第11讲 一次函数应用及综合问题(讲练)(解析版)

备战2020年中考数学总复习一轮讲练测

第三单元函数

第11讲一次函数的应用及综合问题

1、了解：一次函数的概念；

2、理解：图象中横纵坐标表示的意义，及结合实际问题中的意义；

3、会：结合函数图象确定图形面积；并根据面积确定点的坐标，进而求出一次函数解析式；会解决一次函数有关的实际问题；

4、能：解决一次函数与几何综合，并根据整数点及公共点的个数确定参数的值或范围。

1．（2019春?石景山区期末）甲、乙两名同学骑自行车从A 地出发沿同一条路前往B 地，他们离A 地的距离()s km 与甲离开A 地的时间()t h 之间的函数关系的图象如图所示，根据图象提供的信息，有下列说法： ①甲、乙同学都骑行了18km ②甲、乙同学同时到达B 地 ③甲停留前、后的骑行速度相同 ④乙的骑行速度是12/km h 其中正确的说法是( )

A ．①③

B ．①④

C ．②④

D ．②③

【解答】解：由图象可得，

甲、乙同学都骑行了18km ，故①正确， 甲比乙先到达B 地，故②错误，

甲停留前的速度为：100.520/km h ÷=，甲停留后的速度为：(1810)(1.51)16/km h -÷-=，故③错误， 乙的骑行速度为：18(20.5)12/km h ÷-=，故④正确， 故选：B ．

2．（2018春?平谷区期末）某区中考体育加试女子800米耐力测试中，同时起跑的甲和乙所跑的路程S （米

)与所用时间t（秒)之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，下列说法正确的是()

A．甲的速度随时间的增大而增大

B．乙的平均速度比甲的平均速度大

C．在起跑后50秒时，甲在乙的前面

D．在起跑后180秒时，两人之间的距离最远

【解答】解：由题意可得，

甲对应的函数图象是线段OA，由图象可知甲在匀速跑步，故选项A错误，

由图象可知，甲先跑完800米，则甲的平均速度比乙的平均速度大，故选项B错误，

在起跑后50秒时，乙在甲的前面，故选项C错误，

由图象可知，在起跑后180秒时，甲在乙的前面，此时两人之间的距离最远为200米，故选项D正确，

故选：D．

3．（2019春?海淀区校级期中）已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式为，自变量x的取值范围是．

【解答】解：220

Q，

+=

x y

∴=-，即10

202

y x

x<，

Q两边之和大于第三边

∴>，

5

x

综上可得510

<<．

x

故答案为：220

=-+，510

y x

<<．

x

4．（2019春?海淀区校级月考）若一条直线与函数31

=-的图象平行，且与两坐标轴所围成的三角形的

y x

面积为

1

2

，则该直线的函数解析式为 ． 【解答】解：设所求直线解析式为3

y x b =+，则图象与坐标轴两交点坐标为(3

b

-，0)，(0,)b ，

由三角形面积公式得11

||||232b b ??-=，解得3b =±，

33y x ∴=+或33y x =-，

故该直线的函数关系式为33y x =+或33y x =-， 故答案为33y x =+或33y x =-．

5．（2019春?海淀区校级期中）如果直线2y x k =-+与两坐标轴围成的三角形面积是8，则k 的值为 ．

【解答】解：直线2y x k =-+与x 、y 轴的交点为A 、B ，其坐标分别为：(2k

，0)、(0,)k ，

11||||8222

k

S OA OB k =??=?=，

解得：42k =±， 故答案为42±．

6．（2019春?石景山区期末）某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李质量超过规定时，则需要购买行李票，行李票费用y （单位：元）与所携带的行李质量x （单位：)kg 之间的关系如图所示．

（1）当行李的质量超过规定时，求y 与x 之间的函数表达式； （2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？

【解答】解：（1）设当行李的质量超过规定时，y 与x 之间的函数表达式为(0)y kx b k =+≠． 由图象可知，当30x =时，2y =；当60x =时，8y =， ∴302608k b k b +=??+=?解得154

k b ?=???=-?

