东南大学概率论期末考试概率统计11123A解答

;.

东 南 大 学 考 试 卷 （ 答 案 ）（ A 卷）

课 程 名 称 概率论与数理统计

考 试 学 期

1 1 - 1

2 -

3 得分

适 用 专 业 全校 考 试 形 式

闭卷 考试时间长度

120 分钟 题号

一

二

三

四

五

六

七

八

九

自 觉

得分

遵 ( x)

守

1 e

t 2 /2

dt 表示标准正态分布的分布函数，

2

考 ( 1.645) 0.05； 场 (1.3) 0.9032；

(0) 0.5； (1.96) 0.975；

(1) 0.8413 (2)

0.9772

纪 一、填充题（每空格 2’，共 38’；过程班共 34’）

律

线

1)

已知 P(B)=P(A)=0.2 ，A 和 B 相互独立 ,则 P(A-B)=

0.16 ;P(AUB)=

0.36

。

如 名

2) 一盒中有 2 个白球， 3 个黑球，每次抽取一球，从中不放回地抽取两次，则第二 考 姓 次取到黑球的概率为

0.6 ，取到两个球颜色相同的概率为

2/5

。

试 3)

设随机变量 X 服从正态分布 作 封

弊 2

N (1 , 4), P( X

1) _ 0.5

。（过程班不做）

1 4)

设 此 W(t ) 是参数为

的Wiener 过程，则随机过程 X (t)

W (t), t t

0 的一

答 维概率密度函数 卷 密 无 f (x ； t )

1 exp{

2

x 2

/ 2}

。（过程班做）

效 5) 随机变量 X ，Y 独立同分布， 都服从正态分布 N(1 ，4)，则 P(X-Y> 2 2 )=0.1587 。

号 6)

随 机 变 量 X ， Y 的 联 合 分 布 律 为 ： P(X=0,Y=0)=0.2; P(X=0,Y=1)=0.3; 学

P(X=1,Y=0)=0.3;

P(X=1,Y=1)=0.2.

则

X+Y

分 布

律

为

p(X+Y=0)=0.2;P(X+Y=1)=0.6;P(X+Y=2)=0.2

。 E[XY]= 0.2

。（过程班不做）

7)

随机变量 X ，Y 的相关系数为 0.5，则 5-2X ，和 Y-1 的相关系数为 -0.5

。

8)

设 随 机 变 量 序 列 {Xn,n=1,2,

} 独 立 同 分 布 ， EX 1=2,

DX 1=2, 则

;.'

x

;.

2

1 2 10 2 2 p

1 2 ( X 1 n

X

2

... X n )

6 。

9)

设总体 X 服从正态分布

N(1,2), X , X ,..., X 是来此该总体的样本，

X , S 2

分别

表示样本均值和样本方差，

则 EX

1 ， E( XS 2

)

2 。

10) 随机变量 X 的分布律为 P(X= -1)=P(X=1)=1/2, 则其分布函数为

F(x)=0,x<-1;F(x)=0.5,-1<=x<1;F(x)=1,x>=1;

。

11) 随 机 变 量 X 服 从 [0,1] 上 的 均 匀 分 布 , 则 Y= -2X+1 的 密 度 函 数 为

U[-1,1],f(y)=0.5;-1

其他。 。

12) 设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 是 来 自 正 态 总 体 N(0,4) 的 简 单 随 机 样 本 ， 则

1 ( X

2 X

2

X 2 ) 服从

2

(3) 分布，若 c

X 1 X 2 ~

t(2)

，则常数 c 1 。

自 4

1

2

4

X

2 X

2 3

4

觉 13) 设某假设检验问题的水平 =0.1,根据样本得到的结论是拒绝原假设， 则可能犯哪

遵

一类错误 I (填 I ，II) ，犯错误的概率为 0.1 (填数值或不能确定 )。 守 14) 设总体 考 X ~ f ( x, a) ， a 为未知参数，若 X 1 , X 2 ,..., X n 是来自某总体的简单随

场 机样本， X , S 分别表示表示样本均值和样本方差。设

X a

~ U [ 2, 2] ( 均匀 S

纪 线

分布 )，则 a 的置信度为 80%的置信区间为 X

律

1.6S 。

二、 (10’) 设有一个箱子中有红球

4 只，白球 6 只.从该箱中任取一球涂上红色后放回去

,然

名 如 姓

后再从该箱中任取一球 .（ 1）求第二次取出的球为红球的概率； （ 2）如果第二次取出的球

考 为红球，则第一次取出的球是红球的概率是多少？ 试 封

解 ：

A

第 一 次 取 得 红 球 ； B 第 二 次 取 出 红 球 ；

作 P( A) 2 / 5; P( A) 3/ 5; P( B | 弊 A)

2 / 5; P(B | A) 1/ 2;

(1)

此 答 密

P(B) P( A) P ( B | A) 0.46 P( A) P ( B | A)

’

卷 (2)

P( A| B ) P( A ) P ( B | A) 4 / 25 8 无 P( B) 23 / 50 23

效

三、(15’

) 设随机变量（ X ， Y ）的联合密度为 号

学

;.'

2 2

3 1 23

5 5 5 2 50

;.

f ( x ,y )

ae

( 2x y )

x 0 ,y 0 .

其它

求（ 1）常数 a; (2)Y 的边缘密度函数； （ 3）求条件概率 P(Y<1|X=1) 。(过程班不做该题 )。

(1) f (x, y)dxdy

1;.

ae

(2 x y)

dxdy

1;.a 2;

(2) f Y ( y)

f (x, y) dx.

2e

（2 x y )

dx(1')

e y

; y 0;

f Y ( y) 0; y 0.

(3)易见 X 和 Y 相互独立，所以

自 P(Y 觉

1| X 1)

P(Y 1)

1

f Y ( y)dy

1

e y

dy (1') 1 e 0

遵 四、(10’

)设随机变量 X~U[1,2],Y~U[0,2],X 和 Y 相互独立，令 Z=Y+2X ，求随机变量 Z 的 守

概率密度函数 考 f Z (z ) 。（过程班 9’） .

1/ 2 1 x

2,0 y 2

解：因为 X 和 Y 相互独立，故 ( X ,Y) ~ 场

线

f (x, y)

f X ( x) f Y ( y)

其他

F Z ( z ) 律

P(Z z) P(Y 2X

z) z 2 x

f y 2 x z

如 ( x, y)dxdy

f ( x , y)dydx

考 名 f Z ( z)

试 姓

封

f (x, z 2x)dx,

作 1 x 2;0 z 2x 2, f (x, z 2x) 0.5; 弊

z 2, f Z ( z) 0;

此 2 z 答 z/2

4; f Z ( z)

f ( x, z 2x)dx

卷 密

1

无 0.5dx z / 4 1/ 2;

效

4 z 2 6; f Z ( z)

f ( x , z 2x)dx

( z 2)/2

0.5dx 3 / 2 z / 4;

号

z 学

;.'

6, f z (z) 0;

1

纪