全国高中物理竞赛动量守恒专题

动量及动量守恒

【基本内容】：

1、冲量

恒力的冲量指的是力与其作用时间的乘积。随时间改变的力对物体的冲量是指力的作用对时间的积累效果,即力对时间的积分：

dt t F I t t )(2

1

?

=

2、动量

动量是物质运动的一种量度，用P 表示。它定义为质点的质量m 与其速度v 的乘积,即v m P =。动量的单位是千克·

米/秒(s m kg /?). 3、质点的动量定理

质点所受的合外力的冲量等于其动量的增量，称之为质点动量定理.其积分形式为

)()(120

2

1

v m v m v m P d dt t F I P

P t t ?=-===??，

其微分形式为

I d dt F P d

==，

即质点动量的元增量等于作用在它上面的的元冲量。

4、质点系的动量定理

如右图所示,质点系由n 个质点组成,动量各为i P （i =1，2，…，n ），第i 个质点受系统内其它质点作用的内力之和为内i F ，受系统外部作用的合外力为外i F ，对系统内各质点分别应用微分形式的动量定理：dt p d F F 1

11=

+内外，…，dt

p d F F i i i =+内外。把各质点相加，得到

∑

∑∑=+dt

p d F F i

i i 内外。考虑到系统内质点所受内力之和等于零，即0=∑内

i F

。可得质点系动量定理的微分形式：∑∑=

i i p dt

d

F 外。用dt 乘等式两边，得

∑∑=i i p d dt F

外

，再对等式两边积分，可得质点系动量定理的积分形式：

00

∑∑?∑-=i i t

t i p p dt F

外

，即一段时间内质点系动量的增量等于质点系所受合外力的

冲量。

5、动量守恒定律

如果质点系不受外力或所受外力之和（或合外力的冲量）为零，则质点系的动量将保持

不变。即

若

0=∑i

i F

外

,则=∑i i

i v m 常矢量。

6、力矩

由O 点到力的作用点的矢径r 与力F 的矢量积称为力F 对点O 的力矩，力矩是 力使物体绕某点(轴)转动效应的量度，用M 表示，即：

F r M ?=。

7、冲量矩

力对某定点的力矩M 与力矩作用的微小时间间隔dt 的乘积，称为力矩M 在时间dt 内的冲量矩，在1t 到2t 的一段时间内的冲量矩是dt M t t ?

2

1

。

8、动量矩

质点对某点的位矢r 与质点在相应位置的动量v m 的矢量积，称作质点对该定点的动量矩(角动量)，即 v m r L ?=。

9、动量矩定理

一段时间内质点所受合外力对某定点的冲量矩等于质点对该定点的动量矩的增量，即

122

1

L L dt M t t -=?

。

对于质点系，动量矩定理表述为一段时间内系统所受外力合冲量矩等于系统总动量矩的增量,即

∑∑?∑-=i

i i

i t t i

i L L dt M

02

1

外

.

10、动量矩守恒定律

若对某定点合外力矩为零，则系统对该定点动量矩守恒，即

若0=合M ，则=?=

∑i

i

i i

v m r L )(常量.

【例题】

例1 如图所示，长度为L 、质量为M 的船停止在静

水中（但未抛锚），船头上有一个质量为m 的人，也是静止的。现在令人在船上开始向船尾走动，忽略水的阻力，试问：当人走到船尾时，船将会移动多远？

解析 对人、船系统，针对“开始走动→中间任意时

刻”过程，应用动量守恒（设末态人的速率为v ，船的速率为V ），令指向船头方向为正向，则矢量关系可以化为代数运算，有：

)(0v m MV -+=

即 MV mv = 对中间的任一过程，两者的平均速度也有这种关系。即：

V M v m = (1) 设全程的时间为t ，乘入(1)式两边，得：

t V M t v m =

设s 和S 分别为人和船的全程位移大小，根据平均速度公式，得：

MS ms = (2)

