五年级春季奥数教学内容

第1讲观察物体

例1（如下图）让同学们观察它的形状，说一说从不同的角度看到的形状，并且画出从正面和上面看到的图形。

例2：积木是我们小时候的玩具，它有很多种形状，小正方体的积木可以堆成不同的立体图形。如果从正面看到的图形是这样的（如下图），用7个小正方体应该怎么摆？

例3：老师在桌面上摆有一些大小一样的正方体木块。从上面和正面看到的图形如下图。要摆出这样的图形，最多需要多少块正方体木块？最少需要多少块正方体木块？

例4:把一个大正方体的表面涂上红色，再把它切成64个小正方体，在切成的小正方体中，三面涂有红色的有多少块？两面涂有红色的有多少块？

大胆闯关第1题1. 观察下图，请画出从正面和上面看到的图形

大胆闯关第2题

2、有一些大小一样的小正方体。如果从正面看到的图形如图（1），从上面看到的图形如图（2）。要摆出这样的图形，最多需要多少块正方体木块？最少需要多少块正方体木块？

大胆闯关3、用小正方体摆立体图形，如果从正面看到的图形如下图，你会怎样摆？如果用5个小正方体该怎样摆？

大胆闯关4、把一个大正方体的表面涂上红色，再把它切成27个小正方体，在切成的小正方体中，一面涂有红色的有多少块？两面涂有红色的有多少块？

补充题目1、下列图形都是由相同小正方形组成，( )不能折成正方体。

2、观察下图，如果将这个立体的表面涂上颜色（包括底面），则一面涂色的有（）个，两面涂色的有（）个，三面涂色的有（）个，四面涂色的有（）个，五面涂色的有（）个。

3、观察下图，请画出从正面看到的和从上面看到的图形。

4、有一些大小相同的正方体木块堆成一堆，从上面看是图（1），从前面看是图（2），从左面看到的是图（3），这堆木块共有多少块？

第2讲因数和倍数

第一关：20分

例1：四位数6A2B能同时被2、3、5整除，这样的四位数有多少个？

解析：能同时被2和5整除的数个位上必须是_____；

能被3整除，这个数____________________________。

第二关：30分

例2：一个两位数，它既是2的倍数，也是5的倍数，并且要最大。

（1）这个两位数是多少？

（2）这个两位数的因数有多少个？它的所有因数的和是多少？

大胆闯关第1题在四位数5□8□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除又含有因数5？

第三关：50分

例3：在613后面补上三个数字组成一个六位数，使它分别能够被3、4、5整除，符合这些条件的六位数中最小的一个是多少？

大胆闯关第2题在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3，4，5整除。符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？

例题4 判断36192能不能分别被8或9整除

解析1：被8整除的数的特征：________________________；

这个数的末三位能被8整除

解析2：被9整除的数的特征：___________________________。

这个数各个数位上的数字之和能被9整除。

大胆闯关第3题判断39262、147600、349200哪些能被8或9整除。（请分别写出来）

大胆闯关第4题。从0、2、3、5、7五个数中，选四个数组成一个能同时被2，3，5整除的数。其中最小的四位数是多少？

让我们一起分享一下你的收获吧！

倍数的特征:

2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8。

3的倍数的特征：各个数位上的数字和能被3整除。

4的倍数的特征：末两位数能被4整除。

5的倍数的特征：个位数字是0或5.

8的倍数的特征：末三位数能被8整除。

9的倍数的特征：各个数位上的数字和能被9整除。

本讲内容的补充习题：

1．在2010后面添上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被3、4、5整除，这个七位数最小是多少？最大是多少？

2．有一个四位数2AA2，它能被9整除，那么A代表的数字是多少？

3．在9857后面添上三个数字，组成一个七位数，使它能被12整除，这个七位数最大是多少？最小是多少？

4．一个五位数A329B既能被8整除，又能被9整除，那么A、B分别代表什么数字？

5. 在七位数7254□□□的方框中填入三个数字，使这个七位数能被2，5，9整除。求满足条件的最小的七位数。

第3讲长方体和正方体的认识

例1：王师傅用一根铁丝刚好焊成一个棱长8厘米的正方体框架，如果用这根铁丝焊成一个长10厘米、宽7厘米的长方体框架，它的高应该是多少厘米？

由题意知，正方体框架和长方体框架的________是相等的。

长方体的棱长是由____个长、_____个宽、____个高组成的。

例2：王老师有一个正方体教具，里面放了一个礼品，她打算送给答对问题的小朋友。下面的四个展开图，哪个是正方体的展开图？

例3：幼儿园的小朋友搭积木，用12个同样大小的正方体积木来拼一个长方体。一共有多少种不同的拼法？

例4：一个长方体的木块，长是20厘米，宽是15厘米，高是4厘米。现从这个长方体的木块中截取一个最大的正方体，正方体的棱长是多少厘米？最多可以截取多少个这样的正方体？

