新编人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换导学案
第三章 三角恒等变换
1.三角恒等变换中角的变换的技巧
三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角
例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ???
?5π6－α的值.
分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π
6
－α的关系.
解.∵? ????π6＋α＋? ??
?
?5π6－α＝π，
∴
5π6－α＝π－? ??
??π6
＋α.
∴cos ?
????5π6－α＝cos ????
?
?π－? ????π6＋α
＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ??
??5π
6－α
＝－33.
二、利用目标中的角表示条件中的角 例
2.设
α
为第四象限角，若sin 3α
sin α
＝13
5
，则tan 2α＝
_______________________________.
分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13
5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan
2α.
解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α
sin α
＝2cos 2
α＋cos 2α＝135
.
∵2cos 2
α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45.
∵α为第四象限角，∴2k π＋3π
2<α<2k π＋2π(k ∈Z )，
∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，
∴2α可能在第三、四象限， 又∵cos 2α＝4
5，∴2α在第四象限，
∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－3
4.
答案.－3
4
三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3.已知sin ? ????π4－x ＝5
13，0 ? ?π4＋x 的值. 分析.转化为已知角? ????π4－x 的三角函数值，求这个角的其余三角函数值，这样可以将所求式 子化简，使其出现? ????π4－x 这个角的三角函数. 解.原式＝sin ? ????π2＋2x cos ? ????π4＋x ＝2sin ? ????π4＋x cos ? ?? ??π4＋x cos ? ?? ??π4＋x ＝2sin ? ????π4＋x ＝2cos ? ?? ??π4－x ， ∵sin ? ????π4－x ＝513，且0 ????0，π4. ∴cos ? ????π4－x ＝ 1－sin 2? ????π 4－x ＝1213 ， ∴原式＝2×1213＝24 13 . 四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角 例4.求函数f (x )＝1－3 2 sin(x －20°)－cos(x ＋40°)的最大值. 分析.观察角(x ＋40°)－(x －20°)＝60°，可以把x ＋40°看成(x －20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f (x ). 解.f (x )＝1－3 2 sin(x －20°)－cos[(x －20°)＋60°] ＝12sin(x －20°)－3 2sin(x －20°)－cos(x －20°)cos 60°＋sin(x －20°)sin 60° ＝12[sin(x －20°)－cos(x －20°)]＝2 2 sin(x －65°)， 当x －65°＝k ·360°＋90°，即x ＝k ·360°＋155°(k ∈Z )时，f (x )有最大值22 . 2.三角恒等变换的几个技巧 三角题是高考的热点，素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助. 一、灵活降幂 例1 3－sin 70°2－cos 2 10° ＝________. 解析.3－sin 70°2－cos 2 10°＝3－sin 70°2－ 1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20° 2＝2. 答案.2 点评.常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2 θ＋cos 2 θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 2 2θ，等等. 二、化平方式 例2 化简求值： 12－12 12＋12cos 2α(α∈(3π 2 ，2π)). 解.因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π 4，π)，所以cos α>0， sin α 2 >0，故原式＝ 12－12 1＋cos 2α 2 ＝ 12－1 2 cos α＝ sin 2 α2＝sin α2 . 点评.一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2 α、2sin 2 α、(sin α＋cos α)2 、(sin α－cos α)2 . 三、灵活变角 例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π 3 ＋2α)＝________. 解析.cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π 6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79. 答案.－7 9 点评.正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3 ＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余. 四、构造齐次弦式比，由切求弦 例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ 1＋sin 2θ的值是________. 解析.cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2 θ－sin 2 θ cos 2θ＋sin 2 θ＋2sin θcos θ ＝1－tan 2 θ 1＋tan 2 θ＋2tan θ＝1－14 1＋14＋2×(－12)＝3 41 4＝3. 答案.3 点评.解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ 1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比. 五、分子、分母同乘 以2n sin α求cos αcos 2αcos 4αcos 8α…cos 2n －1 ·α的值 例5 求cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π 11的值. 解.原式＝－cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π 11 ＝－24 sin π11cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π11 24 sin π11 ＝－sin 16π11cos 5π1124sin π11＝sin 5π11cos 5π1124sin π11＝12·sin 10π11 24 sin π11 ＝sin π 1125 sin π11 ＝1 32. 点评.这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可. 3.聚焦三角函数最值的求解策略 一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解 例1.求函数f (x )＝sin 4 x ＋cos 4 x ＋sin 2 x cos 2 x 2－sin 2x 的最值. 解.原函数变形得f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x cos 2 x 2－sin 2x ＝1－14sin 22x 2－sin 2x ＝? ????1＋12sin 2x ? ????1－12sin 2x 2? ??? ?1－12sin 2x ＝14sin 2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝1 4 . 例2.