(整理)5平面向量基础知识.

平面向量基础知识

第一课时：向量的概念

向量的定义（两要素）

向量与矢量、数量、标量的区别 作用点、实际意义（单位）、可比性

向量是矢量的抽象、数量是标量的抽象

向量的表示

几何表示 （几何中用点表示位置、用射线表示方向 起点到终点）

用有向线段表示向量使向量具有几何直观性

有向线段（三要素）与向量的区别 （人的身高不随位置改变而改变）

向量只与其起点和终点的相对位置有关，与起点和终点的绝对位置无关

符号表示 有向线段的起点与终点符号（大写）（具体） 小写符号（抽象） 手写必须带箭头 （“帽子”）

用符号表示向量使向量具有代数的属性

坐标表示

用坐标表示向量使向量具有算术的属性

向量的模及其表示 写法与读法 （“外套”）

模特殊的向量

零向量 定义、表示0、方向

单位向量 定义 方向的惟一性

与已知非零向量共线的单位向量常用表示符号e 、i 、j 、ｋ

位置特殊的向量

位置向量 起点为坐标原点的向量

方向关系特殊的向量与表示

平行向量（共线向量 “平行向量”与“共线向量”是等意词）

垂直向量

相等向量 平移变换用之

相反向量 反向变换用之

零向量的规定：零向量与任一向量共线，零向量的相反向量是零向量

判断：

1、若两向量相等，则它们的起点与终点相同

2、AB BA =-

3、若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c

4、若AB CD =，则AB CD

5、若a 与b 不共线，则a ≠0，b ≠0

6、若AB ∥CD ，则A 、B 、C 、D 四点共线

7、若AB ∥AC ，则A 、B 、C 三点共线

8、若AB=CD ，则AB CD =

∥ ＝

9、若AB=CD ，则||||AB CD = （既戴帽子，又穿外套）

两个向量平行，这两个向量可以在一条直线上，这与平面几何中的“平行”的含义不同；两个向量共线，这两个向量不一定在一条直线上，这与平面几何中的“共线”的含义也不同．而规定零向量与任一向量平行，使几何中的“平行公理”对于向量平行不再成立．（在几何中，“平行”和“共线、重合”绝不相同，而在向量中，“平行”和“共线”绝对一样）

向量的类型：自由向量、滑动向量、固定向量

第二课时：向量的加法

向量加法的定义

向量加法处理方法：三角形法则、平行四边形法则

（当两个向量共线时，平行四边形法则不适用，只适用三角形法则；当两个向量不共线时，平行四边形法则和三角形法则是一致的）

向量加法的特征：尾首相接，首尾相连（与接点的位置无关）

向量的和拆分 封闭折线的和向量

△ABC 中，G 是重心?GA ＋GB ＋GC ＝0

求和向量时需要把向量具体化、几何化

向量加法的运算律：交换律、结合律

向量加法的性质

1、两个向量的和为一个向量

2、若两个向量平行，则它们的和向量与它们也平行

3、若两个向量不平行，则它们的和向量与它们也不平行

4、||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，

当且仅当a 与b 同向，或其中至少一个是零向量时，后一等号成立；当且仅当a 与b 反向或其中至少一个是零向量时，前一等号成立．

第三课时：向量的减法

向量减法的定义 向量减法是向量加法的逆运算

向量减法处理方法：三角形法则、平行四边形法则

向量减法的特征：首首相聚，被减被指（与起点的位置无关）

向量的差拆分

向量减法是向量加法的逆运算，即减去一个向量等于加上该向量的相反向量

求差向量时需要把向量具体化、几何化

向量减法的性质

1、两个向量的差为一个向量

2、若两个向量平行，则它们的差向量与它们也平行

3、若两个向量不平行，则它们的差向量与它们也不平行

4、||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |，

当且仅当a 与b 反向或其中至少一个是零向量时，后一等号成立；当且仅当a 与b 同向或其中至少一个是零向量时，前一等号成立．

平行四边形与向量的加减法：平行四边形ABCD中AB＝a，AD＝b，若|a＋b|＝|a －b|，则平行四边形ABCD是

第四课时：向量的加减法

第五课时：向量的数乘

乘法的类型、意义与表示方法乘法的加法意义

乘法是加法的简便运算系数范围从自然数扩大到实数

实数与向量的积的定义可看作是实数与实数的积的概念的推广

向量的数乘的定义

实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘，其积是一个向量，记作λa，且满足（1）|λa|＝|λ||a|；（2）当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反；

