2019版二轮复习数学通用版讲义：第一部分 专题十五 统计、统计案例 Word版含解析
专题十五 ?
??
统计、统计案例
[题组全练]
1．(2018·
石
家
庄
模
拟)某校高一年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为140的
样本，则此样本中男生人数为( )
A ．80
B ．120
C ．160
D ．240
解
析
：
选
A
因为男生和女生的比例为560
∶
420＝4
∶
3，样本容量为140，所以应该抽取男生的人数为140×
4
4＋3
＝80，故选A.
2．(2018·
南
宁
模
拟)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A ．100,20
B ．200,20
C ．200,10
D ．100,10
解析：选B 由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以高中生的近视人数为40×50%＝20，故选
B.
3．从30个个体(编号为00～29)中抽取10个样本，现给出某随机数表的第11行到第15行(见下表)，如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分别为(
)
9264 4607 2021 3920 7766 3817 3256 1640
5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814 2889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 3815 5131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 2702 9055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488 A ．76,63,17,00
B ．16,00,02,30
C ．17,00,02,25
D ．17,00,02,07
解析：选D 在随机数表中，将处于00～29的号码选出，满足要求的前4个号码为17,00,02,07.
4．(2019
届
高
三
·
南
昌
调
研)某校高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取
的号码为________．
解析：由题知分组间隔为64
8
＝8，又第1组中抽取的号码为5，所以第6组中抽取的号码为5×8＋5＝
45.
答案：45
5．采用系统抽样方法从1
000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1,2，…，1
000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A ，编号落入区间[401,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数
为________．
解析：根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调查的人的编号构成首项为8，公差d ＝1 000
50＝20的等
差数列{a n }，∴通项公式a n ＝8＋20(n －1)＝20n －12，令751≤20n －12≤1 000，得
76320≤n ≤253
5
，又∵n ∈N *，∴39≤n ≤50，∴做问卷C 的共有12人．
答案：12
[系统方法]
解决抽样问题应关注的两点
(1)解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围．但无论哪种抽样方法，每一个
个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量与总体容量的比值．
(2)在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取n 个个体，样本就需要分成n 个组，则分段间隔即为N
n
(N 为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体.
[题组全练]
1．(2019
届
高
三
·
贵
阳
模
拟)在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，
则成绩在80～100分的学生人数是( )
A ．15
B ．18
C ．20
D ．25
解析：选A根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4，∵频数是40，∴样本容量是40
0.4
＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成绩在80～100分的学生人数是100×0.15
＝15. 2．(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是( )
A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村经济收入为2a.
新农村建设前后，各项收入的对比如下表：
故选A. 3．(2018·长春质检)已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )
A．95,94
B．92,86
C．99,86
D．95,91
解析：选B 由茎叶图可知，此组数据由小到大排列依次为
76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17个，故92为中位数，出现次数最多的为众数，
故众数为86，故选
B.
4.(2018·
武
汉
调
研)从某选手的7个得分中去掉1个最高分，去掉1个最低分后，剩余5个得分的平均数为91分，如图所示是该选手得分的茎叶图，其中有一个数字模糊，无法辨认，在图中用x 表示，则剩余5个得分的方差为_____
___．
解析：去掉一个最高分99分，一个最低分87分，剩余的得分为93分，90分，(90＋x )分，91分，87分，则93＋90＋90＋x ＋91＋875＝91，解得x ＝4，所以这5个数的方差s 2＝15
[(91－93)2＋(91－90)2＋(91－
94)2＋(91－91)2＋(91－87)2]＝6.
答案：6
[系统方法]
1．频率分布直方图的应用
(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整
体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据．
(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解．
2．数字特征及其特点
平均数与方差都是重要的数字特征，是对数据的一种简明描述，它们所反映的情况有着重要的实际
意义．平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，方差和标准差描述数据的波动大小.
[多维例析]
角度一 线性回归分析
[例1]
(2018·
陕
西
质
检)基于移动互联网技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司2018年6月～11月六个月
内的市场占有率进行了统计，结果如下表：
(1)请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明能否用线性回归模型拟合市场占有率y 与月份
代码x 之间的关系；
(2)求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的市场占有率． 参考数据：i ＝16(x i －x )2＝17.5，i ＝1
6(x i －x )(y i －y )＝35， 1 330≈36.5.
参考公式：相关系数r ＝错误!； 回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^
，
其中b ^
＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!.
[解](1)作出散点图如下．
∵y ＝11＋13＋16＋15＋20＋216
＝16，
∴i ＝1
6(y i －y )2＝76， ∴r ＝错误!＝错误! ＝
351 330≈35
36.5
≈0.96.
∴两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合市场占有率y 与月份代码x 之间的关
系．
(2)由参考数据及(1)知b ^
＝错误!＝错误!＝2，
x ＝
1＋2＋3＋4＋5＋6
6
＝3.5，
∴a ^＝y －b ^
x ＝16－2×3.5＝9，
∴y 关于x 的线性回归方程为y ^
＝2x ＋9.
2019年3月的月份代码为x ＝10，∴y ^
＝2×10＋9＝29，
∴估计该公司2019年3月份的市场占有率为29%.
[类题通法]
1．求线性回归方程的步骤
(1)计算x ，y ； (2)计算∑i ＝1n
x i y i ，∑i ＝1
n
x2i ；
(3)计算b ^
＝错误!＝错误!；
a ^＝y －
b ^
x ；
(4)写出线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
.
[注意]样本点的中心(x ，y )必在回归直线上．
2．相关系数r
(1)当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关．
(2)r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之
间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
角度二 非线性回归分析
[例2]
某机构为研究某种图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的关系，收集了一些数据并进
行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．
表中u i ＝1xi ，u ＝18
∑i ＝1
8
u i .