求函数y ＝sin 2 x ＋2sin x cos x ＋3cos 2 x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合. 解.原函数化简得y ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2 ＝2sin ? ????2x ＋π4＋2. 当2x ＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即x ＝k π＋5 8π，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2. 此时x 的集合为{x |x ＝k π＋5 8 π，k ∈Z }. 点评.形如y ＝a sin 2 ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2 ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(2ωx ＋φ)＋B 的形式求最值. 二、利用正、余弦函数的有界性求解 例3.求函数y ＝2sin x ＋1 2sin x －1 的值域. 解.原函数整理得sin x ＝y ＋1 2(y －1) . ∵|sin x |≤1，∴?? ?? ??y ＋12(y －1)≤1，解出y ≤13或y ≥3. ∴函数的值域为{y |y ≤1 3或y ≥3}. 例4.求函数y ＝sin x ＋3 cos x －4 的值域. 解.原函数整理得sin x －y cos x ＝－4y －3， ∴y 2 ＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3，∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y 2 . ∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式???? ?? －4y －31＋y 2≤1得 －12－2615≤y ≤－12＋26 15. 点评.对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋b c cos x ＋d 的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有 界性去求最值. 三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值 例5.设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式. 解.y ＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2 x －2a cos x －(2a ＋1)＝2? ????cos x －a 22－? ?? ??a 2 2＋2a ＋1. 当a 2 <－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1，此时cos x ＝－1. 当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a 2. 当a 2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝????? 1(a <－2)，－1 2a 2 －2a －1(－2≤a ≤2)， 1－4a (a >2). 点评.形如y ＝a sin 2 x ＋b sin x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2 ＋bt ＋c 在区间[－1，1]上的最值问题解决. 例6.试求函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＋2的最值. 解.设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2， 2 ]，则2sin x cos x ＝t 2 －1，原函数变为y ＝t 2 ＋t ＋1，t ∈[－2， 2 ]，当t ＝－12时，y min ＝3 4 ；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2. 点评.一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(t 2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(1－t 2 ). 四、利用函数的单调性求解 例7.求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )2＋sin x 的最值. 解.y ＝sin 2 x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝(sin x ＋2)2 －1sin x ＋2 ＝(sin x ＋2)－ 1 (sin x ＋2) ， 令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1，3]，y ＝t －1 t . 利用函数单调性的定义易证函数y ＝t －1 t 在[1，3]上为增函数. 故当t ＝1，即sin x ＝－1时，y min ＝0； 当t ＝3，即sin x ＝1时，y max ＝8 3 . 例8.在Rt△ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求P Q 的最小值. 解.AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12 a 2 tan θ.设正方形的边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝ a cos θ .BC 边上的高h ＝a sin θ， ∵AG AB ＝ h －x h ，即x cos θa ＝a sin θ－x a sin θ ， ∴x ＝a sin θ 1＋sin θcos θ，∴Q ＝x 2 ＝a 2sin 2θ (1＋sin θcos θ) 2. 从而P Q ＝sin θ2cos θ·(1＋sin θcos θ)2sin 2 θ ＝(2＋sin 2θ)24sin 2θ＝1＋? ?? ??sin 2θ4＋1sin 2θ. 易知函数y ＝1t ＋t 4在区间(0，1]上单调递减， 从而，当sin 2θ＝1时，? ?? ??P Q min ＝94. 点评.一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数单调性巧妙解决. 4.行百里者半九十 ——《三角恒等变换》一章易错问题盘点 一、求角时选择三角函数类型不当而致错 例1.已知sin α＝ 55，sin β＝10 10 ，α和β都是锐角，求α＋β的值. [错解].因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝25 5 ，cos β＝ 310 10 ， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝ 55×31010＋255×1010＝22 . 因为α，β∈? ????0，π2，则α＋β∈(0，π). 所以α＋β＝π4或3π 4. [剖析].由sin α＝ 55，sin β＝10 10 ，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的.这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值. [正解].因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝25 5 ，cos β＝ 31010，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝2 2 . 因为α，β∈? ????0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4. 二、忽视条件中隐含的角的范围而致错 例2.已知tan 2 α＋6tan α＋7＝0，tan 2 β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值. [错解].由题意知tan α、tan β是方程x 2 ＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系，得 ? ?? ?? tan α＋tan β＝－6， ① tan αtan β＝7， ② ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1. ∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝5 4 π. [剖析].