幂级数的收敛域是(
幂级数
1、幂级数()∑
∞
=-?+112425n n n n x 的收敛域是（ C ）
（A ）()2,2-（B ）[)3,7--（C ）()3,7--（D ）()1,9-- 因4=R ，于是()452<+x ，所以3725-<<-?<+x x ，而幂级数()∑∞=-?+1
1
2425n n n n x 在7-=x 、
3-=x 处均发散，所以选（C ）。
2、幂级数∑
∞
=1ln n n x n n 的收敛域是（ C ）
（A ）()1,1-（B ）(]1,1-（C ）[)1,1-（D ）[]1,1- 因1=R ，所以1 1 ln >，所以级数发散；在1-=x 处，n n u n ln =单调递 减且趋近于零，所以级数收敛，故选（C ） 3、已知级数()∑∞ =-13n n n x a 在4=x 处发散，则在0=x 处（ C ） （A ） 绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）无法判断其敛散性 解：由阿贝尔定理得，级数()∑∞ =-13n n n x a 在区间()4,2以外都发散，所以它在0=x 处也发散 4、设级数∑∞=0n n n x a 、∑∞=0n n n x b 的收敛半径都是R ，级数()∑∞ =+0n n n n x b a 的收敛半径为1R ，则（ C ） （A ）R R =1（B ）R R <1（C ）R R ≤1（D ）R R ≥1 5、幂级数()∑ ∞ =?+02425n n n n x 的收敛区间为（ B ） （A ）()2,2-（B ）()3,7--（C ）()2,8--（D ）()1,9-- 解：因()44221421 lim 1 =+?+∞→n n n n n ，故24==R ，则当252<+<-x ，即37-<<-x 时级数收敛。 6、设，则（） （A ）（B ）（C ）（D ） 7、设，则（） 8、设，则（）（A）（B）（C）（D）9、设，则（）（A）（B）（C）（D）10、设，则（）（A）（B）（C）（D）11、设，则（）（A）（B）（C）（D）12、设，则（）（A）（B）（C）（D）13、设，则（）（A）（B）（C）（D）14、设，则（）（A）（B）（C）（D）15、设，则（）（A）（B）（C）（D）16、设，则（）（A）（B）（C）（D）17、设，则（）（A）（B）（C）（D）18、设，则（）（A）（B）（C）（D）19、设，则（）（A）（B）（C）（D）20、设，则（）（A）（B）（C）（D）21、设，则（）（A）（B）（C）（D）22、设，则（）（A）（B）（C）（D）23、设，则（）（A）（B）（C）（D）24、设，则（）（A）（B）（C）（D）25、设，则（）（A）（B）（C）（D）26、设，则（）（A）（B）（C）（D）27、设，则（）（A）（B）（C）（D）28、设，则（）（A）（B）（C）（D）29、设，则（）（A）（B）（C）（D）30、设，则（） 31、设，则（）（A）（B）（C）（D）32、设，则（）（A）（B）（C）（D）33、设，则（）（A）（B）（C）（D）34、设，则（）（A）（B）（C）（D）35、设，则（）（A）（B）（C）（D）36、设，则（）（A）（B）（C）（D）37、设，则（）（A）（B）（C）（D）38、设，则（）（A）（B）（C）（D）39、设，则（）（A）（B）（C）（D）40、设，则（）（A）（B）（C）（D） 1．判别下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ ⑴ 1 1 (1)n n ∞ -=-∑； 【解】级数 1 1 (1)n n ∞ -=-∑属于交错级数， 它满足关系1n n u u += >=（1,2,3,n =L ）且lim 0n n n u →∞==， 即由莱布尼兹定理知，级数 1 1 (1)n n ∞ -=-∑收敛， 但 1 1 (1) n n ∞ -=- ∑1n ∞ ==是112p =<的P 级数，发散， 综上知，级数 1 (1)n n ∞ -=-∑条件收敛。 ⑵ 1 11 (1) 3 n n n n ∞ --=-∑； 【解】级数 1 1 1(1)3n n n n ∞ --=-∑属于交错级数， 由于 1 11 (1) 3n n n n ∞ --=-∑1 13n n n ∞ -==∑， 因为111113lim lim lim 1333 n n n n n n n n u n n u n +→∞→∞→∞-++==<， 由正项级数的比值判别法知，级数 11 3n n n ∞ -=∑收敛， 综上知，级数 1 1 1 (1)3n n n n ∞ --=-∑绝对收敛。 ⑶ 1 1 ln (1)n n n n ∞ -=-∑； 【解】级数 1 1 ln (1)n n n n ∞ -=-∑属于交错级数， 由于函数ln x y x =有2 1ln '0x y x -=>当x e >时恒成立， 知ln x y x = 当x e >时为增函数， 从而满足关系1n n u u +>（3,4,5,n =L ）且1 ln lim lim lim 01 n n n n n n u n →∞→∞→∞===， 即由莱布尼兹定理知，级数 1 1 ln (1) n n n n ∞ -=-∑收敛， 但由于 1 1 ln (1) n n n n ∞ -=-∑1ln n n n ∞==∑11n n ∞=>∑，而11 n n ∞ =∑为调和级数，发散， 综上知级数 1 1 ln (1) n n n n ∞ -=-∑条件收敛。 ⑷ 1 1 1 (1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑； 【解】级数 1 1 1 (1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑属于交错级数， 它满足关系111 ln(1)ln(2) n n u u n n += >=++（1,2,3,n =L ） 且1 lim lim 0ln(1) n n n u n →∞ →∞==+， 即由莱布尼兹定理知，级数 1 1 1 (1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑收敛， 但由于1lim n n n u u +→∞1 ln(1) lim 11n n n →∞+=+1lim ln(1)n n n →∞+=+1lim 1 1 n n →∞=+lim(1)n n →∞=+=∞， 且级数111n n ∞ =+∑21 n n ∞ ==∑为调和级数，发散， 即由比较判别法的极限形式知，级数 1 1 ln(1)n n ∞ =+∑发散， 综上知，级数 1 1 1 (1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑条件收敛。 第10章 无穷级数 【学习目标】 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 【能力目标】 【教学重点】 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式； 【教学难点】 1、 比较判别法的极限形式； 2、 莱布尼茨判别法； 3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、 函数项级数的收敛域及和函数； 5、 泰勒级数； 【教学方法】 启发式、引导式 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课 §１ 第2 次课 §2 第3 次课 §3 第4 次课 §4 第5次课 §5 第6次课 §6 第7次课 §7 第8次课 §8 第9次课 习题课 10. 1 常数项级数的概念和性质 一、无穷级数的概念 定义10.1 设有无穷序列 123,,, ,, n u u u u ??????, 则由此序列构成的表达式 123 n u u u u +++???++???称为无穷级数, 简称级数, 记为∑∞ =1 n n u , 即 3211 ???++???+++=∑∞ =n n n u u u u u , 其中第n 项n u 叫做级数的一般项. 如果(1,2,...)n u n =都为常数，则称该级数为常数项级数，简称数项级数；如果 (1,2,...)n u n =为变量x 的函数()n u x ，则称该级数为函数项级数. 二、数项级数的敛散性概念 级数的部分和: 作级数∑∞ =1n n u 的前n 项和 无穷级数 1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：1lim n k n k S u ∞ →∞ ==∑存在，称级数收敛。 2.若任意项级数1 n n u ∞=∑收敛，1 n n u ∞=∑发散，则称1 n n u ∞=∑条件收敛，若1 n n u ∞=∑收敛，则称级数1 n n u ∞ =∑绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。. 2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞ = 3.若有两个级数1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞=∑，1 1 ,n n n n u s v σ∞∞ ====∑∑ 则 ①1()n n n u v s σ∞ =±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞==???? ?=? ? ????? ∑∑。 ②1 n n u ∞=∑收敛，1 n n v ∞=∑发散，则1 ()n n n u v ∞ =+∑发散。 ③若二者都发散，则1 ()n n n u v ∞=+∑不确定，如()1 1 1, 1k k ∞∞==-∑∑发散，而()1 110k ∞ =-=∑收敛。 4．三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数： a) b) P 级数： c) 对数级数： 5.三个重要结论 6．常用收敛快慢 正整数 由慢到快 连续型由慢到快 7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧 1. 11,lim 1,lim 0) 1,n n n n n n l u l l u l μμ+→∞→+∞ ?≠?? =??