受船长L 的约束，s 和S 具有关系：

L S s =+ (3)

解(2)、(3)可得：船的移动距离 L m

M m

S +=

另解：利用质心运动定律，人、船系统水平方向没有外力，故系统质心无加速度→系统质心无位移。先求出初态系统质心（用它到船的质心的水平距离x 表达。根据力矩平衡知识，得：)

(2M m m L

x +=

），又根据，末态的质量分布与初态比较，相对整体质心是左右对称的。

所以可知船的位移为2x 。

例2 如图所示，A 、B 两物块及小车C 的质量之比为::1:2:3A B C m m m =，A 与B 之间夹有少量炸药。刚开始时，A 、B 、C 均静止，A 与C 、B 与C 之间的摩擦系数均相同，水平地面光滑。炸药爆炸后，

A 、

B 开始分开，直至A 和B 分别与小车

C 相对静止时，所用的时间分别为A t 、B t ，求:A B t t 的值。

解析 从:1:2A B m m =可知B A m m >，则A B m g m g μμ<，B 先相对于C 静止，然后A 也相对于C 静止。对于A 、B 、C 组成的系统，火药的爆炸力及A m g μ、B m g μ都是内力，在水平方向不受外力，系统动量守恒。题目中明确给出A t 、B t ，这就为B 相对C 、

C

A B

A f

B f BC

v (a)

C

A

f (b)

A B

A C

B

A 相对C 静止的物理过程提供了使用动量定理的条件。

在B t 时间内，以C 为研究对象，见图（a ），运动过程中A 对C 的摩擦力A A f m g μ=向左；B 对C 的摩擦力B B f m g μ=向右。当B 与C 相对静止的一瞬间，B 与C 的共同速度BC v ,向右。

()B A B C BC m g m g t m v μμ-= ①

再经()A B t t -时间，A 也相对C 静止，见图（b ）。以B 和C 为研究对象，在A 与C 相对静止的一瞬间，对于A 、B 、C 整个系统有

0()()A B C A B C t m m m v m m m v ++=++ ②

由于00v =，所以A 、B 、C 的末速度0t v =，即A 、B 、C 均静止，而在()A B t t -过程中，对B 和C 有

()0()A A B B C BC m g t t m m v μ--=-- ③ 方程①/③得，

C B A B A A B B

C m m m t m t t m m -=-+ ，即 213

132B A B t t t -=

-+ ， 则

8

5

A B t t = 例3 质量为M ，半径为R 的匀质圆盘，绕着过圆心且与圆盘垂直的轴以角速度ω旋转时的角动量大小为 L I ω=,21

2

I MR =

现有如图所示系统，细绳质量可忽略，细绳与圆盘间无相对滑动，定滑轮与中央轴之间光滑接触，有关参量已在图中标出，

12m m >，试求a 。

解析 以转轴上某点为参考点，定滑轮转动角动量方向沿转轴朝外，大小为

L I ω=

设左、右绳中张力分别为1T 、2T ，它们相对转轴力矩之和，方向沿轴朝外，大小为

12()M T T R =- 又因为 ()L M I I t t

ωβ??=

==?? 有 12()T T R I β-=

β

a a

M 2m

1

m R

对1m 、2m 有方程 111m g T m a -= 222T m g m a -=

a 与β的关系为 a R β=

可解得 12122()

2()m m a g m m M

-=

++

例 4 质量为m 的小球通过细绳悬挂于固定点O '上，小球以速度v 在水平面上作匀速圆周运动，细绳与竖直线的夹角为α，如图所示。求小球从图中A 点运动到B 点过程中绳子张力的冲量。

解 设圆周运动的半径为R ，由图示的小球受力情况可得

??

?

??==R v m

T m g T 2sin cos αα

解得 αcot 2

g

v

R =

小球从A 点运动到B 点经过的时间t 为 αππc o t g

v

v

R

t =

=

.