大胆闯关题。

1．天天游泳池长25米，宽10米，深1.6米，在游泳池的四周和池底砌瓷砖，如果瓷砖是边长为1分米的正方形，那么至少需要多少块这样的瓷砖？

2．下面各图中，哪些是正方体的展开图？

3．一个长方体礼盒的长、宽、高分别是40厘米、30厘米、20厘米。如果用彩带把这个礼盒捆扎起来（打结处的彩带长15厘米），一共需要彩带多少厘米？

4. 一个长方体和一个正方体的棱长之和相等，长方体的长是5厘米、宽是4厘米、高是3厘米，求正方体的棱长。

5. 将一个长是18厘米、宽是15厘米、高是6厘米的长方体三等分，有几种分法？增加的面积各是多少？

通过今天的学习，你有什么收获？还有什么问题要解决？

本讲内容的补充习题：

1、至少要（）个棱长是3厘米的小正方体才能拼成一个大正方体。

2、一个抽屉，长55厘米，宽30厘米，高10厘米，做一个这样的抽屉，至少需要木板多少

平方厘米？

3、一个长方体游泳池，长60米，宽30米，深2.2米。这个游泳池的占地面积是多少？如果在四壁和底部抹一层水泥，那么至少需要抹多少平方米？

4、一个长方体木块，长16厘米、宽12厘米、高8厘米，把它锯成若干个同样大小的正方体（没有浪费），最少可以锯成多少个？这些小正方体的表面积之和比原来的长方体的表面积大多少？

5、如右图所示：各个面上均涂有红色，现在按图上的线段切开，切下的小正方体中，一面涂色的有多少块？两面的呢？三面的呢？

第4讲长方体和正方体的表面积

【例1】爸爸拿出两个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体的积木，你们能拼出一个表面积最小的大长方体吗？这个大长方体的表面积是多少？

【例2】聪聪和明明顺利地解决了爸爸的问题了，这时爸爸拿出19个棱长为2厘米的小正方体积木堆成如图形状。聪聪、明明能求出它的表面积吗？

【例3】爸爸拿出一个棱长是5厘米的正方体，然后在它的每个面的中央都挖去一个棱长为1厘米的小正方体。那么所得物体的表面积是多少平方厘米？

【例4】这时，爸爸拿出一个正方体积木，棱长是4厘米。如果把这个正方体切成若干个棱长是2厘米的小正方体（如图），那么，这些小正方体表面积之和是多少？

大胆闯关第1题.把两个长5厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体拼成一个表面积最大的长方体。这个长方体的表面积是多少？

大胆闯关第2题14个棱长为1厘米的小正方体堆成如图的形状，求它的表面积。

大胆闯关第3题有一个棱长是3厘米的正方体，从它的每条棱上挖去一个棱长是1厘米的小正方体。所得物体的表面积是多少平方厘米？

大胆闯关第4题

4. 有一个长、宽、高分别是3分米、2分米、1 分米的长方体，先与长边垂直切3刀，再与宽边垂直切2刀，最后与高边垂直切1刀，所有小长方体的表面积之和是多少平方分米？全课总结

计算立体图形的表面积：

1、运用公式直接计算

长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2

正方体的表面积=棱长×棱长×6

2、不规则的立体图形可以通过三视图计算

3、拼切的图形可以通过增加或减少面的面积计算

补充练习：

1、一个长方体饼干盒，长18厘米，宽12厘米，高22厘米。要在它的侧面贴一圈商标纸，这张商标纸的面积至少有多少平方分米？（得数保留整数）

2、今年的母亲节，小红用自己的压岁钱给妈妈买了盒巧克力，这盒巧克力的长、宽、高分别是15厘米、8厘米、4厘米。小红请售货员阿姨为这盒巧克力打上精美的包装，再扎上彩带，结头处是20厘米，至少需要多长的彩带？

3、一个长方体木块，长16厘米、宽12厘米、高8厘米，把它锯成若干个同样大小的正方体（没有浪费），最少可以锯成多少个？这些小正方体的表面积之和比原来的长方体的表面积大多少？

第5讲长方体和正方体的体积

【例1】为了给铁块降温，小林看到王叔叔把一个棱长为3分米的正方体烧红的铁块放进了一个长15分米、宽12分米的长方体水箱中，水箱中原来水深10分米。王叔叔问：“你能知道水箱中现在水深多少分米吗？”（不考虑热胀冷缩现象）