由①②知tan α<0，tan β<0，角α、β都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件. [正解].由??? ? ? tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7 易知tan α<0，tan β<0. ∵α、β∈(0，π)， ∴π2<α<π，π 2<β<π，∴π<α＋β<2π. 又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54 π. 三、忽略三角形内角间的关系而致错 例3.在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝5 13，求cos C . [错解].由sin A ＝35，得cos A ＝±4 5， 由cos B ＝513，得sin B ＝12 13， 当cos A ＝4 5 时， cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝16 65. 当cos A ＝－4 5 时， cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝56 65 . [剖析].在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的和为π，解题时要充分利用这一定理.本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－4 5这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确. [正解].由cos B ＝513>0，得B ∈? ????0，π2，且sin B ＝1213. 由sin A ＝35，得cos A ＝±4 5 ， 当cos A ＝－45时，cos A <－12，∴A >2π 3. ∵sin B ＝1213>32，B ∈? ????0，π2，∴B >π3. 故当cos A ＝－4 5时，A ＋B >π，与A 、B 是△ABC 的内角矛盾. ∴cos A ＝4 5 ， cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝16 65 . 四、忽略三角函数的定义域而致错 例4.判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x 的奇偶性. [错解].f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x ＝ 1＋2sin x 2cos x 2－? ? ??? 1－2sin 2 x 21＋2sin x 2 cos x 2＋? ?? ? ?2cos 2x 2 －1 ＝2sin x 2? ? ??? cos x 2＋sin x 22cos x 2? ? ???sin x 2＋cos x 2＝tan x 2， 由此得f (－x )＝tan ? ???? －x 2＝－tan x 2＝－f (x )， 因此函数f (x )为奇函数. [剖析].运用公式后所得函数f (x )＝tan x 2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函 数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错. [正解].事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得 sin x ＋cos x ≠－1，即2sin ? ????x ＋π4≠－1， 从而sin ? ????x ＋π4≠－22， 所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π 4(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域是 ???? ??x |x ≠2k π＋π且x ≠2k π＋3π 2，k ∈Z ， 显然该定义域不关于原点对称. 因此，函数f (x )为非奇非偶函数. 温馨点评.判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数.上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错. 五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2 sin(x ＋φ)而致错 例5.若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值. [错解].∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)， ∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ? ????θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数. ∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2. ∴f (0)＝2sin ? ????θ＋π4＝±2， ∴sin ? ????θ＋π4＝±1， ∴θ＋π4＝k π＋π 2，k ∈Z . 即θ＝k π＋π 4 ，k ∈Z . [剖析].∵x ＋θ与x －θ是不同的角. ∴函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理. [正解].∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数. ∴f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立. 即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立. ∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0. ∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立. 即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立. ∴cos θ＋sin θ＝0. ∵cos θ＋sin θ＝2sin ? ????θ＋π4＝0. ∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π 4 ，k ∈Z . 5.平面向量与三角函数的交汇题型大全 平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想.这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解. 一、平面向量平行与三角函数交汇 例1 已知a ＝(2cos x ＋23sin x ，1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b .若f (x )是y 关于x 的函数，则f (x )的最小正周期为________. 解析.由a ∥b 得2cos 2 x ＋23sin x cos x －y ＝0， 即y ＝2cos 2 x ＋23sin x cos x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1 ＝2sin(2x ＋π 6 )＋1， 所以f (x )＝2sin(2x ＋π 6 )＋1， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π 2＝π. 答案.π 点评.解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解. 二、平面向量垂直与三角函数交汇 例2 已知向量a ＝(4，5cos α)，b ＝(3，－4tan α)，α∈(0，π 2)，若a ⊥b ，则cos(2α ＋π 4 )＝________. 解析.因为a ⊥b ，所以4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0， 解得sin α＝3 5 . 又因为α∈(0，π2)，所以cos α＝4 5. cos 2α＝1－2sin 2 α＝725， sin 2α＝2sin αcos α＝24 25 ， 于是cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π 4 ＝－172 50. 答案.－172 50 点评.解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理. 三、平面向量夹角与三角函数交汇 例3 已知向量m ＝(sin θ，1－cos θ)(0<θ<π)与向量n ＝(2，0)的夹角为π 3 ，则θ＝________. 解析.