∴当行李的质量超过规定时，y 与x 之间的函数表达式为

1

4(20)5y x x =-…．

（2）在1

4(20)5y x x =-…中

令0y =，得1

405

x -=

解得20x =．

∴旅客最多可免费携带20千克的行李．

7．（2019春?昌平区期末）一条笔直的公路上有甲乙两地相距2400米，王明步行从甲地到乙地，每分钟走96米，李越骑车从乙地到甲地后休息2分钟沿原路原速返回乙地．设他们同时出发，运动的时间为t （分)，与乙地的距离为s （米)，图中线段EF ，折线OABD 分别表示两人与乙地距离s 和运动时间t 之间的函数关系图象．

（1）李越骑车的速度为 米/分钟； （2）B 点的坐标为 ；

（3）李越从乙地骑往甲地时，s 与t 之间的函数表达式为 ； （4）王明和李越二人 先到达乙地，先到 分钟．

【解答】解：（1）由图象可得，

李越骑车的速度为：240010240÷=米/分钟， 故答案为：240； （2）由题意可得， 点B 的坐标为(12,2400)， 故答案为：(12,2400)；

（3）设李越从乙地骑往甲地时，s 与t 之间的函数表达式为s kt =， 240010k =，得240k =，

即李越从乙地骑往甲地时，s 与t 之间的函数表达式为240s t =，

故答案为：240s t =； （4）由图象可知，

李越先到达乙地，先到达：240096(1022)3÷-?+=（分钟）， 故答案为：3．

8．（2018春?东城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线24y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ．

（1）求点A 和点B 的坐标； （2）若点P 在y 轴上，且01

2

AOP A B S S ?=

V 求点P 的坐标．

【解答】解：（1）令0x =，得4y =．令0y =，得2x =，

(0,4)B ∴，(2,0)A ．

（2）设(0,)P m ，

012AOP A B S S ?=

V Q 求，∴111

||224222

m ??=???， 2m ∴=±，

(0,2)P ∴或(0,2)-．

9．（2019春?门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =+与x 轴交于点A ，与过点(0,2)B 且平行于x 轴的直线l 交于点C ，点A 关于直线l 的对称点为点D ． （1）求点C 、D 的坐标；

（2）将直线4y x =+在直线l 上方的部分和线段CD 记为一个新的图象G ．若直线1

2

y x b =-+与图象G 有

两个公共点，结合函数图象，求b 的取值范围．

【解答】解：（1）Q 直线4y x =+与x 轴交于点A ， (4,0)A ∴-

Q 直线4y x =+与过点(0,2)B 且平行于x 轴的直线l 交于点C ，

(2,2)C ∴-

Q 点A 关于直线l 的对称点为点D ，

(4,4)D ∴-

（2）如图：

当直线1

2

y x b =-+经过点(2,2)C -时，

1

2(2)2

b ∴=-?-+，

解得1b =

当直线1

2

y x b =-+经过点(4,4)D -时，

1

4(4)2

b ∴=-?-+，

解得2b =

b ∴的取值范围为12b

10．（2019?北京）在平面直角坐标系xOy 中，直线:1(0)l y kx k =+≠与直线x k =，直线y k =-分别交于点A ，

B ，直线x k =与直线y k =-交于点

C ．

（1）求直线l 与y 轴的交点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB ，BC ，CA 围成的区域（不含边界）为W ． ①当2k =时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数； ②若区域W 内没有整点，直接写出k 的取值范围． 【解答】解：（1）令0x =，1y =，

∴直线l 与y 轴的交点坐标(0,1)；

（2）由题意，2(,1)A k k +，1

(

k B k

--，)k -，(,)C k k -， ①当2k =时，(2,5)A ，3

(2

B -，2)-，(2,2)

C -，

在W 区域内有6个整数点：(0,0)，(0,1)-，(1,0)，(1,1)-，(1,1)，(1,2)； ②当0k >时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意；

