二次型的正定性及其应用

毕业论文题目：二次型的正定性及其应用

学生姓名：孙云云

学生学号：0805010236

系别：数学与计算科学系

专业：数学与应用数学

届别：2012 届

指导教师：李远华

摘要 (1)

前言 (2)

1 二次型的概念 (2)

1.1 二次型的矩阵形式 (3)

1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)

2 二次型的正定性一些判别方法及其性质 (4)

3 二次型的应用 (9)

3.1 多元函数极值 (9)

3.2 线性最小二乘法 (13)

3.3 证明不等式 (15)

3.4 二次曲线 (18)

结论 (18)

致谢 (19)

参考文献 (19)

二次型的正定性及其应用

学生：孙云云

指导老师：李远华

淮南师范学院数学与计算科学系

摘要：二次型与其矩阵具有一一对应关系，本文主要通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用。通过研究二次型的性质并利用正（负）定矩阵判断多元函数的极值、证明不等式，由矩阵的特征值求多元函数的最值，再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形状。

关键词：二次型；矩阵；正定性；应用

The second type of positive definite matrix

and its applications

Student: Sun YunYun

Instructor: Li YuanHua

Department of mathematics and Computational Science, Huainan

Normal University

Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application

前言

二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义. 1 二次型的概念

定义1.1 设P 是一个数域，ij a ∈p,n 个文字1x ,2x ,…, n x 的二次齐次多项式

12111

1212131311222

23232211

(,,...,)22...22...2......n n

n n n n n nn n ij i j

i j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x ===++++++++++=∑∑),...,2,1,,(n j i a a ji ij ==称为数域p 上的一个n 元二次型，简称二次型.当ij a 为实

数时，f 称为实二次型.当ij a 为复数时,称 f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即12(,,...,)n f x x x =2221112...n n d x d x d x +++称f 为标准型.

1.1 二次型的矩阵形式

二次型12(,,...,)n f x x x 可唯一表示成12(,,...,)n f x x x =T x Ax ，其中

12(,,...,)T n x x x x =，()ij n n A a ⨯=为对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称A 为二次型的矩阵（必是对称矩阵），称A 的秩为二次型f 的秩. 1.2 正定二次型与正定矩阵的概念

定义1.2 设12(,,...,)n f x x x =T x Ax 是n 元实二次型（A 为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数12,,...,n c c c 都有12(,,...)0n f c c c >，则称f 为正定二次型,称A 为正定矩阵；如果12(,,...)0n f c c c ≥，则称f 为半正定二次型，称A 为半正定矩阵;如果12(,,...)0n f c c c <，则称f 为负定二次型，称A 为负定矩阵;如果

12(,,...)0n f c c c ≤，称f 为半负定二次型，称A 为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型，称A 为不定矩阵. 定义1.2 另一种定义具有对称矩阵A 的二次型,AX X f T =

(1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0

成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.

注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.

二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.

2 二次型的正定性一些判别方法及其性质

定理2.1 设A 为正定矩阵,若B A ≌)(合同与B A ,则B 也是正定矩阵.

定理 2.2 对角矩阵),,,(21n d d d diag D =正定的充分必要条件是

),,2,1(0n i d i =>.

定理2.3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是A 的特征值全大于零. 定理2.4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数.n p =

定理2.5 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C ,使

C C A T =.即E A 与合同.

推论2.1 若A 为正定矩阵,则0||>A .

定理2.6 秩为r 的n 元实二次型AX X f T =, 设其规范形为

2122221r p p z z z z z ---++++

则：

(1)f 负定的充分必要条件是,0=p 且.n r =(即负定二次型,其规范形为

2221n z z z f ----= )

(2)f 半正定的充分必要条件是.n r p <=(即半正定二次型的规范形为

n r z z z f r <+++=,22221 )

(3)f 半负定的充分必要条件是,0=p .n r < (即n r z z z f r <----=,22

21 ) (4)f 不定的充分必要条件是.0n r p ≤<< (即22122221r p p z z z z z f ---+++=+ )

定义2.1 n 阶矩阵)(ij a A =的k 个行标和列标相同的子式

)1(212

222121211

1n i i i a a a a a a a a a k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k

k k k k k ≤<<<≤

称为A 的一个k 阶主子式.而子式

),,2,1(||21

2222111211

n k a a a a a a a a a A kk

k k k k k

称为A 的k 阶顺序主子式.

定理2.7 n 阶矩阵)(ij a A =为正定矩阵的充分必要条件是A 的所有顺序主子式),,2,1(0||n k A k =>.

证明：必要性设二次型

∑∑===n i n

j j i ij n x x a x x x f 11

21),,,(

是正定的．对于每个k ，1≤k ≤n ，令

∑∑===k i k

j j i ij k k x x a x x x f 11

21),,,( ，

则对于任意一组不全为零的实数k

c c c ,,,21 ，有 ∑∑==>==k i k

j j i ij k k c c f c c a c c c f 111

210)0,,0,,,(),,,( ．因此),,,(21k

k x x x f 是正定的．由推论5.4.1，k f 的矩阵的行列式 n k k k A ,,1,02121 =>⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛．故矩阵A 的顺序主子式全大于零．

充分性对n 作数学归纳法．当n =1时，2

1111)(x a x f =，由条件011>a ，显然

有)(1x f 是正定的．

假设充分性的论断对于n -1元二次型已经成立，那么对n 元情形，令

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=⎪⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛=-----n n n n n n n a a a a a a A ,11

1,11,11,1111, α，则矩阵A 分块为

⎪⎭⎫

⎝

⎛'=nn a A A αα1．由A 的顺序主子式全大于零知道1A 的顺序主子式也全大于零．因此，由归纳假定，1A 是正定矩阵，即有n -1阶可逆矩阵G ,使

11n G A G E -'=．

取

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=1001G C ，

则

1111000101n n n n n A E G G G C A C a G a αααα-''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

．再取

1n E G C α-'-⎛⎫= ⎪

⎝⎭，则

11121120101n n n n n E G E E G C C A C C G a G αα

α---''-⎛⎫⎛⎫⎛⎫''= ⎪ ⎪ ⎪''-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

100n n n E a G G αα-⎛⎫

= ⎪''-⎝⎭,

令C =C 1C 2，a =a nn -α'GG 'α．

则有

.C C a ⎛⎫

⎪

⎪'= ⎪ ⎪⎝

⎭A

两边取行列式，得a A C =||||2．由于|A |>0，因此a >0．显然

111111111a ⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛

⎫

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝

⎭⎝⎭⎝

⎝

这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同．所以A 是正定矩阵，故二次型),,,(21n x x x f 正定．

注：(1)若A 是负定矩阵，则A -为正定矩阵.

(2)A 是负定矩阵的充要条件是：).,,2,1(,0||)1(n k A k k =>-

其中k A 是A 的k 阶顺序主子式.

(3)对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:

a.对称矩阵A 是半正定（半负定）的;

b.A 的所有主子式大于（小于）或等于零；

c.A 的全部特征值大于（小于）或等于零.

例2.1 设M 是n 阶实对称矩阵, 则必存在正实数t, 使得tI+M 为正定阵，其中I 是单位矩阵.