【例2】小林看到爸爸拿着一块棱长为6厘米的正方体钢坯，准备将其锻造成横截面是9平方厘米的长方体零件。爸爸说：“小林你能知道，我要做的零件有多长吗？”

【例3】爸爸拿出一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，此时表面积减少了120平方厘米。问小林：“原来长方体木块的体积是多少立方厘米？”

【例4】从长为13厘米、宽为9厘米的长方形纸板的四角去掉边长为3厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器，这个容器的体积是多少立方厘米？

大胆闯关1.一个长方体空水箱，长5分米，宽4分米。先倒入73升水，再浸入一块棱长为3分米的正方体的铁块，这时水面离箱口1分米。这个水箱的容积是多少升？

大胆闯关2.在一个长60厘米、宽38厘米的长方体容器内浸没着一块长方体钢块，当取出钢块时，容器中的水面下降了5厘米。如果长方体钢块的底面积是570平方厘米，求钢块高是多少厘米？

大胆闯关3. 把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一个棱长5厘米的正方

体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体铁块。求这个长方体铁块的高。

大胆闯关4 有一个长、宽、高分别是40厘米、30厘米、20厘米的长方体木块，最多能锯成多少个棱长为4厘米的小正方体？

大胆闯关5 现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，充分利用材料请你用它做成一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计），你做出的铁皮盒容积最大是多少升？

全课总结

计算长方体和正方体的体积：

1、运用公式计算

长方体的体积=长×宽×高

正方体的体积=棱长×棱长×棱长

2、等积变形

补充习题

1、把若干个小正方体堆放在桌面上，从上往下看是图A，从前往后看是图B，这堆小正方体最少有( )个,最多有（）个。

2、一个密封的玻璃缸里装着一些水，水深4分米。如果把这个玻璃缸翻转后，水深多少分米？（玻璃缸厚度忽略不计）

3、如图所示：一个长20厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体，被切去一个小长方体后，剩下部分的体积是多少？

4、长方体容器的底面为边长是30厘米的正方形，容器内有30厘米深的水，竖直把一根长方体铁块插入水底后如右图。已知长方体铁块的底面边长是10厘米的正方形，水面将上升几厘米？

第6讲分数的基本性质

例1：

131的分子和分母同时加上多少后就可以约分成31？例2：15

4的分母加上60，要使分数的大小不变，分子应加上多少？例3：分数6455的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为13

4，求某数。

例4：写出两组满足条件12

111=+b a （a,b 为不相等的两个自然数）的a,b 的值。

大胆闯关第1题 1.填空：

（1）把12

5的分子乘3，要使分数的大小不变，它的分母应该（）。（2）把一个分数的分子扩大5倍，分母扩大5倍，这个分数值（）。

（3）8

9的分母加上56，要使分数的大小不变，分子应加上（）。（4）一个分数，分子加上1后，其值为43；分子减1后，其值为2

1，这个分数是（）。大胆闯关2．一个最简分数，分子分母之和为86，如果分子与分母都减去9，得到的分数是9

8，求原来的最简分数。

大胆闯关第3题

3．

137的分子减去某数，而分母加上某数后的分数约分为3

1，这个数是多少？ 4. 1111=8A B C ++,A 、B 、C 为不同的自然数，求A 、B 、C 的值。补充练习： 1.9

2的分子加4，要使分数的大小不变，分母应该加上多少？ 2.一个最简分数，分子和分母之和为60，若分子和分母都加上7，得到的分数约分后是

289，原来的分数是多少？

3.找出3个分数，使它们的大小在81和3

1之间。 4.一个分数，分子加1可约分为41,分母减1可约分为5

1，这个分数是多少？ 5.一个分数的分子、分母之和是21，分母增加19后可约分为4

1,则原分数是多少？

第7讲最大公因数与最小公倍数

1、探究类型之一

例1：五年级三个班分别有36、30、42人参加课外体育活动，现在要把参加的人分成人数相等的小组，且各班同学不能打乱，那么每组最多有多少人？此时一共可以分成多少个小组？

探究类型之二

例2：王老师为同学们准备了一张长方形的纸，长75厘米，宽6分米。现在要把它裁成边长为整厘米数、面积相等的小正方形纸片，恰无剩余。如果要使裁得的小正方形面积最大，可以裁成多少块？

探究类型之三

例3：兴趣小组李老师问同学们：有一种长20厘米、宽16厘米的塑料扣板，如果用这种扣板拼成一个正方形，最少需要多少块？

探究类型之四

例4：小明、小红、小华三位同学去图书馆看书。小明每2天去一次，小红每3天去一次，小华每4天去一次。1月1日，他们三人恰好在图书馆相会。问最少再过多少天他们三人又在图书馆相会？