当0k <时，W 内点的横坐标在k 到0之间，故10k -

当21k -<-?时，W 内可能存在的整数点横坐标只能为1-，此时边界上两点坐标为(1,)M k --和(1,1)N k --+，1MN =；

当k 不为整数时，其上必有整点，但2k =-时，只有两个边界点为整点，故W 内无整点；

当2k -?时，横坐标为2-的边界点为(2,)k --和(2,21)k --+，线段长度为13k -+>，故必有整点． 综上所述：10k -

1．一次函数的实际问题

从路程时间图或速度时间图中提取信息，解决问题；或结合图中数据确定对应的一次函数（注意自变量取值），然后求出某时刻数值；

实际问题中的方案选择问题：结合图象中的数据确定一次函数，或经过图中两个函数对比，借助自变量取值，确定方案；

2．一次函数有关的面积问题 ①三角形面积公式

三角形的面积公式：如图，1

2

ABC C S AB y =??V

②割补法

（1）补形法：如图，123ABC S S S S S =---V

（2）分割法（水平底和铅垂高）：如图，1

2

ABC C A S x x BM =?-?V

③等积法

如图，ABM ABN S S =V V

3．有关最值问题

①直线y kx b =+上两点(,)A m p ，(,)B n q ，点C 在线段AB 上，则C p y q ≤≤．

②如图，平面直角坐标系中两点A ，B ，在x 轴上存在点P 使得AP BP +最小．

考点一 已知函数求面积

例1．（2019春?石景山区期末）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象平行于直线1

2

y x =

，并且经过点(2,3)A --． （1）求此一次函数的表达式，并画出它的图象；

（2）此一次函数的图象与x 轴交于点B ，求AOB ?的面积． 【解答】解：（1）Q 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象平行于直线1

2

y x =

，

12

k ∴=

， Q 函数图象经过点(2,3)A --，

1

3(2)2b ∴-=-+．

2b ∴=-．

∴一次函数的表达式为1

22

y x =

-； 图象如图所示：

；

（2）过点A 作AC x ⊥轴于点C ， 3AC ∴=． Q 直线1

22

y x =

-与x 轴的交点B 的坐标是(4,0)， 11

43622

AOB S OB AC ?∴==??=g ．

【专项训练】

1、（2019春?海淀区期末）在平面直角坐标系xOy 中，函数y kx b =+的图象与直线2y x =平行，且经过点(1,6)A

（1）求一次函数y kx b =+的解析式；

（2）求一次函数y kx b =+的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【解答】解：（1）Q 函数y kx b =+的图象与直线2y x =平行， 2k ∴=，

又Q 函数2y x b =+的图象经过点(1,6)A ， 62b ∴=+，

解得4b =，

∴一次函数的解析式为24y x =+；

（2）在24y x =+中，令0x =，则4y =；令0y =，则2x =-；

∴一次函数y kx b =+的图象与坐标轴交于(0,4)和(2,0)-，

∴一次函数y kx b =+的图象与坐标轴围成的三角形的面积为1

2442

??=．

2．（2019春?昌平区期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边3AD =，1

(2

A ，0)，(2,0)

B ，

直线(0)y kx b k =+≠经过B ，D 两点．

（1）求直线(0)y kx b k =+≠的表达式；

（2）若直线(0)y kx b k =+≠与y 轴交于点M ，求CBM ?的面积．

【解答】解：（1）由矩形ABCD 的边3AD =，1

(2

A ，0)，(2,0)

B ，

可得1

(2

D ，3)，(2,3)C ．

把(2,0)B ，1

(2D ，3)代入(0)y kx b k =+≠得，

201

32

k b k b +=??

?+=??． 解得：24k b =-??=?

．

∴直线表达式为：24y x =-+．

（2）连接CM ． (2,0)B Q ， 2OB ∴=．

11

32322

BCM S BC OB ?∴==??=g g ．

考点二 已知面积求点的坐标

例2．（2019春?延庆区期末）一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(3,1)A 和点(0,2)B -， （1）求一次函数的表达式；

（2）若点C 在y 轴上，且2ABC AOB S S ??=，直接写出点C 的坐标．

【解答】解：（1）Q 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(3,1)A 和点(0,2)B -， ∴312k b b +=??=-?，得12k b =??=-?