(1)根据散点图判断：y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋
d x
哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的回归方程？(只要求给
出判断，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程(回归系数的结果精确到0.01)．
(3)若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78
840元？(假设能够全部售出．结果精确到1)
附：对于一组数据(ω1，ν1)，(ω2，ν2)，…，(ωn ，νn )，其回归直线
ν
^＝
α
^＋
β
^ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^
＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!.
[解](1)由散点图判断，y ＝c ＋d
x
更适合作为该图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)
的回归方程．
(2)令u ＝1
x
，先建立y 关于u 的线性回归方程，
由于d ^
＝错误!＝错误!≈8.957≈8.96，
∴c ^＝y －d ^
·u ＝3.63－8.957×0.269≈1.22， ∴y 关于u 的线性回归方程为y ^
＝1.22＋8.96u ，
∴y 关于x 的回归方程为y ^
＝1.22＋8.96x
.
(3)假设印刷x 千册，
依题意得10x －?
???1.22＋8.96x x ≥78.840， ∴x ≥10，
∴x ≥10，
∴至少印刷10 000册才能使销售利润不低于78 840元．
[类题通法]
解决非线性回归问题的关键是适当换元，将非线性回归分析转化为线性回归分析问题求解．
[综合训练]
1．(2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，17)建立模型
①
：y ^＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，7)建立模型
②：
y
^＝99＋17.5t .
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
解：(1)利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^
＝－30.4＋13.5×19＝
226.1(亿元)．
利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^
＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．
(2)利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y ＝－30.4＋13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^
＝99＋17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利
用模型②得到的预测值更可靠．
(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
(以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分) 2．某市春节期间7家超市的广告费支出x i (万元)和销售额y i (万元)数据如下：
(1)若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；
(2)若用二次函数回归模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程为
y
^＝－0.17x 2＋5x ＋20，经计算二次函数回归模型和线性回归模型的R 2分别约为0.92和0.75，请用R 2说明选
择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A 超市广告费支出为3万元时的销售额．
参数数据及公式：x ＝8，y ＝42，∑i ＝1
7
x i y i ＝2 794，
∑i ＝1
7
x2i ＝708，b ^＝∑i ＝1
n
xiyi －n
x y
∑i ＝1
n
x2
i －n x 2，a
^＝y －b ^x .
解：(1)∵b ^＝
∑i ＝1
7
xiyi －7x y
∑i ＝17
x2
i －7x 2＝
2 794－7×8×42
708－7×82
＝1.7，
∴a ^＝y －b ^
x ＝42－1.7×8＝28.4.
∴y 关于x 的线性回归方程是y ^
＝1.7x ＋28.4.
(2)∵0.75<0.92，
∴二次函数回归模型更合适．
当x ＝3万元时，y ^
＝－0.17×9＋5×3＋20＝33.47，
∴预测A 超市销售额为33.47万元.
[由题知法]
[典例]
(2018·
郑
州
质
量
预
测)2018年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质情况，现抽
取了某校1
000名(男生800名，女生200名)学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名学生的测试成绩进
行分析，得到如下统计表：
男生测试情况：
(1)现从抽取的100名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出2名学生，求选出的这2名学生恰好是一
男一女的概率；
(2)若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其他等级(含病残免试)的学生为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为
“是否为‘体育达人’与性别有关？”
临界值表：
附：K 2＝错误!，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.
[解](1)按分层抽样的方法男生应抽取80名，女生应抽取20名，
∴x ＝80－(5＋10＋15＋47)＝3，y ＝20－(2＋3＋10＋2)＝3.
抽取的100名且测试等级为“优秀”的3名男生分别记为A ，B ，C,2名女生分别记为a ，b.
从5名学生中任选2名，总的基本事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，a )，(A ，b )，(B ，C )，(B ，a )，(B ，b )，
(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )，共10个．
设“选出的2名学生恰好是一男一女”为事件M ，
则事件M 包含的基本事件有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，共6个，
∴P (A )＝610＝3
5
.
(2)2×2列联表如下：
则K2＝错误!
＝错误!≈9.091.
∵9.091＞6.635且P(K2≥6.635)＝0.010，∴能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘体育达人’与性别有关”．
[类题通法]独立性检验的关键
(1)根据2×2列联表准确计算K2的观测值k，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表．
(2)K2的观测值k越大，对应假设事件H0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H0不成立的概率越大．
[应用通关]
2018年2月22日上午，山东省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会
，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．设备改造前的
样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表如下所示．
设备改造后样本的频数分布表：
(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设
备改造有关；
(2)根据上述数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；
(3)根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损100元，用
频率估计概率，求生产1 000件产品企业大约能获利多少元？
附：
K 2＝错误!，n ＝a ＋b ＋c ＋d.
解：(1)根据题中图和表得到2×2列联表：
将2×2列联表中的数据代入公式得
K 2＝错误!≈12.210. ∵12.210>6.635，
∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．
(2)由2×2列联表可知，
设备改造后产品的合格率约为192
200＝0.96，
设备改造前产品的合格率约为172
200
＝0.86，
即设备改造后产品的合格率更高，因此，设备改造后性能更好．
(3)用频率估计概率，1 000件产品中大约有960件合格品，40件不合格品，则180×960－100×40＝168
800，
∴该企业大约能获利168 800元． [专题跟踪检测](对应配套卷P200)
1．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示.
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,
151]上的运动员人数是( )
A．3
B．4
D．6
C．5
解析：选B由系统抽样可知，35人分为7组，每组5人，最后一组成绩均大于151，前两组成绩均
小于139，故成绩在区间[139,151]上的运动员人数为4. 2．“双色球”彩票中红色球的号码由编号为01,02，…，33的33个个体组成，一位彩民利用下面的随
机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右
依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为( )
A.23
C．02 D．17
解析：选C从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的编号为02.故选C.
