数学八年级上册 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

数学八年级上册全册全套试卷（培优篇）（Word版含解析）

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．

（1）求证：BG＝CF；

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．

【答案】（1）详见解析；（2）BE+CF＞EF，证明详见解析

【解析】

【分析】

（1）先利用ASA判定△BGD≅CFD，从而得出BG=CF；

（2）利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得到EG=EF，两边之和大于第三边从而得出BE+CF＞EF．

【详解】

解：（1）∵BG∥AC，

∴∠DBG＝∠DCF．

∵D为BC的中点，

∴BD＝CD

又∵∠BDG＝∠CDF，

在△BGD与△CFD中，

∵

DBG DCF

BD CD

BDG CDF

∠=∠

⎧

⎪

=

⎨

⎪∠=∠

⎩

∴△BGD≌△CFD（ASA）．

∴BG＝CF．

（2）BE+CF＞EF．

∵△BGD≌△CFD，

∴GD＝FD，BG＝CF．

又∵DE⊥FG，

∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．

∴在△EBG中，BE+BG＞EG，

即BE+CF＞EF．

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．

2．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且

PA=PE，PE交CD于F

（1）证明：PC=PE；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE

【解析】

【分析】

(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，

∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.

【详解】

(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，

在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，

∴PC=PE；

(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，

∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），

∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；

(3)、AP＝CE

理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，

在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，

∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC ∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E

∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，

即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，

∴AP=CE

考点：三角形全等的证明

3．已知4

AB cm

=，3

AC BD cm

==.点P在AB上以1/

cm s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为()

t s．

（1）如图①，AC AB

⊥，BD AB

⊥，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当1

t=时，ACP

△与BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

（2）如图②，将图①中的“AC AB

⊥，BD AB

⊥”为改“60

CAB DBA

∠=∠=︒”，其他条件不变．设点Q的运动速度为/

xcm s，是否存在实数x，使得ACP

△与BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）全等，PC与PQ垂直；（2）存在，

1

1

t

x

=

⎧

⎨

=

⎩

或

2

3

2

t

x

=

⎧

⎪

⎨

=

⎪⎩

【解析】

【分析】

（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出

∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；

（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．

【详解】

解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，

又∠A=∠B=90°，

在△ACP和△BPQ中，

AP BQ

A B

AC BP

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△ACP≌△BPQ（SAS）．

∴∠ACP=∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．

∴∠CPQ=90°，

即线段PC 与线段PQ 垂直．

（2）①若△ACP ≌△BPQ ，

则AC=BP ，AP=BQ ，

34t t xt =-⎧⎨=⎩

， 解得11t x =⎧⎨=⎩

， ②若△ACP ≌△BQP ，

则AC=BQ ，AP=BP ，

34xt t t =⎧⎨=-⎩

， 解得232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩

， 综上所述，存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩

使得△ACP 与△BPQ 全等． 【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用．

4．（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE=BD+CE ．

（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA=∠AEC=∠BAC ，求证:△DEF 是等边三角形．

【答案】(1)见解析；（2）成立，理由见解析；(3)见解析

【解析】

【分析】

（1）因为DE=DA+AE ，故通过证BDA AEC ≅△△，得出DA=EC ，AE=BD ，从而证得DE=BD+CE.

（2）成立，仍然通过证明BDA AEC ≅△△，得出BD=AE ，AD=CE ，所以

DE=DA+AE=EC+BD.

（3）由BDA AEC ≅△△得BD=AE ，=BDA AEC ∠∠，ABF 与ACF 均等边三角形，得==60BA AC ︒∠F ∠F ，FB=FA ，所以=BA BA AC AC ∠F ＋∠D ∠F ＋∠E ，即FBD FAB ≅∠∠，所以BDF AEF ≅△△，所以FD=FE ，BFD AFE ≅∠∠，再根据=60BFD FA BFA =︒∠＋∠D ∠，得=60AF FA =︒∠E ＋∠D ，即=60FE =︒∠D ，故DFE △是等边三角形.

【详解】

证明：(1)∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m

∴∠BDA ＝∠CEA=90°，∵∠BAC ＝90°

∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°

∴∠CAE=∠ABD ，又AB=AC ，∴△ADB ≌△CEA

∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AE+AD= BD+CE

(2)∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—α

∴∠DBA=∠CAE ，∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC

∴△ADB≌△CEA，∴AE=BD，AD=CE

∴DE=AE+AD=BD+CE

（3）由（2）知，△ADB≌△CEA， BD=AE，∠DBA =∠CAE

∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE

∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°

∴△DEF为等边三角形.