因此，小球所受的重力在这段时间里的冲量g I 为 k mv g

v

k mg t k mg I g ?-=?

?-=??-=απαπcot cot

由动量定理，小球所受合力的冲量应等于其动量的改变量，所以 j mv j mv j mv p p I A B 2-=--=-= 合力的冲量应等于合分力冲量的矢量和，所以 k mv j mv I I I g T ?+-=-=απcot 2， 即T I 的大小为 απ22cot 4+mv

例5 一股横截面积为A 、密度为ρ、以绝对速度0v 在水平方向运动的水流，无弹

?

?

?

B

y

z

x O

O '

T

A

mg

α

性地弹中一质量为m 的木块，即水离开木块时水相对于木块的水平速度分量为零。若木块与它在其上滑动的水平面间的摩擦因数为μ，求木块的最终速度。

解析 方法一：先作为变质量质点的运动问题来处理。木块视为本体，入射到木块的水流是微粒1，使本体质量增加，离开木块的水流是微粒2，使本体的质量减少，总的结果，木块的质量不变。

12

0dm dm dm dt dt dt =+= 其中 10dm dt >，20dm

dt < 1

0()dm v v A dt

ρ=- 这是由()t t dt + 时间内，射到木块上的水的质量0()dm v v Adt ρ=-得出的。

210()dm dm

v v A dt dt

ρ=-=-- 微粒1并入本体前的水平速度为0v ，微粒2从本体分离后的水平速度为v ，与木块的速度相同。

120()()dm dm dv

m

v v v v mg dt dt dt

μ+-+-=- 代入

1

dm dt

的表达式，上式变为 20()dv

m v v A mg dt ρμ--=- 达到最终速度时，0dv

dt

=，此时 20()v v A mg ρμ-=

注意0v v <，有

12

0(

)mg v v A μρ-= 木块的最终速度 12

0(

)mg v v A

μρ=- 方法二：不用变质量质点的运动微分方程，而用质点系的动量定理。考虑木块已经达到最终速度v 后的dt 时间内，对以木块和此期间与之发生无弹性碰撞的水流为系统运动动量定理。

在()t t dt + 时间内，木块的动量无增量，水流的质量为0()v v Adt ρ-，速度从0v 变为v ，水流的动量增量为

2

000()()()v v A d t v v v

v A d t

ρρ--=--

它也是所述系统的动量增量，由动量定理知，它应等于摩擦力对木块的冲量mgdt μ-，即 20()v v Adt mgdt ρμ--=- 解出 12

0(

)mg v v A

μρ=- 例6 如图所示，传送带向上传送砂石，料斗供给传送带砂石的速度为()kg s μ，两轮间传动带长l ，传送带倾角α，主动轮半径R ，求： （1）为使传送带匀速向上传送砂石，发动机的最小转矩是多少（空转时所加力矩不计）？

（2）相应的传送带速度为多大？并定性说明当速度偏大或偏小时，为匀速向上传送砂石，发动机将会有较大的转矩。

解析 （1）主动轮匀速转动可以匀速传送砂石。此时发动机作用在主动轮的转矩M 应与阻力矩平衡。阻力矩等于主动轮附近传送带中张力的合力矩，当20T =时，就是1T R 。