当λ＝0时，λa＝0，总之λa∥a

向量数乘的几何表示伸缩变换与反向变换

向量数乘的运算律结合律、分配律（第一、第二）、交换律

向量数乘与实数乘法的异同：运算结果不同，运算律相同

向量的线性运算的定义向量的加法、减法、数乘及其混合运算叫做向量的线性运算，又叫向量的初等运算（结果为向量的“一次”式）

向量的线性运算结果是一个向量，运算法则与多项式运算类似（去掉箭头即为多项式法则）

第六课时：向量的线性表示

向量的线性表示：若a≠0，且b＝λa，则称b可用非零向量a线性表示，其中a叫做基底

非零向量的单位向量的定义与表示公式

若向量a≠0，则称与a方向相同的单位向量叫做a的单位向量；

若x是a的单位向量，则x＝a a

向量共线定理（向量共线的判定与性质）

已知a≠0，

（1）若b＝λa，则b∥a；

（2）若b∥a；，则有且只有一个实数λ，使b＝λa

只有以非零向量作为基底，才能线性表示与之共线的所有向量，且线性表达式是惟一的；若以零向量作为基底，则无法线性表示非零向量，而表示零向量时，线性表达式有无数个

若OC＝λOA＋μOB，且λ＋μ＝1，则A、B、C三点共线

已知λa＋μb＝0，（1）若λ与μ不全为零，则a∥b；（2）若a与b不共线，则λ＝μ＝0

第七课时：向量的线性运算

向量线性运算的类型

向量线性运算的常用方法

平移（等量代换）、反向、拆分（路线的选择）、线性表示（中点、分点、交点）（平移与反向是线性表示的特例） 大写字母的变换

反证法的运用

向量恒等式问题

中点问题（联想中位线）

交点问题（三点共线的线性表示）

待定系数法

用向量法解题的思想

方程思想 如待定系数法

化归与转化思想 如向量的拆分

数形结合思想 如三角形法则

分类讨论思想 如方向关系的讨论（同向、反向、不共线）、零向量与非零向量 向量的等和变换 若P 1、P 2、P 3、…、P k 、…、P n-1依次是线段AB 的各个n 等分点，O 是平面内任一点，则 OA ＋OB ＝1OP ＋1n OP -＝2OP ＋2n OP -＝…＝k OP ＋n k OP -

第八课时：平面向量基本定理

平面向量基本定理（共面向量的线性表示）

如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2

平面向量基本定理的意义：用不共线的两个向量可把平面内的所有向量统一起来 基底 定义、特征、数量、作用、灵活性、不可交流性

不共线的向量e 1，e 2，叫做表示平面内的所有向量的一组基底

基底不惟一 数量可多于两个

只有以不共线的向量（必为非零向量）作为基底，才能线性表示平面内的所有向量，且线性表达式是惟一的；若以共线向量作为基底，则无法线性表示和它们不共线的向量，而表示和它们共线的向量时，线性表达式有无数个

向量的分解

定义：一个平面向量a 用一组基底e 1，e 2，表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，称为向量

a 按e 1，e 2的分解

分类：当e 1，e 2，互相垂直时，就称为向量的正交分解 非正交分解

向量分解的几何方法 过向量的起点和终点分别作基底向量的平行

线，两条直线相交于一点

第九课时：平面向量的坐标表示与坐标运算

平面向量的坐标表示

位置向量 起点为坐标原点的向量

平面向量的分解→平面向量的正交分解→平面向量的分解（以坐标轴的共线向量为基底）→平面向量的分解（以坐标轴的同向向量为基底）→平面向量的分解（以坐标轴的同向单位向量为基底）（“普通话”交流的便利）

A （x ，y ）?OA ＝（x ，y ）＝x i ＋y j A

B ＝（x B －x A ，y B －y A ）

零向量的坐标为（0，0）

单位向量的坐标为（cos θ，sin θ）

若a ＝（x ，y ），则∣a ；∣AB 向量的坐标与起点和终点的相对位置有关，与起点和终点的绝对位置无关

平面向量的坐标表示的意义：把几何问题代数化、算术化

平面向量的坐标运算 坐标运算不需要几何特征

若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），

则a ＋b ＝ a －b ＝ λa ＝

第十课时：有向线段的定比分点

用黄金分割律引入

定比分点的定义

已知P 在直线AB 上，且P 与B 不重合，若AP ＝λPB ，则称P 分有向线段AB 所成的比为λ，P 叫AB 的定比分点 （PB 为基底）

（注意起点、分点、终点的顺序 在起点和分点符号之间插入分点）

定比分点的类型

当P 在线段AB 上时，称P 为AB 的内分点，λ＞0．特别地，P 若为线段AB 的中点，则λ＝1．

当P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，称P 为AB 的外分点，λ＜0．特别地，P 若在AB 的延长线上，则λ＜－1；若P 在AB 的反向延长线上，则－1＜λ＜0． 当P 与A 重合时，λ＝0．

