电偶极子的电场讨论

电偶极子的电场讨论

姓名：乔霞芳

(09物理教育专业 准考证号：412410100009 )

【摘要】：电偶极子是继点电荷之后最简单而且重要的带电系统。凡是有电荷

的地方，四周就存在着电场，即任何电荷都在自己周围的空间激发电场。这里将从点电荷到电偶极子，通过对其中垂面和延长线上的电场强度、及其空间任意一点电场分布的求解，讨论电偶极子的静态电场。

【关键词】：电场 电场强度 电偶极子 电势 电视梯度

一、电场

为了能够形象的描述电场，正确、定量的讨论电场，先对电场进行适量了解。就它有什么样的性质，用什么定量的描述它，又用什么来给人以形象的概念进行讨论。 1.电场强度

电场的一个重要性质是它对电荷施加作用力，我们就以这个性质来定量地描述电场。我们知道，电场本身的性质由电场强度来反映，即E =F/q 。它是一个矢量，现在以点电荷所产生的电场中各点的电场强度来说明其方向和大小是如何确定的。

如图1-1所示，O 点有一点电荷q ，我们任取一场点P ，记OP=r 。设想把一个正试探电荷q 0 放在P 点，根据库伦定律，它受的力为：F=kqq 0r 1/r 2

(r 1是沿OP 方向的单位向量），又由电场强度的定义式可得P 的场强为E =F/q 0=kq r 1/r 2

，这表明若q>0,E 沿r 1方向；若q<0，E 沿-r 方向。E 与r 2

成反比，当r →无穷大时，E →0。

电场力是矢量，它服从矢量叠加原理。那么，电场

强度矢量是不是也服从呢？如果以F 1、F 2、…、F k 分别表示点电荷q 1、q 2、…、q k 单独存在时电场施予空间同一点上试探电荷q 0的力，则它们同时存在时，电场施予该点试探电荷的力为F 1、F 2、…、F k 的矢量和，即

图1-1

F=F1+F2+…+F k

将此式除以q

，得到

E=E

1+E

2

+…+E

k

式中E1=F1/q0，E2=F2/q0，…，E k=F k/q0分别表示q1，q2，…，q k单独存在时在空间同一点的场强，而E=F/q

代表它们同时存在时该点的总场强。由此可见，点电荷组所产生的电场在某点的场强等于各点电荷单独存在时所产生的电场在该点场强的矢量叠加。电场强度矢量满足矢量的叠加原理。

2.电场线

为了形象的描述电场分布，通常引入电场线（旧称电力线）的概念。它是一种假想的线，并不实际存在。利用电场线可以对电场中各处场强的分布情况给出比较直观的图像。对于正点电荷来说，电场线是以点电荷为中心，向四外辐射的直线；对于负点电荷来说，电场线是以点电荷为中心，向内汇聚的直线，如图

1-2所示：

正点电荷负点电荷一对等量异号电荷

图1-2

二、电偶极子的概念形成、电偶极矩

电偶极子是由一对靠的很近的等量异号电荷构成的带电体系。实际中电偶极子的例子很多，如在外电场的作用下电介质（即绝缘体）的原子或分子里正、负电荷产生微小的相对位移，形成电偶极子；当一段金属线（无线电发射天线）里电子做周期性运动，使得金属线的两端交替地带正、负电荷，形成振荡偶极子。电偶极子是一个理想模型，它的特征是用电偶极矩p=q l来描述的，其中l是两点电荷之间的距离，l和p的方向规定为由-q指向+q。

电偶极矩也称电矩。若以E表示匀强电场的场强，l表示从-q到+q的矢量，E与l之间的夹角为β(如图2-1）。则根据场强的

定义，正负电荷所受的力分别为F

+=E q，F

-

=-E q，

且它们大小相等、方向相反，合力为0.然而F

+

、

=F

-

的作用线不同，二者组成力偶。它们对于中点O 的力臂都是（lsinθ）/2。对于中点O，力矩的方向相同，因而总力矩为

L=F

+（lsinθ）/2+F

-

（lsinθ）/2=Eqlsinθ

可见，当θ=90度时力矩最大，θ=0或180度时力矩为0。上式可写成L=E*q l 极子在单位外电场下可能受到的最大力矩简称电矩。记为p=q l，它是与电偶极子本身有关的量q与l的乘积。