3．(2018·昆明调研)下图是1951～2016年我国年平均气温变化图．
根据上图，判断下列结论正确的是( )
A．1951年以来，我国年平均气温逐年增高
B．1951年以来，我国年平均气温在2016年再创新高
C．2000年以来，我国年平均气温都高于1981～2010年的平均值
D．2000年以来，我国年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值
解析：选D由1951～2016年我国年平均气温变化图可以看出，年平均气温有升高的也有降低的，所
以选项A不正确；2016年的年平均气温不是最高的，所以选项B不正确；2012年的年平均气温低于1981～2010年的平均值，所以选项C不正确；2000年以来，只有2012年的年平均气温低于1981～2010年的平均值，所以2000年以来，我国年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值，故选项D正确，故选D.
4．(2018·惠州模
拟)某商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量
与当月平均气温，其数据如下表：
由表中数据算出线性回归方程
y
＝
b
x ＋
a
^中的
b
^＝－2，气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为( )
A ．46件
B ．40件
C ．38件
D ．58件
解析：选A 由题中数据，得x ＝10，y ＝38，回归直线y ^＝b ^x ＋a ^过点(x ，y )，且b ^
＝－2，代入
得a ^＝58，则回归方程y ^
＝－2x ＋58，所以当x ＝6时，y ＝46，故选A.
5．(2018·
郑
州
质
量
预
测)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是8
6，若正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列且x ，G ，y 成等比数列，则1a ＋4
b
的最小值为( )
A.49 B ．2 C.94
D ．9
解析：选C 由甲班学生成绩的中位数是81，可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数，故x ＝1.由乙班学生成绩的平均数为86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y －6)＋5＋7＋10＝0，解得y ＝4.由x ，G ，y 成等比数列，可得G 2＝xy ＝4，由正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列，可得G ＝2，a ＋b ＝2G ＝4，所以1a ＋4b ＝14(a ＋b )????1a ＋4b ＝14????1＋4a b ＋b a ＋4≥14×(5＋4)＝9
4(当且仅当b ＝2a 时取等号)．故1
a
＋
4b
的
最
小
值
为
94
，
选
C. 6．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，
[20,22.5)
，
[22.5,25)
，
[25,27.5)
，
[27.5,30]
．
根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
6．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)
，
[20,22.5)
，
[22.5,25)
，
[25,27.5)
，
[27.5,30]．根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A ．56
B ．60
C ．120
D ．140
解析：选D 由频率分布直方图可知，每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋
0.04)×2.5＝0.7，所以每周的自习时间不少于22.5小时的人数是200×0.7＝140.
7.空气质量指数(Air
Q uality
Index ，简称A Q I)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照A Q I 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．从某地一环保人士某年的A Q I 记录数据中，随机抽取10个，其茎叶图记录如图所示．根据该统计数据，估计
此地该年A Q I 大于100的天数约为__________．(该年为365天)
解析：该样本中A Q I 大于100的频数是4，频率为25，由此估计该地全年A Q I 大于100的概率为2
5
，估
计此地该年A Q I 大于100的天数约为365×2
5
＝146.
答案：146
8．某学校高二年级共有女生300人，现调查她们每天的课外运动时间，发现她们的课外运动时间介于30分钟到90分钟，如图是统计结果的频率分布直方图，则她们的平均运动时间大约是________分钟．
解析：由题图得平均运动时间约为35×0.1＋45×0.1＋55×0.5＋65×0.2＋75×0.05＋85×0.05＝
56.5(分钟)． 答案：56.5
9.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两位射箭运动员的5次比赛成绩(单位：环)，若两位运动员平均成
绩相同，则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．
解析：由题意知87＋89＋90＋91＋93
5
＝90，
则
88＋89＋90＋91＋90＋x
5
＝90，
解得x ＝2，
所以s 2甲＝1
5×[(87－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4，
s 2乙＝15×[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2]＝2，
所以s 2甲>s 2乙，所以成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为2.
答案：2
10．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区共投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示)．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从
0开始计数的．
(1)根据频率分布直方图，计算图中各小矩形的宽度；
(2)试估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的
取值)；
(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
由表中的数据显示，x 与y 之间存在线性相关关系，请将(2)的结果填入空白栏，并求出y 关于x 的回归
直线方程．
附：b ^＝
∑i=1n
xiyi －n x y
∑i=1n
x2i －n x 2，a ^＝y －b ^
x .
解：(1)设各小矩形的宽度为m ，由频率分布直方图中各小矩形的面积和为1，可知(0.08＋0.10＋0.14＋
0.12＋0.04＋0.02)·m ＝1，
解得m ＝2，
故图中各小矩形的宽度为2.
(2)由(1)知各分组依次是[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，它们的中点的横坐标分别为1,3,5,7,9,11，
各组对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04，
故可估计销售收益的平均值为1×0.16＋3×0.20＋5×0.28＋7×0.24＋9×0.08＋11×0.04＝5.
(3)由(2)可知空白栏中填5，
由题意可知，x ＝1＋2＋3＋4＋5
5
＝3，
y ＝
2＋3＋2＋5＋7
5
＝3.8，
∑i=1
5
x i y i ＝1×2＋2×3＋3×2＋4×5＋5×7＝69，
∑i=15
x2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55，
所以b ^＝69－5×3×3.855－5×32＝1.2，
a ^
＝3.8－1.2×3＝0.2，
故所求的回归直线方程为y ^
＝1.2x ＋0.2.
11．(2018·全
国
卷
Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由．
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工
人数填入下面的列联表：
(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：K 2＝错误!，
解：(1)第二种生产方式的效率更高． 理由如下：
(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80 min ，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79 min.因此第二种生产方式的效率更高．
(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5 min ，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5 min.因此第二种生产方式的效率更高．
(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间高于80 min ；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间低于80 min.因此第二种生产方式的效率更高．
(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高．
(以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分) (2)由茎叶图知m ＝79＋81
2＝80.