在匀速传送砂石时，张力1T 在数值上等于如下两个力的数值之和：其一是传送带上

被传送砂石斜面方向的重力分力1sin F mg α=，其二是为增加料斗送来的静止砂石的动量而施加的力2mv

F v t

μ?=

=?。得力矩平衡方程 12()(sin )M F F R mg v R αμ=+=+ ①

其中m 为传送带上的砂石质量，它等于单位时间内供给传送砂石的质量μ与供给l 长传送带所需的时间

l

v

的乘积，即 l

m v

μ=

代入方程①得 sin (

)l M v R v

μα

μ=+ ②

由于括号中求和的两项之积是一个常数2

sin gl μα，所以当此两项相等时，

M 取最小值，α R (a) (b) ? 1T 2

T

得

sin v gl α= ③

把③式代入②式得

min 2sin M R gl μα=

（2）发动机最小转矩相对应的速度即为③ sin v gl α=

当速度偏大时，尽管传送带上传送的砂石减少，致使1F 减小，但是，在单位时间内需增加砂石的动量增大，2F 增大，总效果将使M 增大，才能保证匀速传递砂石。当速度偏

小时，2F 减小而1F 增大，总效果仍然是

M 增大才能保证匀速传递砂石。 例7 在光滑的水平地面上，有一辆车，车内有一个人和N 个铅球，系统原来处于静止状态。现车内的人以一定的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出，车子和人将获得反冲速度。第一过程，保持每次相对地面抛球速率均为v ，直到将球抛完；第二过程，保持每次相对车子抛球速率均为v ，直到将球抛完。试问：哪一过程使车子获得的速度更大？ 解 设车和人的质量为M ，每个铅球的质量为m 。由于矢量的方向落在一条直线上，可以假定一个正方向后，将矢量运算化为代数运算。设车速方向为正，且第一过程获得的速度大小为1V 第二过程获得的速度大小为2V 。

第一过程，由于铅球每次的动量都相同，可将多次抛球看成一次抛出。车子、人和N 个球动量守恒。

1)(0MV v Nm +-=

得： v M

Nm

V =

1 (1) 第二过程，必须逐次考查铅球与车子（人）的作用。第一个球与（1-N ）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为1u 。它们动量守恒方程为：

[]11)1()(0u m N M u v m -+++-=

得：v Nm

M m

u +=

1

第二个球与（2-N ）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为2u 。它们动量守恒方程为：

221])2([)(])1([u m N M u v m u m N M -+++-=-+

得：v m

N M m

v Nm M m u )1(2-+++=

第三个球与（2-N ）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为3u 。铅球对地的速度是（3u v +-）。它们动量守恒方程为：

332])3([)(])2([u m N M u v m u m N M -+++-=-+

得：v m

N M m

v m N M m v Nm M m u )2()1(3-++-+++=

以此类推，N u 的通式已经可以找出：

v m

M m

v m N M m v m N M m v Nm M m u V N +++-++-+++=

= )2()1(2

即： v im M m

V N

i ∑=+=

1

2 (2) 我们再将(1)式改写成：∑==

N

i v M m

V 1

1

所以有：V 1 ＞ V 2 。即第一过程使车子获得的速度较大。 例8 在光滑水平面上静放着一个质量为M ，半径为R 的

大空球，另一个质量为m ，半径为r 的小球从大空球内如图所示位置由静止开始滚动，最后滚到其底部，求此过程中大空球的位移。

解 方法一：用质心运动定律

由于水平运动方向系统所受的外力为零，所以 0=水平a ，水平v 不变，0=初v

质心水平速度始终为零。也就是说，质心水平位置保持不变。 取坐标轴x 的正方向向右，原点在最大空球球心处。 开始时系统质心的水平位置 00()()C M m R r m

x R r M m M m

--=

=-+++

最后小球停止在大空球底时，大球的位移为M x ，则此时质心的水平位置为

C M x x = 0C C x x =

r

R

()M m

x R r M m

=-

++

负号表示大空球最后的位置处于初始位置的左边。 方法二：用动量守恒定律 0m x M m v M v +=，

mx m M M v x M M

v m x m

=-?=-. 小球在最初的水平位置为()R r --，而最后的水平位置为M x ，故其水平位移

()m M x x R r =+-，

()M m

x R r M m

-=

-+.

例9 如图所示，光滑水平面上静止地放着质量为M 、长为L 的均匀细杆。质量为m 的质点以垂直于杆的水平初速度0v 与杆的一端发生完全非弹性碰撞。试求：（1）碰后系统质心的速度及绕质心的角速度；（2）实际的转轴（即静止点）位于何处？ 解 碰后系统质心位置从杆中点右移为

2

L

m M m x ?+=

?

