基于建筑抗震设计规范的随机地震动模型研究

I ndustrial Constructi on Vol 140,No 12,2010

工业建筑　2010年第40卷第2期

基于建筑抗震设计规范的随机地震动模型研究

3

尹　犟　易伟建

(湖南大学土木工程学院,长沙　410082)

摘　要:适当考虑结构对于地面运动随机过程的影响,将结构影响因子β(T )引入谱密函数表达式中,得到一种修正的随机地震动模型,并对该模型中的关键参数进行了详细研究及数值计算。结果表明,根据规范谱等效原则标定的结构影响因子物理意义明确、应用方便;由修正模型得到单自由度体系加速度反应均值谱与现行规范谱吻合良好。提出的模型具有较高的精度及广泛的应用前景,为结构随机地震反应分析及动力可靠性设计提供了可靠的依据。

关键词:随机模型;抗震规范;结构影响因子

STU DY O F EARTHQUAKE RAN DOM MOD EL BASE D O N

SE I S M I C D ES I GN COD E FO R BU I LD I NGS

Yin J iang YiW eijian

(College of Civil Engineering,Hunan University,Changsha 410082,China )

Abstract :The paper f ocuses on obtaining a modified earthquake random model by intr oducing the structure affecting fact or β(T )int o s pectral density functi on with app r op riate considerati on of the structural effect on random p r ocess of gr ound moti on .Besides,the key parameters in the model are studied in details and calculated by nu merical method .The nu merical results show that the structure affecting fact or,deter m ined by the equaling rules t o code s pectru m,is clear as a noti on of physics and easy f or app licati on .I n the mean ti m e,the random mean s pectru m of S DOF syste m derived fr om the modified model are well agreed with the code s pectru m.The random model p r oposed in the paper is of relatively high accuracy and possess br oad p r os pects of app licati on,which will p r ovide random seis m ic res ponse analysis and dyna m ic reliable design with dependable references .

Keywords :seis m ic random model;seis m ic code;structure affecting fact or

3国家自然科学基金资助项目(50678064)和湖南省科技厅计划重点资助项目(06FJ3003)。

第一作者:尹犟,男,1976年出生,博士研究生。

E -mail:yinjiang2001@yahoo https://www.360docs.net/doc/04840737.html, 收稿日期:2009-03-25

近10余年来,基于性能的抗震设计成为世界各国研究的热点。而准确的评估结构在地震激励下的反应则是基于性能抗震设计的关键环节。由于地震造成的地面运动本质上是一种随机过程,因此评估结构在地震激励下的反应必然涉及到结构随机振动及可靠度方法。G B 50011—2001《建筑抗震设计规范》中给出的设计谱是以地面加速度峰值PG A 为基准标定的反应谱。即:首先将大量实测地震记录统

一缩放至某一概率分位点对应的PG A 水平(多遇地震超越概率约63%,罕遇地震超越概率约2%～3%),随后选取多个离散周期点T i 进行单自由度体

系时程分析并将计算结果的平均值连成曲线,对其进一步平滑、修整后即得标准的设计谱。从概率意义上讲,这类反应谱未考虑除PGA 之外的其他因素

(如频谱、持时)对结构随机反应的影响,可将其理

解为一定场地条件、一定地震动强度(PGA 水平)下结构的均值反应,无法直接应用于基于概率的结构

性能设计及评估。针对这种情况,一些学者对已有

的地震动随机模型[1-3]

进行了参数研究,并在此基础上根据随机极值理论建立了随机地震反应谱[4-5]

。然而研究表明,在相同条件下,由随机方法得到的均值谱与规范谱之间并不能保持很好的一致[5]

,造成这种差异的主要原因为:1)由于土-结构相互作用的影响,地震引起的地面运动与结构之间存在着复杂的相关性,传统的随机地震动模型中未考虑这一因素;2)为得到完全平顺、光滑的地震影响系数曲线,建立规范反应谱时对结构最大加速度反应均值作出了某些小的技术性修整,只能将其视为理想状态下的均值反应谱。