，

即一次函数的表达式是2y x =-； （2）设点C 的坐标为(0,)c ， Q 点(3,1)A ，点(0,2)B -，

2OB ∴=， 2ABC AOB S S ??=Q ，

∴

|(2)|323

222

c --??=?

， 解得，12c =，26c =-， C ∴点坐标为(0,2)或(0,6)-．

【专项训练】

1、（2019春?门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线2(0)y kx k =+≠与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，且2AOB S ?=，则k 的值为 ． 【解答】解：令0x =，则2y =． 令0y =，则2

x k =-

2

(A k

∴-，0)，(0,2)B

2

||OA k

∴=-，2OB =

112

2||222AOB S OA OB k

?∴==??-=g

解得：1k =± 故答案为：1±．

2．（2019春?丰台区期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线(0)y kx b k =+≠与直线4y x =-+的交点为(3,)P m ，与y 轴交于点A ．

（1）求m 的值；

（2）如果PAO ?的面积为3，求直线y kx b =+的表达式． 【解答】解：（1）Q 直线4y x =-+过点(3,)P m ， 341m ∴=-+=；

（2）PAO ?Q 的面积为3，(3,1)P ，

∴

1

332

OA ?=， 2OA ∴=，

1(0,2)A ∴，2(0,2)A -．

当直线y kx b =+经过1(0,2)A 和(3,1)P 时， 231b k b =??

+=?，解得132

k b ?

=-

???=?， ∴直线的表达式为1

23

y x =-+；

当直线y kx b =+经过2(0,2)A -和(3,1)P 时， 231b k b =-??

+=?，解得1

2k b =??=-?

， ∴直线的表达式为2y x =-．

综上所述，所求直线的表达式为1

23

y x =-+或2y x =-．

考点三 一次函数实际应用

例3．（2019?东城区一模）弹簧原长（不挂重物）15cm ，弹簧总长()L cm 与重物质量()x kg 的关系如下表所

示：

当重物质量为5kg （在弹性限度内）时，弹簧总长()L cm 是( ) A ．22.5

B ．25

C ．27.5

D ．30

【解答】解：设弹簧总长()L cm 与重物质量()x kg 的关系式为L kx b =+， 将(0.5,16)、(1.0,17)代入，得：0.516

17k b k b +=??+=?，

解得：2

15k b =??=?

，

L ∴与x 之间的函数关系式为：215L x =+；

当5x =时，251525()L cm =?+= 故重物为5kg 时弹簧总长L 是25cm ， 故选：B ． 【专项训练】

1．（2019春?顺义区期末）弹簧原长（不挂重物）15cm ，弹簧总长()L cm 与重物质量()x kg 的关系如下表所示：

当重物质量为4kg （在弹性限度内）时，弹簧的总长()L cm 是 ． 【解答】解：设弹簧总长()L cm 与重物质量()x kg 的关系式为L kx b =+， 将(0.5,16)、(1.0,17)代入，得：0.516

17k b k b +=??+=?，

解得2

15k b =??=?

，

L ∴与x 之间的函数关系式为：215L x =+；

当4x =时，241523()L cm =?+= 故重物为4kg 时弹簧总长L 是23cm ， 故答案为：23

例4．（2019?昌平区二模）“五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶130公里时，油箱里剩油量为升．

【解答】解：由图象可知：当用时1小时时，油量剩余45升，行驶了30公里；

当用时在1 2.5

-小时之间时，可得：

每小时行驶的里程为18030

100

2.51

-

=

-

公里，每小时耗油量为

4533

8

2.51

-

=

-

升

∴当用时112

+=小时时，此时刚好行驶了130公里，

此时油箱里的剩油量为：458137

-?=升，

故答案为：37．

【专项训练】

1．（2019春?延庆区期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7:40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s（米)和所用时间t（分钟）的关系图．则下列说法中

①小明家与学校的距离1200米；

②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分；

③小华乘坐公共汽车后7:50与小明相遇；

④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校．

其中正确的个数是()