证明：矩阵正定的充要条件:

对任意x 不等于0向量,有0>MX X T ，MX X X TX X M TI X T T T +=+)(，在所有的X 中选一个X,使MX X T 的值最小,MAX MX X T -=,其中MAX>0，而这时对应的X X T 的值为K,且K 肯定大于0.

又K,MAX 都是常数,则必存在常数T,使TK-MAX>0，即

MX X X TX X M TI X T T T +=+)(>0

故TI+M 正定.

例 2.2 考虑二次型22212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+,问λ为何值时，f 为正定二次型.

解:利用顺序主子式来判别,二次型f 的矩阵为1142124A λλ-⎛⎫

⎪= ⎪

⎪-⎝⎭

，A 的顺序主子式为

110

∆=>； 2

2144

λλλ∆==-；

23114214484(1)(2)12

λλ

λλλλ-∆=-=--+=--+-.

于是，二次型f 正定的充要条件是：230,0∆>∆>，有2240λ∆=->，可知，

22λ-<<；由34(1)(2)0λλ∆=--+>,

可得12<<-λ,

所以，当12<<-λ时,f 正定.

例2.3 已知A-E 是n 阶正定矩阵，证明1E A --为正定矩阵.

分析：只要证明1E A --的特征值全大于零即可证明:由A E -正定知

是实对称矩阵，从而，

111()()T

T T E A E A E A ----=-=-

即1E A --也是实对称矩阵.设A 的特征值为k λ（k=1,2,…,n ）,则A-E 的特征值为

3 二次型的应用 3.1 多元函数极值

在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决

定义3.1.1 设n 元函数12()(,,

)n f X f x x x =在12(,,

,)T n n X x x x R =∈的某

个邻域内有一阶、二阶连续偏导数.记1

2()()()(),,

n f X f X f X f X x x x ⎛⎫

∂∂∂∇= ⎪∂∂∂⎝⎭

, ()f X ∇称为函数()f X 在点12(,,

,)T n X x x x =处的梯度.

定义3.1.2 满足0()0f X ∇=的点0X 称为函数()f X 的驻点.

定义3.1.3 2222

112122

2221

()()()()()()()()n i j n n

n n n

f X f X f X x x x x x f X H X x x f X f X f X x x x x x ⨯⎛⎫

∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪

⎛⎫

∂ ⎪==

⎪ ⎪∂∂ ⎪

⎝⎭∂∂∂ ⎪

⎪∂∂∂∂∂⎝⎭

称为函数12()(,,

)n f X f x x x =在点n X R ∈处的黑塞矩阵.显然()H X 是由()

f X 的2n 个二阶偏导数构成的n 阶实对称矩阵.

定理3.1.1 (极值存在的必要条件) 设函数()f X 在点00

0012(,,

,)T

n X x x x =处

存在一阶偏导数，且0X 为该函数的极值点，则0()0f X ∇=.

定理3.1.2 (极值的充分条件) 设函数()f X 在点0n X R ∈的某个邻域内具有

一阶、二阶连续偏导数，且000012()()

()(),,,

0n f X f X f X f X x x x ⎛⎫

∂∂∂∇== ⎪∂∂∂⎝

⎭

则:(1) 当0()H X 为正定矩阵时，0()f X 为()f X 的极小值; (2) 当0()H X 为负定矩阵时，0()f X 为()f X 的极大值;

(3) 当0()H X 为不定矩阵时，0()f X 不是()f X 的极值. 应注意的问题：

利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立.

例3.1.1 求三元函数222(,,)23246f x y z x y z x y z =++++-的极值.

解:先求驻点，由

220440660

x y z f x f y f z ⎧=+=⎪

=+=⎨⎪

=-=⎩得1,1,1x y z =-=-=

所以驻点为0(1,1,1)P --. 再求(Hessian)黑塞矩阵

因为2,0,0,4,0,6xx xy xz yy yz zz f f f f f f ======,

所以200040006H ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦，可知H 是正定的，所以(,,)f x y z 在0(1,1,1)P --点取得极小值：(1,1,1)6f --=-.

当然，此题也可用初等方法222(,,)(1)2(1)3(1)6f x y z x y z =++++--求得极小值6-，结果一样.

定理3.1.3 设n 元实函数12(,,,)n

f xx x 在点P 0的一个邻域中连续，且有足够高阶的连续偏导数，则函数12(,,,)n f xx x 在点P 0近旁有性质：1）若XA X '正定，则P 0为极小点；2）若XA

X '负定，则P 0为极大点；3）若XA X '不定，则P 0非极大点或极小点；4）其余情形时，在点P 0性质有待研究余项R 的性质

来确定.特别当是二次函数时，R=0，只要XA

X '半正（负）定，则P 0为极小

（大）点.

例3.1.2 求函数22

l n ()z x y x y =+的极值.

解：2

222l n ()x xy z y x y x y

+++ 22

222l n ()y x y z x x y x y

+++ 解方程组00

y z z ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，易得，01,10x x y y ==±⎧⎧⎨⎨=±=⎩⎩，⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧±=±=e y e x 2121

22222

2222222()2(3),()()

x x y y x y x y x y x y z z x y x y ++''''==++ 44

222222()l n ()()

x y y x x y z z x y x y +''''==+++ 于是，xx

xy yx yy z z A z z ⎛⎫=

⎪

⎝⎭，经计算得

(20||02A A ⎛

⎫

== ⎪⎝⎭

正定；

20||02A A -⎛⎫

= ⎪-⎝

⎭ 负定； (1,0)(0,1)02||20A A ±±⎛⎫

== ⎪⎝⎭

不定.

故在点(1,0)±，点(0,1)±，Z 不取极值；

在,(点，Z 取极小值，1=-2z e

极小；

在,(点，Z 取极大值，1=2z e

极大. 下面利用二次型的矩阵的特征值求多元函数的最值.设n 元二次型

AX X X f T

=)( T

n x x x X )),...,,((21=，则f 在条件11

2=∑=n

i i x 下的最大（小）值恰为

矩阵A 的最大（小）特征值. 例3.1.3 求函数

131********),,(x x x x x x x x x f +-= 在1),,(2

2221T 321=++=X X =X x x x x x x T 满足条件的最小值. 解：先对二次型，作正交变换Y =X X X =X Q )(T A f 将其化为标准形式332211y y y λλλ++,然后在条件12

2221T =++=Y Y =Y Y =X X y y y Q Q T T T 下讨论函数的最小值.该二次型的实对称矩阵为

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--=011101110A ，它的特征多项式2

)1)(2(-+=-λλλA E .