【点睛】

利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.

5．如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．

（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；

（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．

（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）4；（2）∠OA ′B 的度数不变，∠OA ′B ＝45︒，理由见解析；（3）点M 的坐标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）

【解析】

【分析】

（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP 为等腰直角三角形，从而求得答案；

（2）根据对称的性质得：PA ＝PA '＝PB ，由∠PAB +∠PBA ＝90°，结合三角形内角和定理即可求得∠OA 'B ＝45°；

（3）分类讨论：分别讨论当△ABP ≌△MBP 、△ABP ≌△MPB 、△ABP ≌△MPB 时，点M 的坐标的情况；过点M 作x 轴的垂线、过点B 作y 轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M 的坐标即可.

【详解】

（1）∵AB ∥x 轴，△APB 为等腰直角三角形，

∴∠PAB ＝∠PBA ＝∠APO ＝45°，

∴△AOP 为等腰直角三角形，

∴OA ＝OP ＝4．

∴t ＝4÷1＝4（秒），

故t 的值为4．

（2）如图2，∠OA ′B 的度数不变，∠OA ′B ＝45°，

∵点A 关于x 轴的对称点为A ′，

∴PA ＝PA '，

又AP ＝PB ，

∴PA ＝PA '＝PB ，

∴∠PAA '＝∠PA 'A ，∠PBA '＝∠PA 'B ，

又∵∠PAB +∠PBA ＝90°，

∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA '

＝180()PAB PBA ∠∠︒-+

180=︒-90°

=90°，

∴∠AA 'B ＝45°，

即∠OA 'B ＝45°；

（3）当t ＝3时，M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，

①如图3，若△ABP ≌△MBP ，

则AP ＝PM ，过点M 作MD ⊥OP 于点D ，

∵∠AOP ＝∠PDM ，∠APO ＝∠DPM ，

∴△AOP ≌△MDP （AAS ），

∴OA ＝DM ＝4，OP ＝PD ＝3，

∴M 的坐标为：（6，-4）．

②如图4，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，

过点M 作M E ⊥x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，

∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，

∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =

∵139023∠+∠=︒=∠+∠， ∴12∠=∠

∴Rt AOP Rt PGB ≅

∴34BG OP PG AO ====，

∵BG ⊥x 轴BF ，⊥y 轴

∴四边形BGOF 为矩形，

∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=

347BF OG OP PG ==+=+=

在Rt ABF 和Rt PME 中

∠BAF ＝45︒+1∠，∠MPE ＝45︒+2∠，

∴∠BAF ＝∠MPE

∵AB PM =

∴Rt ABF Rt PME ≅

∴71ME BF PE AF ====，

∴M 的坐标为：（4，7），

③如图5，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，

过点M 作M E ⊥x 轴于点D ，过点B 作BG ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，

∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，

∴∠BAP ＝∠MPB=45︒，PA PB =

∵139023∠+∠=︒=∠+∠，

∴12∠=∠

∴Rt AOP Rt PEB ≅

∴34BE OP PE AO ====，

∵BE ⊥x 轴BF ，⊥y 轴

∴四边形BEOF 为矩形，

∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=

347BF OE OP PE ==+=+=

在Rt ABF 和Rt PMD 中

∵BF ⊥y 轴

∴42∠=∠

∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+

∴ABF PMD ∠∠=

∵AB PM =

∴Rt ABF Rt PMD ≅

∴17MD AF PD BF ====，

∴M 的坐标为：（10，﹣1）．

综合以上可得点M 的坐标为：（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出结论．

二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1）．

（1）请运用所学数学知识构造图形求出AB的长；

（2）若Rt△ABC中，点C在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C后不用计算写出你能写出的点C的坐标；

（3）在x轴上是否存在点P，使PA=PB且PA+PB最小？若存在，就求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）．

