控制系统状态方程求解
第2章 控制系统的状态方程求解
要点：
① 线性定常状态方程的解 ② 状态转移矩阵的求法 ③ 离散系统状态方程的解 难点：
① 状态转移矩阵的求法 ② 非齐次状态方程的解
一 线性定常系统状态方程的解
1 齐次状态方程的解
考虑n 阶线性定常齐次方程
?
?
?==0)0()()(x x t Ax t x
& （2-1） 的解。
先复习标量微分方程的解。设标量微分方程为
?
??==0)0(x x ax x
& （2-2）
对式（2-2）取拉氏变换得
)()(0s aX X s sX =-
移项 0)()(x s X a s =- 则 a
s x s X -=
)(
取拉氏反变换，得 00
0!)()(x k at x e t x k k
at
∑∞
=== 标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当n=1时的特征，因此矩阵微分方程的解与标量微分方程应具有形式的不变性，由此得如下定理：
定理2-1 n 阶线性定常齐次状态方程（2-1）的解为
00
0!)()(x k At x e t x k k
At
∑∞
=== （2-3） 式中，∑∞
==0
!)(k k
At
k At e
推论2-1 n 阶线性定常齐次状态方程
???==00
)()()(x t x t Ax t x
& （2-4）
的解为 0)(0
)(x e t x t t A -= （2-5）
齐次状态方程解的物理意义是)(0
t t A e -将系统从初始时刻0t 的初始
状态0x 转移到t 时刻的状态)(t x 。故)(0
t t A e -又称为定常系统的状态转移
矩阵。
(状态转移矩阵有四种求法：即定义（矩阵指数定义）法、拉氏反变换法、特征向量法和凯来-哈密顿（Cayly-Hamilton ）法)
从上面得到两个等式 ∑∞
==0
!)(k k
At
k At e
])[(11---=A sI L e At
其中，第一式为矩阵指数定义式，第二式可为At e 的频域求法或拉氏反变换法
2 非齐次状态方程的解
设n 阶非齐次方程
?
??=+=0)()()()(x t x t Bu t Ax t x
& (2-6)
将状态方程左乘At e -，有
)()()(t Bu e t Ax e t x
e At At At ---+=& 移项 积分，再移项左乘At e ，得 ?--+=t
t t A t t A d Bu e x e
t x 0
0)()()(0)
(τττ
定理2-2 n 阶线性定常非齐次方程（2-6）的解为
?--+=t
t t A t t A d Bu e x e t x 0
)()()(0)(τττ
从非齐次状态方程解的表达式可以看出其解是由齐次方程的解与控制u （t ）的作用两部分结合而成。
二 矩阵指数At e 的性质
1. ])[(11---=A sI L e At
2. I e =0
3. )(ττ+=t A A At e e e
4. At At e e --=1)(
5. 若矩阵A ，B 满足交换律，即AB=BA ，则有
t B A Bt At e e e )(+=?
6. kAt k At e e =)(
7. 设P 是与A 同阶的非奇异矩阵，则有 P e P e At APt
P
11
-=-
8.
A e Ae e dt
d At At At
== 9. 传递性。对任意012,,t t t ，且012t t t >>，有)()1()(0
2
1
2
t t A t t A t t A e e e ---=
三 At e 的计算方法
1. 定义法
∑∞
==0
!)(k k
At
k At e
（2-6）
2. 拉氏变换法
])[(11---=A sI L e At （2-7） 3. 特征值法
这种方法分两种情况计算。
首先，考虑A 的特征值不重时（互异），设A 的特征值为i λ
),2,1(n i Λ=
则可经过非奇异变换把A 化成对角标准形。
即：AP P A
1?-= 根据t A e ?
的性质7写出
?????
?
?
???????=t t
t
t A
n e e e e
λλλ0
021?O
（2-8） 根据定义，得
Λ
Λ++++=++++=---312113322?
)(!
31
)(!21?!
31?!21?APt P APt P AP P I t A t A t A
I e t A
P A P AP P AP P AP P AP P m
m
m
11111)(-----=?=44443
444421ΛΘ
Λ+++
+=∴----3
3122111?
!
31!21Pt A P Pt A P APt P P P e t A P t A At I P e t A )!
21(2
21?
Λ+++=- P e P At 1-= 从而可得：
10
021-?????
?
?????