探究类型之五

例5：在实践园里，张老师和同学们摘了一筐梨。如果按每份3个梨分多2个，按每份5个梨分多4个，按每份7个梨分多6个，这筐梨至少有多少个？

拓展提升，大胆闯关

1.某厂召开职工代表大会，三个车间分别有72人、45人、81人参加。现在大会要编成若

干组进行讨论交流，编组时各车间人员不打乱，而且每组人数要相等，每组最多有几人？

要编成多少组？

2.有一种地板砖，长20厘米，宽15厘米，至少需要多少块这样的地板砖才能拼成一个实

心的正方形？

3.1路、2路和3路车同时从车站发车。1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发

一辆，3路车每隔20分钟发一辆。当这三条路线的车同时发车后，至少要过多少分钟才又有这三条路线的车同时发车？

答：至少要60分钟才又有这三条路线的车同时发车

4.五（2）班的同学不超过70人。如果每12人站1队则多1人，每6人站1队也多1人，

每5人站1队还多1人。五（2）班有多少位同学？

四、课堂总结这节课你学会了什么？

1.求最小公倍数与最大公因数的方法——短除法。

2.运用最大公因数与最小公倍数的知识解决实际问题。

补充练习：

1.分别说出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。

25和5 8和20 27和18 15和30

10和60 6和15 24和18 35和14

2．一筐苹果4个4个拿，6个6个拿，或者8个8个拿都正好拿完，这筐苹果最少有多少个？3．有四个小朋友，他们的年龄一个比一个大一岁，四个人的年龄的乘积是360。他们中年龄最大是多少岁？

4. 如果A=2×3×3×5，

B=2×3×3×7，

C=2×3×11，

那么A、B、C三个数的最大公因数是（）；A、B两个数的最小公倍数是（）；

5. 用长4厘米、宽5厘米的长方形纸拼一个正方形，拼成的正方形的边长最小是（）厘米。至少需要（）个这样的长方形才能拼成一个正方形。

6.汽车站内每隔3分钟发一辆公交车，4分钟发一辆中巴车，从上午7时开始两种汽车同时发车，1小时后（不包括7点发的两趟车）共发了几辆汽车？其中有几次是公交车和中巴车同时发车的？

7.已知某小学五年级学生超过100人，而不足140人。将他们按每组12人分组，多3人；按每组8人分，则少5人。这个学校五年级有多少学生？

8.三个数的和是312，这三个数分别能被7、8、9整除，而且商相同。这三个数分别是多少？

五年级春季奥数教学内容

第1讲观察物体例1（如下图）让同学们观察它的形状，说一说从不同的角度看到的形状，并且画出从正面和上面看到的图形。例2：积木是我们小时候的玩具，它有很多种形状，小正方体的积木可以堆成不同的立体图形。如果从正面看到的图形是这样的（如下图），用7个小正方体应该怎么摆？例3：老师在桌面上摆有一些大小一样的正方体木块。从上面和正面看到的图形如下图。要摆出这样的图形，最多需要多少块正方体木块？最少需要多少块正方体木块？例4:把一个大正方体的表面涂上红色，再把它切成64个小正方体，在切成的小正方体中，三面涂有红色的有多少块？两面涂有红色的有多少块？大胆闯关第1题1. 观察下图，请画出从正面和上面看到的图形

大胆闯关第2题 2、有一些大小一样的小正方体。如果从正面看到的图形如图（1），从上面看到的图形如图（2）。要摆出这样的图形，最多需要多少块正方体木块？最少需要多少块正方体木块？大胆闯关3、用小正方体摆立体图形，如果从正面看到的图形如下图，你会怎样摆？如果用5个小正方体该怎样摆？大胆闯关4、把一个大正方体的表面涂上红色，再把它切成27个小正方体，在切成的小正方体中，一面涂有红色的有多少块？两面涂有红色的有多少块？补充题目1、下列图形都是由相同小正方形组成，( )不能折成正方体。 2、观察下图，如果将这个立体的表面涂上颜色（包括底面），则一面涂色的有（）个，两面涂色的有（）个，三面涂色的有（）个，四面涂色的有（）个，五面涂色的有（）个。 3、观察下图，请画出从正面看到的和从上面看到的图形。

4、有一些大小相同的正方体木块堆成一堆，从上面看是图（1），从前面看是图（2），从左面看到的是图（3），这堆木块共有多少块？第2讲因数和倍数第一关：20分例1：四位数6A2B能同时被2、3、5整除，这样的四位数有多少个？解析：能同时被2和5整除的数个位上必须是_____；能被3整除，这个数____________________________。第二关：30分例2：一个两位数，它既是2的倍数，也是5的倍数，并且要最大。（1）这个两位数是多少？（2）这个两位数的因数有多少个？它的所有因数的和是多少？大胆闯关第1题在四位数5□8□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除又含有因数5？第三关：50分

