(易错题精选)初中数学三角形经典测试题及答案

（易错题精选）初中数学三角形经典测试题及答案

一、选择题

1．如图，在ABC ?中，90C =o ∠，30B ∠=o ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交

AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12

MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD 是BAC ∠的平分线；②ADC 60∠=o ；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S ??=

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】D

【解析】

【分析】 根据题干作图方式，可判断AD 是∠CAB 的角平分线，再结合∠B=30°，可推导得到△ABD 是等腰三角形，根据这2个判定可推导题干中的结论.

【详解】

题干中作图方法是构造角平分线，①正确；

∵∠B=30°，∠C=90°，AD 是∠CAB 的角平分线 ∴∠CAD=∠DAB=30°

∴∠ADC=60°，②正确

∵∠DAB=∠B=30°

∴△ADB 是等腰三角形

∴点D 在AB 的垂直平分线上，③正确

在Rt △CDA 中，设CD=a ，则AD=2a

在△ADB 中，DB=AD=2a

∵1122DAC S CD AC a CD ?=??=?，13(CD+DB)22

BAC S AC a CD ?=??=? ∴:1:3DAC ABC S S ??=，④正确

故选：D

【点睛】

本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练角平分线的绘制方法.

2．AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）

A ．4

B ．3

C ．6

D ．2

【答案】B

【解析】

【分析】 首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果．

【详解】

解：AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，

∠EAD=∠FAD

DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ，

∴DF=DE ，

又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，DE=2，AB=4，

11742222

AC ∴=??+?? ∴AC=3.

故答案为：B

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键.

3．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，最小边BC ＝4cm ，则最长边AB 的长为( )cm A ．6

B ．8

C 5

D ．5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.

【详解】

设∠A ＝x ，

则∠B ＝2x ，∠C ＝3x ，

由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C ＝x+2x+3x ＝180°，

解得x ＝30°，

即∠A＝30°，∠C＝3×30°＝90°，

此三角形为直角三角形，

故AB＝2BC＝2×4＝8cm，

故选B．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键.

4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A．2, 2,5B．1,3,3C．3,4,8D．4,5,6

【答案】D

【解析】

【分析】

三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．

【详解】

根据三角形三边关系可知，三角形两边之和大于第三边．

A、2+2=4＜5，此选项错误；

B、1+3＜3，此选项错误；

C、3+4＜8，此选项错误；

D、4+5=9＞6，能组成三角形，此选项正确．

故选：D．

【点睛】

此题考查三角形三边关系，解题关键在于掌握三角形两边之和大于第三边．即：两条较短的边的和小于最长的边，只要满足这一条就是满足三边关系．

5．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，∠

B=30°，则DE的长是（）

A．12 B．10 C．8 D．6

【答案】C

【解析】

【分析】

由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C=90°，在Rt△BED中，∠B=30°，故此BD=2ED，从而得到BC=3BC，于是可求得DE=8．

【详解】

解：由折叠的性质可知；DC=DE ，∠DEA=∠C=90°，

∵∠BED+∠DEA=180°，

∴∠BED=90°．

又∵∠B=30°，

∴BD=2DE ．

∴BC=3ED=24．

∴DE=8．

故答案为8．

【点睛】

本题考查的是翻折的性质、含30°锐角的直角三角形的性质，根据题意得出BC=3DE 是解题的关键．

6．如图，在ABC V 中，AB AC =，30A ∠=?，直线a b ∥，顶点C 在直线b 上，直线a 交AB 于点D ，交AC 与点E ，若1145∠=?，则2∠的度数是（ ）

A ．30°

B ．35°

C ．40°

D ．45°

【答案】C

【解析】

【分析】 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和可得ACB ∠度数，由三角形外角的性质可得AED ∠的度数，再根据平行线的性质得同位角相等，即可求得2∠．

【详解】

∵AB AC =，且30A ∠=?， ∴18030752

ACB ∠?-?=

=?， 在ADE ?中，∵1145A AED ∠∠∠=+=?，

∴14514530115AED A ∠∠=?-=?-?=?，

∵//a b ，

∴2AED ACB ∠∠∠=+，

即21157540

∠=?-?=?，

故选：C．

【点睛】

本题考查综合等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质以及平行直线的性质等知识内容．等腰三角形的性质定理：等腰三角形两底角相等；三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180?；三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；两直线平行，同位角相等．

7．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，两条对角线相交于点O，若OB＝6，则菱形面积是（）

A．60 B．48 C．24 D．96

【答案】D

【解析】

【分析】

由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，由勾股定理可求AO的长，即可求解．【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，

∴AO22100368

AB OB

-=-=，

∴AC＝16，BD＝12，

∴菱形面积＝1216

2

?