由条件得 |m |＝sin 2 θ＋(1－cos θ)2 ＝2－2cos θ， |n |＝2，m ·n ＝2sin θ，于是由平面向量的夹角公式得cos π3＝m ·n |m ||n |＝2sin θ 22－2cos θ＝ 12，整理得2cos 2 θ－cos θ－1＝0，解得cos θ＝－12或cos θ＝1(舍去). 因为0<θ<π，所以θ＝2π3. 答案.2π3 点评.解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式，然后由三角函数的知识求解. 四、平面向量的模与三角函数交汇 例4 若向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________. 解析.由条件可得|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝3cos θ－sin θ， 则|2a －b |＝ |2a －b |2 ＝ 4a 2 ＋b 2 －4a ·b ＝8－4(3cos θ－sin θ)＝ 8－8cos (θ＋π 6 )≤4， 所以|2a －b |的最大值为4. 答案.4 点评.解答平面向量的模与三角函数交汇一般要用到向量的模的性质|a |2 ＝a 2 .如果是求模的大小，则一般可直接求解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的有界性求解. 五、平面向量数量积与三角函数交汇 例5 若函数f (x )＝2sin(π6x ＋π 3)(－2 数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA → 等于(..) A.－32 B.－16 C.16 D.32 解析.由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4，0)，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OA →，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2 ＝2×42 ＝32， 答案.D 点评.平面向量数量积与三角函数的综合主要体现为两类：(1)利用三角函数给出向量的坐标形式，然后求数量积，解答时利用数量积公式可直接解决；(2)给出三角函数图象，求图象上相关点构成的向量之间的数量积，解答时关键是求涉及到的向量的模、以及它们的夹角. 6.单位圆与三角恒等变换巧结缘 单位圆与三角函数有着密切联系，下面我们通过例题来看看单位圆与三角恒等变换是如何结缘的. 一、借助单位圆解决问题 例1.已知sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，求tan α＋β 2 .(提示：已知A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，则AB 中点的坐标为? ?? ??? ????x 1＋x 22，? ????y 1＋y 22 解.设A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)均在单位圆上，如图，则以OA 、OB 为终边的角分别为α、β，由已知，sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝1 3 ，用题设所给的中点坐 标公式，得AB 的中点C ? ?? ??16，18， 如图，由平面几何知识知，以OC 为终边的角为β－α2＋α＝α＋β2，且过点C ? ????16，18，由三角函数的坐标定义，知tan α＋β2＝1 816 ＝3 4 . 点评.借助单位圆使问题简单化，这种思维方法贯穿整个三角函数问题的始终，特别在求值中更能显出它的价值. 二、单位圆与恒等变换的交汇 例2.已知圆x 2 ＋y 2 ＝R 2 与直线y ＝2x ＋m 相交于A 、B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α，OB 为终边的角为β，则tan(α＋β)的值为________. 解析.如图，过O 作OM ⊥AB 于点M ，不妨设α、β∈[0，2π]， 则∠AOM ＝∠BOM ＝1 2∠AOB ＝1 2 (β－α)， 又因为∠xOM ＝α＋∠AOM ＝ α＋β 2 ， 所以tan α＋β2＝k OM ＝－1k AB ＝－1 2， 故tan(α＋β)＝2tan α＋β 21－tan 2α＋β 2＝－4 3. 答案.－4 3 点评.若是采用先求A 、B 两点的坐标，再求α、β的正切值这一思路就很繁锁甚至做不下去，可见用不同的解决方法繁简程度不同. 例3.如图，A ，B 是单位圆O 上的点，OA 为角α的终边，OB 为角β的终边，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交圆O 于点C . (1)若α＝π6，β＝π 3 ，求点M 的坐标； (2)设α＝θ(θ∈??????0，π3)，β＝π3，C (m ，n )，求y ＝m ＋n 的最小值，并求使函数取得最 小值时θ的取值. 解.(1)由三角函数定义可知，A ? ????32，12，B ? ?? ??1 2，32， 由中点坐标公式可得M ? ????3＋14 ，3＋14. (2)由已知得∠xOC ＝12(α＋β)＝12(θ＋π 3)， 即C ? ????cos ? ????12θ＋π6，sin ? ????1 2θ＋π6， 故m ＝cos ? ????12θ＋π6，n ＝sin ? ????1 2 θ＋π6， 所以y ＝cos ? ????12θ＋π6＋sin ? ????12θ＋π6＝2sin ? ????1 2θ＋5π12， 又因为θ∈? ?????0，π3，故5π12≤12θ＋5π12≤7π12， 当θ＝0或π3时，函数取得最小值y min ＝2sin 5π12＝3＋1 2 . 点评.借助单位圆和点的坐标，数形结合，利用平面几何知识和三角函数的定义使问题简单化. 7.教你用好辅助角公式 在三角函数中，辅助角公式a sin θ＋b cos θ＝a 2 ＋b 2 ·sin(θ＋φ)，其中角φ所在的象限由a ，b 的符号确定，φ的值由tan φ＝b a 确定，它在三角函数中应用比较广泛，下面举例说明，以供同学们参考. 一、求最值 例1.求函数y ＝2sin x (sin x －cos x )的最小值. 解.y ＝2sin x (sin x －cos x )＝2sin 2 x －2sin x cos x ＝1－cos2x －sin 2x ＝1－2? ?? ??sin 2x · 22＋cos 2x ·22 ＝1－2? ????sin 2x cos π4＋cos 2x sin π4 ＝1－2sin ? ????2x ＋π4， 所以函数y 的最小值为1－ 2. 二、求单调区间 例2.求函数y ＝12cos 2 x ＋32sin x cos x ＋1的单调区间. 解.y ＝12cos 2 x ＋32sin x cos x ＋1 ＝14(1＋cos 2x )＋3 4sin 2x ＋1 ＝ 34sin 2x ＋14cos 2x ＋54 ＝12? ????32sin 2x ＋12cos 2x ＋54 ＝12sin ? ? ???2x ＋π6＋54. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π 2(k ∈Z )， 得k π－π3≤x ≤k π＋π 6 (k ∈Z ). 由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π 2(k ∈Z )， 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π 3(k ∈Z ). 所以函数的单调增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )；函数的单调减区间是[k π＋π 6 ，k π＋ 2π 3 ](k ∈Z ). 三、求周期 例3.函数y ＝cos 2 2x ＋4cos 2x sin 2x 的最小正周期是(..) A.2π B.π C.π2 D.π 4 答案.C 解析.y ＝cos 2 2x ＋4cos 2x sin 2x ＝12cos 4x ＋2sin 4x ＋12＝172sin(4x ＋φ)＋12(其中sin φ ＝ 1717，cos φ＝41717)，函数的最小正周期为T ＝2π4＝π 2 .故选C. 四、求参数的值 例4.如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π 8对称，则实数a 的值为(..) A. 2 B.－ 2 C.1 D.－1 答案.D 解析.y ＝1＋a 2 sin(2x ＋φ)(其中tan φ＝a ). 因为x ＝－π8是对称轴，所以直线x ＝－π 8过函数图象的最高点或最低点. 即当x ＝－π8 时，y ＝1＋a 2或y ＝－1＋a 2 . 所以sin ? ????－π4＋a cos ? ?? ??－π4＝±1＋a 2 . 即22 (a －1)＝±1＋a 2 .所以a ＝－1.