85

基于建筑抗震设计规范的随机地震动模型研究———尹　犟,等

本文适当考虑结构自身对于地面运动随机过程的影响,将结构影响因子引入谱密函数表达式中,得到一种新的随机地震动模型,并对该模型中的若干参数进行了研究。数值计算结果表明,对该模型应用随机方法产生的加速度反应均值谱与G B 50011—2001反应谱吻合良好,这表明本文提出的

随机地震动模型具有较高的精度及广泛的适用性。1　设计用平稳随机地震动模型

地震工程界首先用随机振动模型来描述地震动的是国外学者Housner [6]

和Rosenbluth

[7]

,他们将地

震动当作随时间随机分布的速度脉冲,研究表明,这一模型等价于白噪声,其谱密度函数为常数S 0,与频率无关。1960年日本学者田治见宏和金井清

[8]

假定基岩加速度过程为白噪声,而地表土层相当于一个线性滤波器,提出能较好描述地震动频率特性的平稳过滤白噪声模型。这种模型物理意义简单、明确,但不能反映基岩地震动的频率特性,此外,按该模型无法得到地面位移、速度、加速度的有限方差值。因此,许多学者

[4,9-10]

都曾对平稳过滤白噪声

模型作出修正,其中欧进萍提出将基岩加速度谱假定为马尔柯夫有色谱,从而得到一种平稳过滤有色噪声模型,并对该模型中的有关参数进行了标定

[4]

。在以上研究成果基础上,本文将结构影响因

子引入功率谱密度函数,提出如下模型:

S A (ω,T )=1+4ζ2g

ω2ω2g (1-ω2ω2g )2+4ζ2g

ω2ω2g

?1

1+ω2ω2h ?β2(T )S 0=β2

(T )S F (ω)

(1)

式中:ωh 为反映基岩特性的谱参数,本文参照文献[4]取为8πrad /s;S 0称为谱强度因子,反映基岩地

震动强弱程度;ζg 和ωg 分别代表地表覆土层的阻尼

比和卓越频率,β(T )为与结构特征周期T 相关的结构影响因子,取为如下三次多项式形式:

β(T )=a +bT +cT 2+dT 3

(2)

若令式(1)中结构影响因子β(T )=1,本文模型即退化成欧进萍提出的平稳过滤有色噪声模型,即:

S A (ω,T )=S F (ω)=(1+4

ζ2g

ω

2

ω2g

)?S 0/{[(1-ω2ω2g )2+4ζ2g ω2

ω2g

]?(1+ω2ω2h )}(3)

由式(1)表达的地震动加速度随机过程可由如

下滤波方程的平稳解求得:

A (t )=β(T )F (t )

F (t )=X ¨(t )+X ¨g

(t )X ¨(t )+2ζg ωg X ?(t )+ω2g X (t )=-X ¨g (t )X ¨g =ωh V (t )V ?

(t )+ωh V (t )=W s (t

)

(4)

式中:W s (t )为白噪声干扰;V (t )为滤波方程的中间变量;X ¨g (t )为基岩加速度;X (t )为未考虑结构影响时地表相对于基岩的加速度;F (t )为未考虑结构影响时地面运动的绝对加速度;A (t )为考虑结构影响

时地面运动绝对加速度;β(T )为结构影响因子;ωh 、ζg 、

ωg 意义同式(1)。式(4)可写为如下状态方程:

A (t )= C X (t )

X ?

(t )+ D X (t )= W s (t )

(5)

式中: X (t )为状态向量; W s (t )是白噪声干扰向量;

C 、

D 为滤波器矩阵。

X (t )=[X (t )X ?