1、电介质中的电偶极子

一类电介质分子的正、负电荷中心不重合，形成电偶极子，称为有极分子；另一类电介质分子的正、负电荷中心重合，称为无极分子，但在外电场作用下会相对位移，也形成电偶极子。

电介质的静电特性。大家知道，导体的特点是其内部存在大量可自由移动的电子。与导体不同的是，构成电介质的分子中，原子核和电子之间的引力相当大，使得电子和原子核结合得非常紧密，电子处于束缚状态。所以，在电介质内几乎不存在可自由运动的电荷。即使把电介质放到外电场中，电介质中的电子也无法摆脱原子核的引力而自由移动。电介质可分成两类：有些材料，如甲烷、石蜡、聚苯乙烯等，它们的分子正、负电荷中心在无外电场时是重合的，这种分子叫做无极分子；有些材料，如水、有机玻璃、聚氯乙烯等，即使在外电场不存在时，它们的分子正、负电荷中心也是不重合的，这种分子相当于一个有着固有电偶极矩的电偶极子，所以这种分子叫做有极分子。当无外电场时，无极分子电介质中分子正、负电荷中心在无外电场时是重合的，宏观上没呈现电性。当存在外电场E0时，在电场力作用下每个分子中的正、负电荷中心将发生相对位移，形成一个电偶极子，它们的等效电偶极矩p的方向都沿着电场的方向。在电介质内部，相邻电偶极子的正负电荷相互靠近，如果电介质是均匀的，则在它内部仍然处处保持电中性，但在电介质的两个和外电场强度E0相垂直的表面层里(厚度为分子等效电偶极矩的轴长l)，将分别出现正电荷和负电荷，我们称之为极化电荷。这

图 2-1

种在外电场作用下，在电介质中出现极化电荷的现象叫做电介质的极化。由于无极分子的极化是正、负电荷中心的相对位移而引起的，所以常叫做位移极化。因而存在电介质时，空间任一一点的总的电场强度E应等于外电场E0与极化电荷产生的电场产生的电场E'的和，即E= E0+E’

在电介质内部，不难看出，在电介质内部，E' 和E0方向相反，也就是说极化电荷产生的电场在电介质内部总是起着削弱外电场的作用。

对于有极分子电介质来说，即使没有外电场。每个分子也已经等效于一个电偶极子。然而，在无外电场时，由于分子的热运动，这些电偶极子在空间的趋向杂乱无章，宏观上无呈现电性。当存在外电场时，每个电偶极子都受到一个外电场的力矩的作用，使分子的电偶极矩p转向电场的方向。于是在电介质与外电场垂直的两表面上出现了宏观的极化电荷。由于有极分子的极化是分子的等效电偶极子沿外电场方向转向而引起的，所以叫做取向极化。一般说来，分子在取向极化的同时还会产生位移极化，但是，对有极分子电介质来说，取向极化的效应比位移极化的效应强得多，因而其主要的极化机理是取向极化。

与无极分子电介质一样，在有极分子电介质内部，极化电荷产生的电场E' 外电场E0方向相反，也就是说极化电荷使得电介质内部的电场强度减小。从以上分析我们发现，无极分子和有极分子电介质极化的微观过程虽然不同，但宏观的效果却是相同的。无论哪一种电介质，极化的结果都是在电介质内部有沿电场方向的电偶极矩，在电介质的两个相对表面上出现了异号的极化电荷，极化电荷产生的电场会使得电介质内部的电场强度减小。

2、偶极子天线与振荡偶极子

偶极子天线用来发射和接收固定频率的信号。虽然在平时的测量中都使用宽带天线，但在场地衰减和天线系数的测量中都需要使用偶极子天线。SCHWARZBECK偶极子天线的频率范围由30MHz~4GHz。其中的VHAP和UHAP是一套精确偶极子天线，特别适用于场地衰减和天线系数的测量。同时该天线为日本VCCI等标准机构指定的电波暗室和开阔场场地衰减测量等的唯一专用天线。该天线为众多实验室所采用，作为实验室的天线标准。垂直天线实际上是一种偶极子天线。偶极天线由两根导体组成，每根为1/4波长，即天线总长度为半波长。所以偶子天线叫半波振子。如果把两个1/4波长的振子延长再折回到中心，并连接在一起，则成了一个折叠偶极子天线，简称折叠振子。折叠偶极