【答案】（1）AB=52）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P．

【解析】

【分析】

（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB；

（2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可；

（3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案．

【详解】

解：（1）如图，连结AB ，作B 关于y 轴的对称点D ，

由已知可得，BD =4，AD =2．∴在Rt △ABD 中，AB =25

（2）如图，①以A 为直角顶点，过A 作l 1⊥AB 交x 轴于C 1，交y 轴于C 2 ．

②以B 为直角顶点，过B 作l 2⊥AB 交x 轴于C 3，交y 轴于C 4．

③以C 为直角顶点，以AB 为直径作圆交坐标轴于C 5、 C 6、 C 7．（用三角板画找出也可） 由图可知，C 2（0,7），C 4（0，-4），C 5（-1,0）、 C 6（1,0）．

（3）不存在这样的点P ．

作AB 的垂直平分线l 3，则l 3上的点满足PA =PB ，

作B 关于x 轴的对称点B ′，连结AB ′，

由图可以看出两线交于第一象限．

∴不存在这样的点P ．

【点睛】

本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题．

7．(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形，点B D E 、、在同一直线上，连接.CE

①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.

(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒,点

B D E 、、在同一直线上AF ，为ADE 中DE 边上的高，连接.CE

①求BEC ∠的度数:

②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).

()3解决问题:如图3，AB 和ADE 均为等腰三角形，BAC DAE n ∠=∠=,点

B D E 、、在同一直线上，连接CE .求AE

C ∠的度数(用含n 的代数式表示，直接写出结果即可).

【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）①90°；②BE =CE+2AF ；（3）

∠AEC =90°+

12n ︒. 【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE,依据其性质可得 BD CE =，再根据对应角相等求出BEC ∠的度数；

（2）根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出BEC ∠的度数；因为DE=2AF,BD=EC,结合线段的和差关系得出结论；

（3）根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n °，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出得出∠ADB=BEC ∠的度数,结合内角和用n 表示∠ADE 的度数，即可得出结论.

【详解】

（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形(如图1)，

∴ AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE.

∴△BAD≌△CAE（SAS）

∴ BD=CE.

②由△CAE≌△BAD，

∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.

∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.

（2）①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形(如图2)，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE.

∴△BAD≌△CAE（SAS）.

∴ BD=CE，∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°.

∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.

② BE=CE+2AF.

（3）如图3：∠AEC=90°+1

2

n ，理由如下，

∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=n°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE.

∴△BAD≌△CAE（SAS）.

∴ ∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°-180180

9022n n . ∴∠AEC=90°+12

n ︒.

【点睛】

本题考查等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转型三角形全等，掌握全等常见模型及由特殊到一般找出解题规律是解答此题的关键.

8．在等边ABC ∆中，点O 在BC 边上，点D 在AC 的延长线上且OA OD =.

（1）如图1，若点O 为BC 中点，求COD ∠的度数；

（2）如图2，若点O 为BC 上任意一点，求证AD AB BO =+.

（3）如图3，若点O 为BC 上任意一点，点D 关于直线BC 的对称点为点P ，连接,AP OP ，请判断AOP ∆的形状，并说明理由.

【答案】（1）30；（2）见解析；（3）AOP ∆是等边三角形，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据三角形的等边三角形的性质可求1302

CAO BAC ∠=∠=︒且,90AO BC AOC ⊥∠=︒，根据OA OD =，等腰三角形的性质得到D ∠的度数，再通过内角和定理求AOD ∠，即可求出COD ∠的度数.

（2）过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E 先证明COE ∆为等边三角形，再根据等边三角形的性质求120AEO ∠=︒，120DCO ∠=︒，再证明()AOE DOC AAS ∆≅∆，得到CD EA =，再通过证明得到EA BO =、AB AC =通过，又因为AD AC CD =+，通过等量代换即可得到答案.

（3）通过作辅助线先证明()ODF OPF SAS ∆≅∆，得到OP OD =，又因为OA OD =，

得到AO=OP，证得AOP

∆为等腰三角形，如解析辅助线，由（2）可知得

AOE DOC

∆≅∆得到AOE DOC

∠=∠,通过角的关系得到60

AOP COE

∠=∠=°，即可证得AOP

∆是等边三角形.