(t )V (t )]T

;

W s (t )=[0　0　W s (t )]

T

(6)

C =[-β(T )ω2

g -2β(T )ζg

ωg 0]; D =0

-10

ω2

g

2ζg

ωg ωh 0

ωh

(7)

可见,根据本文随机地震动模型,确定结构的特征周期T 之后,绝对加速度A (t )可由白噪声通过线

性滤波器的平稳输出来确定,这为结构的随机地震反应分析带来很大的方便。

2　非平稳地震动模型的平稳化及参数确定

地震引起的地面运动从严格意义上来讲是一种非平稳的随机过程,目前为了简化分析,往往将其处理成平稳随机过程和一个与时间包络函数的乘积,也就是所谓均匀调制非平稳过程,本文参照文献[11]采用如下形式的均方加速度时间包络函数。

g 2

(t )=

(t/t 1)

2

t ≤t 11t 1≤t ≤t 2

e

-c (t-t 2)

t ≥t 2

(8)

式中:参数t 1、t 2、c 与震级、震中距和场地条件相关,文献[2]已分别给出其具体数值。本文归纳如表1。由随机振动理论可知,非平稳地面运动均方加

速度σüg (t )和平稳地面运动均方加速度σA 之间存

9

5

工业建筑　2010年第40卷第2期

在如下关系:

σ2üg (t )=g 2(t )σ2

A

(9) 将地震动持时t d 定义为强度超过50%的峰值

震动时间

[2]

,由式(8)可反推持时t d 的表达式。t d =-t 1/2+t 2+ln 4/c

(10)

取平稳化地面运动均方加速度 σ2

üg 为非平稳均方加速度σ2

üg (t )在地震持时上的平均,可得:

σ2

üg =

∫

t 1/2

t d +t 1/2

σ2üg (t )d t/t d =

σ2

A

∫t 1/2

t d +t 1/2

g 2

(t )d t/t d

=M σ2

A

(11)

M

=

∫t 1/2

t d +t 1/2

g 2

(t )d t/t d =[-17t 1

/24+

t 2+(4c -c c )/(4c

?c )]/t d

(12)

表1　时间包络函数参数值、地震动持时及平稳化系数M

Table 1　Param eter of ti m e 2envelop i n g functi on,preset dura ti on of ground m oti on and factor M 场地类别

t 1/s

t 2/s

c /s -1

t d /s

M

Ⅰ015515019617901879Ⅱ018710017815801867Ⅲ1129100151111701845Ⅳ

116

1210

013

15182

01801

鉴于G B 50011—2001仍与89规范(G BJ 11—89)一样将场地土分为4类,而文献[4]曾按G BJ 11—89的场地划分对地表覆土层阻尼比ζg 进行了

标定,本文仍参照文献[4]对ζg 取值。场地土卓越频率则按ωg =2πT g 计算。

由随机振动理论可知,地面运动平稳过程的均方加速度为:

σ2A

=

∫

+∞

-∞

S A

(ω)d ω(13)

将式(1)代入式(13)可得:

σ2A

=N β2(T )S 0

(14)N =4ζ2

g ωh +2ζg

ωg +ωh ω2h +2ζg ωg ωh +ω2g

?

π

ωg ωh 2ζg (15)

将式(14)代入式(11)可得:

σ2üg =MN

β2(T )S 0(16)

根据随机极值理论,由式(16)求得平稳化地面

运动均方加速度后,将其与峰值因子相乘即得平稳化地面运动加速度峰值的均值,即:

a m =γ σüg =γ

σa (17)

为书写方便,令¨u -

(t )=a (t ), σüg =σa ;γ

为平稳化地面加速度随机过程的峰值因子,采用

Vanmarcke 改进公式

[12]

,得到:

γ=

2ln (v ae t d )+

0157722ln (v ae t d )

;

v ae =

(1163δ0145

a

-0138)v a0　δa <0169

v a0

　δa ≥0169

　

(18)式中:v a0、v ae 、δa 分别为平稳化地面加速度随机过程

的跨零频率、有效跨零频率、谱形参数;λi 为平稳化地面加速度随机过程的第i 阶谱距。

v a0=

1

π

λ2λ0=1πσ a σα;δ2

a =1-λ21λ0λ2;λi =

∫

+∞

ωi G a (ω)d ω

(19)