对于特征值1=λ，求得两个线性无关的特征向量T

T )

1,0,1(,)0,1,1(-；再用Schmidt 正交化方法，得两个单位正交的特征向量

,61,61(,)0,2

1,21(3

-==ξξ

取正交矩阵

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-

-==620

1612131

612131

),,(321ξξξQ 则有

)

1,1,2(T

-=diag AQ Q . 对二次型X X =X A f T

)(做正交变换Y =X Q ，得

.2)()(2

2221T y y y AQ Q f T ++-=Y Y =X )1(

相应地，条件12

2221T =++=X X x x x 化为 12

2221=++=Y Y =Y Y y y y Q Q T T T . )2( 于是原题意化为对)1(式的三元二次其次函数在满足条件)2(时求其最小值.此时，显然有

22)(2

2221232221-=++≥++-=X y y y y y y f 又当)0,0,1(),,(321±==Y T

y y y 时2-=f ，所以f 满足条件)2(的最小值2min -=f ，而且它仅在T )0,0,1(1=Y 和T )0,0,1(2-=

Y 处取得最小值.回到变元T x x x ),,(321=X ，则

),,(3

21x x x f 在

Q )3

1,31,31(1

11==Y =X ξ和

Q )3

1,31,31(2

22-==Y =X ξ处取得最小值. 最后再介绍一个有用的定理：定理3.1.3 设A 为n 阶正定矩阵

n x x x X ),...,,(21=与

n c c c ),...,,(21=∂实向

量，β为实数，则实函数

βα++=x Ax x x f T

T 2)(当α1--=A x 时取得最小值ααβA T -.

证明:[

]

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11x A x f T T

βα

α，由A 正定，∴1-A 存在（对称）而⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----ααβαβααα111001010A A A E A A E T T n T T n

，

⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡----10101

1A E A E T n

T n

αα，

[

]

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-1001011x A A A E x f T T n T ααβα

其中，α1-+=A X Y ，A 正定，故⇔α1

--=A X ，所以)(x f 取得最小值

ααβA T -.

3.2 线性最小二乘法众所周知，线性方程组

11112211211222221122+0+0+0

s s s s n n ns s n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++-=⎧⎪++-=⎪⎨⎪⎪++-=⎩………………………………………可能无解. 即任何一组12,s x x x ……都可能使得11221(+)n

i i i s s i

i y a x a x a x b ==++-∑…不等于0，我们设法找到00012,s x x x ……，使得y 最小，这样000

12,s

x x x ……称为方程组的最小二乘解.这种问题就叫最小二乘法问题.

若记A 为上述方程组的系数矩阵，12(,,)T

n B b b b =…….于是，使得y 值最小

的X 一定是方程组A A XA B

''=的解，而其系数矩阵A A '是一个正定矩阵，它的惯性指数等于n ，因此这个线性方程组总是有解的，这个解就是最小二乘解. 例3.2.1 已知某种材料在生产过程中的废品率y 某种化学成分x 有关,下列表中记载了某工厂生产中y 与相应的x 的几次数值

我们想找出y 对x 的一个近似公式.

解:把表中数值画出图来看,发现它的变化趋势近于一条直线,因此我们决定选取x 的一次式ax+b 来表达,当然最好能选到适当的a,b 使得下面的等式

3.6a+b-1.00=0 3.7a+b-0.9=0 3.8a+b-0.9=0 3.9a+b-0.81=0

4.0a+b-0.60=0 4.1a+b-0.56=0

4.2a+b-0.35=0

都成立,实际上是不可能的.任何a,b 代入上面各式都发生些误差,于是想找到a,b 使得上面各式的误差的平方和最小,即找a,b 使

(3.6a+b-1.00)2+(3.7a+b-0.9)2+(3.8a+b-0.9)2+(3.9a+b-0.81)2+(4.0a+b-0.60)2+(4.1a+b-0.56)2+(4.2a+b-0.35)2

最小,这里讨论的是误差的平方即二乘方,故称为最小二乘法,用最小二乘法解.易知

A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛12

.411.410.419.318.317.316.3,B=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛35.056.060.081.09.09.000.1.

最小二乘解a,b 所满足的方程就是

A T A ⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛

b a -A T B=0. 即为⎩⎨⎧=-+=-+.012.573.27

0675.193.2775.106b a b a

解得

a=-1.05,b=4.81.(取三位有效数字)

3.3 证明不等式

其证明思路是:首先构造二次型, 然后利用二次型正（半）定性的定义或等价条件,判断该二次型（矩阵）为正（半）定矩阵,从而得到不等式.

例3.3.1求证：xz xy yz z y x 24239222-->++（其中z y x ,,是不全为零的实数）.

证明：设二次型xz xy yz z y x z y x f 24239),,(222++-++=，则f 的矩阵是

⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=31111212

9A ，因为，A 的各阶顺序主子式为：099>=；051

229>=，所以，A 正定，

从而0>f （因为z y x ,,是不全为零的实数），即

xz xy yz z y x z y x f 24239),,(222++-++=0>.

（其中z y x ,,是不全为零的实数）,结论得证.

例3.3.2（Cauchy 不等式）设,(1,2,,)i i

a b i n =为任意实数,则 1111221121122222

11220001211221

12+0

+0+0,(+)

(,,)s s s s n n n s s n s n

i i i s s i i T n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x y a x a x a x b B b b b A A X A B

=++-=⎧⎪++-=⎪⎨

⎪⎪++-=⎩=

++-=''=∑

………………………………………………………….

证明:记2

1212

112211

(,)()()2()()n

i i i i i i i i i i f x x a x b x a x a b x x b x =====+=++∑∑∑∑，

因为对于任意12,x x ,都有12(,)0f x x ≥, 故关于12,x x 的二次型12(,)f x x 是半正定的.因而定理2.7的注意知,该二次型矩阵的行列式大于或等于0,即

211

i i

i i n

i i

i i i a

a b a b b ====≥∑∑

∑

，

故得2

2111()()()

i i i

i i i i a b a b ===≤⨯∑∑∑.

例3.3.3 证明：2

()n

i i n

x ==≥∑∑

证明：记2

2121

(,,,)()n

n i

i i fx x x n x x X A X =='=-=∑∑,其中 12

111111(,,,),111n

n n X x x x A n ---⎛

⎫

⎪--- ⎪'== ⎪

⎪-

--⎝⎭,

将矩阵A 的第2,3,…,n 列分别加到第一列,再将第2,3,…, n 行减去第1行,得

A ～0

110

n n --⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,

于是A 的特征值为0,,,,n n 由定理可知, A 为半正定矩阵, 即二次型是半正定的,从而得12(,,,)0n

fx x x ≥,即 2

1()

i i i n x

x ==≥∑∑,

结论得证.

例3.3.4 设,,αβγ是一个三角形的三个内角, 证明对任意实数,,x y z ,都有

222

2c o s2c o s2c o s x y z x y x z y z αβγ

++≥++.

证明：记222

()2c o s 2c o s 2c o s f X X A X x y z x y x z y z αβγ

'==++---，

其中1c o s c o s (,,),c o s 1c o s ,,c o s c o s ()c o s c o s 1X x y zA αβαγαβγπγαβ

βγ

--⎡⎤⎢⎥'==--++==-+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.

对A 做初等行变换得:A ～1cos cos 0sin sin 0

00α

βα

β--⎡⎤

⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

,于是A 的特征值为0,1,sin α,从而得二次型()f X 是半正定的,即对于任意实数,,x y z ,()f X 0≥,得证. 例3.3.5 设A 为n 阶半正定矩阵,且A 0≠,证明1A E +>.