???=P e e e P e
t t
t
At
n λλλO
（2-9） （2-9）式即为A 的特征值不重时，计算At e 的公式。其中P 阵为把A 化为对角标准形的交换阵。P 阵的特征向量的求法：
（],,[1n P ξξΛ= ，0)(=-i i A I ξλ） （2-9） 若矩阵A 的具有重根时，用上述的方法也可以推导出：重根所对应的约当块A J 的矩阵指数Ajt e 的分式为
?????
??
?
????????-=-jt
jt
jt
jt
jt n jt jt
Ajt
e te e e e t n te e e λλλλλλλ0
)!
1(11M O Λ （2-10）
求矩阵指数At e 的分式为：
1
11
0)!
1(1---??
?????
?
????
???
?-==P e te e e e t n te e P P Pe e jt jt
jt
jt
jt n jt jt
Ajt At λλλλλλλM O Λ （2-11）
式中P 是把A j 化为约当标准形的变换阵。当A 既有j 重根又有互
异的根时：
1
?-??
??
??=P e e P e
t A t
A At
j （2-12）
P 阵的特征向量的求法：
],,,,,,,,[121n j j p p p P ξξΛΛ+= (2-13)
??
?
????????=-=--=--=-=-++-0
)(0)()()(0)(1111
121
11n n j j j j A I A I p
p A I p
p A I p A I ξλξλλλλM M
(2-14) (注：在（2-13）式中将重根对应的特征向量j p p p ,,,21Λ可放在P 阵的前部，也可以放后，无严格规定。)
4. 莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton ）方法 考虑A 的特征多项式
n n n n a a a A I ++++=Φ=---λλλλλ111)(Λ
显然对A 的n 个特征值n i i ,,2,1,Λ=λ，有0)(=Φi λ。 根据Cayley-Hamilton 定理有
0)(111=++++=Φ--I a A a A a A A n n n n Λ 这里可以看出矩阵A 与i λ具有同等地位。 移项 A a A a A a A a A n n n n n -----=--21121Λ 上式表明，I A A A A n n n ,,,,21Λ--是的线性组合。
因此，可设
∑-=--+++==1
1110)()()()(n k n n k k At
A t A t I t A t e
ββββΛ （2-15）
式中，)(t i β是待定系数，1,,1,0-=n i Λ。 下面分两种情况确定待定系数：
（1）A 有n 个不同特征值n λλλΛ,,21,A 的特征值i λ与A 具有同等地位，
则有 n i t e n k k
i k t
i ,,2,1)(1
Λ==∑-=λβλ （2-16）
这里共有n 个方程，可以唯一确定n 个待定系数)(t i β。
（2） 当A 的特征值有重时，设A 有p 个互异特征值，r 个不同的重特征值，且各重数为j m ，r j ,,2,1Λ=。若j λ是j m 重特征值，则将j λ满足的方程k
j
n k k t
t e
j ∑-==1
)(βλ对i λ求1-j m 次导，这样共有j m 个独立方程。一
般地，设A 的特征值为p λλλ,,21Λ为单特征值 1+p λ 是1m 重特征值 …………
r p +λ 为r m 重特征值。
有 n m p r
j j =+∑=1
则 )(t i β由下面n 个独立方程确定：
??????
??
??
??????????????====???==∑∑∑∑-=+---=+++-=+-=+++++10111
010
10)(()(,2,1)
)(()()(,2,1)(n k k j p k m m t
m m n k k j
p k j p t j p n k k j p k t j n k k i
k t t d d e d d r
j t d d e d d t e m p
i t e p n j j p j j
p j j p j j p j p i λβλλλβλλλβλβλλλλΛΛΛΛΛΛ个方程个方程个方程（2-17）
例4阶系统（n=4），有一个根重了3次，即j=3，用莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton ）方法求状态转移矩阵，即用（2-17）式推得：
????
??
??????????????
?
?????
??=
????????????=-t t t t e e t te e t t t t t t t t 1411121
3424
4
121
1
3121
13210162
0032101)()()()()(λλλλλλλλλλλλ
λβββββ （2-18） 然后按（2-15）式计算∑-=--+++==10
1110)()()()(n k n n k k At
A t A t I t A t e ββββΛ
四 线性离散系统的状态空间表达式及连续系统离散化
1 离散系统的状态空间模型
在古典控制理论中，离散系统用差分方程描述，差分方程和描述连续系统的微分方程有着对应的关系。事实上，对微分方程以差商来近似微分时，微分方程就可由差分方程来近似。与连续系统相似，对n 阶离散系统的差分方程
[][][][]
[][][][]k u b k u b m k u b m k u b k y a k y a n k y a n k y m n n n ++++-+++=++++-+++--111111011ΛΛ （2-19）
若选择适当的状态变量就可将其转换成一足一阶差分方程或一阶向量差分方程，从而得到与其对应的状态空间模型。即 [][][][][][]
??