故选D. §3.1.2 概率的意义 课前预习案 教材助读 阅读教材113-118页，完成下列问题 1.概率的正确理解：概率是描述随机事件发生的的度量，事件A的概率P(A)越大，其发生的可能性就越；概率P(A)越小，事件A发生的可能性就越 . 2.概率的实际应用：知道随机事件的概率的大小, 有利我们做出正确的 ,还可以解决某些决策或规则的正确性与公平 性. 3.游戏的公平性：应使参与游戏的各方的机会为等可能的, 即各方的相等,根据这一要求确定游戏规则才是的. 4.决策中的概率思想：以使得样本出现的 最大为决策的准则. 5.天气预报的概率解释：降水的概率是指降水的这个随机事件出现的 ,而不是指某些区域有降水或能不能降水. 6.遗传机理中的统计规律: (看教材P118) 课内探究案 一、新课导学 1、阅读课本p113“思考”，讨论其结果： 2、问题1：抛掷10次硬币，是否一定是5次“正面朝上”和5次“5次反面朝上”? 3、问题2：有四个阉，其中两个分别代表两件奖品，四个人按排序依次抓阉来决定这两件 奖品的归属.先抓的人中奖率一定大吗？ 二、合作探究 探究1:概率的正确理解 问题1：有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上。你认为这种想法正确吗？ 试验：让我们做一个抛掷硬币的试验，观察它落地时的情况。 每人各取一枚同样的硬币，连续两次抛掷，观察它落地后的朝向，并记录下结果，填入下表。重复上 面的过程10次，把全班同学试验结果汇总，计三种结果发生的频率。 事实上，“两次均反面朝上”的概率为， “两次均反面朝上”的概率为，“正面朝上、反面朝上各一次”的概率 为。 问题2:有人说,中奖率为 1/1000的彩票,买1000张一定中奖,这种理解对吗? 探究2:游戏的公平性 问题3:在一场乒乓球比赛前，必须要决定由谁先发球，并保证具有公平性，你知道裁 判员常用什么方法确定发球权吗？其公平性是如何体现出来的？ 探究3:决策中的概率思想 思考：如果连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，你认为这枚骰子的质地是均匀的，还是不均匀的？如何解释这种现象？ 探究4:天气预报的概率解释 思考：某地气象局预报说，明天本地降水概率为70%，你认为下面两个解释中哪一个能 代表气象局的观点？明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨？明天本地下雨的机会 是70% 思考：遗传机理中的统计规律 你能从课本上这些数据中发现什么规律吗？ ※典型例题 例1某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动。由于某种原因，一班必须参加，另外再从二至十二班中选1个班.有人提议用如下的方法：掷两个骰子 得到点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？哪个班被选中的概率最大？ 例2 为了估计水库中的鱼的尾数，先从水库中捕出 2 000尾鱼，给每尾鱼作上记号（不影响其存活），然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水 库中捕出500尾鱼，其中有记号的鱼有40尾，试根据上述数据，估计这个水库里鱼的尾数． 2019-2020年高二数学必修3 苏教版 教学目标： 1、理解为什么能用样本数据的平均值估计总体的水平。初步了解如何动用数学知识和方法进行统计研究，提高统计的准确性利税学。感受统计不仅是列表、画图的低层次的工作，而且是一门具有高度科学性的理论与实际相结合的学科。 2、掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计的方法。 3、通过对数据的分析与估计，培养学生的理性思维能力。 教学重点：利用平均数和组中值对样本数据进行分析和估计。 教学难点：最小二乘法的思维过程的理解。 教学过程： 课堂引入： 在2.2节中，我们通过列频率分布表、画频率分布直方图、条形图、折线图、密度曲线和茎叶图来对数据从分布规律角度进行分析和估计，发现数据的规律。从本节起，我们利用上节的相同背景问题，从不同的角度提取数量规律进行分析和估计。 我们从天气预报中常见的“月平均气温”、“年平均气温”等概念，对某季篮球联赛中队员得分情况统计，也常利用“平均得分”，成绩统计中，也利用 “平均分”等，都涉及到“平均数”的概念。 初中我们曾经学过众数、中位数、平均数等各种数字特征，这些数字都能为我们提供关于样本数据的特征信息。 学生思考：在频率直方图中，众数是指最高矩形的中点的横坐标，中位数是指样本数据中累积频率为0.5时所对应的样本数据值，平均数是指样本数据的算术平均数。 定义：能反映总体某种特征的量称为总体特征数 思考：怎样通过抽样的方法，用样本的特征数估计总体的特征数呢？ 新课讲授 §2.3.1平均数及其估计 课本P50页引例： 我们可以计算7月25日至8月10日平均气温为34.02度，8月8日至8月24日的平均气 温为30.02度。 学生自学、讨论课本引例，教师引导，适当提示分析最小二乘法的思维过程。注意以下两点： （1）n 个实数a 1，a 2，a 3，……，a n 的和简记为 ∑=n i i a 1 ； （2）n a a a a n +++= ......21称为这n 个实数a 1，a 2，a 3，……，a n 的平均数或均值。（算术 平均数） 例1：教师在电脑上用EXCEL 展示数据，并直接用EXCEL 中的函数“AVERAGE ”计算给定数据的平均数。 学生练习：课本P66页第3题 第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定 四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。 2．1 随机抽样 2．1.1 简单随机抽样 1．问题导航 (1)什么叫简单随机抽样？ (2)最常用的简单随机抽样方法有哪两种？ (3)抽签法是如何操作的？ (4)随机数表法是如何操作的？ 2．例题导读 通过教材中的“思考”，我们了解抽签法的优、缺点及适用条件． 1．简单随机抽样的定义 设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样． 2．简单随机抽样的分类 简单随机抽样? ????抽签法（抓阄法）随机数法 3．随机数法的类型 随机数法?????随机数表法随机数骰子法计算机产生的随机数法 1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次抽到的可能性最小；( ) (2)有同学说：“随机数表只有一张，并且读数时只能按照从左向右的顺序读取，否则产生的随机样本就不同了，对总体的估计就不准确了”．() 解析：(1)在简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性相等，与第几次抽取无关； (2)随机数表的产生是随机的，读数的顺序也是随机的，不同的样本对总体的估计相差并不大． 答案：(1)×(2)× 2．某校期末考试后，为了分析该校高一年级1 000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法中正确的是() A．1 000名学生是总体 B．每名学生是个体 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本的容量是100 解析：选D.该问题中，1 000名学生的成绩是总体，每个学生的成绩是个体，抽取的100名学生的成绩是样本，样本的容量是100. 3．抽签法的优点、缺点各是什么？ 解：优点：简单易行，当总体个数不多的时候搅拌均匀很容易，每个个体有均等的机会被抽中，从而保证样本的代表性．缺点：当总体个数较多时很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大． 1．简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽样有两种选取个体的方法：放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．2．随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型． 3．简单随机抽样中每个个体入样的可能性都相等，均为n/N，但是这里一定要将每个个体入样的可能性、第n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种情况区分开来，避免在解题中出现错误． 第三章经典习题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150 分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．sin 2 π12－cos 2 π12的值为( ) A ．－1 2 B.1 2 C ．－3 2 D.32 [答案] C [解析] 原式＝－(cos 2 π12－sin 2 π12)＝－cos π6＝－32. 