证明：设A 的全部特征值为(

1,2,,)i i n λ=,则A E +的全部特征值为 1

i λ+(1,2,,)

i n =.因为A E +为实对称矩阵,所以存在正交矩阵T ,使得

二次型的正定性及其应用

毕业论文题目：二次型的正定性及其应用学生姓名：孙云云学生学号：0805010236 系别：数学与计算科学系专业：数学与应用数学届别：2012 届指导教师：李远华

目录摘要 (1) 前言 (2) 1 二次型的概念 (2) 1.1 二次型的矩阵形式 (3) 1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (3) 2 二次型的正定性一些判别方法及其性质 (4) 3 二次型的应用 (9) 3.1 多元函数极值 (9) 3.2 线性最小二乘法 (13) 3.3 证明不等式 (15) 3.4 二次曲线 (18) 结论 (18) 致谢 (19) 参考文献 (19)

二次型的正定性及其应用学生：孙云云指导老师：李远华淮南师范学院数学与计算科学系摘要：二次型与其矩阵具有一一对应关系，本文主要通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用。通过研究二次型的性质并利用正（负）定矩阵判断多元函数的极值、证明不等式，由矩阵的特征值求多元函数的最值，再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形状。关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 The second type of positive definite matrix and its applications Student: Sun YunYun Instructor: Li YuanHua Department of mathematics and Computational Science, Huainan Normal University

Abstract: Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, this paper mainly through the study of the matrix is qualitative to study the second type is qualitative and its application. Through the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix function of many extreme value, to testify inequality, the characteristic value of the matrix for the most value of a function of many, then the degradation by linear replace judgment of the shape of the quadratic curves. Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application 前言二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义. 1 二次型的概念定义1.1 设P 是一个数域，ij a ∈p,n 个文字1x ,2x ,…, n x 的二次齐次多项式 2 22 12111 1212131311222 23232211 (,,...,)22...22...2......n n n n n n n nn n ij i j i j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x ===++++++++++=∑∑),...,2,1,,(n j i a a ji ij ==称为数域p 上的一个n 元二次型，简称二次型.当ij a 为实数时，f 称为实二次型.当ij a 为复数时,称 f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即12(,,...,)n f x x x =2221112...n n d x d x d x +++称f 为标准型.

二次型的标准型及其应用

二次型的标准型及其应用二次型在数学中具有重要的地位和广泛的应用。在二次型的研究过程中，标准型是一个关键的概念。本文将介绍二次型的标准型及其应用，并对其进行深入的探讨。一、二次型的定义和性质首先，我们来定义什么是二次型。二次型是指一个关于n个变量x1, x2, ..., xn的二次多项式，可以表示为Q(x) = x^TAX，其中x为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。在这个定义下，二次型有以下几个性质： 1. 对称性：二次型与矩阵A的选择无关，只与矩阵A的对称性有关。也就是说，如果存在一个实对称矩阵B，使得B = P^TAP，其中P 为一个非奇异矩阵，那么二次型Q(x) = x^TAX与Q(x) = x^T(Bx)是等价的。 2. 可负定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX<0，那么称二次型Q(x)为负定的。 3. 可正定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX>0，那么称二次型Q(x)为正定的。 4. 可半负定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX≤0，那么称二次型Q(x)为半负定的。

5. 可半正定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX≥0，那么称二次型Q(x)为半正定的。 6. 不定性：如果二次型既不是正定的也不是负定的，则称其为不定的。二、二次型的标准型在研究和应用二次型时，将其转化为标准型是一个常见的方法。标准型是指经过合适的线性变换将原二次型化为一个特殊的形式，使得计算和分析更加简洁明确。对于任意的实对称矩阵A，存在一个非奇异矩阵P，使得PTAP = D，其中D为对角矩阵，其对角线上的元素为二次型的特征值。设x = Py，则有Q(x) = x^TAx = (Py)^T A (Py) = y^TP^TAPy = y^TDy。标准型的存在可以简化二次型的分析和计算过程，使得我们能够更加直观地理解和处理二次型的相关问题。三、二次型的应用二次型作为一种重要的数学工具，在各个领域都有广泛的应用。下面我们将介绍二次型在优化问题、物理问题和统计学中的应用。 1. 优化问题：二次型在优化问题中起到至关重要的作用。例如，在线性规划中，目标函数往往是一个二次型；在最小二乘法中，也需要求解一个二次型的最小值；在凸优化中，二次型也是一个重要的研究对象。

二次型及其应用

滨江学院毕业论文题目二次型及其应用院系滨江学院理学系专业信息与计算科学学生姓名刘峰学号*********** 指导教师吴亚娟职称副教授二Ｏ一四年五月十日

目录引言 (1) 1、二次型的相关定义和定理 (1) 1.1二次型的定义 (1) 2、二次型在初等数学中的应用 (2) 2.1不等式证明 (2) 2.2多项式的因式分解 (4) 2.3判断二次曲线的形状 (6) 3、二次型在几何方面的应用 (7) 3.1求平面线图形的面积 (8) 4、多元函数极值方面的应用 (9) 4.1条件极值 (9) 4.2无条件极值 (10) 5、求多元函数积分方面的应用 (11) 5.1二次型的正交变换 (11) 5.1重积分的计算 (12) 5.2求曲面积分 (13) 6、结束语 (14) 7、参考文献 (14)

二次型及其应用刘峰南京信息工程队大学滨江学院理学系专业：信息与计算科学学号：20102314014 摘要: 二次型是高等代数学中的内容之一，研究二次型是现代科学技术的需求，目前二次型的研究理论物理力学、环境工程、科学技术中都有重要的作用，对二次型简单的研究必须先写好二次型的矩阵，同时运用矩阵的一些理论能更好的应用于社会生活中的一般例子，随着我们人类生产生活的不断进步，不断现代化，二次型的运用也是一项不可或缺的研究。关键字：极值；几何；重积分；引言二次型是高等代数学中的一个重点内容，它的理论在自然科学，环境工程、工程技术之中广泛的应用，求出问题的最大值与最小值，多项式的因式分解，判别二次曲线图形的形状和计算曲面图形的面积等等内容在代数学中占有重要的地位。目前在许多相关书籍和教材的资料中，对二次型和它的一些的应用归纳的越来越详细，还有在其他领域中的应用也越来越广泛，比如在数学建模中的应用，在教学中的应用也越来越多。本文主要探讨常见的二次型最值问题，不等式问题，曲面积分问题，重积分问题,等等一些应用。 1、二次型的相关定义和定理 1．1、二次型的概念和定义在《高等代数》中涉及的一些相关理论设P 是一个数域,P a ij ∈,一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式： ()212111121213131122222323222 ,,,22222n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =+++ +=+++++ =+ 1 1 n n ij i j i j a x x === ∑∑，

二次型判定方法及应用

二次型判定方法及应用二次型是高等数学中的重要概念，广泛应用于线性代数、微积分、物理学、经济学等领域。二次型的判定方法主要有正定、负定、半正定和半负定四种类型，这些判定方法在实际问题中具有重要的应用价值。首先，我们来回顾二次型的定义。对于n元变量x1，x2，...，xn和常数a11，a12，...，ann，二次型可以表示为： Q(x) = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annxn^2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ... + 2an-1nxn-1xn 其中，a11，a22，...，ann为二次型的系数，x1，x2，...，xn为变量，Q(x)表示该二次型。接下来，我们将讨论四个二次型判定方法的定义、性质和应用。 1. 正定：若对于任意非零的n元列向量x=(x1,x2,...,xn)T，都有Q(x)>0，称二次型Q(x)为正定二次型。正定二次型的系数满足以下性质： - 系数矩阵A=(aij)为实对称正定矩阵； - 系数aii>0，1≤i≤n； - 正定二次型的极值点为唯一的极小值点，且该极小值点为原点。正定二次型在优化问题中经常出现，例如，最优化问题的约束条件若是等式形式，