根据维纳-辛钦关系,并将式(1)代入可得平稳化地面运动均方加速度及其导数的均方加速度。

σ2

a

=

∫

+∞

-∞

S a

(

ω)d ω=4ζ2

g ωh +2ζg

ωg +ωh ω2h +2ζh ωg ωh +ω2

g

?πωg ωh 2ζg β2(T )S 0σ2

a =

∫

+∞

-∞

ω2S a (ω)d ω=

8ζ2

g ωh +4ζ2

g

ωg +ωg ω2h +2ζg ωg ωh +ω2

g

?πωg ω2

h 2ζg β2(T )S 0(20)

将式(19)、式(20)代入式(18)可得有效跨零频率v ae 。表2给出相关计算结果。

表2　积分系数N 、有效跨零频率v ae 及峰值因子γ

Table 2　I n tegra l factor N ,zero 2across frequency

v ae and peak factor γ

场地类别地震分组

N

v ae

γ

Ⅰ

一组

731781793107二组691081013103三组641671413101Ⅱ

一组631371813110二组591571293108三组561061873106Ⅲ

一组551571223113二组491761523113三组451051993110Ⅳ

一组451261353123二组411451913120三组

3613

5135

3117

联立式(16)、式(17)即得谱强度因子S 0与地

面运动加速度峰值均值 a m 之间的关系:

S 0=

a 2

m

γ2MN β2

(T )

(21)

式中: a m 可采用G B 50011—2001中规定的时程分析取加速度时程曲线最大值。

取结构影响因子β(T )=1,即可由式(21)计算

6

基于建筑抗震设计规范的随机地震动模型研究———尹　犟,等

谱强因子S 0,此时本文模型与欧进萍模型等效。

G B 50011—2001采用的设计谱为单自由度体系地震影响系数均值谱。另一方面,采用随机方法同样也能得到与之相应的加速度反应随机均值谱,以上两者物理意义一致,数值应基本吻合。本文依据这一原则对结构影响因子β(T )进行数值计算,并采用分段拟合的方法确定式(2)中的系数。

单自由度体系在平稳化地震作用下的运动方程为:

U ¨=2ζω0U ?+ω20U =U -¨g

(t )=a (t )(22)式中:ζ、ω0分别为单自由度体系的阻尼比、特征频率;U 为体系的位移反应。由随机振动理论可知:

σ2

U (t )=R U (t )=

∫

+∞

-∞

S

U

(ω,t )d ω(23)

式中:σ2

U (t )即位移反应的时变方差,S U (ω,t )为位移反应的演化谱密度函数。

S U (ω,t )=H (i ω,t )H 3

(i ω,t )S a (ω,T )(24)

其中

H (i w,t )=

∫

t

h (t -s )e

-i ωs

d s (25)

对位移反应的时变方差在持时范围内取平均可得体系的平稳化均方位移反应:

σ2

U =

∫

t 1/2

t d +t 1/2

σ2U (t )d t/t d =∫t 1/2

t d +t 1/2

∫

+∞

-∞

S U

(ω,t )d

ωd t/t d

(26)

将式(1)、式(24)代入式(26)并变换积分顺序

可得:

σ2U =

∫+∞

-∞

∫

t 1/2

t d +t 1/2

|H (i ω,t )|2β2

(T )?