2．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( ) A.π23 B ．π C ．2π D ．4π [答案] B [解析] f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)，故T ＝2π 2＝π. 3．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos(3π 2＋2θ)＝( ) A ．－429 B ．－79 C.429 D.79 [答案] C [解析] cos(3π2＋2θ)＝sin2θ＝2sin θcos θ＝2×223×13＝42 9. 4．若tan α＝3，tan β＝4 3，则tan(α－β)等于( ) A ．－3 B ．－1 3 C ．3 D.13 [答案] D [解析] tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β＝3－43 1＋3× 43＝1 3. 5．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值是( ) A.54 B.62 C.32 D ．1＋2 3 [答案] A [解析] 原式＝sin 2 15°＋cos 2 15°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝5 4. 6．y ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x 的最小值是( ) A. 2 B ．－ 2 C ．2 D ．－2 [答案] B [解析] y ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π 4)，∴y max ＝－ 2. 7．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)＝( ) 第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )， 2016-2017学年高中数学必修五 全册导学案及章节检测 目 录 1．1.1 正弦定理(一) ............................................................................................................. 1 1.1.1 正弦定理(二) ................................................................................................................ 5 1．1.2 余弦定理(一) ............................................................................................................. 9 1．1.2 余弦定理(二) ........................................................................................................... 13 1.2 应用举例(一) ................................................................................................................. 18 1.2 应用举例(二) ................................................................................................................. 24 第一章 解三角形章末复习课 ............................................................................................... 30 第一章 解三角形章末检测（A ） ........................................................................................ 35 第一章 解三角形章末检测（B ） ........................................................................................ 42 2.1 数列的概念与简单表示法(一) ................................................................................... 50 2.1 数列的概念与简单表示法(二) ................................................................................... 54 2.2 等差数列(一) ............................................................................................................... 59 2.2 等差数列(二) ............................................................................................................... 63 2.3 等差数列的前n 项和(一) ........................................................................................... 67 2.4 等比数列(一) ............................................................................................................... 76 2.4 等比数列(二) ............................................................................................................... 80 2.5 等比数列的前n 项和(二) ........................................................................................... 88 数列复习课检测试题 ............................................................................................................. 93 数列习题课（1）检测试题 ................................................................................................... 98 数列习题课（2）新人教A 版必修5 .................................................................................. 102 数列章末检测（A ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 106 数列章末检测（B ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 112 第二章 数 列 章末检测(B) 答案 ............................................................................. 115 3.1 不等关系与不等式 ...................................................................................................... 120 3.2 一元二次不等式及其解法(一) ................................................................................... 125 3.2 一元二次不等式及其解法(二) ................................................................................... 