【详解】

（1）∵ABC

∆为等边三角形

∴60

BAC

∠=︒

∵O为BC中点

∴

1

30

2

CAO BAC

∠=∠=︒

且,90

AO BC AOC

⊥∠=︒

∵OA OD

=

∴AOD

∆中，30

D CAO

∠=∠=︒

∴180120

AOD D CAO

∠=︒-∠-∠=︒

∴30

COD AOD AOC

∠=∠-∠=︒

（2）过O作//

OE AB，OE交AD于E

∵//

OE AB

∴60

EOC ABC

∠=∠=︒

60

CEO CAB

∠=∠=︒

∴COE

∆为等边三角形

∴OE OC CE

==

180120

AEO CEO

∠=︒-∠=︒

180120

DCO ACB

∠=︒-∠=︒

又∵OA OD

=

∴EAO CDO

∠=∠

在AOE

∆和COD

∆中

AOE DOC

EAO CDO

OA OD

∠=∠

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴()

AOE DOC AAS

∆≅∆

∴CD EA

=

∵EA AC CE

=-

BO BC CO

=-

∴EA BO

=

∴BO CD

=，

∵AB AC

=，AD AC CD

=+

∴AD AB BO

=+

（3）AOP

∆为等边三角形

证明过程如下：

连接,

PC PD，延长OC交PD于F ∵P D

、关于OC对称

∴,90 PF DF PFO DFO

=∠=∠=︒在ODF

∆与OPF

∆中，

PF DF

PFO DFO

OF OF

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴()

ODF OPF SAS

∆≅∆

∴OP OD

=,POC DOC

∠=∠

∵OA OD

=

∴AO=OP

∴AOP

∆为等腰三角形

过O作//

OE AB，OE交AD于E 由（2）得AOE DOC

∆≅∆

∴AOE DOC

∠=∠

又∵POC DOC

∠=∠

∴AOE POF

∠=∠

∴AOE POE POF POE ∠+∠=∠+∠

即AOP COE ∠=∠

∵AB ∥OE ，∠B=60°

∴60COE B ∠=∠=︒

∴60AOP COE ∠=∠=°

∴AOP ∆是等边三角形. 【点睛】

本题是考查了全等三角形和等边三角形的综合性问题，灵活应用全等三角形的性质得到边与角的关系，以及等边三角形的性质是解答此题的关键.

9．数学课上，张老师举了下面的例题：

例1 等腰三角形ABC 中，110A ∠=，求B 的度数.（答案：35）

例2 等腰三角形ABC 中，40A ∠=，求B 的度数.（答案：40或70或100） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下两题：

变式1: 等腰三角形ABC 中，∠A=100°，求B 的度数.

变式2: 等腰三角形ABC 中，∠A= 45° ，求B 的度数.

（1）请你解答以上两道变式题.

（2）解（1）后，小敏发现，A ∠的度数不同，得到B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC 中，设A x ∠=，当B 只有一个度数时，请你探索x 的取值范围.

【答案】（1）变式1: 40°；变式2: 90°或67.5°或45°；（2）90°≤＜180°或x=60°

【解析】

【分析】

(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分类讨论，即可得到答案；

(2)在等腰三角形ABC 中，当B 只有一个度数时，A ∠只能作为顶角时，或∠A=60°，进而可得到答案.

【详解】

变式1:∵等腰三角形ABC 中，∠A=100°，

∴∠A 为顶角，∠B 为底角，

∴∠B =1801002

-=40°； 变式2: ∵等腰三角形ABC 中，∠A= 45° ，

∴当AB=BC 时，∠B =90° ，

当AB=AC 时， ∠B =67.5° ，

当BC=AC 时 ∠B =45° ；

（2）等腰三角形ABC 中，设A x ∠=，

当90°≤x ＜180°，∠A 为顶角，此时，B 只有一个度数，

当x=60°时，三角形ABC 是等边三角形，此时，B 只有一个度数，

综上所述：90°≤x ＜180°或x=60°

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论思想的应用，是解题的关键.