将其通过拉格朗日乘数法转化为等价的含有二次项的目标函数，然后利用正定二次型的特性来求解最优解。 2. 负定：若对于任意非零的n元列向量x=(x1,x2,...,xn)T，都有Q(x)<0，称二次型Q(x)为负定二次型。负定二次型的系数满足以下性质： - 系数矩阵A=(aij)为实对称负定矩阵； - 系数aii<0，1≤i≤n； - 负定二次型的极值点为唯一的极大值点，且该极大值点为原点。负定二次型在最优化问题中也有应用，例如，在极大极小值问题中，如果一个目标函数的Hessian矩阵是负定的，那么该函数在极小值点处取得极小值。 3. 半正定：若对于任意的n元列向量x=(x1,x2,...,xn)T，都有Q(x)≥0，称二次型Q(x)为半正定二次型。半正定二次型的系数满足以下性质： - 系数矩阵A=(aij)为实对称半正定矩阵； - 半正定二次型的极小值点为原点； - 半正定二次型的零空间是限制变量的约束空间。半正定二次型在许多领域中都有应用，例如，在物理学中，通过半正定二次型可以判断力学系统的平衡点类型，并对系统的稳定性进行分析。

二次型的性质及应用

二次型的性质及应用二次型是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。二次型具有多种性质和应用，下面我将从定义、性质以及应用三个方面进行详细介绍。一、二次型的定义和性质首先，我们来定义二次型。设有n个变量x_1, x_2, \ldots, x_n，对于任意的实数a_{ij}和b_i，称函数 Q(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j + \sum_{i=1}^n b_ix_i 为n元二次型。其中，a_{ij}和b_i是实数。二次型的性质如下： 1. 对称性：如果a_{ij}=a_{ji}，则二次型称为对称二次型。 2. 非负定性：若二次型对于任意非零向量\mathbf{x}都有Q(\mathbf{x})\geq 0，则称二次型为半正定二次型。若对于任意非零向量\mathbf{x}都有 Q(\mathbf{x})>0，则称二次型为正定二次型。若对于任意非零向量\mathbf{x}

都有Q(\mathbf{x})<0，则称二次型为负定二次型。 3. 二次型的规范形：通过合适的坐标变换，可以将任意二次型化为规范形。规范形为Q(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\lambda_1x_1^2+\lambda_2x_2^2+\ldots+\lambda_nx_n^2，其中\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n为实数，且\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n满足\lambda_1\geq \lambda_2\geq \ldots \geq \lambda_n。 4. 最大值和最小值：对于二次型Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}，其中A是一个对称矩阵。若对任意向量\mathbf{x}\neq \mathbf{0}，有 Q(\mathbf{x})\leq k，其中k为常数，则称k为二次型的上界。若对任意向量\mathbf{x}\neq \mathbf{0}，有Q(\mathbf{x})\geq k，其中k为常数，则称k为二次型的下界。最大值和最小值的求解可以通过特征值分解或者配方法进行。 5. 正交变换和规范化：通过正交变换，可以将二次型化为规范形。正交变换保持向量的长度和角度不变，因此可以保持二次型的正负定性质。 6. 特殊二次型：例如完全平方二次型、秩一二次型等特殊形式的二次型有着特别的性质和应用。完全平方二次型是一类非负定的二次型，可以表示为已知向量的线性组合的平方和。秩一二次型可以表示为两个向量的线性组合的平方和。特殊二次型的研究和应用在各个领域具有特别的意义和价值。

二次型的几个应用实例

二次型的几个应用实例二次型是线性代数中的一个重要知识点，其在数学、物理和力学中都有着广泛应用。二次型的应用在高中数学知识中就有体现，如用坐标变换把圆锥曲线、双曲线、抛物线化为标准曲线的实质是将二次型进行标准化。事实上，二次型在证明不等式、分解多项式的因式、求解二次函数最值以及计算定积分中都有重要应用。 1、用二次型证明不等式一个实二次型是正定的，若其对任意的实数，都有。可以通过构造正定二次型，利用其正定性来证明不等式[1]。例1：证明不等式恒成立。其中不全为0。证明：将不等式移项得。令，则我们只需证明f(x)恒大于0即可。可知f(x)是一个实二次型，其二次型矩阵的三个顺序主子式均大于零。因此，f(x)是正定二次型。因此，对于任意一组不全为0的数，都有f(x)>0，即证。 2、二次型在二次曲线中的应用二次型起源于将二次曲线或二次曲面方程变型为标准型，所以二次型在二次曲线中的有最基本的应用。因为二次曲线方程经可逆线性变换后的方程所对应的二次曲线图形与原图形是全等的即既不改变曲线的形状，又不改变大小。因此，我们在判断二次曲线的形状时，可利用正交线性变换先把二次曲线化为标准型，然后再来判定原二次曲线的形状。例2：判断二次曲线方程的形状并求其面积。解：为了使方程所有项全部都是二次项，我们再设一个变量z。令 z，此时有。将此二次型的矩

阵做正交变换使其化为对角矩阵diag(4,1,-2)。对角矩阵所对应二次型为。由于正交变换不改变二次曲线的形状和大小，则有，进一步将其整理得。很显然，这是一个椭圆方程。长短轴分别为面积为，即原二次曲线方程的形状为椭圆，面积为π。 3、二次型用于因式分解因式分解是初等数学中很常见的一类问题，它在解方程，求多项式的根等问题上能一定程度上简便运算过程。由于二次型都是二次齐次多项式，我们在这里只讨论二次多项式的因式分解。应用下面的定理，我们能直接判断给出的二次多项式是否可以分解成几个一次多项式的乘积。这给多项式的因式分解提供一种强有力的解题思路[1]。定理：[2]设f为实数域上的二次型，则f可分解为实数域上的两个一次齐次多项式乘积的充要条件为f的秩为1或者f的秩为2且符号差为0。例3：试判断多式能否在实数域上因式分解。若可以，请分解。解：令，存在一次项和常数项，可根据多项式的特征构造出下列二次型，。则有进一步将二次型写成矩阵形式。二次型矩阵，易知A的秩为1。根据上述定理，可得能在实数域范围内进行因式分解，即。