收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时） 2. 1,1,1,n n l l l n l μ??=? 收发（当为某次方时）单独讨论 3. ① 代数式 1 1 1 1 n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞ ====≤???∑∑∑∑收敛收敛，发散发散 ② 极限式 lim n n n u A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞ =∑都是正项级数。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 0 ? 0 ? n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A u v u v v u u v A u v u kv u v A v u v u u v v u ∞ ∞ ∞ ∞ ====∞∞ ==∞ ∞ ∞ ∞ =====→→ 无穷级数整理 一、数项级数 （一）数项级数的基本性质 1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0. 2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛） 3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散. 4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变. 5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法 （1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 之间自某项以后成立着关系： 存在常数0>c ，使),2,1(Λ=≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛； （ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. 推论：设两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ，且自某项以后有 n n n n v v u u 1 1++≤，那么 （i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛； （ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. （3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ， 若0lim >=∞→l v u n n n ， 那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1 n n u 亦收敛；若∞=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n u 发 散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. 第十一讲 无穷级数 一、考试要求 1、 理解（了解）级数的收敛、发散以及收 敛级数的和的概念。 2、 掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数与P 级数的收敛与发散 的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 3、 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系，掌 握交错级数的莱布尼茨判别法。 4、 掌握（会求）幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 5、 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项 积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 6、 掌握e x ,sinx,cosx,ln(1+x)与（1+x)α的麦克劳林展开式，会用它们将简单函 数间接展开成幂级数。 7、 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在 [-L ，L]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，L]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 二、内容提要 1 数项级数 (1) 定义 (2) 性质：1）若∑∞ =1n n u 加括号发散? u n n =∞ ∑1 发散; 2）若u n n =∞∑1 收敛?lim n n u →∞ =0 2 正项级数 (1) 定义 (2) 判敛：1) {}S n 有界；2) 比较法；3) 比值法；4) 根值法 3 交错级数 ()--=∞ ∑111n n n u 4 一般项级数 绝对收敛，条件收敛 5 函数项级数 幂级数: (1) 收敛半径、收敛区间、收敛域 (2) Abel 定理：若已知a x x n n n =∞ ∑-00()在x=a 点收敛（发散），则 第十二章无穷级数 1下列无穷级数中发散的无穷级数是（ ） A.