?+=+=+kT Du kT Cx kT y kT Gu kT Fx T k x )1( （2-20）
此外对连续系统的状态空间模型离散化也可得到离散的状态空间表达式。
例 已知某离散系统的差分方程为 [][][][][]k u k y k y k y k y =++++++21233 试求其状态空间表达式。
解：选状态变量[][][][][][]2,1,321+=+==k y k x k y k x k y k x ，则可直接写出状
态空间表达式。
[][][][]
[][][][][]???
??+---=+=+=+k u k x k x k x k x k x k x k x k x 3213
322132111 [][]k x k y 1= 写成矩阵形式
[][][][][][]u k x k x k x k x k x k x ??????????+????????????????????---=??????????+++100312100010
111321321 [][][][][]????
?
?????=k x k x k x k y 321001 显然这是能控标准形，若改变选择状态变量的方法，也可以将该离散系统的差分方程转换成另一种形式的状态空间表达式。
2线性定常系统状态方程的离散化
线性定常连续系统的状态方成为
Bu Ax x +=& （2-21）
由第二章可知，其基本解式为
?--+=t
t t t A t t A dr Bu e t x e t x 0
)()()()(0)(τ （2-22）
取Λ,2,1,0,)1(,0=+==k T k t kT t ，式（1-53）变成
?
+-++=+T
k kT
T k A AT
d Bu
e kT x e
T k x )1(])1[()(][])1[(τττ （2-23）
（2-23）式的τ在kT 和T k )1(+之间，且有==][)(kT u u τ常数。这是由于在离散化式采样器后面常放置零阶保持器，故输入][kT u 可以放到积分符号之外，从而有
?
+-+?+=+T
k kT
T k A AT
kT Bu d e kT x e
T k x )1(])1[(][][])1[(ττ （2-24）
式中，令τ-+=T k t )1(，则τd dt -=，而积分下限kT =τ，则
T kT T k t =-+=)1(。当积分上限T k )1(+=τ时，则0)1(=-+=τT k t ，故
式（2-24）可化简为
??-+=+0
)()()(])1[(T AT AT kT Bu t d e kT x e T k x
??+=T
AT AT
kT Bu dt e kT x e 0)()( （2-25）
将式（2-25）与式（2-20）比较
])[()(11---==A sI L e kT F AT （2-26）
?=T
AT Bdt e kT G 0)( （2-27）
例 已知某连续系统的状态空间表达式为
u x x x x ??????+???????????
?-=??????1010102121&& []??
?
???=2101x x y
试求其离散状态空间表达式。
解：根据式(2-26)可求出离散状态方程的系数阵 1
111101])[()(----??
?
???+-=--==s s L A sI L e kT F AT
??????-=?????
?
?????
?++=--T T
e e s s s s L 011110)1(111 其离散状态方程的输入阵根据式（2-27）写成 dt e e Bdt e kT G T
T
t t At ????
?
?????????-==--00
10011)( ??
?
???-+-=??????-=----?
T T T
t t e e T dt e e 1110
从而可得该系统的状态空间表达式
)(11)()(011])1[(])1[(2121kT u e e T kT x kT x e e T k x T k x T
T T T ???
???-+-+????????????-=??????++---- []??
?
???=)()(01][21kT x kT x kT y 3离散系统的传递函数阵
与连续系统相对应，离散系统也可以与传递函数阵作为数学模型来描述，为此对状态空间模型式（2-20）的两边取Z 变换，有
)()()(0z GU z FX zX z zX +=-
)()()(z DU z CX z Y +=
从而可推出
11)()()()(x F zI z z GU F zI z X ---+-= （2-28）
011)()(])([)(x F zI zC z U D F zI C z Y ---++-= （2-29）
若初值00=x ，则有
)(])([)(1z U D G F zI C z Y +-=- （2-30） 定义传递函数阵为
D G F zI c z G +-=-1)()( （2-31）
五 线性定常离散系统状态方程的解
对n 阶线性定常离散系统 ??