二次型与正定性

二次型与正定性在线性代数中，二次型是一个非常重要的概念。它与矩阵、向量、正定性等概念有着密切的联系。本文将详细介绍二次型的定义、性质以及与正定性的关系。一、二次型的定义在一个n维实数向量空间V中，对于一个n维实数向量 x=(x1,x2,...,xn)，其二次型可以表示为Q(x)=x^TAX，其中x^T为x的转置，A为一个n×n的实对称矩阵。二次型也可以写成Q(x)=x^TAx。二、二次型的性质 1.对称性：二次型Q(x)的矩阵A是实对称矩阵，即A=A^T。 2.齐次性：对于任意非零向量x，二次型Q(x)满足Q(kx)=k^2Q(x)，其中k为实数。 3.加性：对于任意两个n维实数向量x和y，二次型Q(x+y)满足 Q(x+y)=Q(x)+Q(y)+2x^TAy。 4.正负定性：一个二次型Q(x)的正负定性由其相关矩阵A的特征值决定。三、正定性正定性是二次型与矩阵最重要的关系之一。正定性可通过矩阵A的特征值来判断。具体而言：

1.若A的所有特征值都大于0，则二次型Q(x)为正定二次型。 2.若A的所有特征值都小于0，则二次型Q(x)为负定二次型。 3.若A的特征值既有正数又有负数，则二次型Q(x)为不定（或半定）二次型。正定二次型的性质有以下几点： 1.对于任意非零向量x，Q(x)>0； 2.行列式|A|>0； 3.矩阵A的所有顺序主子式都大于0。正定性在矩阵分析中有着广泛的应用。例如，在优化问题中，正定矩阵常常用于定义能量函数，以及判断最优解的存在性与唯一性。四、二次型的应用二次型不仅在优化问题中有应用，在物理学、经济学、统计学等领域也有广泛的应用。 1.物理学：二次型可以用于描述能量、势能等物理量。 2.经济学：二次型可以用于建立经济模型，分析价格、供需等经济现象。 3.统计学：二次型可以用于回归分析、方差分析等统计方法。 4.计算机科学：二次型可以在机器学习、图像处理等领域进行特征提取、模式识别等任务。

二次型的正定性与半正定性判定

二次型的正定性与半正定性判定在线性代数中，二次型是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。正定性与半正定性是二次型的两个重要性质，对于理解和解决实际问题起着至关重要的作用。本文将深入探讨二次型的正定性与半正定性的判定方法，以及它们在实际问题中的应用。一、二次型的定义与基本性质二次型是一个关于n个变量的二次齐次多项式，可以表示为: $$Q(x_1,x_2,...,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$$其中，$a_{ij}$为二次型的系数，$x_1,x_2,...,x_n$为变量。二次型的基本性质有： 1. 对称性：$a_{ij} = a_{ji}$ 2. 齐次性：$Q(kx_1,kx_2,...,kx_n) = k^2Q(x_1,x_2,...,x_n)$，其中k 为常数。 3. 定义正定性与半正定性的前提：二次型必须是实二次型，即系数$a_{ij}$为实数。二、正定性的判定正定性是指对于任意非零向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)$，二次型 $Q(x)$的取值都大于零。正定性的判定方法有以下几种常用方式：

1. 惯性定理: 二次型的惯性定理指出，通过变换二次型的系数矩阵，可以得到一个对角阵，该对角阵的主对角线上元素个数为二次型的正惯性指数。 - 若正惯性指数为n，则二次型正定； - 若正惯性指数为0，则二次型半正定； - 若正惯性指数非0非n，则二次型不定。 2. Sylvester定理: Sylvester定理是另一种判定二次型正定性的方法，通过判断二次型的所有顺序主子式是否大于零来确定。 - 若所有顺序主子式大于零，则二次型正定； - 若所有顺序主子式非负但存在某个顺序主子式为零，则二次型半正定； - 若存在某个顺序主子式小于零，则二次型不定。三、半正定性的判定半正定性是指对于任意非零向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)$，二次型 $Q(x)$的取值都大于等于零。半正定性的判定方法如下： 1. 特征值判定法：计算二次型的系数矩阵的特征值，若所有特征值大于等于零，则二次型半正定。若所有特征值大于零，则二次型正定。 2. Sylvester定理：与正定性判定方法的Sylvester定理相同。

二次型的正定性及其性质

二次型的正定性及其性质二次型是数学中一个非常重要的概念，也是各种数理模型中必不可少的一部分。二次型的正定性是其性质之一，对于二次型的求解和优化有着非常重要的意义。本文将介绍二次型的正定性及其性质，以及其在实际应用中的意义。一、二次型的定义和表示二次型是指形如 $f(x)=x^TAx$ 的二次函数，其中 $A$ 是一个$n\times n$ 的实对称矩阵，$x$ 是一个 $n$ 维实向量。一般情况下，二次型是所有 $n$ 维实向量上的定义域。实对称矩阵 $A$ 是二次型的系数矩阵，也是二次型的重要特征。二、二次型的正定性二次型的正定性是指对于所有非零的 $x$，都有 $x^TAx>0$，即二次型的取值全部大于 $0$。简单来说，二次型的正定性就是指其取值范围全部在正半轴上。

其逆定义为负定性，即对于所有非零的$x$，都有$x^TAx<0$。还有一种定义是半正定性（或半负定性），即对于所有非零的 $x$，都有 $x^TAx\ge 0$（或 $x^TAx\le 0$）。正定性和负定性的性质非常相似，下面我们以正定性为例，讨论其性质。三、正定性的性质 1. 正定性是矩阵的特征正定性是指针对一个特定的实对称矩阵 $A$，其对应的二次型是正定的。如果我们改变实对称矩阵 $A$，那么其对应的二次型的正定性也会随之改变。 2. 正定性是线性的如果我们将两个实对称矩阵 $A$ 和 $B$ 相加，那么其对应的二次型的正定性也会相加。具体地，对于所有非零的 $x$，都有$(x^TAx)+(x^TBx)>0$，所以矩阵之和的正定性可以保持不变。

二次型的正定性与标准型

二次型的正定性与标准型二次型是数学中的重要概念，广泛应用于线性代数、微积分、几何等领域。在二次型的研究中，正定性是一个重要的性质，而标准型则是对二次型的一种标准化表示。本文将详细介绍二次型的正定性与标准型。一、二次型的定义与性质二次型是形如$Q(x)=\mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x}$的函数，其中$\mathbf{x}$是$n$维向量，$\mathbf{A}$是$n \times n$的对称矩阵。二次型具有以下性质： 1. 对称性：二次型$Q(x)$中的矩阵$\mathbf{A}$是对称矩阵，即 $\mathbf{A}=\mathbf{A}^T$。 2. 数域上的二次型：二次型中的矩阵$\mathbf{A}$可以是实数域 $\mathbb{R}$ 上的或者复数域 $\mathbb{C}$ 上的。 3. 齐次性：$Q(kx)=k^2Q(x)$，其中$k$是标量。 4. 可加性： $Q(x+y)=Q(x)+Q(y)+2\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{y}$。在研究二次型的正定性与标准型之前，我们先来看一下正定性的定义。二、正定性的定义与性质