10．如图，在△ABC 中，AB =AC =2，∠B =40°，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于E 点．

（1）当∠BDA =115°时，∠BAD =___°，∠DEC =___°；

（2）当DC 等于多少时，△ABD 与△DCE 全等？请说明理由；

（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．

【答案】（1） 25，115；（2）当DC =2时，△ABD ≌△DCE ，理由见解析；（3）可以；当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形．

【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出BAD ∠，根据平角的定义，可求出EDC ∠的度数，根据三角形内和定理，即可求出DEC ∠．

（2）当AB DC =时，利用AAS 可证明ABD DCE ∆≅∆，即可得出2AB DC ==． （3）假设ADE ∆是等腰三角形，分为三种情况讨论：①当AD AE =时，

40ADE AED ∠=∠=︒，根据AED C ∠>∠，得出此时不符合；②当DA DE =时，求出70DAE DEA ∠=∠=︒，求出BAC ∠，根据三角形的内角和定理求出BAD ∠，根据三角形的内角和定理求出BDA ∠即可；③当EA ED =时，求出DAC ∠，求出BAD ∠，根据三角形的内角和定理求出ADB ∠．

【详解】

（1）在BAD 中，40B ∠= ，115BDA ∠=，

1801804011525BAD ABD BDA ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，

1801801154025EDC ADB ADE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．

AB AC =，40B ∠=，40B C ∴∠=∠=，1801804025115C E DC D E C ︒-∠-∠=︒-︒-︒=∠=︒．

故答案为：25，115；

（2）当2DC =时，ABD DCE ∆≅∆．理由如下：

40C ∠=，140EDC DEC ∴∠+∠=︒，又40ADE ∠=，140ADB EDC ∴∠+∠=︒，ADB DEC ∴∠=∠．

在ABD △和DCE ∆中，B C ∠=∠，ADB DEC ∠=∠，当AB DC =时，

()ABD DCE AAS ∆≅∆，2AB DC ∴==；

（3）

AB AC =，40B C ∴∠=∠=︒，分三种情况讨论：

①当AD AE =时，40ADE AED ∠=∠=︒，AED C ∠>∠，∴此时不符合； ②当DA DE =时，即1(18040)702

DAE DEA ∠=∠=︒-︒=︒，1804040100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，1007030BAD ∴∠=︒-︒=︒；

1803040110BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒；

③当EA ED =时，40ADE DAE ∠=∠=︒，1004060BAD ∴∠=︒-︒=︒，

180604080BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒；

∴当110ADB ∠=︒或80︒时，ADE ∆是等腰三角形．

【点睛】

本题考查了学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．

三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）

11．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式2

(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这种变形方法，叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：

222

22111111251151151124112422242222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++-+=+-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭⎝⎭⎝⎭根据以上材料，解答下列问题：

（1）用配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式，则281=x x +- ________； （2）用配方法和平方差公式把多项式228x x --进行因式分解；

（3）对于任意实数x ，y ，多项式222416x y x y +--+的值总为______（填序号）．

①正数②非负数 ③ 0

【答案】（1）2(4)17x +-；（2）(2)(4)x x +-；（3）①

【解析】

【分析】

（1）根据材料所给方法解答即可；

（2）材料所给方法进行解答即可；

（3）局部进行因式分解，最后写成非负数的积的形式即可完成解答.

【详解】

解：（1）281x x +-

=2816116x x ++--

2(4)17x +-.

（2）原式=22118x x -+--

=2(1)9x --

=(13)(13)x x -+--

=(2)(4)x x +-．

（3）222416x y x y +--+

=()()22214411x x y y -++-++

=()()221211x y -+-+

＞11

故答案为①.

【点睛】

本题考查了配方法，根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.

12．若一个正整数x 能表示成22a b -(,a b 是正整数，且a b >)的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a 与b 是x 的一个平方差分解. 例如：因为22532=-，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：

22222222()M x xy x xy y y x y y =+=++-=+-(,x y 是正整数)，所以M 也是“明礼崇德数”，()x y +与y 是M 的一个平方差分解.

(1)判断：9_______“明礼崇德数”(填“是”或“不是”)；

(2)已知2246N x y x y k =-+-+(,x y 是正整数，k 是常数，且1x y >+)，要使N 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由；

(3)对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”.若m 既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出m 的所有平方差分解.

【答案】（1）是；（2）k=-5；（3）m=279，222794845=-，222792011=-.

【解析】

【分析】

(1)根据9=52-42，确定9是“明礼崇德数”；

(2)根据题意分析N 应是两个完全平方式的差，得到k=-5，将k=-5代入计算即可将N 平方差分解，得到答案；

(3)确定“七喜数”m 的值，分别将其平方差分解即可.

【详解】

(1)∵9=52-42，

∴9是“明礼崇德数”，

故答案为：是；

(2)当k=-5时，N 是“明礼崇德数”，