S F (ω)d t/t d d

ω=β2

(T )L (27)

其中

L =

∫+∞

-∞

∫

t 1/2

t d +t 1/2

|H (i ω,t )|2

S F (ω)d t/t d

d

ω(28)

与式(26)相似,式(28)的物理意义同样为单自由度体系的平稳化均方位移反应,不同的是随机激

励的谱密度函数换成了S F (ω),见式(3)。由随机振动理论可知,对于小阻尼线性体系,式(28)可近

似写为[13]

:

L =πS F (ω)/(2ζω30)

(29) 求得平稳化位移反应方差 σU 后,将其与峰值因子γ相乘即得最大位移反应均值:

U -m =γ σU

(30)

小阻尼单自由度体系的加速度与位移反应之间存在如下近似关系:

U

¨=ω20

U (31) 联立式(27)、式(30)、式(31),并根据地震影响

系数的定义可知:

α1(T )=U -

¨m /g =ω20U -

m /g =

ω20γ

σU /g =ω2

0γβ(T )L /g (32)式中:α1(T )即为随机方法求得的结构随机加速度

反应均值(特征周期为T ),在0～6s 周期范围内对每一个离散点T i 计算α1(T )值,并将计算结果连成曲线即为与规范谱意义相同的随机均值谱,其值应与规范谱值αg (T )基本吻合。令:α1(T )=αg (

T ),并将其代入式(32)可得β(T )的计算公式:

β(T )=αg (T )g /(ω20γL )

(33)

a —7度罕遇(011g ),Ⅱ类场地,第3组,ζ=0105;

b —8度多遇(012g ),Ⅲ类场地,第1组,ζ=0105

图1　0～6s 周期范围内β(T )数值计算结果

Fig .1　The value of β(T )bet w een 0t o 6s

　

由图1可知,结构影响因子β(T )曲线大致可

分为3个阶段:1)当0

T >T g 时,曲线首先继续下降,但下降速度有所减弱

并逐步趋于平缓,最后曲线开始回升,直至接近或大于1。由于β(T )曲线变化趋势存在明显的规律性及阶段性;为提高精度,本文分三段对其进行拟合以确定式(2)中三次多项式的系数。限于篇幅,仅将图1对应情况下β(T )的分段拟合结果列于图2。

1

6

工业建筑　2010年第40卷第2

期

a —7度罕遇(011g ),Ⅱ类场地,第3组,ζ=0105;

b —8度多遇(012g ),Ⅲ类场地,第1组,ζ=0105

1—β1(T )=0195+10118T -5618T 2-17144T 3

;2—β2(T )=2148-14168T +39189T 2-34151T 3;3—β3(T )=0193-0136T +01138T 2-01013T 3;4—β1(T )=0197+10164T -8112T 2+120125T 3;

5—β2(T )=2139-14131T +40145T 2-36110T 3

;

6—β3(T )=0199-0139T +0115T 2-01014T

3图2　0～6s 周期范围内β(T )拟合方程

Fig .2　The fitting for mula of β(T )bet w een 0t o 6s

　

3　随机均值谱与规范谱的比较

前文分析已确定式(1)所示地震动随机模型中的全部参数,为验证该模型的准确性,本文采用随机

方法(式(32))分两种情况对0～6s 周期范围内结构加速度反应的随机均值谱及方差谱进行数值计算,并与规范谱进行对比,部分计算结果列于图3、图4。 图3计算结果表明,若不考虑结构影响因子的影响,由随机方法生成的地震影响系数均值谱与规范谱之间存在一定差异,随机均值谱大于规范谱,在超长周期部分(大于4s )与规范谱基本持平。造成这种差异的主要原因为:1)地震引起的地面运动与结构之间存在着复杂的相互影响,传统的随机地震动模型仅考虑了基岩及场地土对地震波的过滤波作用,忽略了结构对其造成的影响。2)为使其平顺、光滑,G B 50011—2001采用的设计谱曾对其谱形做出某些技术性修整,只能将其视为一种理想化的均值反应谱。然而鉴于规范谱作为一种强制性技术标准已得到广泛的应用,由随机方法产生的均值谱仍有必要与其保持基本一致。考虑到上述因素,本文将结构影响因子β(T )

引入谱密函数表达式中得到修a —7度罕遇(011g ),Ⅱ类场地,第3组,ζ=0105;b —8度多遇(012g ),Ⅲ类场地,第1组,ζ=01051—欧进萍模型;2—本文模型;3—规范反应谱