正定性是指一个二次型的取值范围。一个二次型$Q(x)$具有以下性质： 1. 正定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当 $Q(x)>0$时，二次型$Q(x)$称为正定二次型。 2. 半正定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x) \geq 0$时，二次型$Q(x)$称为半正定二次型。 3. 负定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当 $Q(x)<0$时，二次型$Q(x)$称为负定二次型。 4. 半负定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x) \leq 0$时，二次型$Q(x)$称为半负定二次型。正定二次型在数学和应用中具有重要意义，例如在优化问题、矩阵理论和最小二乘法中经常用到。三、标准型的定义与求解标准型是对二次型进行标准化表示的一种形式，可以简化计算和分析二次型的性质。标准型具有以下特点： 1. 定义：一个二次型通过合同变换可以化为标准型的形式。合同变换是通过正交变换将二次型$\mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x}$转化为$\mathbf{y}^T \mathbf{D} \mathbf{y}$的过程，其中 $\mathbf{y}=\mathbf{P} \mathbf{x}$，$\mathbf{P}$是正交矩阵， $\mathbf{D}$是对角矩阵。

正定二次型的性质及应用

目录摘要 (3) 关键词 (3) Abstract (3) Keywords (3) 前言 (3) 1预备知识 (3) 二次型定义 (3) 正定二次型定义 (4) 2 正定二次型的性质 (4) 3 正定二次型的应用 (7) 正定二次型在解决极值问题中的应用 (7) 正定二次型在分块矩阵中的应用. (10) 正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用 (9) 正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用 (10) 正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用 (13) 正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵） (13) 正定二次型在解线性方程组中的应用. (13) 正定二次型在物理力学问题中的应用. (14) 结束语 (13) 参考文献 (15)

正定二次型的性质及应用摘要：本文主要探讨了正定二次型的性质，结合例题重点介绍了正定二次型的应用，如研究极值问题方面、解决多项式的根和在物理方面的应用等. 关键词：正定二次型；正定矩阵；合同；初等变换；分块矩阵 The properties and Applications of positive definite Quadratic Forms Abstract：In this paper，the properties of positive definite quadratic form is discussed. By giving examples, we mainly introduce the applications of positive definite quadratic form, such as the application to extremum questions、studying the polynomial root and applications in physics et al. Keywords：positive definite quadratic form; positive definite matrix; congruence; elementary transformation；partitioned matrix. 前言二次型是线性代数的主要内容之一，正定二次型是是实二次型中一类特殊的二次型，占有特殊的地位.正定二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中,且有很大的实用价值，它不仅在几何而且在数学的其它分支学科以及物理和工程技术也常常用到，正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而对正定矩阵的性质的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及相关证明，并以例题的形式详细介绍了正定二次型的一些应用. 1 预备知识 1.1 二次型定义

正定二次型的性质及应用

目录摘要 (2) 关键词 (2) Abstract (2) Keywords (2) 前言 (2) 1预备知识 (2) 1.1二次型定义 (2) 1.2正定二次型定义 (3) 2 正定二次型的性质 (3) 3 正定二次型的应用 (7) 3.1正定二次型在解决极值问题中的应用 (7) 3.2正定二次型在分块矩阵中的应用 (9) 3.3正定二次型在解决多项式根的有关问题中的应用 (9) 3.4正定二次型在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用 (10) 3.5正定二次型在线形最小二乘法问题的解中的应用 (12) 3.6正定二次型在欧氏空间中的应用（欧氏空间的内积与正定矩阵） (12) 3.7正定二次型在解线性方程组中的应用 (12) 3.8正定二次型在物理力学问题中的应用 (13) 结束语 (13) 参考文献 (14)

正定二次型的性质及应用摘要：本文主要探讨了正定二次型的性质，结合例题重点介绍了正定二次型的应用，如研究极值问题方面、解决多项式的根和在物理方面的应用等. 关键词：正定二次型；正定矩阵；合同；初等变换；分块矩阵 The properties and Applications of positive definite Quadratic Forms Abstract ：In this paper ，the properties of positive definite quadratic form is discussed. By giving examples, we mainly introduce the applications of positive definite quadratic form, such as the application to extremum questions 、studying the polynomial root and applications in physics et al. Keywords ：positive definite quadratic form; positive definite matrix; congruence; elementary transformation ；partitioned matrix. 前言二次型是线性代数的主要内容之一，正定二次型是是实二次型中一类特殊的二次型，占有特殊的地位.正定二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中,且有很大的实用价值，它不仅在几何而且在数学的其它分支学科以及物理和工程技术也常常用到，正定矩阵是依附正定二次型给出的，因而对正定矩阵的性质的考察，有助于更好地了解正定二次型，本文在二次型的基础上研究了正定二次型与正定矩阵的一些性质及相关证明，并以例题的形式详细介绍了正定二次型的一些应用. 1 预备知识 1.1 二次型定义设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,...,,21的二次齐次多项式 ()+++++++=n n n n n x x a x a x x a x x a x a x x x f 2222 221121122 1 1121222,...,, …+ 2 n nn x a

向量的二次型和正定性

向量的二次型和正定性向量的二次型是数学中的一种重要概念，其中向量指代一维或多维度的向量空间，而二次型则是指这些向量的平方和。在实际生活中，二次型很多时候会涉及到向量矩阵的运算，通过对它们的分析可以得出很多有用的结论。其中最重要的概念之一就是正定性。一、向量的二次型在正式介绍向量的二次型之前，我们先来了解一些基本的概念。在数学中，一个向量可以被表示为有序的实数或虚数，通常用箭头（→）来标注。例如，向量AB可以表示为→AB。当我们谈到向量的平方时，它实际上指的是这个向量的每一维度的平方和。在二次型中，向量被视为列向量（column vector）或者行向量（row vector），矩阵则指向量的组合。最简单的向量是一维向量，也就是有一个实数或者虚数构成的向量。一般来说，一维向量的二次型为： f(x) = ax^2

其中a为任意实数或者虚数，x为一维向量。当我们将向量扩展到二维或三维时，二次型的计算方式也会随之变化。在二维向量的情况下，我们会使用2x2矩阵进行计算，而在三维向量的情况下，我们会使用3x3矩阵。例如，在二维向量的情况下，二次型的一般形式如下： f(x) = ax^2 + 2bxy + cy^2 其中a、b、c都是任意实数或者虚数，x和y是二维向量。二、二次型的正定性在数学中，正定性通常用来表示一个二次型的正质性。也就是说，如果二次型是正定（positive definite），那么它将对所有非零的向量都产生一个正值结果。这一结论的重要性在于，正定性是定义了一个向量空间的性质，而正性向量空间中的矩阵对于很多重要的应用而言都是极其重要的。

二次型与正定性

二次型与正定性二次型是高等数学中的一个重要概念，正定性则是与二次型紧密相关的性质。本文将介绍二次型及其性质，深入探讨正定性的定义、判别方法以及与正定矩阵的关系。一、二次型的定义二次型是指形如 \[Q(x_1,x_2,\dots,x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j\] 的函数，其中$a_{ij}$为实数或复数，称为二次型的系数。 $x_1,x_2,\dots,x_n$为实数或复数，称为二次型的变量。二次型可以用矩阵的语言来表示，即 \[Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}\] 其中$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \dots \\ x_n \end{bmatrix}$为列向量，$A$为二次型的系数矩阵，其元素为 $a_{ij}$。二、正定性的定义对于任意非零向量 $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \dots \\ x_n \end{bmatrix}$，如果对应的二次型 $Q(\mathbf{x})$ 满足条件： 1. 当 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ 时， $Q(\mathbf{x}) > 0$； 2. 当且仅当 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 时， $Q(\mathbf{x}) = 0$。