由质心的动量守恒得：0)(mv v m M c =+ 求得质心速度m

M mv v c +=

质点与杆的一端发生完全非弹性碰撞后，棒做平行运动。

设质点对杆的作用力为F ，如图x 所示。对杆据质心运动定理有：c Ma F = （1） 再按照绕质心轴转动定理有：

c a ML L F

)12

1

(22= （2）

设实际转轴P 距杆左端的距离为p L ，则有：c p c a L L

a )2

(-= （3）

由（1、（2）、（3）三式解得3L L p =，即实际转轴P 距杆左端的距离为3

L

L p =。

在碰撞过程中，以质点和杆组成的系统满足角动量守恒条件，故可列出瞬时轴P 的角动量守恒条件，所以有：ωωp p p I L L m L L mv 22

0)()(+-=- （4）

式中，p I 2是杆对P 轴的转动的转动惯量。根据平行轴定理得：

x ?

M L 1

C m

x

M L 1C m Lp

r

P C

F

222)2

(121p p L L

M ML I -+=

（5） 将（5）式以3L L p =

代入（4）式得L

m M m v )4(60

+=ω。 例10 一条长为2l ，质量为m 的柔绳索挂在一光滑的水平轴钉（粗细可略）上，当

两边的绳长均为l 时，绳索处于平衡状态，如图（a ）所示。若给其一端加一个竖直方向的微小扰动，则绳索就从轴钉上滑落。试求：

（1）当绳索刚脱离轴钉时，绳索的速度； （2）当较长的一边绳索长度为x 时，（2l x l <<），轴钉上所受的力。

解析 （1）因轴钉的支承力不做功，所以系统是一个保守系统。绳索刚脱离轴钉时，与初始位移相比，质心下降距离为

11

22

h l l l =-= 利用机械能守恒，得到 2

122

mv mgl = 解得绳索速度为

v gl =

（2）取轴钉处为坐标原点，竖直向下为x 轴正向。如图（b ）的位形，绳索质心坐标为

22()2(2)(2)2

21

[(2)]4c x x l x l x x l

x l x l

λλλ+--=

=+- ①

与初始位形相比，质心下降高度为 222211

2[(2)2]()42c h x l x l x l x l l l

=-=+--=- ② 利用机械能守恒，

2211

()22mv mg x l l

=- 解得此时绳索的速度大小为 ()g

v x l l

=

- ③ 再利用质心运动定律求解轴钉上所受的力F ，为此写出t 和t t +?石刻的系统动量

()(2)2()p t x v l x v v x l λλλ=--=-

()()()(2)()p t t x x v v l x x v v λλ+?=+?+?---?+? 其中λ为单位长绳索的质量，2m

l

λ=

。

（a ）

（b ）

x

()()p p t t p t ?=+?- 代入整理，并略去小量，得

222

22[()]2[()]42()()p g v x x l v v x l v t t l g mg x l x l l l

λλλ?=?+-?=+-??=-=-

其中已利用式③和2m l λ=。利用质点系动力学方程 2

22()mg mg F x l l

-=- 解得轴钉受力

222222[1()](24)mg F mg x l x l xl l l

=-

-=-+- 例11 在光滑的水平冰面上放一质量为M ，长为l 的木板，木板的一端有一质量为m

的小猫。为从木板的这端跳到另一端,小猫相对冰的最小速度应是多少？跳跃时速度方向与水平方向的夹角0α为多大时，小猫消耗的能量最少？

解 设小猫以速度0v 沿与水平面成α角方向起跳，而u 是小猫起跳后木板的速度， 由 0sin 10=-gt v α 可算出小猫飞行时间g

v t t α

sin 2201=

=。 (1) 根据板对地猫对板猫对地v v v +=，有

u v v -=猫对板αsin 0

即u v v +=αsin 0猫对板

如果l t u v t v =+=?)sin (0α猫对板， (2) 于是小猫可落到木板的另一端.又根据动量守恒定律，有

0cos 0=-Mu mv α (3) （1）、（2）、（3）式联立求解（消去t u ，），可求得

)

1(2sin 0M

m

gl v +=

α

由上式可知，当12sin =α时，可得最小速度M

m gl

v +=

1min .0.