?=+=+0
]0[]
[][]1[x x k Gu k Fx k x （2-32）
其求解方法有两种：
1． 递推法
∑-=---+=-+++=+++=+=++=+=+==1
012320
]
1[]0[]1[]0[]0[][]2[]1[]0[]0[]
2[]2[]3[]
1[]0[]0[]
1[]1[]2[]0[]0[]1[]0[k j j k
k k j k Gu F x F k Gu Gu F x F k x Gu FGu Gu F x F Gu Fx x Gu FGu x F Gu Fx x Gu Fx x x x ΛΛ
ΛΛΛ
2． Z 变换法
Z 是频域解法。对式（2-32）作Z 变换，有 ][][]0[][z GU z FX zx z zX +=- 移项 ][]0[][)(z GU zx z X F zI +=-
左乘1)(--F zI ][)(]0[)(][11z GU F zI zx F zI z X ---+-= 取1-Z ]]}[[){(][011z GU zx F zI Z k x +-=-- 定理2-3 n 阶线性定常离散系统式（2-32）的解为
]]}
[[){(]
1[]
[][0111
01
010z GU zx F zI Z i k GU F x F i GU F x F k x k i i k
k i i k k
+-=--+=+=---=-=--∑∑
控制系统状态方程求解
第2章 控制系统的状态方程求解 要点： ① 线性定常状态方程的解 ② 状态转移矩阵的求法 ③ 离散系统状态方程的解 难点： ① 状态转移矩阵的求法 ② 非齐次状态方程的解 一 线性定常系统状态方程的解 1 齐次状态方程的解 考虑n 阶线性定常齐次方程 ? ? ?==0)0()()(x x t Ax t x & （2-1） 的解。 先复习标量微分方程的解。设标量微分方程为 ? ??==0)0(x x ax x & （2-2） 对式（2-2）取拉氏变换得 )()(0s aX X s sX =- 移项 0)()(x s X a s =- 则 a s x s X -= )(
取拉氏反变换，得 00 0!)()(x k at x e t x k k at ∑∞ === 标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当n=1时的特征，因此矩阵微分方程的解与标量微分方程应具有形式的不变性，由此得如下定理： 定理2-1 n 阶线性定常齐次状态方程（2-1）的解为 00 0!)()(x k At x e t x k k At ∑∞ === （2-3） 式中，∑∞ ==0 !)(k k At k At e 推论2-1 n 阶线性定常齐次状态方程 ???==00 )()()(x t x t Ax t x & （2-4） 的解为 0)(0 )(x e t x t t A -= （2-5） 齐次状态方程解的物理意义是)(0 t t A e -将系统从初始时刻0t 的初始 状态0x 转移到t 时刻的状态)(t x 。故)(0 t t A e -又称为定常系统的状态转移 矩阵。 (状态转移矩阵有四种求法：即定义（矩阵指数定义）法、拉氏反变换法、特征向量法和凯来-哈密顿（Cayly-Hamilton ）法) 从上面得到两个等式 ∑∞ ==0 !)(k k At k At e ])[(11---=A sI L e At 其中，第一式为矩阵指数定义式，第二式可为At e 的频域求法或拉氏反变换法
第三章线性系统状态方程的解
第三章 系统的分析——状态方程的解 §3-1线性连续定常齐次方程求解 一、齐次方程和状态转移矩阵的定义 １、齐次方程 状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为： )()(t Ax t x =& 线性定常连续系统： Ax x =& 初始条件：00x x t == ２、状态转移矩阵的定义 齐次状态方程Ax x =&有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为 )0()(x e t x At ?=。其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为： At e t =)(φ。 若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：) (0 0)(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。但它一般不能写成指数形式。 （１）幂级数法——直接求解 设Ax x =&的解是t 的向量幂级数 Λ ΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b t x 2210)( 式中ΛΛ，，， ，，k b b b b 210都是n 维向量，是待定系数。则当0=t 时， 000b x x t === 为了求其余各系数，将)(t x 求导，并代入)()(t Ax t x =&，得： Λ ΛΛΛ&+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x )(2210ΛΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b A
上式对于所有的t 都成立，故而有： ????? ??????======00 3 230 21201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K M 且有：00x b = 故以上系数完全确定，所以有： Λ ΛΛΛ+++++=k k t b t b t b b t x 2210)( ΛΛ++++ +=k k t b A k t b A t Ab b 020200! 1 !21 )0()! 1!21(22x t A k t A At I k k ΛΛ+++++= 定义（矩阵指数或矩阵函数）： ∑∞==+++++=022! 1!1!21K k k k k At t A k t A k t A At I e ΛΛ 则 )0()(x e t x At ?=。 （２）拉氏变换解法 将Ax x =&两端取拉氏变换，有 )()0()(s AX X s sX =- )0()()(X s X A sI =- )0()()(1X A sI s X ?-=- 拉氏反变换，有 )0(])[()(1 1x A sI L t x ?-=--
系统的状态方程
第2章 系统的状态空间描述 输入输出：可测量，欠全面 §2.1 基本概念 例2.1 密封水箱 1 ()(),y t x t μ = 1 d [()()]d [()()]d c x u t y t t u t x t t μ ?=-?=-? 即 μ 2 (m ) c 3 ()(m /s)u t 3 ()(m /s)y t ()(m) x t
11 ()()()x t x t u t c c μ'=-+. 解 t t c c x t x u c 001()e ()e d τμμττ- ??=+ ? ??? ?. 若()u t r ≡, 则 0()e 1e ,()t t c c x t x r r t μμμμ--??=+-?→∞ ? ? ??, 若想()x h ∞=, 只要()h u t μ =.