五年级下册课本配套奥数教材

倍数与因数(一) 【例1】(★★★) 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。【例2】(★★) 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。【例3】(★★★) 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____。【例4】(★★) 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____。【例5】(★★★) 5. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个。

倍数与因数(二) 【例1】(★★★) 有一个五位数2□69□，它的千位和个位看不清楚了，小明知道这个数既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数。小朋友你知道这个数可能是多少吗？【例2】(★★) 回答下列问题： ⑴把16拆成两个质数的和共有多少种拆法？它们分别是什么？ ⑵两个质数的和是39，这两个数的差是多少？ ⑶三个质数的乘积是70，其中两个数的和正好等于第三个数，其中最大的那个数是多少？【例3】(★★★) 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字组成若干个质数，每个数字恰好使用一次，请问：最多能组成多少个质数？请找出一种满足要求的组法。【例4】(★★) 一天，小明的房间里亮着灯，突然停电了，小明以为灯泡坏了，所以就拨了几下开关，他清楚的记得自己一共拨动了7下开关，那么当来电时，他房间的灯是亮的还是暗的？如果在关灯的状态下拨动100次开关，那么灯会亮着还是不亮？【例5】(★★★) 有一列数，它们是1、1、2、3、5、8、13、21 …，从第三个数起，往后每个数都是相邻的前两个数的和。有人说这个数列中的第105个数是奇数，你认为对吗？你能判断这个数列里的第1000个数是奇数还是偶数吗？请说明理由。

五年级学生怎样学好奥数

五年级学生怎样学好奥数五年级学生怎样学好奥数这里的数论和方程的方法是目前北京市考试的重要考点。学习新课时应该选择一本经典的教材，仁华课本非常不错，它是一套很完整、成熟的教材，也是目前选用最多的一本教材，几乎涵盖了全部的五年级奥数重点，拿下仁华课本可以打下很好的基础。 2、多做专题的练习。 3、多做真题。真题的练习包括历年的竞赛真题和考试真题。做真题可以使自己更好的了解近几年的考试方向和考试的重点，有助于在平时的学习中找到突破口，集中力量学好考试中最常见的专题。 4、巩固基础知识。由于还有半年就要转入的复习阶段，所以五年级之前的奥数基础内容一定要掌握好。之前的奥数内容以应用题、计算为主。对于基本应用题建议利用方程的方法求解，可以达到事半功倍的效果。计算问题需要对基本的简算方法了如指掌，因为这些方法也是以后分数计算和综合混合运算的基础。学习重点难点解析：五年级属于小学高年级，孩子进入五年级以后，随着年龄的增长，孩子的计算能力，认知能力，逻辑分析能力都比以前有很大的提高，这个时期是奥数思维形成的关键时期，是学奥数的黄金时段，所以是否把握住五年级这个黄金时段，关系到以后的成与败。那么在整个五年级阶段都有哪些重点知识呢？为了孩子更好的把握五年级的学习重点，下面就介绍一下五年级的关键知识点。 1.进入数学宝库的分析方法——递推方法。

1条直线最多有0个交点0 2条直线最多有1个交点1 3条直线最多有3个交点1+2=3 4条直线最多有6个交点1+2+3=6 5条直线最多有10个交点1+2+3+4=10 6条直线最多有15个交点1+2+3+4+5=15 …… 所以2008条直线有1+2+3+4+5＋…+2007=2015028个交点。那么聪明的你，你能算出2008条直线最多可以把圆分成几部分么？ 2.变化无穷、形迹不定的行程问题。提到行程问题，同学们可能就感到头疼，的确不错，因为行程问题中各个物体的速度、时间、路程都在变化，而且各个物体都是在运动中，位置是随着时间在变化，所以分析起来就很麻烦，为了更好的解决这个问题，我们把行程问题进行了细分：基本行程（单个物体）、平均速度、相遇、追及、流水行船、火车过桥、火车错车、钟表问题、环形线路上行程。只要我们掌握这些每个小类型中的.诀窍，形成一种分析思路，复杂的行程问题无非是这些类型的变形而已，解决起来就容易多了。 3.抽象而又杂乱的数论问题。数论是从五年级的核心知识，无论是在哪本教材里，都用了很多的章节来讲解数论，要想解决复杂的数论问题，我们首先得掌握数论的基本知识：数的奇偶性、约数（现在叫因数）、倍数、公约数及最大公约数、公倍数及最小公倍数、质数、合数、分解质因数、整除、余数及同余等。这些基本知识点里又有些非常有代表性的例题，只要能掌握好这些知识点，然后做一定量的数论综合习题，碰到难的数论问题我们就容易解决了。