子天线的阻抗也是纯电阻近似300Ω(约290Ω)，显示出较高的输入阻抗，与平行馈线构成的高阻传输天线在很多场合得到运用。把偶极子天线直起来，垂直于地面，则成垂直天线。如果“去掉”下部的1/4λ振子，则成不对称垂直天线。这种情况是基于两个假设：①地面为“镜面”，地底下有1/4λ振子的“镜像”；②振子离开地面有足够的高度h。常用的垂直天线都是不对称天线，在水平方向上各向同性。一种特殊的垂直天线，1/4λ振子辐射器下部还有四个径向单元。它用于40米和80米频段有较好的电离层反射效果。这种天线有个专门的名字叫马可尼天线。R7000等接收机配置的天线就属于这种天线。

理论分析表明，LC电路辐射电磁波的功率与振荡频率四次方成正比。但普通的LC电路的振荡频率很低，而且电磁场又被封闭在电容器和线圈内部，所以辐射功率很小。要让LC振荡电路向外辐射足够强的电磁波，必须提高振荡频率。而要提高振荡频率就必须降低电路中的电容值和电感值。对于平行板电容器和长直载流螺线管，增加电容器极板间距d ，缩小极板面积S ，减少单位线圈匝数n ，就可减小电容和电感。不断这样做下去，LC电路就变成了一根开放的的天线。在上述天线中，正负电荷不断在天线两端间振荡，因此它实际上就是一个振荡电偶极子。振荡电偶极子不断发射出电磁波。1868年麦克斯韦从理论预言了电磁波的存在，1888年赫兹通过振荡电偶极子的一系列实验，实现了电磁波的发射和接受，证实了电磁波的存在。

赫兹实验：将两段铜杆沿同一直线架设，在其相临的两端端点上均焊有一个光滑的铜球。两球间留有小的空隙(约0.1mm）,两铜杆分别用导线联接到高压感应圈的两极上。感应圈周期地在两铜球之间产生很高的电势差，当铜球间隙的空气被击穿时，电流往复振荡通过间隙产生电火花，这种赫兹振子就相当于一个振荡电偶极子。

由于电路的的电容和自感均很小，因而振荡频率可高达108Hz，从而强烈地发射出电磁波。由于铜杆有电阻且在空气中产生电火花，因而其上的振荡电流是衰减的，发出的电磁波也是减幅的。但感应圈不断地使空隙充电，振荡电偶极子就间隙地发射出减幅振荡电磁波。

三、电偶极子中垂面和延长线上的电场

如图3-1，电偶极子是由等量异号电荷+q和-q形成的，其间距离为l，下面

讨论其延长线上一点P和中垂面上一点P’的场强，P和P'到两电荷联线中点O 的距离都是r.

1、P点的场强

P点到正负q的距离分别是r+l/2和r-l/2，所以正负q在P点产生的场强大小分别为：

E

+=kq/(r-l/2

）2 E-=kq/（r+l/2）2

E

+向右，E

-

向左，故总场强大小为：

E=E+-E-=kq[1/（r-l/2)2-1/(r+l/2)2],方向向右。

2、P′点的场强

P′点到±q的距离都是√r2+l2它们在P′点产生的场强大小一样：

E +=E

-

=kq/（r2+l2/4），但方向不同，如图3-1所示，为了求二者的矢量和，可取

直角坐标系，其X轴与±q的联线平行，方向向右，Y轴沿它们的中垂线。将E

+

和E

-分别投影到X、Y方向叠加，即得总场强的X、Y两个分量E

x、

E

y

。不过根据

对称性可以看出，E

+和E

-

的X分量大小相等，方向都沿X轴的负方向；Y分量大

小相等，方向相反，故

E x=E+x+E-x=2E+cosθ

E y=E+y+E-y=0

由图可以看出cosθ= l/[2（r2+l2/4) 1/2]