例2.2 LRC 123()()();i t i t i t =+ ()()()()()L R L C u t v t v t v t v t =+=+ 选1()()C i t v t 和； 则： 1 1()()()1()()()C C C Li t v t u t Cv t i t v t R '=-+???'?=-? 其余 2()()/, C i t v t R = ()()(),()(). L C R C v t u t v t v t v t =-=)(t v C ) (t v L L R C )(1t i )(t u )(2t i )(3t i 2.2 图
1. 系统的状态变量 状态变量: 完全表征系统,个数最少的一组变量 未来()x t ：由0()x t 和0t t ≥的()u t 完全确定. 对定常, 常取00t =. 2. 状态向量和状态空间 状态向量：12()(),(),()T n x t x t x t x t =???? 状态空间：()x t 取值范围 状态轨线：()x t 的轨迹(无时间轴) 3．几点说明
2.状态方程的解
Chapter2状态方程的解 我们要解决的问题是：在系统初始时刻0t t =时，初始状态为00)(x t x =的条件下，对该系统施加控制)(t u ，求出系统状态)(t x 的变化，即求解非齐次方程 （0)(≠t u ）初值问题的解： 00 0)()()()()()(t t x t x t u t B t x t A t x ≥=+=& 或者在系统不加控制)(t u ，（0)(=t u 称为自由系统）的条件下，求出初值)(0t x 对系统状态)(t x 的影响，即求解齐次方程初值问题的解： 00 0)(),()()(t t x t x t x t A t x ≥==& ????离散连续线性定常????离散连续线性时变?? ?? ? ??????数值解解析解非齐次数值解解析解齐次 2.1 线性定常系统状态方程的解 2.1.1 n 阶、线性、定常（无关与时间t A ）连续系统齐次状态方程的解 我们知道：常系数线性微分方程（标量方程）)()(t ax t x =&，0)0(x x =，0≥t 其解为 00 0!)(x k t a x e t x k k k at ∑∞ === 对齐次状态方程（矩阵方程） )()(t Ax t x =&，0)0(x x =，0≥t 很自然，仿照常系数线性微分方程，可得到n 阶线性、定常、连续系统齐次（0)(=t u ）状态方程的解 000! )(x k t A x e t x k k k At ∑ ∞ === 定义矩阵指数：k k k k k At t A k t A At I k t A e ! 1 21!220 ++++=≡∑ ∞ =Λ，它仍是一个矩阵。 若初始时间为0t ，则状态方程的解为 00 00) (!)()(0x k t t A x e t x k k k t t A ∑∞ =--== ∑ ∞ =--=0 0) (! )(0k k k t t A k t t A e 称为定常（连续）系统的状态转移矩阵。 )(0t t A e -物理意义：将系统从初始状态)(0t x 转移到（时刻t 的）状态)(t x 。 2.1.2 矩阵指数At e 的性质
求解系统的状态方程
求解系统的状态方程 一、实验设备 PC计算机，MATLAB软件，控制理论实验台 二、实验目的 (1)掌握状态转移矩阵的概念。学会用MATLAB求解状态转移矩阵 (2)学习系统齐次、非齐次状态方程求解的方法，计算矩阵指数，求状态响应； (3)通过编程、上机调试，掌握求解系统状态方程的方法，学会绘制输出响应和状态响应曲线； (4)掌握利用MATLAB导出连续状态空间模型的离散化模型的方法。 三、实验原理及相关基础 (1)参考教材P99~101“3.8利用MATLAB求解系统的状态方程” (2)MATLAB现代控制理论仿真实验基础 （3）控制理论实验台使用指导 四、实验内容 (1)求下列系统矩阵A对应的状态转移矩阵 （a）
（b） 代码： syms lambda A=[lambda 0 0;0 lambda 0;0 0 lambda];syms t;f=expm(A*t) （c） 代码： syms t;syms lambda;A=[lambda 0 0 0;0 lambda 1 0;0 0 lambda 1;0 0 0 lambda];f=expm(A*t) (2) 已知系统