∑ ∞ =+1 n 2 2 1n 3n B. ∑ ∞ =+-1 n n 1n )1( C. ∑ ∞ =--3 n 1 n n ln )1( D. ∑ ∞ =+1 n 1n n 32 2.设幂级数∑∞ --1 )3(n n n x a 在x =1处收敛,则在x =4处该幂级数( ) A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不定 3．下列无穷级数中，收敛的无穷级数是（ ） A ．∑ ∞ =++15312n n n B ．∑ ∞ =--+11)1(1n n n C ．∑ ∞ =-15 1 n n D ．∑ ∞ =--1 1 )1(n n n 4．设正项级数∑∞ =1 n n u 收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（ ） A ．∑∞=+1 100n n u B ．∑∞=++1 1)(n n n u u C ．∑∞ =1 )3(n n u D ．∑∞ =+1 )1(n n u 5.下列无穷级数中，发散的无穷级数为（ ） A.()∑ ∞ =+11 1 n n n B. ∑ ∞ =??? ??+13101n n C. ∑ ∞ =?? ? ??+12 110 1 n n n D. ∑ ∞ =+11 3 2n n n 6.无穷级数∑∞ =023n n n 的前三项和S 3=( ) A.-2 B. 419 C.8 27 D. 8 65 7.幂级数1! n n x n ∞ =∑的和函数为（ ） A.1x e - B.x e C.1x e + D.2x e + 8.已知幂级数()n 1 1n n a x ∞ =+∑在x =-3处收敛，则该级数在x =0处是 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定 9.无穷级数1 1 !n n ∞ =∑ 的和为______. 10.设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上表达式为1()1 f x -?=?? , , 0x x ππ -≤≤≤＜ 第四章 无穷级数 4.1.基本概念与内容提要 级数1 1 n n n n a ca ∞ ∞ ==∑∑与收敛性相同。若级数1 1 n n n n a b ∞ ∞ ==∑∑与都收敛，则级数1 ()n n n a b ∞ =±∑也收敛， 且1 1 1 ()n n n n n n n a b a b ∞ ∞ ∞ ===±=±∑∑∑。若级数11 n n n n a b ∞ ∞ ==∑∑与都发散，则级数1 ()n n n a b ∞ =±∑不一定发散。 若级数1 1 n n n n a b ∞∞ ==∑∑收敛，发散，则级数1 ()n n n a b ∞ =±∑必发散。 由级数1 ()n n n a b ∞=+∑收敛不能得到级数1 1 n n n n a b ∞∞ ==∑∑与收敛。 111 1 1 ,1;11n n n n q q q q q ∞∞ --==<= ≥-∑∑等比级数当时收敛且当时发散。 P 级数11p n n ∞ =∑，当p>1时收敛，当01p <≤发散。其中调和级数11 n n ∞ =∑发散。 级数11 n n k ∞=+∑发散，其中k 为正常数。级数11()n n n a a ∞ +=-∑收敛lim n n a →∞ ?存在。 如果级数1 n n a ∞=∑收敛，则lim 0n n a →∞ =。如果lim 0n n a →∞ ≠，则级数1 n n a ∞ =∑必发散。 改变一个级数的任意有限项，不改变其敛散性，但在收敛时原级数的和改变。收敛级数 加括号后仍收敛于原级数和。若加括号后所得级数发散，则原级数也发散。 正项级数审敛法： ()n 1 n 11111.S 2.lim 0,n n n n n n n n n n n n a M a l l b a a b b ∞ =∞∞∞∞ →∞====?≤=>??∑∑∑∑∑正项级数的收敛准则：收敛正项级数比较判别法：大收小必收，小散大必散。 若则收敛收敛；发散发散。 n n 1111111 lim 0,lim ,1 3.0111n n n n n n n n n n n n n n p n n n n a a b a b a b b a p a n ρρρρρ∞∞∞∞ →∞→∞====∞∞ ∞ ====?=+∞?=≤<>=∑∑∑∑∑∑∑若则收敛收敛。若则发散发散。解题时常将级数与级数比较，以判定的敛散性。 根值判别法：设：时，级数收敛；当时， 级数发散；当时，不确定。注意：=0时级数也收敛。 ()[)14.lim 01115.1n n n a a f x ρρρρρ+→∞=≤<>=+∞比值判别法：设：，则当时，级数收敛；当时， 级数发散；当时，不确定。注意：=0时级数也收敛。