列联表如下：
(3)因为K 2＝错误!＝10>6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
12．在一次抽样调查中测得样本的6组数据，得到一个变量y 关于x 的回归方程模型，其对应的数值如下表：
(1)请用相关系数r 说明y 与x 之间存在线性相关关系(当|r |>0.75时，说明y 与x 之间具有线性相关关系)； (2)根据(1)的判断结果，建立y 关于x 的回归直线方程并预测当x ＝9时，对应的y
^值为多少(
b
^精确到0.01)．
附：回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^
，
其中b ^＝
∑i ＝1n
xiyi －n x ·y
∑i ＝1
n
x2
i －n x 2，a ^＝y －b ^
x ，
相关系数r 的公式为r ＝错误!. 参考数据：
∑i ＝16x i y i ＝47.64，∑i ＝1
6
x2
i ＝139，i ＝1
6(x i －x )(y i －y )＝－6.36， 错误!≈4.18, 错误!≈1.53.
解：(1)由题意，得x ＝1
6×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，
y ＝1
6×(3.00＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，
又i ＝1
6(x i －x )(y i －y )＝－6.36, 错误!≈4.18，错误!≈1.53， 所以r ＝错误!≈错误!≈－0.99.
因为|r |>0.75，所以y 与x 之间存在线性相关关系．
(2)因为b ^＝
∑i ＝1
6
xiyi －6x y
∑i ＝1
6
x2i －6x 2＝47.64－6×4.5×2139－6×4.52
≈－0.363≈－0.36，
a ^＝y －
b ^
x ＝2＋0.363×4.5≈3.63，
所以y 关于x 的线性回归方程为y ^
＝－0.36x ＋3.63.
统计与统计案例真题与解析
统计与统计案例 A 级 基础 一、选择题 1．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n 人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n ＝( ) A ．860 B ．720 C ．1 020 D ．1 040 2．为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( ) A ．13 B ．19 C ．20 D ．51 3．“关注夕阳、爱老敬老”——某爱心协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录了第x 年(2013年是第一年)与捐赠的现金y (单位：万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程y ^ ＝mx ＋0.35，则预测2019年捐赠的现金大约是( ) A.5万元 C ．5.25万元 D ．5.5万元 4．如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )
A.3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7 5．(2019·衡水中学检测)某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，并按(0，10]，(10，20]，(20，30]，(30，40]，(40，50]分组，得到频率分布直方图如下： 记甲种酸奶与乙种酸奶的日销售量(单位：箱)的方差分别为s21，s22，则频率分布直方图(甲)中的a的值及s21与s22的大小关系分别是() A．a＝0.015，s21 高考数学备考心得体会 高考数学备考心得体会篇一 这一学期的拓展课是“高中数学思想学习的方法好研究”。老师最少的题量为我们分析讲解最典型和常见的题型，帮助我们摆脱题海之苦，提高数学成绩。 通过本学期拓展课的学习，我能大概了解、掌握了部分的高中数学的学习方法。多层次、多角度、多交叉、多广度，深度上对知识加以拓展和提高，并且能在平日学习数学的过程中有所拓宽和发展，对课堂内容知识的归纳，总结，梳理等方面有进步，培养了自己对数学学习的兴趣好良好的习惯。 在学习到解决数学问题的方法和思路的同时，对一些在课堂上或是平时不懂、迷惑的地方进行探讨，更好地加强了对知识点的理解和应用。例如数学思想中的“分类讨论”，“函数数学在不等式中的应用”，“参数问题”等有了深一步的研究好拓展，便于让我在今后的数学学习中加以应用和解答。臂如：①对于参数问题的学习，我们通过学习不同的例题，通过研究、分析得到解决这一问题的主要方法与途径------分离参数，变换主元等常用的解题方法。②对分类讨论这一问题的研究：引起分类讨论的原因主要是由于存在不确定的元素及公式，概念的分类……，并研究了基本步骤等等。 总之进入高中以后，数学学习的方法好内容都有了很大 转变，题目的难易程度也比以前有了很大的提高，及时消化吸收新知识，复习巩固旧知识也成了我的困扰。但通过此次学习，我发现数学学习其实是有径可循。对于一些问题要予以归纳总结，并作一些相配套的练习，以达到巩固效果。一学期来，我收获了很多，尤其在学习方法上有了系统的概念，能够更好地高中的数学学习。 高考数学备考心得体会篇二 一直以来，我都在不断反思、探索，寻觅一条如何才能使学生学好数学，通向高考成功之路。在一段时期的实践中，我发现学生在学习过程中存在着几点问题： 一、选择题 1．利用系统抽样法从编号分别为1,2,3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为( ) A ．73 B ．78 C ．77 D ．76 解析：样本的分段间隔为80 16＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×5 ＝78.故选B. 答案：B 2．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量如下表所示： 则这20A ．180,170 B ．160,180 C ．160,170 D ．180,160 解析：用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B ，C ；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160,180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A. 答案：A 3．(2017·高考全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了如图所示的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 解析：根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A 错误．由图可知，B 、C 、D 正确． 答案：A 4．(2018·宝鸡质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为( ) A ．5 B ．7 C ．10 D ．50 解析：根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50. 答案：D 5．(2018·兰州模拟)已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据： 根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^ ＝6.5x ＋17.5，则表中m 的值为( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 解析：∵x ＝2＋4＋5＋6＋8 5＝5， y ＝ 30＋40＋50＋m ＋705＝190＋m 5 ， ∴当x ＝5时，y ＝6.5×5＋17.5＝50， ∴190＋m 5＝50，解得m ＝60. 答案：D 高中数学概率统计专题文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] 高三文科数学：概率与统计专题 一、选择题： 1．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A．1 3 B． 1 2 C． 2 3 D． 3 4 3、在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1,x2,…,x n不全相 等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）(i=1,2,…,n)都在直线y=1 2x+1上，则这组样本 数据的样本相关系数为 （A）－1 （B）0 （C）1 2（D）1 4.