a) 用MATLAB求状态方程的解析解。选择时间向量t，绘制系统的状态响应曲线。观察并记录这些曲线。 （1） 代码： A=[0 1; -2 -3]; B=[3;0]; C=[1 1]; D=[0]; u=1; syms t; f=expm(A*t);%状态转移矩阵 x0=0; s1=f*B*u; s2=int(s1,t,0,t)%状态方程解析解 状态曲线： （2）A=[0 1;-2 -3]; syms t; f=expm(A*t); X0=[1;0]; t=[0:0.5:10]; for i=1:length(t); g(i)=double(subs(f(1),t(i))); end plot(t,g)
利用 MATLAB 求解系统的状态方程
实验报告 实验名称利用 MATLAB 求解系统的状态方程 系统的能控性、能观测性分析 系专业班 姓名学号授课老师 预定时间2014-5-28实验时间实验台号14 一、目的要求 掌握状态转移矩阵的概念。学会用 MATLAB求解状态转移矩阵。 掌握求解系统状态方程的方法，学会绘制状态响应曲线； 掌握线性系统状态方程解的结构。学会用 MATLAB 求解线性定常系统的状态响应和输出响应，并绘制相应曲线。 掌握能控性和能观测性的概念。学会用 MATLAB 判断能控性和能观测性。 掌握系统的结构分解。学会用 MATLAB 进行结构分解。 掌握最小实现的概念。学会用 MATLAB 求最小实现。 二、原理简述 线性定常连续系统的状态转移矩阵为。 函数 step( ) 可直接求取线性连续系统的单位阶跃响应。 函数 impulse( ) 可直接求取线性系统的单位脉冲响应。 函数 lsim( ) 可直接求取线性系统在任意输入信号作用下的响应。 函数 initial( ) 可求解系统的零输入响应。 n 阶线性定常连续或离散系统状态完全能控的充分必要条件是：能控性
的秩为 n。 线性定常连续或离散系统输出能控的充分必要条件是：矩阵 的秩为m。 n 阶线性定常连续或离散系统状态完全能观测的充分必要条件是：能观测性矩阵 的秩为 n。 三、仪器设备 PC 计算机，MATLAB 软件 四、内容步骤 题2.1 A=[0 1;-2 -3];B=[3;0];C=[1 1];D=0; G=ss(A,B,C,D); t=0.5; p=expm(A*t) u1=0;x10=[1;-1]; [y1o,t,x1o]=initial(G,x10,t) t2=0:0.5:10;x20=[0;0];u2=ones(size(t2)); [y2,t2,x2]=lsim(G,u2,t2); plot(t2,x2,':',t2,y2,'-')
控制系统状态方程求解
第三章控制系统状态方程求解 3－1 线性连续定常齐次方程求解 所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，其状态方程为： ………………………………………………………(3 －1) 上式中，X是n×1维的状态向量，A是n×n的常数矩阵。 我们知道，标量定常微分方程的解为： ………………（3 －2） 与（3－2）式类似，我们假设（3－1）的解X(t)为时间t的幂级数形式，即： ………………………………(3 －3) 其中为与X（t）同维的矢量。 将（3－3）两边对t求导，并代入（3－1）式，得：
上式对任意时间t都应该成立，所以变量t的各阶幂的系数都应该相等，即： 即: ……………………………………………（3－4） 将系统初始条件代入（3－3），可得。代入（3－4）式可得： (3) 5） 代入（3－3）式可得（3－1）式的解为：
(3) 6) 我们记： (3) 7） 其中为一矩阵指数函数，它是一个n×n的方阵。所以（3－6）变为： (3) 8） 当（3－1）式给定的是时刻的状态值时，不难证明： (3) 9） 从（3－9）可看出，形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元素随时间t变化的n×n矩阵。但本质上，它的作用是将时刻的系统状态矢量转移到t时刻的状态矢量，也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以我们称之为状态转移矩阵(The State Transition Matrix)，并记： (3) 10） 所以：
【例3－1】已知，求解：根据（3－7）式， 3－2 的性质及其求法 性质1： 【证】根据的定义式（3－7）， 【证毕】 性质2：① ②
第三章线性系统状态方程的解