积分判别法：是在，上单调递减的正项连续函数， ()()1 1 n f n f x dx ∞ +∞ =∑? 则正项级数与广义积分具有相同的收敛性。 第十一章 无穷级数 §11.1 级数的概念、性质 一、单项选择题 1. 若级数 1 n n a q ∞ =∑收敛(a 为常数)，则q 满足条件是( )． (A ) 1q =； (B )1q =-； (C )1q <； (D )1q >． 答(D )． 2. 下列结论正确的是( )． (A)若lim 0n n u →∞ =，则1 n n u ∞ =∑收敛；(B)若1lim ()0n n n u u +→∞ -=，则1 n n u ∞ =∑收敛； (C)若1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =；(D )若1 n n u ∞ =∑发散，则lim 0n n u →∞ ≠. 答(C)． 3. 若级数1 n n u ∞ =∑与1 n n v ∞ =∑分别收敛于12,S S ，则下述结论中不成立的是( )． (A)121()n n n u v S S ∞ =±=±∑； (B )11 n n k u k S ∞ ==∑； (C) 21 n n kv kS ∞ ==∑； (D )11 2 n n n u S v S ∞ == ∑ ． 答(D ). 4. 若级数1 n n u ∞ =∑收敛，其和0S ≠，则下述结论成立的是( )． (A)1()n n u S ∞ =-∑收敛； (B) 1 1 n n u ∞ =∑收敛； (C) 1 1 n n u ∞ +=∑收敛； (D )1 n ∞=∑ 收敛. 答(C). 5. 若级数1 n n a ∞ =∑收敛，其和0S ≠，则级数121 ()n n n n a a a ∞ ++=+-∑收敛于( )． (A)1S a +； (B )2S a +； (C)12S a a +-； (D )21S a a +-．答(B). 6. 若级数∑∞ =1 n n a 发散，∑∞ =1 n n b 收敛则 ( )． (A) ∑∞ =+1)(n n n b a 发散； (B) ∑∞ =+1)(n n n b a 可能发散，也可能收敛； (C) ∑∞ =1 n n n b a 发散； (D ) ∑∞ =+1 2 2)(n n n b a 发散. 答(A). 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)x α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学难点： 1、 比较判别法的极限形式； 2、 莱布尼茨判别法； 3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、 函数项级数的收敛域及和函数； 5、 泰勒级数； 6、 傅里叶级数的狄利克雷定理。 第一节 常数项级数的概念和性质 一、 概念 常数项级数: 给定一个数列 u 1, u 2, u 3, ? ? ?, u n , ? ? ?, 则由这数列构成的表达式u 1 + u 2 + u 3 + ? ? ?+ u n + ? ? 叫做常数项)无穷级数, 简称常数项)级数, 记为∑∞ =1n n u , 即 3211???++???+++=∑∞ =n n n u u u u u , 其中第n 项 u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和: 作级数∑∞=1 n n u 的前n 项和n n i i n u u u u u s +???+++==∑= 3211 称为级数∑∞ =1 n n u 的部分和. 级数敛散性定义: 如果级数∑∞=1 n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞ →lim , 则称无穷级数∑∞ =1 n n u 收 敛, 这时极限s 叫做这级数的和, 并写成 3211 ???++???+++==∑∞ =n n n u u u u u s 如果}{n s 没有极限, 则称 重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：数项级数收敛方法综述 专业：数学与应用数学 年级：2006级 学号：200606030161 作者：王超 指导老师：杜祥林（教授） 完成时间：2010年5月 目录 摘要 .................................................................... I Abstract ............................................... 错误！未定义书签。1引言. (1) 2 数项级数收敛的定义 (2) 2．1 级数的定义 (2) 2．2 数项级数收敛的定义 (2) 3 数项级数收敛的性质 (3) 4 数项级数的收敛方法 (4) 4．1 数项级数的常用收敛方法 (4) 4．2 正项数项级数的收敛方法 (10) 4．2．1 同号级数的定义 (10) 4．2．2 正项级数的收敛方法 (10) 4．3 交错级数的收敛方法 (28) 4．3．1 变号级数与交错级数的定义 (28) 4．3．2 交错级数的收敛方法 (28) 4．