小猫做功使木板和小猫本身的动能增加： 2221(1c o s )222s i n 2o M m m M g l m A u v m M M

αα=+=++ 又因

222222221(1cos )sin 21[sin cos cos ]2sin cos 1[sin (1)cos ]2sin cos 11[tan (1)]2tan 111[tan (1)]2tan (1)2tan tan 11[tan (1)]212tan m

M

m

M

m

M

m M m m M M m m M M

ααααααααααααα

αααααα+=++=++=++=-+++=-+++

从上式可以看出，当00

1

tan (1)tan m M αα=+

时，即0tan 1m M α=+，也就是说0arctan 1m

M

α=+

时，A 有极小值，即小猫消耗的能量最少。 例12 一宇宙飞船围绕质量为M 的恒星作半径为0r 的圆周运动，宇宙飞船的火箭可以迅速点燃，使飞船速度瞬时改变v ?，点燃的方位用飞船的速度v 和v ?之间的夹角来说明，如图（a ）所示。为了保存燃料，在连续N 此发射中，希望

1

n

i i v v =?=?∑减至最小，称v ?为比冲量。

（1）假如我们要利用飞船的火箭逃离这个恒星，且只点燃一次，需要的最小的比冲量多大？在什么方位点燃？

（2）假如我们要在半径为1r （0r >）的圆轨道上观察一颗行星，让火箭再次点燃，达到该行星轨道所需的最小冲量多大？

解析 （1）设0v 是飞船半径为0r 的圆周运动的速率，0e v 是从这轨道逃离的速度，则

202

00mv GMm r r =，2

00102e

GMm mv r -= 得 00GM

v r =

， 00

2e GM

v r = θ

v v ?

(a)

因为 000cos cos e v v v v v θθ=+?=+? 000

(21)

e GM

v v v r ?=-=- （2）在第一次点燃后，飞船从围绕恒星的圆轨道沿抛物线轨道逃离，当飞船到达该行星的圆轨道1r r =时，再次迅速点燃，如图（b ）所示. 飞船沿半径为1r 的圆轨道运动时，应有速率

11

GM

v r =

设1e v 为飞船到达1r r =第二次引爆前的速率。由角动量守恒有

0011

cos e e v r v r ?=， 即 0

101

cos e e r v v r ?= 由机械能守恒，有

221010

11022e e GMm GMm mv mv r r -=-= 11

2e GM

v r = 所需的最小比冲量为

11e v v v ?=-

2221111011100

011

()2cos 2222(32)e e v v v v v r GM GM

GM GM

r r r r r r GM

r r ?

?=+-=

+-=

-

所以 011

2(32)r GM

v r r ?=

- 【训练题】：

练习1 如图所示，质量为m 的人从长为l 质量为M 的铁板一

端匀加速跑向另一端，并在另一端骤然停住。一直铁板与水平面间摩擦系数为μ，人与铁板间的摩擦系数为μ'，且μμ' 。

(b)

0r

1r e v 1

e v 0

?