第三章 线性系统的运动分析 §3-1线性连续定常齐次方程求解 一、齐次方程和状态转移矩阵的定义 １、齐次方程 状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为：)()(t Ax t x = 线性定常连续系统：Ax x = ２、状态转移矩阵的定义 齐次状态方程Ax x = 有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为)0()(x e t x At ?=。 其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：At e t =)(φ。 若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：)(00 )(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。但它一般不能写成指数形式。 （１）幂级数法 设Ax x = 的解是t 的向量幂级数 +++++=k k t b t b t b b t x 2210)( 式中 ，，， ，，k b b b b 210都是n 维向量，则 +++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x )(2210 +++++=k k t b t b t b b A 故而有： ????? ?? ????== ====003 230 2 12 01!1! 3131 2 121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K
且有0)0(b x =。 故 +++++=k k t b t b t b b t x 2210)( ++ +++=k k t b A k t b A t Ab b 02 02 00! 1! 21 )0()! 1!21(22 x t A k t A At I k k ++ ++ += 定义：∑ ∞ == ++ +++=0 2 2! 1! 1!21K k k k k At t A k t A k t A At I e 则)0()(x e t x At ?=。 （２）拉氏变换解法 将Ax x = 两端取拉氏变换，有 )()0()(s Ax x s sx =- )0()()(x s x A sI =- )0()()(1x A sI s x ?-=- 拉氏反变换，有 )0(])[()(11x A sI L t x ?-=-- 则 ])[()(11---==A sI L e t At φ 【例3.1.1】 已知系统的状态方程为x x ?? ? ???=00 10 ，初始条件为)0(x ，试求状态转移矩阵和状态方程的解。 解：（１）求状态转移矩阵 ++ ++ +==k k At t A k t A At I e t ! 1! 21)(2 2φ 此题中： ???? ??=00 10A ， ?? ? ???====00 0032n A A A 所以
利用matlab求解系统的状态方程
实验报告 实验名称利用MATLAB 求解系统的状态方程 系统的能控性、能观测性分析 系专业班 姓名学号授课老师 预定时间2014-5-28实验时间实验台号14 一、目的要求 掌握状态转移矩阵的概念。学会用MATLAB求解状态转移矩阵。 掌握求解系统状态方程的方法，学会绘制状态响应曲线； 掌握线性系统状态方程解的结构。学会用MATLAB 求解线性定常系统的状态响应和输出响应，并绘制相应曲线。 掌握能控性和能观测性的概念。学会用MATLAB 判断能控性和能观测性。 掌握系统的结构分解。学会用MATLAB 进行结构分解。 掌握最小实现的概念。学会用MATLAB 求最小实现。 二、原理简述 线性定常连续系统的状态转移矩阵为。 函数step( ) 可直接求取线性连续系统的单位阶跃响应。 函数impulse( ) 可直接求取线性系统的单位脉冲响应。 函数lsim( ) 可直接求取线性系统在任意输入信号作用下的响应。 函数initial( ) 可求解系统的零输入响应。 n 阶线性定常连续或离散系统状态完全能控的充分必要条件是：能控性
矩阵的秩为n。 线性定常连续或离散系统输出能控的充分必要条件是：矩阵 的秩为m。 n 阶线性定常连续或离散系统状态完全能观测的充分必要条件是：能观测性矩阵 的秩为n。 三、仪器设备 PC 计算机，MATLAB 软件 四、内容步骤 题 A=[0 1;-2 -3];B=[3;0];C=[1 1];D=0; G=ss(A,B,C,D); t=; p=expm(A*t) u1=0;x10=[1;-1]; [y1o,t,x1o]=initial(G,x10,t) t2=0::10;x20=[0;0];u2=ones(size(t2)); [y2,t2,x2]=lsim(G,u2,t2); plot(t2,x2,':',t2,y2,'-')