五年级奥数春季实验班第12讲计算综合之不定方程

第十二讲计算综合之不定方程模块一、基础不定方程的解法例1．不定方程x+y=2有组解，有组自然数解，有组正整数解。解：不定方程x+y=2有无穷组解，对于自然数有0+2=2，1+1=2，2+0=2，所以自然数解有3组，正整数解有1组。例2．求不定方程的正整数解：2x+3y=8. 解：不定方程2x+3y=8，两边取模2的运算得，y≡0 (mod 2)，取y=2，x=1，所以方程的解是 1 2 x y = ? ? = ? 。例3．求不定方程的正整数解：3x+5y=31. 解：方程3x+5y=31，两边取模3运算，2y≡1 (mod 3)，得到y=2，x=7 所以方程的解是 7 2 x y = ? ? = ? 或 2 5 x y = ? ? = ? 。例4．已知5x?14y=11，x和y都是正整数，x+y的最小值是。解：方程5x?14y=11，两边取模5的运算，y≡1 (mod 3)，解得x=5，所以方程的解是 5 1 x y = ? ? = ? ， 19 6 x y = ? ? = ? ，……， 514 15 x k y k =+ ? ? =+ ? （k为自然数）。所以x+y的最小值是6. 模块二、复杂不定方程的解法例5．小张带了5元钱去买橡皮和圆珠笔，橡皮每块3角，圆珠笔每支1元1角，问5元钱刚好买块橡皮和支圆珠笔。解：设买了x块橡皮，y支圆珠笔，所以3x+11y=50，两边取模3的运算得2y≡2 (mod 3)，所以y=1，x=13，或x=2，y=4，即方程的解是 13 1 x y = ? ? = ? 或 2 4 x y = ? ? = ? 。所以买13块橡皮和1支圆珠笔或2块橡皮和4支圆珠笔。例6．今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，则鸡翁、鸡母、鸡雏各只。解：设买到x只鸡翁，y只鸡母，则有100?x?y只鸡雏，则5x+3y+100 3 x y -- =100，整理得7x+4y=100，两边取模4的运算3x≡0 (mod 4)，所以x=0，y=25，方程的解为 4 18 x y = ? ? = ? ，解得z=100?x?y=78，或 8 11 x y = ? ? = ? ，z=81，或 12 4 x y = ? ? = ? ，z=84. 例7．现有一架天平和很多3克和4克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。（砝码只能放在天平的一边）解：由于4?3=1，3×3?4×2=1，即如果称出的重量中有1个3，则将3换成4，则能称出下一个重量；如果称出的重量中有2个4，则可以将2个4换成3个3，也能称出下一个重量，从6以后的所有重量都可以称出来，所以不能称出的最大重量是5克。 1 2 3 456 789 10 11 12 13 14 15 ……

五年级下册奥数培训教材

倍数问题（一）典型例题1 两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。原来两根铁丝各长多少厘米？模拟练习 1、两根一样长的绳子，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根的3倍。两根绳子原来各长多少？ 2、一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的6倍，原来两筐水果一共有多少个？ 3、两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个加数。这两个加数各是多少？典型例题2 甲组的图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍，甲组原来有图书多少本？模拟练习 1、甲库的存粮是乙库的4倍，如果从乙库取出6吨放入甲库，则甲库的粮食正好是乙库的6倍。原来两库各有多少吨粮食？

2、一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。从下层拿5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍。原来下层有几本书？ 3、小明原来的画片是小红的3倍，后来两人各买了5张，小明的画片就是小红的2倍。两人原来各有多少张画片？倍数问题（二）典型例题1 幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。如果每组领3个梨和4个苹果，梨正好分完，苹果还剩16个。两种水果原来各有多少个？模拟练习 1、同学们带着水果去看敬老院的老人，带的苹果是橘子的3倍。如果每位老人拿2个橘子和4个苹果，那么，橘子正好分完，苹果还多14个。同学们把苹果分给了几位老人？ 2、甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出粮食40吨，乙粮库每天运出30吨。若干天后，乙粮库的粮食全部运完，而甲粮库还有80吨。甲、乙两粮库原来各有粮食多少吨？典型例题2 某车间有两个小组，A组的人数比B组人数的2倍多2人。如果从B组中抽10人去A组，则A组人数是B组的4倍。原来两组各有多少人？