4 一般项级数的收敛方法 (30) 4．4．1 绝对收敛与条件收敛 (30) 4．4．2 一般收敛级数判别法 (30) 5 数项级数的收敛方法的优缺点比较 (34) 5．1 数项级数的收敛方法概述 (34) 5．2 各种收敛方法优缺点比较 (35) 5．2．1 对于级数收敛的判别方法优缺点比较 (35) 5．2．2 对于正项级数收敛的判别方法优缺点比较 (35) 5．2．3 对于一般项级数收敛的判别方法优缺点比较 (37) 致谢 (38) 参考文献 (38) 第四节条件收敛与绝对收敛 对于任意项级数J■ an ,我们已经给出了其收敛的一些判 n =1 别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质一条件收敛与绝对收敛。 定义10.5对于级数a n，如果级数'Ta n l是收敛的，我们称 n =1n =1 级数v a n绝对收敛。 n d 如果-|a n |发散，但7 a n是收敛的，我们称级数7 a n条件收n =1 n =1n =1 敛。 n 1 条件收敛的级数是存在的，如、口 n=1 n 收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。 定理10.17绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然 Q Q Q Q 证明：设级数v a n收敛，即v |a n |收敛，由Cauchy收敛准 n =1 n=1 则，对_ ;0,存在N，当n>N时，对一切自然数p,成 立着|a n 1 | |a n 2 I |a n p I — 于是： |a ni a n.2 a n p 卩la nd L |a n 2 I Wn p 卜； Q Q 再由Cauchy 收敛准则知a n 收敛。 n 丄 n 1 由级数-可看出反之不成立。 n=i n 注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数】a n 发散。 n =1 n=1 但如果使用 Cauchy 判别法或 D 'Alembert 判别法判定出 OQ Q Q ； '|a n |发散，则级数「a n 必发散，这是因为利用 Cauchy 判 n =1 n =1 Q Q 别法或D 'Alembert 判别法来判定一个正项级数 、ja n |为发散 心 时，是根据这个级数的一般项|a n |当n 》=时不趋于0，因此 Q Q Q Q 对级数J an 而言，它的一般项也不趋于零， 所以级数J an 发 n =1 n =1 散。 例10.38讨论级数（T 厂1匚2 1 的敛散性，如收敛指明 心 n + 1 J n p 是条件收敛或绝对收敛。 解，当p "时,由于lim n 2 1 - 0,所以级数发散. n T°° n + 1 J n p 当p 2时，因为 n 2 1 n 1 . n p lim 1 n & 1/ n p 1 第十章函数项级数 § 1 函数项级数的一致收敛性(1) 一、本次课主要内容 点态收敛，函数项级数收敛的一般问题。 二、教学目的与要求 使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数，掌握如何利用函 数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 三、教学重点难点 函数列一致收敛的概念、性质 四、教学方法和手段 课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置 P68 1（5）（7） 2 一． 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念： 收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. 1.逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ ”定义. 例1 对定义在 内的等比函数列, 用“”定义验 证其收敛域为 , 且 例2 .用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: . （1）. . （2）. （3）设 为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . （4）. , . （5） 有, , . （注意 .） 二. 函数列的一致收敛性: 3 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项 的解析性质 是否必遗传给极限函数 能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 . 的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研 究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质 能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收 敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. 