如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为 （A）10 3 （B） 1 5 （C） 1 10 （D） 1 20 5．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，学科&网则此点取自黑色部分的概率是 A．1 4B． π 8 C．1 2 D．π4 6.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( ) 二、填空题： 7、从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是_______。 8、将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____. 9．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，制作了对照表： 方程y ^＝b ^x ＋a ^由表中数据得回归直线 中的b ^＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量约为________度． 三、解答题 10.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。 （Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式。 （Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 (1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； (2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量 气温(℃) 18 13 10 －1 用电量(度) 24 34 38 64 专题突破练20 统计与统计案例 1. (2020吉林辽源高三检测,18)某城市在进行创建文明城市的活动中,为了解居民对“创建文明城市”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数.满分为100分).从中随机抽取一个容量为120的样本.发现所有数据均在[40,100]内.现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形,如图所示.观察图形,回答下列问题: (1)算出第三组[60,70)的频数,并补全频率分布直方图; (2)请根据频率分布直方图,估计样本的众数、中位数和平均数.(每组数据以区间的中点值为代表) 2.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位:亿元)的折线图. 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,17)建立模型①;y ^ =-30.4+13.5t ;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y ^ =99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. 3.(2020河南郑州高三检测,19)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图: (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表: (3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附:K2=n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中n=a+b+c+d. 概率统计 1、（2009一试8）某车站每天8 00~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 一旅客820∶【答案】27 【解析】旅客候车的分布列为 候车时间的数学期望为10305070902723361218 ?+?+?+?+?= 2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】 12 17 3、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示） 【答案】 61 243 【解析】用k P 表示第k 周用 A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为 1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k P ? ?-???? 是首项为34，公 比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-，即1311()434k k P -=-+，故761243 P = 4、（2014一试8）设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以 2 1 的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】 3 4 2221219B C D -?-=点相连，且与，中至少一点相连，这样的情况数为（）（） 22(3)AB AD DB 无边，也无CD 边，此时AC,CB 相连有2种情况，，相连也有2种情况， ,,,,AC CB AD DB A B 但是其中均相连的情况被重复了一次，故可用折线连接的情况数为 222+2-1=7. 483++==.644以上三类情况数的总和为329748，故A,B 可用折线连接的概率为 5、（2015一试5）在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 【答案】 2 55 【解析】设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有3 12C =220种. 下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH. 由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为82 22055 =. 2019年高考数学复习备考指导 数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。小编准备了高考数学复习备考指导，具体请看以下内容。 一、全国卷与广东卷的异同点 1.题型结构与满分相同 试题都是由选择题、填空题、解答题构成;满分均为150分。 2.题量与赋分不同 广东卷总题量为21题(考生解答20题)，其中选做题为2选1，客观题占70分，解答题占80分。 全国卷总题量为24题(考生解答22题)，其中选做题为3选1，客观题占80分，解答题占70分。 3.试题分布不同 广东卷理科选择题8道，填空题7做6，解答题6道;文科选择题10道，填空题5做4，解答题6道。全国卷文、理科选择题12道，填空题4道，解答题6道(选做题3选1)。 广东卷选做题为填空题(2选1，满分5分)。全国卷选做题为解答题(3选1，满分10分) 在解答题中，广东卷为6道必做题，全国卷为5道必做题和1道选做题。 4.试题难度（顺序）不同 20192019年广东卷理科解答题顺序： 第16题 第17题 第18题 第19题 第20题 第21题2019 三角 概率与统计立体几何数列 解析几何函数与导数2019 三角 概率与统计立体几何数列 解析几何函数与导数2019 统计 立体几何 函数与导数 解析几何 数列与不等式 20192019年广东卷文科解答题顺序完全相同： 三角概率与统计立体几何数列解析几何函数与导数20192019年全国卷Ⅰ理科解答题顺序： 年份 第17题 第18题 第19题 第20题 第21题 第22-24题 2019 三角 立体几何 概率与统计 解析几何 函数与导数 专题二概率统计专题 【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用．由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题和一个解答题． 【考点透析】概率统计的考点主要有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等．