130 3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 ......................................................................... 134 3．3.2 简单的线性规划问题(一) . (140) 3．3.2 简单的线性规划问题(二) (146) 3.4 ≤a ＋b 2(二) (157) 第三章 不等式复习课 ......................................................................................................... 161 第三章 不等式章末检测（A ） .......................................................................................... 167 第三章 不等式章末检测（B ） (174) 【推荐】2020年苏教版高中数学必修二（全 册）同步练习汇总 第1章立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.1 棱柱、棱锥和棱台 A级基础巩固 1．下列图中属于棱柱的有() A．2个B．3个 C．4个D．5个 解析：根据棱柱的定义, 第一行中前两个和第二行中后两个为棱柱． 答案：C 2．五棱柱中, 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线, 那么一个五棱柱共有对角线() A．20条B．15条 C．12条D．10条 解析：由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线, 因为不同在任何侧面内, 故从一个顶点出发的对角线有2条, 五棱柱的对角线共有2×5＝10(条)． 答案：D 3．下面图形所表示的几何体中, 不是棱锥的为() 解析：判断一个几何体是否是棱锥, 关键看它是否满足以下条件：有一个面是多边形, 其余各面都是三角形, 且是有一个公共顶点的三角形．故A不是棱锥；B是四棱锥；C, D是五棱锥．答案：A 4．关于棱柱的下列说法中正确的是________(填序号)． ①所有的棱都相等； ②至少有两个面的形状完全相同； ③相邻两个面的交线叫作侧棱． 解析：①错误, 因为侧棱与底面上的棱不一定相等；②正确, 根据棱柱的结构特征知, 棱柱的两个底面一定是全等的, 故棱柱中至少有两个面的形状完全相同；③错误, 因为底面和侧面的公共边不是侧棱． 答案：② 5．观察如图所示的正六棱柱, 共有________对平行平面, 能作为棱柱底面的有________对． 解析：观察图中的正六棱柱, 可知共有4对平行平面, 其中能作为棱柱底面的只有1对． 答案：4 1 6．下列说法正确的是________(填序号)． ①底面是正方形的棱锥是正四棱锥； ②各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥； ③底面是正三角形, 其余各个面是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥； ④正四面体是正三棱锥． 解析：根据定义判定． 答案：④ 7．在四棱锥的四个侧面中, 直角三角形最多有______个． 解析：从长方体中寻找四棱锥模型． 答案：4 8．有一个面是多边形, 其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？ 解：不一定, 因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各 高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 1.1.1 算法的概念 【学习要求】 1．了解算法的含义，体会算法的思想； 2．能够用自然语言描述解决具体问题的算法； 3．理解正确的算法应满足的要求； 4．会写出解线性方程(组)的算法、判断一个数为质数的算法、用二分法求方程近似根的算法． 【学法指导】 通过分析、抽象、程序化二次方程消去法的过程，体会算法的思想，发展有条理地清晰地思维能力，提高算法素养；发展对具体问题的过程与步骤的分析能力，发展从具体问题中提炼算法思想的能力. 【知识要点】 2．算法与计算机 计算机解决任何问题都要依赖于 ，只有将解决问题的过程分解为若干个 ，即 ，并用计算机能够接受的“ ”准确地描述出来，计算机才能够解决问题． 【问题探究】 [问题情境] 赵本山和宋丹丹的小品《钟点工》中有这样一个问题：宋丹丹：要把大象装入冰箱，总共分几步？哈哈哈哈，三步．第一步，把冰箱门打开；第二步，把大象装进去；第三步，把冰箱门带上． 探究点一 算法的概念 问题1 一个大人和两个小孩一起渡河,渡口只有一条小船,每次只能渡1个大人或两个小孩，他们三人都会划船，但都不会游泳．试问他们怎样渡过河去？请写出一个渡河方案. 小结 广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序．菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法．在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种步骤一定可以得到结果的解决问题的程序． 问题2 在初中，对于解二元一次方程组你学过哪些方法？解二元一次方程组? ???? x －2y ＝－1 ① 2x ＋y ＝1 ②的具体步 骤是什么？ 问题3 写出求方程组???? ? A 1x ＋ B 1y ＋ C 1＝0 ①A 2x ＋B 2y ＋C 2 ＝0 ②(A 1B 2－B 1A 2≠0)的解的算法． 问题4 由问题3我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公式可得到问题2的另一个算法，请写出此算法． 小结 根据上述分析，用加减消元法解二元一次方程组，可以分为三、四或五个步骤进行，这些步骤就构成了解二元一次方程组的一个“算法”．在数学中，按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤称为算法．从以上问题中我们看到某一个问题的算法不唯一． 探究点二 算法的步骤设计 例1 设计一个算法，判断7是否为质数． 分析1 质数是怎样定义的？ 分析2 根据质数的定义，怎样判断7是否为质数？ 问题1 根据分析1、分析2写出例1的解答过程． 跟踪训练1 设计一个算法，判断35是否为质数. 问题2 要判断整数89是否为质数，按照例1的思路需用2～88逐一去除89求余数，需要87个步骤，这些步骤基本是重复操作，如何改进这个算法，减少算法的步骤呢？ 问题3 判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？ 例2 写出用“二分法”求方程x 2－2＝0(x >0)的近似解的算法. 小结 算法的特点：（1）有穷性：一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后结束． （2）确定性:算法的计算规则及相应的计算步骤必须是确定的. （3）可行性：算法中的每一个步骤都是可以在有限的时间内完成的基本操作，并能得到确定的结果． 跟踪训练2 求2的近似值，精确度0.05. 【当堂检测】 1．看下面的四段话，其中不是解决问题的算法是________． （1）从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达； （2）解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1； （3）方程x 2－1＝0有两个实根； （4）求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3,再计算3＋3＝6,6＋4＝10,10＋5＝15，最终结果为15. 2．已知直角三角形两直角边长为a ，b ，求斜边长c 的一个算法分下列三步： （1）计算c ＝a 2＋b 2； （2）输入直角三角形两直角边长a ，b 的值； （3）输出斜边长c 的值． 其中正确的顺序是________ 【课堂小结】 算法是建立在解法基础上的操作过程，算法不一定要有运算结果，答案可以由计算机解决，算法没有一 个固定的模式，但有以下几个基本要求： （1）符合运算规则，计算机能操作； （2）每个步骤都有一个明确的计算任务； （3）对重复操作步骤返回处理； （4）步骤个数尽可能少； （5）每个步骤的语言描述要准确、简明． 【课后作业】 兴化市板桥高级中学2009-2010学年度第二学期期中学情检测 高一数学参考答案 1、90 2、2,1-==b a 3、0 4、-2 5、),1(),(+∞?-∞a a 6、ο307、18、25 9、3 39210、311、112、直角 13、32 312214、③ 15、解：（1）()[]()21cos cos cos - =+-=+-=B A B A C π∴C ＝120° （2）由题设：???=+=322b a ab ? -+=?