在数集D上一致收敛, Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列 , . ( 介绍另一种形式.) 证 ( 利用式) ,……,有. 易见逐点收敛. 设 令 ， 推论1 在D上 , ，. D , 使 推论2 设在数集D上, . 若存在数列 在数集D上非一致收敛 . 应用系2 判断函数列 ―在数集D上的最值点. . 证明函数列在R内一致收敛. 例4 第十二章 无穷级数 一. 常数级数的审敛，常数级数的性质 收敛： 12.3下列级数中收敛的是( )； A ． ( ) ∑∞=-+1 1n n n B ．∑ ∞ =+11 1n n C ．n n n n ∑∞ =?? ? ??+123 D ．∑∞ =??? ??+1211n n 1 2(1)n =≥≥+，所以( ) ∑∞ =-+11n n n 发散； ∑∞ =+111n n 发散，因为11n ∞=∑发散，所以∑∞ =??? ? ? +1211n n 发散，因此选C 。 12.7 下列级数中收敛的是( ) A. ∑ ∞ =+1 121n n B.∑∞ =+11 3n n n C.)1|(|1001<∑∞=q q n n D.∑∞=-1132n n n 解： 121n ≥+，∑∞=+1121n n 发散；1 lim 313n n n →∞=+，∑∞ =+1 13n n n 发散；||1q <时，100lim n n q →∞=∞，)1|(|1001<∑∞=q q n n 发散；2 13n =<，∑∞ =-1132n n n 收敛，所以选D 。 12.11 下列级数中收敛的是( )； A ．∑∞ =-1121n n B ．∑∞=122n n n C ．11ln(1)n n ∞=+∑ D ．∑∞ =??? ? ? +1311n n 解：1121lim 12n n n →∞-=，∑∞=-1121n n 发散； 2 12(1)12lim 122n n n n n +→∞+=<，∑∞=122 n n n 收敛；1ln(1)lim 11n n n →∞+=，11ln(1)n n ∞ =+∑发散；11n ∞=∑发散，∑∞=??? ??+1311n n 发散。所以选B 。 12.15 下列正项级数中收敛的是( )； A ．∑∞ =-112n n n B ．∑∞=12n n n C ．)11ln(1 ∑∞=+n n D ．∑∞=+1)1(2n n n n 第十一章 无穷级数主要内容 重点难点 主要内容： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数； 5、泰勒级数； 6、傅里叶级数的狄利克雷定理。 无穷级数 用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比较简单的函数形式，逼近比较复杂的函数，最为简单的逼近途径就是通过加法，即通过加法运算来决定逼近的程度，或者说控制逼近的过程，这就是无穷级数的思想出发点。 目录 概述 历史 判断 数项级数的性质 幂级数 泰勒展开式 Fourier级数 收敛与发散性质 概述 历史 判断 数项级数的性质 幂级数 泰勒展开式 Fourier级数 收敛与发散性质 判别法 展开 无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和；发散的无穷级数没有和。算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和，有些数列可以用无穷级数方法求和。包括数项级数、函数项级数（又包括幂级数、Fourier级数；复变函数中的泰勒级数、Laurent(洛朗)级数）。 英国曼彻斯特大学和埃克塞特大学的研究小组指出，喀拉拉学校也曾发现可用于计算圆周率的无穷级数，并利用它将圆周率的值精确到小数点后第9位和第10位，后来又精确到第17位。研究人员说，一个极有说服 力的间接证据是，15世纪，印度人曾经将他们的发现告知造访印度的精通数学的耶稣会传教士。?无穷级数?可能最终摆到了牛顿本人的书桌上。 约瑟夫是在通读字迹模糊的印度文字材料时得出这些发现的，他的畅销著作《孔雀之冠：非欧洲的数学之根》(The Crest of the Peacock: the Non-European Roots of Mathematics)的第3版将刊登此次发现，该书由普林斯顿大学出版社负责出版。他说：?现代数学的起源通常被视为欧洲人取得的一项成就，但中世纪(14至16世纪)印度的这些发现却被人们忽视或者遗忘了。17世纪末期，牛顿的工作取得了辉煌的成就。他所做的贡献是不容人们抹杀的，尤其在提到微积分的运算法则时更是如此。但喀拉拉学校的学者——特别是马德哈瓦(Madhava)和尼拉坎特哈(Nilakantha)的 名字也同样不能忘记，他们取得的成就足以和牛顿平起平坐，因为正是他们发现了微积分的另一个重要组成部分——无穷级数。? 约瑟夫表示：?喀拉拉学校所做的贡献未能获得世人的承认有很多原因，其中一个最重要的原因便是对非欧洲世界的科学发现漠然视之的态度，这种做法无疑是对欧洲殖民主义在科学领域的一种延续。