【例题解析】 题型1 抽样方法 -）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确【例1】在1000个有机会中奖的号码（编号为000999 定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（） A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．以上均不对 分析：实际“间隔距离相等”的抽取，属于系统抽样． 解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988．答案B． 点评：关于系统抽样要注意如下几个问题：（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法．（2）系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规则抽取样本．（3）适用范围：个体数较多的总体． 例2（2008年高考广东卷理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（） A．24B．18C．16D．12 Array 分析：根据给出的概率先求出x的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了． x=?=，这样一年级和二年级学生的解析：C 二年级女生占全校学生总数的19%，即20000.19380 +++=，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生应是总数是3733773803701500 64 50016 ?=．答案C． 2000 点评：本题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析问题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识． 例3．（2009江苏泰州期末第2题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系， 2500,3500（元）月收入段应抽要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[) 出人． 专题二十 统计与统计案例 一、单选题 1．（2020·河南宛城·南阳华龙高级中学月考（文））在一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （2n ≥， 1x ，2x ，……，n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =???都在直线2 15 y x = +上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A ．-1 B ．0 C ． 12 D ．1 二、多选题 2．（2020·江苏省丰县中学期末）某俱乐部为了解会员对运动场所的满意程度，随机调查了50名会员，每位会员对俱乐部提供的场所给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表，经计算2K 的观测值 5.059k ≈，则可以推断出（ ） 附： A ．该俱乐部的男性会员对运动场所满意的概率的估计值为 2 3 ； B ．调查结果显示，该俱乐部的男性会员比女性会员对俱乐部的场所更满意； C ．有97.5%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异； D ．有99%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异. 第II 卷（非选择题） 三、解答题 3．（2020·河南宛城·南阳华龙高级中学月考（文））微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200名员工中0090的人使用微信，其中每天使用微信时间少于一小时的有60人，其余的员工每天使用微信时间不少于一小时，若将员工分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段，那么使用微信的人中0075是青年人.若规定：每天使用微信时间不少于一小时为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中 2 3 都是青年人. （1）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，完成22?列联表： （2）由列联表中所得数据判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“经常使用微信与年龄有关”？ 2 2 ()()()()() n ad bc k a b c d a c b d -=++++ 4．（2020·江苏泰州·期末）某企业的甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量x ， y 的数据如下： 专题二 概率统计（文科） （一）统计 【背一背基础知识】 一．抽样方法 抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围． 二．用样本估计总体 1.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的 频率 组距 ，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于 1； 2.茎叶图：茎叶图是一种将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图.在茎叶图中，“茎”表示数的高位部分，“叶”表示数的低位部分. 3.样本的数字特征： （1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数； （2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数a 对应的直线x a =的左右两边的矩形面积之和均为0.5，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数； （3）平均数：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则()121 n x x x x n = +++L 叫做这n 个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和； （4）方差：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则 ()()() 2222 121n s x x x x x x n ? ?=-+-++-????L 叫做这n 个数的方差，方差衡量样本的稳定 上年度财务审计报告 今年以来，我局在县委、县政府和市审计局的领导下，积极开展各项审计监督活动，较好地发挥审计保障经济社会运行的“免疫系统”功能作用。 上半年，共完成审计项目xx个，查出违规资金629万元，管理不规范资金5277万元，应上缴财政619万元，核减政府投资项目工程造价398万元，移送有关部门案件线索3项。 提交审计专题、综合性报告和信息简报23篇，被批示采用xx 篇。 一、上半年开展的主要工作 (一)开展财政预算执行审计。 对全部政府性资金、本级财政、部门单位预算执行和政府存量资金进行了审计，进一步摸清全部政府性资金来源，分析了收入结构、可动用资金、负债等情况。 在本级财政预算执行审计中，反映了预算编制不完整不准确、预算追加项目没执行、部分预算执行不到位、预算收入管理不规范、中小企业扶持资金绩效不够明显，房改资金挤占廉租住房保障资金等问题，处理上缴财政462万元。 部门预算执行审计反映了预算不准确、基本支出挤占项目经费等情况。 政府存量资金专项审计反映了财政存量资金的存量不适度，大 量的财政资金顶着项目沉淀在财政部门和各预算执行部门，增加了政府负债等问题，并提出了审计建议。 (二)开展税收征管情况审计。 对土地增值税征管情况进行了专项审计，反映了企业没有分类 别适用相应税率造成少预征税额、企业已申报但由于管理原因没有及时缴纳入库、部分企业没有按实申报预缴土地增值税、土地增值税清算不及时等问题，要求地税部门收回漏缴税款88万元，并堵塞征管 上的漏洞。 (三)开展清风肃纪审计。 对公务支出公款消费进行了专项审计。 反映了公务支出公款消费中存在的公务接待不规范、违规列支 会议费补贴和伙食费、未按规定用途使用专项经费等问题，并督促 26家主管部门进行整改。 对办公用品政府集中采购进行了专项审计，反映了办公用品采 购没有编制预算，部分办公用品采购存在无序性和盲目性、部门自行采购办公用品存在价格虚高等情况，存在部分采购价高于网上协议价、同种型号设备不同供应商价格不同、不同单位向同个供应商采购同种型号设备价格不同等问题。 (四)开展民生资金审计。 对xx县20xx年度新渔村建设整村推进工程进行专项审计，反 映了重复申报或虚报整村推进工程项目套取财政补助资金、施工单位 概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积：f S y d ==?距；频率=频数/总数 2、频率之和：121n f f f ++???+=；同时 121n S S S ++???+=； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 2、平均数： 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中：1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关；?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差：??i i i e y y =-（残差=真实值—预报值）。分析：?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑， 分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度（相关指数）：221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑，分析：①.(]20,1R ∈的常数； ②.越大拟合度越高； 4、相关系数 ：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①.[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈；相关性很弱； (0.25,0.75)r ∈；相关性一般； [0.75,1]r ∈；相关性很强； 六、独立性检验 1、2×2列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②．犯错误上界P 对照表 3、独立性检验步骤 2019届高三数学一轮复习方案 为备战2019年高考，合理有效利用各种资源科学备考，特制定本方案，来完成高三数学一轮复习； 一、指导思想 立足课本，以纵向为主，顺序整理，真正落实“低起点，勤反复、滚动式复习”，抓牢三基，重视展现和训练思维过程，总结和完善解题程序，渗透和提炼数学思想方法，加强章节知识过关，为二轮（条件允许可进行三轮）复习打下坚实的基础，大约在2019年年初结束。 二、复习要求 1、在一轮复习中，指导学生对基础知识、基本技能进行梳理，使之达到系统化、结构化、完整化；通过对基础题的系统训练和规范训练，使学生准确理解每一个概念，能从不同角度把握所学的每一个知识点、所有可能考查到的题型，熟练掌握各种典型问题的通法。 2、一轮复习必须面向全体学生，降低复习起点，在夯实“双基”的前提下，注重培养学生的能力，包括：空间想象、运算求解、推理论证、数据处理等基本能力。复习教学要充分考虑到本班学生的实际水平，坚决反对脱离学生实际的任意拔高和只抓几个“优生”放弃大部分“差生”的不良做法，不做或少做无效劳动，加大分层教学和个别指导的力度，狠抓复习的针对性、实效性，提高复习效果。 3、在将基础问题学实学活的同时，重视数学思想方法的复习。 一定要把复习内容中反映出来的数学思想方法的教学体现在一轮复习的全过程中，使学生真正领悟到如何灵活运用数学思想方法解题。必须让学生明白复习的最终目标是新题会解，而不是单单立足于陈旧题目的熟练。 三、一轮复习进度表 1、理科 日期一轮复习主要内容用卷 8月1日--8月7日第1讲集合 第2讲命题及重要条件 第3讲 逻辑联结词与全称命题、特称命题 限时小 题训练 8月8日--9月28日第4讲函数概念及其表示 第5讲函数的单调性与最值（二次） 第6讲函数的奇偶性与周期性 第7讲二次函数与幂函数 第8讲指数与指数函数 第9讲对数与对数函数 第10讲函数的图象 第11讲函数与方程 第13讲变化率与导数、导数的运算 第14讲导数在研究函数中的应用 第15讲定积分与微积分基本定理 限时小 题训练 导数强 化练习 复习卷 专题突破练20 统计与统计案例 1.(2019四川成都二模,理18)为了让税收政策更好地为社会发展服务,国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后,发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》,明确“专项附加扣除”就 是子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等费用,并公布了相应的定额扣除标准,决定自2019年1月1日起施行.某企业为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系,通过问卷调查,整理数据得如下2×2列联表: (1)根据列联表,能否有99%的把握认为满意程度与年龄有关? (2)为了帮助年龄在40岁以下的未购房的8名员工解决实际困难,该企业拟按员工贡献积分x(单位:分)给予相应的住房补贴y(单位:元),现有两种补贴方案,方案甲:y=1 000+700x;方案 乙:y=已知这8名员工的贡献积分为2分,3分,6分,7分,7分,11分,12分,12分,将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“A类员工”.为了解员工对补贴方案的认可度,现从这8名员工中随机抽取4名进行面谈,求恰好抽到3名“A类员工”的概率. 附:K2=-,其中n=a+b+c+d. 参考数据: 2.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图. 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为 … 7 建立模型①;=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为 … 7 建立模型②:=99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. 附件1 *本报告书应由社会团体及其负责人签字盖章的地方不得留空* 社会团体年度检查 财务审计报告 ××××会 年度 目录 一、审计报告 二、审计报告附送 （一）财务状况 1、社会团体基本情况统计表 2、资产负债表 3、业务活动表 4、现金流量表 5、固定资产明细表 6、财务报表附注 7、分支（代表）机构基本情况表 （二）资产状况 8、年度资产报告 9、年度资产报表 三、XX会计师事务所营业执照复印件 委托单位： 审计单位：XX会计师事务所 联系电话： 传真号码： 邮箱： — 1 — 全省性社会团体年度财务 审计报告 XX（社会团体名称）： 一、审计意见 我们审计了后附的XX（社会团体名称）（以下简称为贵单位）财务报表，包括2019年12月31日的资产负债表、业务活动表、现金流量表、财务报表附注和基准日为2019年12月31日的年度资产报告以及资产报表。 我们认为，后附的财务报表在所有重大方面按照《社会团体登记管理条例》和《民间非营利组织会计制度》的规定编制，公允反映了贵单位2019年12年31日的财务状况、经营成果和现金流量，以及2019年12月31日资产状况。 (应审计准则的要求,我们发表无保留意见、保留意见及其他类型的审计意见) 二、形成审计意见的基础 我们按照中国注册会计师审计准则的规定执行了审计工作。审计报告的“注册会计师对财务报表审计的责任”部分进一步阐述了我们在这些准则下的责任。按照中国注册会计师职业道德守则，我们独立于公司，并履行了职业道德方面的其他责任。我们相信，我们获取的审计证据是充分、适当的，为发表审计意见提供了基础。 三、管理层对财务报表的责任 按照《社会团体登记管理条例》和《民间非营利组织会计制度》的规定编制财务报表是XX（社会团体名称）管理层的责任。这种责任包括：（1）设计、执行和维护必要的内部控制，以使财务报表不存在由于舞弊或错误导致的重大错报；（2）评估单位的持续经营能力，选择和运用恰当的会计政策，作出合理的会计估计；（3）负责监督单位的财务报告过程。 四、注册会计师的责任 我们的目标是对财务报表整体是否不存在由于舞弊或错误导致的重大错报获取合理保证，并出具包含审计意见的审计报告。合理保证是高水平的保证，但并不能保证按照审计准则执行的审计在某一重大错报存在时总能发现。错报可能由舞弊或错误所导致，如果合理预期错报单独或汇总起来可能影响财务报表使用者依据财务报表作出的经济决策，则错报是重大的。 在按照审计准则执行审计的过程中，我们运用了职业判断，保持了职业怀疑。我们同时：（一）识别和评估由于舞弊或错误导致的财务报表重大错报风险；对这些风险有针对性地设计和实施审计程序；获取充分、适当的审计证据，作为发表审计意见的基础。