? 1v

f

试求人使铁板朝其跑动方向移动的最大距离L 。

练习2 将长为l 的n 块相同均质砖块逐一叠放，如图所示，问最大突出距离为多少？

练习3 一长方形均匀薄板AB ，可绕通过其重心、垂直于长度方向的固定水平轴O （垂直于纸面）自由转动，如图所示。在板上轴O 左侧距O 点为L 处以轻绳悬挂一质量为m 的物体。在轴O 的右侧板上放一质量也是m 的立方体，立方体边长以及其左侧面到轴O 的距离均为l 。已知起始时板处于水平位置，挂物与地面相接触，

轻绳紧绷，整个系统处于平衡状态。现在立方体右侧面中心

处施一沿水平方向向右的力F 去拉它，若用符号μ表示立

方体与板面间的静摩擦系数，当F 从零开始逐渐增大至某一数值时，整个系统的平衡状态将开始被破坏。试讨论：可

能出现几种平衡状态被破坏的情况？每种情况出现的条件是什么？要求在以μ为纵坐标、x （

23L

l

-）为横坐标的图中，画出可能出现这几种情况的区域。

练习4 三个质量分别为3m 、2m 、m 的小球A 、B 、C 由两根长度相等的细绳相连，如图所示，放置在光滑水平桌面上。三个小球正好位于正三角形的三个顶点位置，细绳正好拉直。现小球A 以速度0v 沿平行于BC 的方向运动，求细绳刚拉紧时小球C 的速度。

练习5 质量都是m 的两质点A 和B ，用长为2l 的无弹性的、补课伸长的轻绳连接。开始时，AB 位于同一竖直线上，B 在A 的下方，相距为l ，在给A 一水平速度0v 的同时，右静止释放B ，问经过多少时间后，AB 恰好位于同一水平线上.

…m 3m 2

m

A B C 0

v

60=θ? ? ?

θ

??

A

v B

l 2v

1v

l

A B

O m L

m

练习6 半径为R 的圆环绕其铅垂直径轴以角速度ω匀速转动，两质量为m 的珠子用长为R L =的轻杆相连套在圆环上，可在圆环上无摩擦地

滑动，试求细杆在圆环上的平衡位置。用环心O 与杆心C 的连线与铅垂

轴的夹角θ表示，并分析平衡的稳定性。

练习7 如图所示，在光滑水平轨道上有两个半径都是r 的小球A 和B ，质量分别为m 和m 2。当两球之间的距离大于l （l 比r 2大得多）时，两球之间无相互作用力；当两球球心之间的距离等于或小于l 时，两球之间存在相互作用的恒力F ，设A 球从远离B 球处以速度0v 沿两球连心线向原来静止的B 球运动，欲使两球不发生接触，0v 必须满足什么条件？

练习8 三个质点A 、B 和C ，质量分别为1m 、2m 和3m ，用拉直且不可伸长的绳子AB 和BC 相连，静止在水平面上，如图所示，AB 和BC 之间的夹角为（απ-）。现对质点C 施加以冲量I ，方向沿BC ，试求质点A 开始运动的速度。

练习9 在水平冰面上兄弟俩做推车游戏，兄的质量为1m ，弟的质量为2m ，小车的质量为

m ，开始时兄与小车静止在同一地面，弟静止在另一地点，而后兄将小车朝着弟推开去，

小车被推出后与兄的相对运动速度大小为u ；弟接到小车后又将小车推向兄，小车推出后相对弟的运动速度大小仍为u ，然后兄接到小车后又再次将小车推向弟……，如此继续下去，

设兄、弟、小车与冰面之间均无摩擦，冰面足够大。 （1）若某次弟推出后的小车恰好追不少兄，试求兄、弟、小车此时各自运动速度的大小。 （2）若u 无论取何值（非零值），弟第一次推出去的小车都恰好追不上兄，请给出1m 、

2m 、m 之间需要满足的关系式。

练习10 军训中，战士距墙0s 以速度0v 起跳，如图所示，再用脚蹬墙面一次，身体变为竖直向上的运动以继续升高，墙面与鞋底之间的静摩擦因数为μ。求能使人体重心有最大总升高的起跳角θ.