＝96，

故选：D．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．

8．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）

A．B．C．

D．

【答案】C

【解析】

【分析】

欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

【详解】

A、72+242=252，152+202≠242，(7+15)2+202≠252，故A不正确；

B、72+242=252，152+202≠242，故B不正确；

C、72+242=252，152+202=252，故C正确；

D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确，

故选C．

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．

9．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB 于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是()

A．2 B2C3D．3

【答案】C

【解析】

【分析】

由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三

角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM 的长．

【详解】

解：∵OP 平分∠AOB ，∠AOB=60°，

∴∠AOP=∠COP=30°，

∵CP ∥OA ，

∴∠AOP=∠CPO ，

∴∠COP=∠CPO ，

∴OC=CP=2，

∵∠PCE=∠AOB=60°，PE ⊥OB ，

∴∠CPE=30°，

∴CE=12CP=1， ∴PE=22CP CE 3

-=， ∴OP=2PE=23，

∵PD ⊥OA ，点M 是OP 的中点，

∴DM=

12

OP=3． 故选C ． 考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．

10．如图，在四边形ABCD 中，,90,5,10AD BC ABC AB BC ∠=?==P ，连接,AC BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E ．若3DE =，则AD 的长为（ ）

A ．55

B ．45

C ．35

D ．25

【答案】D

【解析】

【分析】

先判断出△ABC 与△DBE 相似，求出BD ，最后用勾股定理即可得出结论．

【详解】

如图1，

在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，∴AC=55，

连接BE，

∵BD是圆的直径，

∴∠BED=90°=∠CBA，

∵∠BAC=∠EDB，

∴△ABC∽△DEB，

∴AB AC DE DB

＝，

∴5

3

55＝，

∴DB=35，

在Rt△ABD中，AD=2225

BD AB

-=，

故选：D．

【点睛】

此题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．

11．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是()

A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF

【答案】D

【解析】

解：∵∠B=∠DEF，AB=DE，∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；

∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；

∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；

故选D．

点睛：本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS 和HL是解题的关键．

12．如图所示，将含有30°角的三角板(∠A=30°)的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=38°，则∠2的度数（）

A．28°B．22°C．32°D．38°

【答案】B

【解析】

【分析】

延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2=∠AEC，代入求出即可．

【详解】

解：如图，延长AB交CF于E，

∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∠ABC=60°，

∵∠1=38°，

∴∠AEC=∠ABC-∠1=22°，

∵GH∥EF，

∴∠2=∠AEC=22°，

故选B．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．

13．下列几组线段中，能组成直角三角形的是（）

A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．2，5，5

【答案】C

【解析】

【分析】

要验证是否可以组成直角三角形，根据勾股定理的逆定理，只要验证三边的关系是否满足两边平方是否等于第三边的平方即可，分别验证四个选项即可得到答案．

【详解】

A．222

+≠，故不能组成直角三角形；

234

B. 222

+≠，故不能组成直角三角形；

346

C ．22251213+=，故可以组成直角三角形；

D ．222255+≠，故不能组成直角三角形；

故选C ．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的逆定理（如果三角形两边的平方等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形），掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

14．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接OC 交⊙O 于点D ，连接BD ，∠C=40°．则∠ABD 的度数是（ ）

A ．30°

B ．25°

C ．20°

D ．15°

【答案】B

【解析】 试题分析：∵AC 为切线 ∴∠OAC=90° ∵∠C=40° ∴∠AOC=50°

∵OB=OD ∴∠ABD=∠ODB ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50° ∴∠ABD=∠ODB=25°. 考点：圆的基本性质.

