4＋2(Δx)2D．4＋2Δx 答案 D

解析Δy

Δx＝

2(1＋Δx)2－2×12

Δx＝4＋2Δx，故选D．

3．已知函数f(x)＝2x－3，则f′(5)＝________. 答案 2

解析因为Δy＝f(5＋Δx)－f(5)＝[2(5＋Δx)－3]－(2×5－3)＝2Δx，所以Δy Δx＝

2，所以f′(5)＝lim

Δx→0Δy

Δx＝2.

4．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2，其中路程s的单位：m，时间的单位：s，则t＝2 s时，汽车的瞬时速度是________．

答案 4 m/s

解析s′(2)＝lim

Δx→02(2＋Δt)3－5(2＋Δt)2－(2×23－5×22)

Δt

＝lim

Δx→0

(4＋7Δt＋2Δt2)＝4.

5．一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．

(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；

(2)求质点在t＝1时的瞬时速度．

解(1)质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为

Δs Δt＝8－3(1＋Δt)2－8＋3×12

Δt＝－6－3Δt.

(2)由(1)知Δs

Δt＝－6－3Δt，当Δt无限趋近于0时，

lim Δt→0Δs

Δt＝－6，所以质点在t＝1时的瞬时速度为－6.

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