五年级奥数教材

- 1 - 第1讲数阵一、精讲精练【例题1】把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a 使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。练习1： 1.把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。 2.把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。 3.将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。【例题2】将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。练习2： 1.把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。 2.把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。 3.将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。【例题3】将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。练习3： 1.将1——6六个数分别填入下图的圆圈内，使每边上的三个数的和相等。

- 2 - 2.将1——9九个数分别填入下图圆圈内，使每边上四个数的和都是17。 3.将1——8八个数分别填入下图的圆圈内，使每条安上三个数的和相等。【例题4】将1——7分别填入下图的7个圆圈内，使每条线段上三个数的和相等。练习4： 1.将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。 2.将1——11这十一个数分别填进下图的○里，使每条线上3个○内的数的和相等。 3.将1——8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。【例题5】如下图(a)四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等。问这六个质数的积是多少？练习5： 1.将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的积都相等。 2.将1——9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。这五个数之和最大是多少？ 3.将1——9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。

五年级奥数春季班第10讲比例法解行程资料讲解

五年级奥数春季班第10讲比例法解行程

第十讲比例法解行程模块一、比例的简单运用例1．A、B两地相距300千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发。（1）甲车的速度是30千米/时，乙车的速度是20千米/时，相遇时距A地千米；（2）甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是40千米/时，相遇时距A地千米；（3）甲车的速度是40千米/时，乙车的速度是20千米/时，各自走完全程，两车行驶的时间之比是；（4）如果两地距离未知，甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是30千米/时，相遇时，甲车走了全程的，各自走完全程，两车行驶的时间之比是。解：（1）V甲 : V乙=30 : 20=3 : 2，所以S甲 : S乙=3 : 2， 300×3 32 + =180（千米）；（2）V甲 : V乙=60 : 40=3 : 2，所以S甲 : S乙=3 : 2， 300×3 32 + =180（千米）；（3）V甲 : V乙=40 : 20=2 : 1，所以t甲 : t乙=1 : 2，（4）V甲 : V乙=50 : 30=5 : 3，所以S甲 : S乙=5 : 3，t甲 : t乙=3 : 5，相遇时，甲走了全程的 55 = 538 + ，各自走完全程，两车行驶的时间之比是3 : 5. 例2．（1）甲、乙两人的速度比是4 : 5，两人同时出发，行走的时间比为3 : 7，则甲、乙走的路程比为；（2）甲、乙两人要走的路程比为3 : 2，甲、乙的速度比是4 : 3，则甲、乙的时间比是；（3）甲、乙两人的路程比为7 : 8，两人用的时间比为6 : 5，甲的速度为70千米/时，则乙的速度为。解：（1）已知V甲 : V乙=4 : 5，t甲 : t乙=3 : 7，所以S甲 : S乙=12 : 35；（2）S甲 : S乙=3 : 2，V甲 : V乙=4 : 3，所以t甲 : t乙=32 : 43 =9 : 8；（3）S甲 : S乙=7 : 8，t甲 : t乙=6 : 5，所以V甲 : V乙=78 : 65 =35 : 48；于是70 : V乙=35 : 48，V乙=96千米/小时。模块二、行程的正比例模型行程的正比例模型是指时间一定，路程和速度成正比。在没有发生变速的情况下，路程比等于速度比。如果两人同时从同地出发，速度比为 1 : n，则路程比也为1 : n，相遇时，两人各自走了 2 1 S n+ ， 2 1 nS n+ 。例3．甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲骑车的速度是15米/秒，乙步行的速度是5米/秒，如果甲到达B地后立即返回，请问两人在相遇。解：设A、B两地的距离为S，V甲 : V乙=15 : 5=3 : 1，