A．1 个B．2个C．3 个D．4个

【解答】解：由图象可得，

小明家和学校距离为1200米，故①正确；

小华乘坐公共汽车的速度是1200(138)240

÷-=米/分，故②正确；

+=（分)，则小华乘坐公共汽车后7:50与小明相遇，故③正确；

4802402

÷=（分)，8210

小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，小华从家到学校的所用时间为：120010012

÷=（分)，则小华到校时间为8:00，小明到校时间为8:00，故④正确；

故选：D．

2．（2019春?丰台区期末）甲、乙两个车间接到加工一批零件的任务，从开始加工到完成这项任务共用了9天．其间，乙车间在加工2天后停止加工，引入新设备后继续加工，直到与甲车间同时完成这项任务为止，设甲、乙两个车间各自加工零件总数y（单位：件）与加时间x（单位：天）的对应关系如图1所示，由工厂统计数据可知，甲车间与乙车间加工零件总数之差z（单位：件）与加时间x（单位：天）的对应关系如图2所示，请根据图象提供的信息回答：

（1）图中m的值是；

（2）第天时，甲、乙两个车间加工零件总数相同．

【解答】解：（1）由题意可得， 72050770m =+=，

故答案为：770； （2）由图可得，

甲每天加工的零件数为：720980÷=（个)，

乙引入新设备前，每天加工的零件数为：80(402)60-÷=（个)， 乙停工的天数为：(20040)802-÷=（天)，

乙引入新设备后，每天加工的零件数为：(770602)(922)130-?÷--=（个)， 设第x 天，甲、乙两个车间加工零件总数相同， 80602130(22)x x =?+--，

解得，8x =，

即第8天，甲、乙两个车间加工零件总数相同， 故答案为：8．

考点四 一次函数中的几何综合

例5．（2019春?海淀区期末）如图，直线1:21l y x =+与直线2:4l y mx =+相交于点(1,)P b ． （1）求b ，m 的值；

（2）垂直于x 轴的直线x a =与直线1l ，2l 分别交于点C ，D ，若线段CD 长为2，求a 的值．

【解答】解：（1）Q 点(1,)P b 在直线1:21l y x =+上， 2113b ∴=?+=；

Q 点(1,3)P 在直线2:4l y mx =+上，

34m ∴=+， 1m ∴=-．

（2）当x a =时，21C y a =+； 当x a =时，4D y a =-． 2CD =Q ，

|21(4)|2a a ∴+--=， 解得：13a =或53a =．

a ∴的值为13或5

3

．

【专项训练】

（2019春?房山区期末）如图，直线2

43

y x =

+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 在线段AB 上，点D 在y 轴的负半轴上，C 、D 两点到x 轴的距离均为2． （1）点C 的坐标为： ，点D 的坐标为： ；

（2）点P 为线段OA 上的一动点，当PC PD +最小时，求点P 的坐标．

【解答】解：（1）由题意点C 的纵坐标为2，2y =时，2

243

x =+， 解得3x =-， (3,2)C ∴-，

Q 点D 在y 轴的负半轴上，D 点到x 轴的距离为2，

(0,2)D ∴-，

故答案为(3,2)-，(0,2)-；

（2）当C 、P 、D 共线时，PC PD +的值最小， 设最小CD 的解析式为y kx b =+，则有32

2k b b -+=??=-?

，

解得432

k b ?

=-???=-?，

∴直线CD 的解析式为4

23

y x =--，

当0y =时，3

2x =-，

3

(2

P ∴-，0)．

考点五 一次函数中的公共点、整数点问题

例6．（2019春?石景山区期末）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,)A m -是直线2y x =-+上一点，点A 向右平移4个单位长度得到点B ． （1）求点A ，B 的坐标；

（2）若直线:2(0)l y kx k =-≠与线段AB 有公共点，结合函数的图象，求k 的取值范围． 【解答】解：（1）Q 点(1,)A m -是直线2y x =-+上一点， 123m ∴=+=．

∴点A 的坐标为(1,3)-．

∴点(1,3)-向右平移4个单位长度得到点B 的坐标为(3,3)．