-+=∴120cos 2cos 222222ab b a C BC AC BC AC AB ()()102322 222=-=-+=++=ab b a ab b a 10=∴AB 16、(1)因为x>0,y>0,且2x+y=1 所以 12121x y x y ??+=+? ???()122x y x y ??=++ ??? 44y x x y =++ 448≥+=+= 4112,,42y x y x x y ==上式中，等号当且仅当 即也即x=y=时成立 min 128x y ??∴+= ??? （2） ( )()()( )( )2 2min ,,23 302 3 ,3a+b 22260 1 121 a b R a b ab a b ab a b a b R a b a b ab a b a b a b a b a b ++∈++=-++∴=>∴+<∈+≥-++??≥= ???∴+++-≥∴+≥== ∴+=因为且而当时，有 即上式中等号当且仅当时成立 17、 45451530453015sin sin 1000sin 30sin15sin15cos 7541000100010005001 sin 30sin 302 o o o o o o o o o o o o o ABS SBC BSA AS BS ABS BAS BS BS ?∠=-∠=-=∠=-=∴=∠∠∴=∴=?=?=?=在ABS 中， 第1，2课时1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究： 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{β|β=α+k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o 高中数学必修4知识点总结 第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++= - ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ?升幂公式2 sin 2cos 1,2cos 2cos 122α ααα=-=+ ?降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2 αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 26、 ?（后两个不用判断符号，更加好用） 27、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin( ??形式。()sin cos ααα?A +B =+，其中tan ?B =A ． 28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差， 倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2304560304515o o o o o o =-=-=；问：=12sin π ；=12cos π ； ααααααα半角公式cos 1cos 12t an 2 cos 12sin ;2cos 12cos :+-±=-±=+±=2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :2 2 2αααααα万能公式+-=+= §3.3 几何概型 课前预习案 教材助读 预习教材P135-P136，完成以下问题。 几何概型的两个特点：（1）________________性，（2）_________________性. 课内探究案 一、新课导学 1.模拟方法：通常借助____________来估计某些随机事件发生的概率。用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验，对于某些无法确切知道概率的问题，模拟方法能帮助我们得到其概率的近似值。 2.几何概型： （1）向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在的概率与G1的成正比，而与G的、无关，即P(点M落在G1) = ,则称这种模型为几何概型。 （2）几何概型中G也可以是或的有限区域，相应的概率是或 。 二、合作探究 探究1：飞镖游戏：如图所示，规定射中红色区域表示中奖。 问题1：各个圆盘的中奖概率各是多少？ 问题2：在区间[0，9]上任取一个整数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？ 问题3：在区间[0，9]上任取一个实数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？ 新知1：几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______________，____________或______________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。几何概型的两个特点：（1）_______________性，（2）_________________性. 几何概型概率计算公式： P(A)=____________________________________ ※ 典型例题 例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率. 例2 如图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，则图1、图2落到阴影部分的概率分别为 ___________，__________. 例2、（选讲）在区间[-1,1]上任取两个数，则 （1）求这两个数的平方和不大于1的概率； （2）求这两个数的差的绝对值不大于1的概率。 例3 取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都大于1米的概率是_______. 三、当堂检测 1、平面上画了一些彼此相距a 2的平行线，把一枚半径为)(a r r 的硬币任意掷在这平面上 高中数学必修一、必修四、必修五知识点 一、知识点梳理 必修一第一单元 1.集合定义：一组对象的全体形成一个集合. 2.特征：确定性、互异性、无序性. 3.表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}、韦恩图、语言描述法{不是直角三角形的三角形} 4.常用的数集：自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、正整数集N *. 5.集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集φ 不含任何元素的集合 例：{x|x 2 =－5｝ 5.关系：属于∈、不属于?、包含于?(或?)、真包含于、集合相等＝. 6.集合的运算 （1）交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合；表示为：B A ? 数学表达式：{} B x A x x B A ∈∈=?且 性质：A B B A A A A A ?=?Φ=Φ?=?,, （2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合；表示为：B A ? 数学表达式：{} B x A x x B A ∈∈=?或 性质：A B B A A A A A A ?=?=Φ?=?,, （3）补集：已知全集I ，集合I A ?，由所有属于I 且不属于A 的元素组成的集合。表示：A C I 数学表达式：{} A x I x x A C I ?∈=且 方法：韦恩示意图, 数轴分析. 注意：① 区别∈与、与?、a 与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A ?B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ. ③若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有真子集的个数是n 2-1, 所有非空真子集的个数是22-n 。 ④空集是指不含任何元素的集合。}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 ⑤符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“,?”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 8.函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域. ①．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.高中数学必修三导学案：3.1.2
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