则称二次型 $Q(\mathbf{x})$ 是正定的。三、正定性的判别方法判断一个二次型是否正定存在多种方法，下面介绍两种常见的方法：特征值判别法和合同变换法。 1. 特征值判别法设 $A$ 为二次型的系数矩阵，将 $A$ 进行对角化得到对角矩阵 $D$，同时得到可逆矩阵 $P$，使得 $A = PDP^{-1}$。则二次型 $Q(\mathbf{x})$ 是正定的当且仅当对角矩阵 $D$ 的所有特征值均大于零。 2. 合同变换法通过矩阵的合同变换，将二次型 $Q(\mathbf{x})$ 化为规范型。规范型为只含平方项的二次型。具体步骤如下：（1）求出二次型的系数矩阵 $A$ 的特征值及对应的特征向量；（2）将特征值按从大到小的顺序排列；（3）构造对角矩阵，其对角线上的元素为特征值；（4）找到可逆矩阵 $P$，使得 $A$ 经过合同变换 $PA'P^{-1}$ 变为规范型。经过合同变换后的规范型，可以更方便地判断二次型的正定性。

正定二次型判断方法

正定二次型判断方法正定二次型是线性代数中的一个重要概念，在实际应用中具有广泛的应用。判断一个二次型是否正定的方法是线性代数中最基本的问题之一，也是非常重要的。本文将介绍正定二次型的概念、性质和判定方法。一、正定二次型的概念和性质 1.1 正定二次型的定义设f(x1,x2,...,xn)是一个n元二次齐次函数，则称f(x1,x2,...,xn)是正定二次型，如果对于任意的非零向量x=(x1,x2,...,xn)，都有f(x)>0。（1）正定二次型的值域是正实数。（3）正定二次型的解析式一定是一个关于字母的二次有理函数。（4）正定二次型的非零二次型矩阵一定是可逆矩阵。对于二元二次型f(x1,x2)=2x1^2+2x2^2-x1x2，我们可以验证该二次型是否正定。根据定义，我们需要对于任意的非零向量(x1,x2)，都有f(x)>0。即需要满足如下条件： 2x1^2+2x2^2-x1x2>0 化简得：由于x1^2和x2^2始终是非负数，并且当x1=x2=0时，x1^2+x2^2+\frac{1}{2}x1x2=0，因此只要证明\frac{1}{2}x1x2的系数大于等于0，就能证明f(x)是正定的。根据矩阵乘法的定义可得到f(x)=x^T \begin{bmatrix} 2 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 2 \end{bmatrix} x 由于该矩阵是正定矩阵（两个特征值均为正数），因此该二次型是正定的。 2.1 特征值法设二次型为f(x)=x^TAx，其中A为二次型的系数矩阵，λ1,λ2,...,λn为矩阵A的n 个特征值，则有如下结论：

二次型正定主对角线元素大于0证明

二次型正定主对角线元素大于0证明（最新版）目录 1.引言 2.二次型正定的定义和性质 3.证明方法一：平方法 4.证明方法二：正交化方法 5.结论正文 1.引言在线性代数中，二次型是一个重要的概念。二次型正定是二次型的一种性质，它有着广泛的应用。本篇文章将介绍如何证明二次型正定主对角线元素大于 0。 2.二次型正定的定义和性质二次型是一个关于变量的二次函数，它可以写成矩阵的形式。如果一个二次型的标准形式（即主对角线元素为 1，其他元素为 0）的行列式大于 0，那么这个二次型就是正定的。二次型正定的性质有：（1）如果一个二次型是正定的，那么它的任意一个正交变换后仍然是正定的。（2）如果一个二次型的主对角线元素都大于 0，那么这个二次型就是正定的。 3.证明方法一：平方法我们可以通过平方法来证明二次型正定主对角线元素大于 0。具体步

骤如下：设二次型为 A，其中 A 的主对角线元素为 a_ii（i=1,2,...,n）。我们需要证明 a_ii>0。我们先将二次型 A 表示成矩阵的形式，然后对矩阵 A 进行平方操作，即求矩阵 A 的特征值。由于 A 是正定的，所以它的所有特征值都是实数。我们设 A 的特征值为λ_i（i=1,2,...,n）。根据特征值和特征向量的定义，我们可以得到以下等式： Ax = λ_ix，其中 x 是特征向量。我们对上述等式进行平方操作，得到： A^2x = λ_i^2x。由于 A^2 是 A 的矩阵乘以 A 的矩阵，所以 A^2 的特征值是 A 的特征值的平方。即： λ_i^2 = a_ii。由于 A 是正定的，所以它的所有特征值都大于 0。因此，a_ii = λ_i^2 > 0。所以，我们证明了二次型正定主对角线元素大于 0。 4.证明方法二：正交化方法我们也可以通过正交化方法来证明二次型正定主对角线元素大于 0。具体步骤如下：设二次型为 A，其中 A 的主对角线元素为 a_ii（i=1,2,...,n）。我们需要证明 a_ii>0。我们先将二次型 A 表示成矩阵的形式，然后对矩阵 A 进行正交变换。

二次型正定的充分必要条件与证明

二次型正定的充分必要条件与证明二次型是线性代数中重要的概念之一，它在优化问题、矩阵理论、统计学等领域有着广泛的应用。而对于二次型而言，其正定性是一个非常重要的性质。本文将从充分必要条件的角度出发，对二次型正定性进行深入探讨和证明。一、二次型的定义我们来回顾一下二次型的定义。对于n元二次型，其定义为： Q(x) = x^T · A · x 其中，x = (x1, x2, ..., xn)是n维列向量，A是一个对称矩阵。二、正定性的定义接下来，我们来定义二次型的正定性。对于一个n元二次型Q(x)，如果对于任意的非零向量x，都有Q(x) > 0，那么我们称Q(x)是正定的。换句话说，二次型正定意味着它的取值都大于零。三、充分必要条件的证明 1. 充分条件的证明假设二次型Q(x)正定，我们来证明它的充分条件。我们将对称矩阵A进行特征值分解，得到A = PDP^T，其中P是正

交矩阵，D是对角矩阵，对角线上的元素是A的特征值。然后，我们令y = Px，其中y是一个n维列向量。将x代入二次型Q(x)，得到Q(x) = x^T · A · x = x^T · PDP^T · x = y^T · D · y = ∑(λi · yi^2) 其中，λi是A的特征值，yi是y的第i个分量。由于Q(x)是正定的，所以对于任意的非零向量x，都有Q(x) = ∑(λi · yi^2) > 0。而∑(λi · yi^2) > 0的充分必要条件是所有的λi都大于零，即特征值全部大于零。因此，我们可以得出结论：对于一个二次型Q(x)而言，如果A的所有特征值都大于零，那么Q(x)是正定的。 2. 必要条件的证明接下来，我们来证明二次型正定的必要条件。假设二次型Q(x)是正定的，我们来证明它的必要条件。由于A是一个对称矩阵，根据谱定理，我们可以得到A可以被对角化，即存在正交矩阵P和对角矩阵D，使得A = PDP^T。将x代入二次型Q(x)，得到Q(x) = x^T · A · x =