综上得，λ≠－1．

定比分点计算公式 （三点一值的计算）

已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），

若点P （x ，y ）分有向线段12PP 所成的比为λ（λ≠－1）

， 则OP ＝

121OP OP λλ++＝11λ+1OP ＋1λλ

+2OP （定比分点向量公式）

1212

11x x x y y y λλλλ

+?=??+?+?=?+? （定比分点坐标公式） 注意对号入座 线段中点坐标公式

三角形重心坐标公式

练习 1、O 分有向线段MN 所成的比为2，则（ ）

A ．OM ＝2ON

B ．MO ＝2ON

C ．MO ＝2NO

D ．OM ＝2NO

2、若P 分有向线段AB 所成的比为3，则A 分有向线段PB 所成的比为

3、若P 分有向线段AB 所成的比为3，则P 分有向线段BA 所成的比为

4、黄金分割点的坐标

三点共线问题的处理方法：方程法、斜率法、向量法、定比分点法、距离法 第十一课时：平面向量平行的坐标表示

引入：若a ＝（1，3），b ＝（x ，4）则x 为何值时，a ∥b ？

方法1：设a ＝λb ，列方程组解之，λ是辅助量，可消去不求，象一个学雷锋做好事不

留名的人，当然，为了感谢他，也可以打听出其姓名（求出λ的值）

问题：解决此题能否自力更生，不请外援？（总结辅助量的效果，事半功倍） 方法2：若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0 对号入座

（记忆方法：先打草稿——写比例式，再写定稿——把分式化为整式）

可以去掉课本上a ≠0的规定，且可用加减消元法推导上式

写比例式法可以作为技巧解客观性试题

待定系数法与坐标法的异同：

待定系数法是方程组，可同时解决线性向量式的系数（或向量的坐标）与定向（确定同向还是反向）；坐标法是方程，可求向量的坐标，但解决向量定向问题时比较麻烦． 推广：若a 与b 不共线，

则（λ1a ＋μ1b ）∥(λ2a ＋μ2b )?λ1μ2－λ2μ1＝0

第十二课时：平面向量的数量积

用力作功为例引入 两矢量生成一标量 运算的含义 运算符号的意义

向量数量积的定义 a ·b ＝||||cos ,a b a b <> 写法 读法 三个因素

夹角的定义、表示、范围、类型

向量垂直及其性质

垂直是两个非零向量之间的一种关系（三条道路堵死两条）

两向量的数量积为零是两向量垂直的必要条件

零向量的规定

零向量与任一向量的数量积为0，由于零向量的方向不确定，故不定义零向量与其它向量的夹角，更不可说零向量与其它向量垂直

向量模的变换方法（平方加根号）向量的平方等于其模的平方

判断

1、x2=y2?x=y或x=－y

2、x2=y2?x=y或x=－y

3、x2=y2?∣x∣=∣y∣

向量数量积的运算率及公式（限于“二次”以内）

投影的概念

第十二课时：平面向量的数量积的坐标表示

已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）：

（1）a·b＝x1x2+y1y2不用夹角也可求数量积对号入座

cosθ=

（2）若a与b为非零向量，则

（3）若a与b为非零向量，则a⊥b?x1x2+y1y2＝0 注意大前提

第十三课时：平面向量的数量积

第十四课时：向量的应用

用向量解决物理问题

矢量的分解与合成分析

力与做功

向量源自物理

用向量解决几何问题

平几问题（向量的几何运算）和解几问题（向量的代数运算）

平行问题平行四边形、梯形、三点共线、中位线、直线方程

垂直问题三角形垂心、矩形、菱形、圆的方程

长度问题平行四边形两对角线与四边的关系、三角形的三边关系

角度问题三角形的射影定理、余弦定理、

不等式问题三角形的三边关系、柯西不等式

直线的方向向量与其斜率斜率为k的直线的方向向量的坐标为（1，k）

有向量条件的问题（无需联想）、无向量条件的问题（公式特征和几何意义的联想）

1、求证：平行四边形的两条对角线长的平方和等于四条边长的平方和

2、求证：三角形的三条高交于一点

3、已知直线上两点坐标求其方程

4、求直径圆方程

5、证明余弦定理

6、证明三角形的射影定理

7、求证：柯西不等式（x1x2+y1y2）2≤（x1，y1）2（x2，y2）2

8、证明三角形和梯形的中位线定理

9、P89，第13题

第十五课时：向量小结与综合

向量的概念与表示

向量的运算

1、一次运算与二次运算

2、向量的几何（图形）运算与向量的代数（坐标）运算

向量的应用以算代证