此外，对于中世纪的喀拉拉语、马拉雅拉姆语等印度当地语言的形态，外人可以说是知之甚少，而诸如《Yuktibhasa》等一些最具有开创性的著作却又偏偏使用了这些语言。《Yuktibhasa》的大部分篇幅都用来阐述产生重要影响的无穷级数。?他指出：?我们真的无法想象，西方社会能够抛弃奉行了500年之久的传统，从印度和伊斯兰世界‘进口’学识和著作。但我们还是发现了强有力的证据，例如，由于当时的欧洲耶稣会士曾造访这一地区，所以他们有很多收集相关信息的机会。更为重要的是，这些耶稣会士不但精通数学，同时也精通当地的语言。 约瑟夫说：?他们之所以这么做实际上有很大的动机：教皇格雷戈里八世组建了一个委员会，专门负责为罗马的儒略历实现现代化。这个委员会的成员包括德国耶稣会士、天文学家兼数学家克拉维乌斯，他曾多次要求获得世界其它地区的人如何打造历法的信息，而喀拉拉学校无疑在这一领域扮演着领导者的角色。?他表示：?类似地，人们对更有效的导航方式的需求也变得越发强烈，包括在探险之旅中如何保持时间的准确性。此外，致力于天文学研究的数学家也可凭借自己的努力获得大奖。因此，欧洲重要的耶稣会研究人员的足迹便开始遍布全世界，以获得相关的知识和信息，而喀拉拉学校的数学家无疑是这一领域的大师。? 如假定有一个无穷数列： u1,u2,u3,...un,... 其前n项的和为： sn = u1 + u2 + u3 + ... + un 由此得出另一个无穷数列： s1,s2,s3,...sn,... 考研高数：幂级数的收敛半径，收敛区 间，收敛域 综合上述，整体法适用于任何级数，而根值法或比值法适用于所有项都可取到或者删掉有限项后的级数。大家做题时，按照级数的类型，选方法之后再计算即可。 凯程考研辅导中心优势 凯程考研辅导中心创办于2005年4月，具有强大高校背景，是中国最早专门从事考研高端辅导的机构之一。并积累了多年的考研辅导经验。 成功学员多 至今已有数千位学员进入全国各大高校研究生院学习，这些同学的名单在网上有据可查。而且从2005年到2010年，据不完全统计，每年凯程考研辅导中心的成功学员人数要比前一年翻一倍，所谓的成功学员，是指通过初试，进入各校复试并最终录取的同学。 师资力量强 首先，所有老师均来自北京各高校的教师，且讲任何课程备课必须超过一个月，那些虽然有名但是准备草草的老师从来不能站在讲台上，这是对老师的硬性要求。 其次，所有老师都必须经过专门的培训与试讲环节且试讲必须得到听课学生90%以上的好评，好评不够马上淘汰。 第三，讲授的内容必须是应试化的，让学生越听越迷糊的老师，也坚决不要。 课程质量高 采取公共课小班授课，专业课一对一辅导的方式，针对不同程度学生的特点及程度差异，因材施教，精讲精练，才能达到理想的效果 服务效果好 服务，是一种理念，更是一种信念。只有经历过考研的人才能够理解考研对于每个人，每个家庭的意义。凯程考研的全部管理人员都有着考研成功的经历，才能够给广大考生提供贴心、贴切的服务，保证考生没有后顾之忧的全力以赴进行备考。. 凯程教育： 凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。 有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有 1.数项级数：∑∞ =1 n n u ，称∑== n i k n u s 1 为前n 项部分和。 若存在常数 s,使n n s s ∞ →=lim ，则称级数收敛，s 为该级数的和；否则级数发散。 2.数项级数性质：1)∑∞=1 n n Cu =C ∑∞=1 n n u ；2)若级数∑∞=1 n n u ，∑∞=1 n n v 收敛于σ,s ，则级数∑∞ =±1 n n n v u 收敛于σ±s ；3） 级数中去掉，增加或改变有限项，敛散性不变；4）收敛级数任意加括号所得的级数仍收敛，且其和不变。5）若级 数∑∞ =1 n n u 收敛，必有0lim =∞ →n n u 3．两个重要级数：1）几何级数：∑∞ =-1 1n n aq = +++++-12n aq aq aq a (0≠a ) 若,17.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛-习题
第十章无穷级数
无穷级数知识点
(完整版)无穷级数整理
第十一讲 无穷级数分解
第十二章无穷级数
数学竞赛难点之无穷级数
第十一章 无穷级数(习题及解答)
无穷级数
无穷级数收敛方法综述
条件收敛与绝对收敛
第十章 函数项级数
第十二章-无穷级数(整理解答)
无穷级数主要内容重点难点
无穷级数
考研高数：幂级数的收敛半径,收敛区间,收敛域
无穷级数内容小结
0） 若p>1,级数收敛；若1≤p ，级数发散；当p=1时，调和级数∑ ∞ =11n n 发散。 4．正项级数审敛法：对一切自然数n,都有0≥n u ，称级数∑∞ =1 n n u 为正项级数 方法：1）比较审敛法：设∑∞=1 n n u 和∑∞=1 n n v 都是正项级数，且n n v u ≤（n=1,2,…）若级数∑∞=1 n n v 收敛，则级数∑∞ =1 n n u 收敛；若级数∑∞ =1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散。2）比较审敛法的极限形式：若l v u n n n =∞ →lim )0(+∞<