图3　地震影响系数随机均值谱与规范谱比较

Fig .3　Comparis on bet w een code s pectrum and random mean s pectrum of earthquake affecting coefficient

　

a —7度罕遇(011g ),Ⅱ类场地,第3组,ζ=0105;

b —8度多遇(012g ),Ⅲ类场地,第1组,ζ=0105

1—欧进萍模型;2—本文模型

图4　加速度反应随机方差谱

Fig .4　Random variance s pectrum of accelerati on

　

正的随机地震动模型。数值计算结果显示:较已有的

随机地震动模型,本文修正模型得到的加速度反应随机方差谱与规范谱在0～6s 周期范围内吻合良好(见图3),能与规范谱在均值意义上保持一致。

2

6

基于建筑抗震设计规范的随机地震动模型研究———尹　犟,等

4　随机地震激励下最大加速度反应的条件概率谱

由随机极值理论可知,基于首超机制及泊松跨越假定,平稳地震随机激励下单自由度体系的平稳化加速度反应在(0～T d )时间段内不超过c 的概率

P (T d ,c )为

[5]

:

P (T d ,c )=exp -2T d

T exp (-12c

2

σ2U

¨

)(34)

式中:T d 为平稳化地震动持时;T 为体系的特征周期; σU ¨为体系的平稳化均方加速度反应。由随机振动理论及式(31)近似关系可知:

σ2U ¨

(t )=E [U ¨2(t )]=ω20E [U 2(t )]=ω40σ2U (t )(35)

对上式在持时范围内取平均并将式(27)、式(29)代入可得体系的平稳化均方加速度反应。 σ2

U ¨=

∫

t 1/2

t d +t 1/2

σ2

U ¨(t )d t/t d =ω

4

∫

t 1/2

t d +t 1/2

σ2U d t/t d =

ω40 σ

2U ≈πω0β2

(T )S F (ω)/(2ζ)(36)

将式(36)、式(1)代入式(34)可得:

P (T d ,c )=exp -2T d T exp -c 2

T ζ2π2S a (ω,T )

(37)

式(37)即为50年设计基准期内,单自由度体

系(特征周期为T )最大加速度反应的条件概率分布函数,其先决条件为特定场地条件、设计地震分组、抗震设防烈度及超越概率水平下的地震动强度,如:多遇地震(50年设计基准期内超越概率约6312%)或罕遇地震(50年设计基准期内超越概率约2%～3%)。当上述条件唯一确定时,由本文研究成果即可计算式(37)右边的全部参数,从而确定该条件概率模型。反之,若事先确定P (T d ,c ),亦可由式(37)反推与之相应的条件概率谱,即:

c =

-2π2

S a (ω,T )ln [-T ln P /(2T d )]/(T

ζ)(38)

式(38)即为50年设计基准期内,超越概率为

1-P 的单自由度体系最大加速度反应条件概率谱。5　结　语

本文较好地考虑了结构对于地面运动随机过程的影响,将结构影响因子引入随机地震动模型的谱

密函数表达式中,从而得到一种修正的随机地震动模型。为方便应用,本文对该随机模型中的各参数进行了系统研究,并依据我国现行建筑结构抗震设计规范对结构影响因子进行了标定。数值计算结果显示,若采用修正的随机地震动模型,由随机方法得到的单自由度体系最大加速度反应均值谱与规范谱在0～6s 周期范围内吻合良好,这表明该模型具有较高的精度及良好的适用性。

传统的随机地震动模型大多数仅与地面运动的加速度特性、场地条件及设计地震分组相关,而实际上结构自身的动力特征(如周期、阻尼比)也将对其产生一定影响。本文的研究成果进一步拓宽了影响地震动随机过程模型的因素,提供了一种改进的随机模型并确定了该模型中的关键参数,可直接应用于结构随机地震反应分析及动力可靠性设计。

参考文献

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