小学奥数经典教材

小学奥数经典教材来源：鼎杰教育 1. 《仁华学校奥林匹克数学课本》(俗称“课本”，一共六册，从一年级到六年级) 这套书写的非常详细，把小学奥数基本内容都涵盖了，而且内容不太复杂，非常适合让孩子自学！。如果孩子不太自觉，那可以报一个班儿，让老师来教，监督孩子扎实地掌握里面的内容。里头每一讲都既有例题又有练习，而且练习不光有答案，还有解答。大家可以学完例题，然后做练习。注意，练习一定要做，而且要一道不落！因为光看是绝对学不会数学的！三年级孩子比较适合从这套书入手开始奥数的学习。需要注意的是这套书一二年级两本书编排的相对差一些，比如二年级很多计算学校课堂还没有学，但是题目中却经常出现（这对孩子理解会造成非常大的障碍）；二年级仁华课本中经常有枚举类问题（比如整数拆分问题等等），这类问题逻辑严谨性很高，对二年级学生来讲比较难，但是课本中很前面就出现了。所以我们建议如果低年级学生学习该课本时，应该在相应章节讲之前补充适当的基础知识，一些较难的章节应适当放在后面学习。另外，这套书成书较早，很多内容相对简单。作为基础教材，必须有一个超前使用的意识。比如三年级的孩子，不要仅仅局限于学习三年级的课本，很多四年级课本的知识也可以给孩子学，比如整数的简便运算，四年级课本里就有，但三年级的孩子完全可以学。一般到了五年级，在接触了分数的四则运算之后，学习六年级课本里的绝大多数内容是没有问题的了，所以五年级的孩子就应该当六年级的孩子来看待了。不过话说回来，超前学是一方面，无论如何学踏实是一定要有的，绝对不能盲目追求速度，学得囫囵吞枣。 2. 《仁华学校数学思维训练导引》（俗称“导引”，一共两册，三、四年级一册，五、六年级一册）这套书是其实就是习题集，而且是难题集。里面的大多数题目都有一定难度，有的甚至是IMO（国际数学奥林匹克竞赛）的题目。而且，里面的内容并不是完全按题目难度来编排的，而是根据所需要的数学知识。这会导致一个比较麻烦的问题，那就是：一道题目所需要的数学知识可能很简单，也许只需要三年级孩子都会的整数四则运算，但题目的思考难度却远远不是一个三年级的孩子所能承受的。所以，这套丛书的三、四年级分册一定要慎用。尤其是低年级的孩子，比如三年级，如果一上来就学思维导引，大多数孩子都会感到“很”吃力，而且由于题目难度太大，学得半懂不懂，往往收效甚微。有些思维导引里三年级的题目，到了五年级之后才能给孩子们讲懂，甚至不少孩子到了六年级了还未必完全搞懂。另外，这本书是习题集，没有例题，可以拿来当课下练习使用。但这是一本难题集，里面的大多数题目都是难题，所以拿它来作为课下训练，孩子本身必须有扎实的基本功，否则光啃难题，学习效率太低，往往效果不大。这本书中对每道题目都作了难度分级，凡是三星或三星以上的题目都属于较为难的题目。都需要动动脑子才能想出来。至于五星难度的题目，基本上没几个孩子能真正做出来，至于能搞懂的也没几个，所以不必盲目追求做出五星题来。把四星或四星以下的题目完全搞懂就不错了。 3. 《奥林匹克训练题库》（俗称题库作者：刘京友出版社：北京师范大学出版社）《刘京友题库》因其作者为刘京友而得名，其实，书的正名应该为《奥林匹克训练题库》。这是一本融合了许多竞赛试题的习题集。适用对象：有一定奥数基础的孩子。本书优势：《刘京友题库》中的题目被许多重点中学考试选拔中选用，使用过本书的孩子在重点中学的考试中都感到比较轻松，占了很大优势。本书特点：题型比较好，融会了大量杯赛真题；题量大，统计共有二千多道题目；本书中的习 1 / 2

五年级奥数春季班第1讲-勾股定理

3 13 2 第一讲勾股定理模块 1、常见勾股数及辅助线例 1．（1）如图，下列未知边的长度分别是、、。 ? 5 4 ? ? 25 24 （2）如图，下列图形的面积分别是、、。 10 1.3 6.5 8 1.2 1.5 2 解：（1）应用勾股定理：第 1 个直角三角形中两条直角边分别是 3 和 4，所以斜边长为 5；第 2 个直角三角形中斜边长为 13，一条直角边长为 5，所以另一条直角边的长为 12；第 3 个直角三角形中，斜边长为 25，一条直角边长为 24，所以另一条直角边的长为 7。（2）第 1 个直角三角形的斜边长为 10，一条直角边长为 8，另一条直角边长为 6， 1 所以三角形的面积是 ? 8 ? 6 = 24 ； 2 第 2 个直角三角形的斜边长为 1.3，一条直角边长为 1.2，另一条直角边长为 0.5， 1 所以三角形的面积是 ?1.2 ? 0.5 = 0.3 ； 2 第 3 的图形中，小直角三角形的两条直角边分别为 2 和 1.5，它的面积是 S 1=1.5，斜边长为 2.5，大直角三角形的斜边是 6.5，一条直角边长为 2.5，所以另一条直角边长为 6，面积 S 2= 1 ? 2.5 ? 6 = 7.5 ，于是面积等于 S 1+S 2=9. 例 2．（1）如左图，梯形的周长为，面积为；如右图，梯形的周长为，面积为； 10 0.6 10 0.6 20 1.3 1.2 1.5 16 20 1.3 1.2 1.5 22 22 12 0.5 0.6 0.9