15．如图：AD AB ⊥，AE AC ⊥，AD AB =，AE AC =，连接BE 与DC 交于M ，则：①DAC BAE ∠=∠；②DAC BAE ??≌；③DC BE ⊥；正确的有（ ）个

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】D

【解析】

【分析】 利用垂直的定义得到90DAB EAC ∠=∠=?，则ADC BAE ∠=∠，于是可对①进行判断；利用“SAS ”可证明DAC BAE ???，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到ADC ABE ∠=∠，则根据三角形内角和和对顶角相等得到90DMB DAB ∠=∠=?，于是可对③进行判断．

【详解】

解：AD AB ⊥Q ，AE AC ⊥，

90DAB ∴∠=?，90EAC ∠=?，

DAB BAC EAC BAC ∴∠+=∠+∠，

即ADC BAE ∠=∠，所以①正确；

在DAC ?和BAE ?中，

DA AB DAC BAE AC AE =??∠=∠??=?

，

()DAC BAE SAS ∴???，所以②正确；

ADC ABE ∴∠=∠，

∵∠AFD=∠MFB ，

90DMB DAB ∴∠=∠=?，

DC BE ∴⊥，所以③正确．

故选：D ．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．

16．如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，

3)，点C 的坐标为(12

，0)，点P 为斜边OB 上的一个动点，则PA ＋PC 的最小值为( )

A 13

B 31

C 3+19

D ．7

【答案】B

【解析】

如图，作点A 关于OB 的对称点点D ，连接CD 交OB 于点P ，此时PA ＋PC 最小，作DN ⊥x 轴交于点N ，

∵B（3，3），∴OA=3，AB=3，∴OB=23，∴∠BOA=30°，

∵在Rt△AMO中，∠MOA=30°，AO=3，∴AM=1.5，∠OAM=60°，∴∠ADN=30°，

∵在Rt△AND中，∠ADN=30°，AD=2AM=3，∴AN=1.5，DN=3

3

2

，

∴CN=3－1

2

－1.5=1，

∴CD2=CN2+DN2=12+（3

3

2

）2=

31

4

，∴CD=

31

.

故选B.

点睛：本题关键在于先借助轴对称的性质确定出P点的位置，然后结合特殊角30°以及勾股定理计算.

17．如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（）

A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍

【答案】B

【解析】

设原直角三角形的三边长分别是，且，则扩大后的三角形的斜边长为

，即斜边长扩大到原来的2倍，故

选B.

18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为( )

A．30°B．45°C．36°D．72°

【答案】A

【解析】

∵AB=AC，BD=BC=AD，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，

又∵∠BDC=∠A+∠ABD，

∴∠BDC=∠C=∠ABC=2∠A，

∵∠A+∠ABC+∠C=180°，

∴∠A+2∠A+2∠A=180°，即5∠A=180°，

∴∠A=36°.

故选A.

19．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若AD =5cm ，CD =3cm ，则点D 到AB 的距离DE 是（ ）

A ．5cm

B ．4cm

C ．3cm

D ．2cm

【答案】C

【解析】 ∵点D 到AB 的距离是DE ，

∴DE ⊥AB ，

∵BD 平分∠ABC ，∠C =90°，

∴把Rt △BDC 沿BD 翻折后，点C 在线段AB 上的点E 处，

∴DE=CD ，

∵CD =3cm ，

∴DE=3cm.

故选：C.

20．如图，已知ABC ?，若AC BC ⊥，CD AB ⊥，12∠=∠，下列结论：

①//AC DE ；②3A ∠=∠；③3EDB ∠=∠；④2∠与3∠互补；⑤1B ∠=∠，其中正确的有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

【答案】C

【解析】

【分析】 根据平行线的判定得出AC ∥DE ，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．

【详解】

∵∠1=∠2，

∴AC∥DE，故①正确；

∵AC⊥BC，CD⊥AB，

∴∠ACB=∠CDB=90°，

∴∠A+∠B=90°，∠3+∠B=90°，

∴∠A=∠3，故②正确；

∵AC∥DE，AC⊥BC，

∴DE⊥BC，

∴∠DEC=∠CDB=90°，

∴∠3+∠2=90°（∠2和∠3互余），∠2+∠EDB=90°，

∴∠3=∠EDB，故③正确，④错误；

∵AC⊥BC，CD⊥AB，

∴∠ACB=∠CDA=90°，

∴∠A+∠B=90°，∠1+∠A=90°，

∴∠1=∠B，故⑤正确；

即正确的个数是4个，

故选：C．

【点睛】

此题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．