故总场强E的绝对值为：E=|E x|=2E+cosθ=kql/（r2+l2/4)3/2，E 沿X轴的负方向。

图3-1

对于电偶极子，±q之间的距离l远比场点到它们的距离r小的多时：

1/(r-l/2)2-1/(r+l/2)2=[(r+l/2)2-(r-l/2)2]/(r+l/2)2(r-l/2)2 =2r2-l2/4)2=2l/r3

且 l/（r2+l2/4)3/2=l/r3

所以在电偶极子的延长线上场强E的大小为：E=2kql/r3;在中垂面上E的大小为：E=kql/r3。

以上结果表明：电偶极子的场强与距离r的三次方成反比，它比点电荷的场强随r递减的速度快得多；电偶极子的场强，只与描述电偶极子属性的一个物理量―电偶极矩p=ql有关。

这样，电偶极子的场强，可表示为：

延长线上E=2kp/r3

中垂线上E=kp/r3

上面给出了电偶极子在两个特殊方位上的场强分布，为方便求得电偶极子在空间任意一点的电场，先了解有关电势与电势梯度的基本知识。

四、电势与电势梯度

1、电势

设想在电场中把一个试探电荷q

0从P点移至Q点，它的电势能的减小W

PQ

定

义为在此过程中静电场力对它的功A PQ即

W PQ=A PQ=q0∫P Q E d l（1）

这里无需指明路径，因为静电场是保守立场，积分与路径无关。

W PQ 也可以定义为把q

从Q点移至P点的过程中抵抗静电场力的功A

QP

′。所

谓抵抗某力F做功，就是指一个与力F大小相等，方向相反的力力F′所做的功。

因电场力F=q 0E ，故F ′=-q 0E ，

按照定义： W PQ =A QP ′=q 0∫Q

P

F ′d l=-q 0∫P Q

E d l （2）

不难看出（1）式和（2）式完全等价 -q 0∫Q

P

E d l =q 0∫P Q

E d l

（1）式表明，W PQ 与试探电荷的电量q 0成正比，换句话说，比值W PQ /q 0与试探电荷无关，它反映了电场本身在P 、Q 两点的性质。这个量定义为电场中P 、Q 两点间的电势差，或称电势降落。用U PQ 来表示，则

U PQ =W PQ /q 0=A PQ /q 0=∫P

Q

E d l

它就是P 、Q 两点间的电势差定义为从P 到Q 移动单位正电荷时电场力所做的功，或者说，单位正电荷的电势能差。如果要问空间某一点的电势数值是多少，则需选定参考点。令参考点的电势为0，则其它各点与此参考点之间的电势差定义为该点的电势值。在理论计算中，如果带电体系局限在有限大小的空间里，通常选择无穷远点为电势的参考位置。这样一来，空间任意点P 的电势U (P)就等于U P ∞,即

U (P)=U P ∞=A P ∞/q 0=∫P ∞

E d l （3）

点电荷各点电势，单个点电荷q 产生的电场中各点的电势，如图4-1所示，P 是q 产生的电场中任一点，P 到q 的距离为r p 则由（3）可得

U (P)=∫P

∞

E d l =∫rp ∞E d r =qk ∫P ∞dr/r 2

=kq/r p

图4-1

图4-2

由于P点任意，故r

p

的下标可略去，得到点电荷q产生的电场中电势的分布U=kq/r

任意带电体系都可以看成是点电荷组，它们在空间产生的电势分布亦可用叠加原理求得，如图4-2所示，与场强叠加不同，电势叠加是标量叠加：

U(P)=∫P∞E d l =∫P∞（E1+E2+…+E k）d l=U1(P)+U2(P)+…+U k(P)

式中U

i(P)=∫

P

∞E d l =kq

i

/r

i

是点电荷q

i

（i=1,2,……k）单独存在时P点的电

势。

2、电势的梯度

任何空间坐标的标量函数，叫做标量场。电势U是个标量，它在空间每点有一定的数值，所以电势是个标量场。梯度一词，通常指一个物理量的变化率。用数学语言来说，就是物理量对空间坐标的微商。在三维空间里，一个标量场沿不同方向的变化率不同。在一对彼此很靠近的等势面之间取一任意方向的线段PQ，设其长度为Δl（如图4-3），则U沿此方向的微商

为:

ЭU/Эl=lim（Δl→0）ΔU/Δl

(1)

ЭU/Эl叫做U沿PQ=Δl的方向微商，这是一种

偏微商。

在等势面间取垂直位移矢量PQ'=Δn,它指向沿电势增加的方向，沿此方向的微商为:

图4-3

ЭU/Эn=lim（Δn→0）ΔU/Δn （2）

我们来看ЭU/Эl和ЭU/Эn两个沿不同方向的微商之间的关系。设Δl和Δn之间的夹角为θ，则Δn=Δl cosθ。从（1）和（2）式可以看出: ЭU/Эl cosθ=ЭU/Эn，或ЭU/Эl=ЭUcosθ/Эn

上式表明:

ЭU/Эl≦ЭU/Эn

亦即，U沿Δn方向的微商最大，其余方向的微商等于它乘以 cosθ。这正是一个矢量的投影和它的绝对值的关系。所以可以定义一个矢量，它沿着Δn方向，大小等于ЭU/Эn。这个矢量叫做U的梯度，用▽U来表示。沿其余方向的微商ЭU/Эl是梯度▽U在该方向上的投影。

场强E的大小为 :

E=｜lim（Δn→0）ΔU/Δn｜=｜ЭU/Эn｜

E总是指向电势减少的方向，即E与Δn方向相反，故E应等于电视梯度的负值：

E=-▽U

它在任意方向Δl上的投影E

l 为 E

l

=-ЭU/Эl，利用这些结果可以从已知

的电势分布求场强。在具体问题中，需要根据对称性选取适当的坐标系来求出矢量的各分量。对于电偶极子，因它具有轴对称性，最方便的办法是以它自身的轴（从负电荷到正电荷的方向，即电偶极矩的方向）为轴取球坐标（r，θ，Ψ）。在球坐标系中，场强的各个分量为:

E

r

=-ЭU/Эr

E

θ=-ЭU/（rЭθ）（3）

E

Ψ=-ЭU/（rsinθЭΨ

①）

五、电偶极子空间任意一点的场强分布

已知电偶极子中两电荷之间的距离为l ，电量为+q 和-q 。 1、距电偶极子相当远的地方任一点的电势

设场点P 到正负q 的距离为r +和r -(如图5-1），则正负q 单独存在时P 点的电势分别为：

U +=kq/r +, U -=k(-q)/r -

根据电势叠加原理：

U=U ++U -=kq(1/r +-1/r -)

下面根据近似计算。设P 点到电偶极子中点O 距离为r ，PO 联线与偶极矩方向的夹角为θ，通过正负q 做PO 连线的垂线，令垂足为C 、D 。由于r 远大于l ，忽略l/r 的高介无穷小量，两

垂线都可近似地看作是以P 为中 心的圆弧，所以PC ≈r +, PD=r -

故而CO=OD ≈（lcos θ）/2，于是 r +=r -（lcos θ）/2,r -=r +（lcos θ）/2

带入U 的表达式后，得

U=qk{1/[r-（l cos θ）/2]-1/[r+（l cos θ）/2]} =qk{[r+（l cos θ）/2]-[r-（l cos θ）/2]/ [r-（l cos θ）/2][r+（l cos θ）/2]} 即 U=qk l cos θ/{r 2-[(l cos θ）/2]2}

忽略l 的平方项，即得电偶极子空间任一点的电势为:

U ≈kq l cos θ/r 2=kpcos θ/r

2

图5-1

2、电偶极子空间任意一点的场强分布

如图5-2所示，由于轴对称性，U 与方位角Ψ无关，根据(3)式，E 的三个分量为:

E r =-ЭU/

Эr=2kpcos θ/r 3

E θ=-ЭU/r Эθ =kpsin θ/r 3 E Ψ=-ЭU/（rsin θЭΨ）=0

在偶极子的延长线上θ=0或180度，E θ=0，从而E=E r =2kp/r 3;在中垂面上θ=90度，E r =0，

E=E θ=kp/r 3

综上讨论电偶极子的电场分布如图5-3所示，电场线疏的地方场强小，密的地方场强大。电场线在空间各点的切线为该点场强的方向，且两根电场线是不会相交的，除非该点场强为零。

参考文献

【1】赵凯华、陈熙谋.新概念物理教程《电磁学》第二版. 高等教育出版社

【2】同济大学、天津大学、浙江大学、重庆大学.《高等数学》第三版. 高等教育出版社

备注：①推导见参考文献【1】附录B(B.10)式； 文中k=1/(4πε0)

图5-2

图5-3