高三数学期末考试典型考题精选

高三数学期末考试典型考题精选

爱智康高中学科部何婷老师高三上学期期末考试是一轮复习成果的检验，对同学们的心态及后续学习计划的安排都有很大的影响。为了帮助同学们更好的为期末考试做准备，我们整理了高三上学期数学考试的经典试题。本套试题共分为三个部分，选择题、填空题和解答题。其中选择题共6道，填空题共3道，解答题共2道，共计11道，涉及了集合与常用逻辑用语、复数、函数综合、导数综合、平面向量、解三角形、三角函数、不等式、数列等内容。

选择题：

1.已知集合A={x|x(x?2)<0}，B={x|lnx>0}，则A∩B是（）．

A.{x|1

B.{x|0

C.{x|x>0}

D.{x|x>2}

答案：A

解析：∵A={x|01}，∴A∩B={x|1

2.已知i为虚数单位，设复数z满足z+i=3，则|z|=（）．

A.3

B.4

C.√10

D.10

答案：C

解析：z=3?i，∴|z|=√32+（?1）2

=√10.

3.设a?，b? 是非零向量，且a?，b? 不共线．则“|a?|=|b? |”是

“|a? +2b? |=|2a? +b? |”的（）．

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件答案：C

解析：“|a? +2b |=|2a? +b|”等价于“∣a?∣2+4a??b +4∣b∣2=4∣a?∣2+4a??b +∣b∣2”，即|a? |=|b |，故为充分必要条件．

的距离4.已知A，B是函数y=2x的图象上的相异两点．若点A，B到直线y=1

2

相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（）．

A.(?∞,?1)

B.(?∞,?2)

C.(?1,+∞)

D.(?2,+∞)

答案：B

解析：由于函数y=2x单调增，故A，B两点在x=?1两侧．设A(x1,y1)，

B(x2,y2)，且x12√2x1?2x2，化简得：

2x1+x2<14，即x1+x2

5.已知圆(x?2)2+y2=9的圆心为C．直线l过点M(?2,0)且与x轴不重合，l交圆C于A，B两点，点A在点M，B之间．过M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹是（）．

A.椭圆的一部分

B.双曲线的一部分

C.抛物线的一部分

D.圆的一部分

答案：B

解析：大致作出图像如图所示，

∵CA=CB=3，且AC//MP，∴∠BAC=∠ABC=∠BMP，∴PM=PB，∴

PM?PC=PB?PC=BC=3（为定值），∴点P的轨迹是以M，C为焦点，实轴长为3的双曲线．

填空题：

6.已知数列{a n }满足a n+1=a n ?a n ?1（n ?2），a 1=p ，a 2=q(p ，q ∈R)．设S n =∑a i n i=1，则a 10= ;S 2018= ．（用含p ，q 的式子表示） 答案：1．?p2．p+q

解析：由已知：a 10=a 9?a 8=a 8?a 7?a 8=?a 7=a 5?a 6=a 5?(a 5?a 4)=a 4，a 4=a 3?a 2=a 2?a 1?a 2=?a 1=?p；可知数列是周期为6的数列：p,q,q?p,?p,?q,p?q……，一个周期的和为0，2018除以6余2，故 S 2018=0+a 1+a 2=p+q ．

7.在△ABC 中，a=3，∠C=2π3，△ABC 的面积为3√34

，则c= ．

答案：√13

解析：S △ABC =12absinC=3

2b ?√32

=3√3

4，解得：b=1．则

c 2=a 2+b 2?2abcosC=9+1+3=13，故c=√13．

8.设抛物线C ：y 2=4x 的顶点为O ，经过抛物线C 的焦点且垂直于x 轴的直线和抛物线C 交于A ，B 两点，则∣OA ???? +OB ???? ∣= ． 答案：2

解析：焦点为(1,0)，代入曲线方程，得y=±2，故A(1,2)，B(1,?2)，OA ?????? +OB ?????? =(2,0)，∣OA ?????? +OB ?????? ∣=2． 解答题： 9.已知函数

f(x)=sinxcosx ?sin 2x+

12

．

（1）求f(x)的单调递增区间． 答案：[kπ?

3π8

,kπ+π8

]（k ∈Z ）.

解析：由题知

f(x)=sin2x?12(1?cos2x)+ =12sin2x+1

2cos2x =√2

2sin[2x+π4]．由

2kπ?π2?2x+π4

?2kπ+π2

（k ∈Z ），解得 kπ?

3π8

?x ?kπ+π

8

．所以f(x)单调

递增区间为[kπ?

3π8

,kπ+π8

]（k ∈Z ）．

（2）在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且满足bcos2A=bcosA ?asinB ．且0

，求f(B)的取值范围．

答 案：[?√22，√22

].

解 析：依题意由正弦定理，sinBcos2A=sinBcosA?sinAsinB ．因为在三角形中sinB≠0，所以cos2A=cosA?sinA ．即

(cosA?sinA)(cosA+sinA?1)=0当cosA=sinA 时，A=π4

；当cosA+sinA=1时，A=π2

．由于0

，所以A=π4

．则B+C=3π4

．则

0

3π4

．又π4

<2B+π4

<

7π4

，所以?1?sin(2B+π4

)?1．由

f(B)=sin(2B+π

4)，则f(B)的取值范围是[?√22

，√2

2].

10.已知函数f(x)=e ax ?sinx ?1，其中a>0．

（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程． 答案：y=x?1．

解析：当a=1时，f(x)=e x ?sinx?1，所以f′(x)=e x (sinx+cosx)．因为f′(0)=1，f(0)=?1，所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x?1 （2）证明：f(x)在区间[0,π]上恰有2个零点． 答案：证明见解析．

解析：f′(x)=e ax (asinx+cosx)．由f′(x)=0，得asinx+cosx=0．因为a>0，所以f′(π2

)≠0．当x∈(0,)∪(π2

,π)时，由asinx+cosx=0，得

tanx=?1

a．所以存在唯一的x0∈(

π

2

,π)，使得tanx0=?

1

a．f(x)与f′(x)在区

间(0,π)上的情况如下：

x (0, x0) x0(x0, π)

f′(x)+ 0 ?

f(x) ↗极大值↘

所以f(x)在区间(0, x0)上单调递增，在区间(x0, π)上单调递减．因为

f(x0)>f(π

2

)=e

aπ

2?1>e0?1=0，且f(0)=f(π)=?1<0，所以f(x)在区间[0,π]

上恰有2个零点．

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