ω

θ O C 1I

2I

2v

2

m B β α

A B

l

0v

θ

练习11 质量为m 、长l 的匀质细杆，绕着过杆的端点且与杆垂直的轴以角速度ω转动时，它的动能和相对端点的角动量大小分别为 2

12

k E I ω=

，L I ω= 其中 2

13

I ml =

今如图所示，将此杆从水平位置静止释放，设此杆能绕着过A 的固定光滑水平细轴无摩擦地摆下，当摆角从零达θ时，试求：

（1）细杆转动角速度ω和角加速度β； （2）固定的光滑细轴为杆提供的支持力N .

练习12 如图所示，定滑轮两边分别悬挂质量为2m 和m 的重物，从静止开始运动3s 后，2m 的重物将触地无反弹，试求从2m 的重物第一次触地后，

（1）经过多少时间2m 的重物将第二次触地？ （2）经过多少时间系统停止运动？

练习13 小球以速度0v 上抛，经过时间t 后回到上抛点。已知小球运动过程中受到空气的阻力与其速率成正比。试求回落到上抛点时小球的速度v 。

练习14 质量为M 的小船上站着两个质量均为m 的人，当二人相对于船以相同水平速度v 跳离小船时（船和人原来是静止的，水的阻力不计），求小船反冲的速度。若第一次二人同时跳，第二次二人一先一后跳，则哪种情形下船的反冲速度较大？

练习15 一块足够长的木板，放在光滑的水平面上，如图所示，在木板上自左向右方有序号为1、2、3…、n 的木块，所有木块的质量均为m ，与

木板间的动摩擦因数均为μ。开始时，木板静止不动，第

1、2、3…、n 号的木块的初速度分别为0v 、02v 、03v 、…、

0nv ，0v 方向向右，木板的质量与所有木块的总质量相同，最终所有的木块与木板以共同的

θ

A l m ,

m

m 2

123n

0v 02v 03v 0nv …

速度运动，试求：

（1）第n 号木块从开始运动到与木板速度刚好相等的位移。 （2）第(1)n -号木块在整个运动过程中的最小速度。

练习16 总质量为M 的列车，沿水平直线轨道匀速前进，某末节车厢（质量为m ）中途脱节，司机发现时，机车已行驶时间t ，于是立即关闭汽门，出去牵引力，设运动的阻力与重量成正比，机车的牵引力恒定，试求列车两部分都停止时，机车比末节车厢多行驶的时间。

练习17 一火箭竖直向上发射，当它到达飞行最高点时炸裂成三个等质量的碎片。观察到其中一块碎片经过时间1t 比值下落到地上，而其他两块碎片在炸裂后的2t 时刻落到地上，求发生炸裂时的高度12(,)h t t 的表达式。设在火箭到达的高度，重力加速度仍为常量g

练习18 四个质量相同的小球A 、B 、C 、D 用相同长度的轻质刚性细杆光滑的连接成一个菱形，开始时菱形取正方形，在光滑的水平面上沿着对角线AC 方向以速度v 作匀速运动，如图（a ）所示。在AC 的前方有一与v 方向垂直的粘性固体直壁，C 球与其相碰后立即停止运动。试求碰后一瞬间A 球的速度A v 。

练习19 如图所示，一个高度为h ，底面半径为R 的正圆锥绕其竖直轴转动，圆锥表面有一

条从锥顶到锥底的光滑细直槽，圆锥起初以角速度0ω转动。一个质量为m 的小珠在槽的顶端被释放，在重力的作用下滑下。假设小珠只能在槽中运动，圆锥绕轴的转动惯量为I ，求： （1）小珠到达底部时圆锥的角速度

（2）小珠刚离开圆锥时相对于实验室的速率。

v

v

A B C D (a) 槽

小珠

ω? h

m

R

练习20 如图所示，一个质量为M，半径为R的光滑均质半球，静置于光滑水平桌面上，在球顶有一个质量为m的质点，由静止开始沿球面下滑。试求：质点离开球面以前的轨迹及质点绕球心的角速度。m

M

R