由于舞弊可能涉及串通、伪造、故意遗漏、虚假陈述或凌驾于内部控制之上，未能发现由于舞弊导致的重大错报的风险高于未能发现由于错误导致的重大错报的风险。 — 2 — 概率与统计 1.如果一个整数为偶数的 概率为 (1)a+b 为偶数的概率； (2)a+b+c 为偶数的概率。 0.6 ，且 a,b,c 均为整数，求 2.从 10 位同学 (其中 6 女，4 男)中随机选出 3 位参加测验，每位女同学能通过测验的概率 43 均为，每位男同学能通过测验的概率均为，求55 (1)选出的 3 位同学中，至少有一位男同学的概率； (2)10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率。 3.袋中有 6 个白球， 4 个红球，甲首先从中取出 3 个球，乙再从余下的 7 个球中取出 4 个球，凡取得红球多者获胜。试求 (1)甲获胜的概率； (2)甲，乙成平局的概率。 4.箱子中放着 3 个 1 元硬币， 3 个 5 角硬币， 4 个 1 角硬币，从中任取 3 个，求总钱数超过 1 元 8 角的概率。 5.有 10 张卡片，其号码分别位 1，2，3?，10，从中任取 3 张。 (1)求恰有 1 张的号码为 3 的倍数的概率； (2)记号码为 3 的倍数的卡片张数为ξ，求ξ的数学期望。 6.某种电子玩具按下按钮后，会出现白球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球 1 的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下次出现红球、绿球的概率2 1 2 3 2 分别为, ；若前次出现绿球，则下次出现红球、绿球的概率分别为, ，记第 n(n ∈ 3 3 5 5 N,n ≥1) 次按下后，出现红球的概率为P n (1)求P2的值； (2)当 n∈N,n ≥2 时，求用P n 1表示P n的表达式； (3)求P n关于 n 的表达式。 7.有甲、乙两个盒子 ,甲盒子中有 8 张卡片 ,其中两张写有数字 0,三张写有数字 1 ，三张写有数字 2 ；乙盒子中有 8 张卡片，其中三张写有数字 0，两张写有数字1，三张写有数字 2 ， (1) 如果从甲盒子中取两张卡片，从乙盒子中取一张卡片，那么取出的 3 张卡片都写有 1 的概率是多少？ (2)如果从甲、乙盒子中各取一张卡片，设取出的两张卡片数字之和为ξ，求ξ的分布列和期望。 8.甲、乙两位同学做摸球游戏，游戏规则规定：两人轮流从一个放有 1 个白球， 3 个黑球， 2 个红球且只有颜色不同的 6 个小球的暗箱中取球，每次每人只取一球，每取出一个后立即放回，另一个人接着取，取出后也立即放回，谁先取到红球，谁为胜者，现甲先取 (1) 求甲摸球次数不超过三次就获胜的概率； (2) 求甲获胜的概率。 9.设有均由 A,B,C 三个部件构成的两种型号产品甲和乙，当A或 B 是合格品并且 C 是合格 品时，甲是正品；当 A， B 都是合格品或者 C 是合格品时，乙是正品。若 A 、 B、C 合格的概率均是 P，这里 A ，B，C 合格性是互相独立的。 (1) 产品甲为正品的概率P1是多少？ (2)产品乙为正品的概率P2 是多少？ (3)试比较P1与P2的大小。 10.一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱的二等品，我们对该箱中的产品逐一取出进行测试。 (1) 求前二次取出的都是二等品的概率； (2) 求第二次取出的是二等品的概率； (3)用随机变量ξ表示第二个二等品被取出时共取的件数，求ξ的分布列及数学 长江高中2019年高考数学备考计划 张向荣 一.背景分析 近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。 1 试题题型平稳突出对主干知识的考查重视对新增内容的考查 2 充分考虑文、理科考生的思维水平与不同的学习要求，体现出良好的层次性 3 重视对数学思想方法的考查 4 深化能力立意，考查考生的学习潜能 5 重视基础，以教材为本 6 重视应用题设计，考查考生数学应用意识 二、学情分析 本届学生学习态度较好，但水平差异较大，更多学生基础知识比较薄弱，遗忘率高，知识漏洞多。因此我们在复习课中加强双基训练，并注意蕴含在基础知识中的能力培养，特别是要求学生要学会把基础知识放在新情境中去分析、应用。把复习的重点放在教材 中典型例题、习题上，放在体现通性、通法的例题、习题上，放在各部分知识网络之间的内在联系上，抓好课堂教学质量以及课后辅导。 三、教学计划与要求 （一）第一轮复习第一轮复习(2018年8月到2019年3月中旬),为基础知识复习阶段。在这一阶段,重温高中阶段所学的数学知识,但这绝不只是对以前所学知识的简单重复,而是站在更高的角度,对旧知识产生全新认识的重要过程。因为在高一高二学习时,是以知识点为主线索,依次传授讲解的,由于后面的相关知识还没有学到,不能进行纵向联系,所以,大家学到的往往是零碎的、散乱的知识点。而在第一轮复习时,主线索是知识的纵向联系与横向联系相结合,以章节为单位,将那些零碎的、散乱的知识点串联起来,并将它们系统化、综合化,侧重点在各个知识点之间的融会贯通。 所以在复习过程中1.立足课本,快速理清学过的各个知识点,加深对知识点的理解,特别是知识点交汇分析，其次要把书上的例题、习题再做一遍,很多数学高考题就是由这些题目演变而来的。有针对性的“回归”课本,夯实基础,熟练掌握解题的通性、通法,提高解题速度。2.注意所做题目知识点覆盖范围的变化,有意识地引导思考、研究这些知识点在课本中所处的地位和相互之间的联系。3.明确课本从前到后的知识结构,将整个知识体系框架化、网络化。4.将常用的知识点总结起来,研究重点知识所在章节,并了解各章节在课本中的地位和作用。5.在这一阶段适当做一些高考真题,这样既可以明确 本资料分享自千人QQ 群323031380 期待你的加入与分享 第1讲 统计与统计案例 [考情分析] 高考对本讲内容的考查往往以实际问题为背景，考查随机抽样与用样本估计总体，线性回归方程的求解与运用，独立性检验问题．常与概率综合考查，中等难度． 考点一 统计图表 核心提炼 1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率 组距. 2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. 3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数． 频率分布直方图中： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等． (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 例1 (1)(多选)(2020·新高考全国Ⅱ)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( ) A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加 B ．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量 C ．第3天至第11天复工复产指数均增大都超过80% D ．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量 答案CD (2)学校为了了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示： 将阅读时间不低于30分钟的学生称为“阅读霸”，则下列结论正确的是() A．抽样表明，该校约有一半学生为阅读霸 B．该校只有50名学生不喜欢阅读 C．该校只有50名学生喜欢阅读 D．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸 答案 A 解析根据频率分布直方图可列下表： 阅读时间(分钟)[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60] 抽样人数(名)1018222520 5 抽样100名学生中有50名为阅读霸，占一半，据此可判断该校约有一半学生为阅读霸． 易错提醒(1)对于给出的统计图表，一定要结合问题背景理解图表意义，不能似懂非懂．(2)频率分布直方图中纵坐标不要误以为频率． 跟踪演练1(1)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是() A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大2019高考数学备考心得体会语文
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