解三角形大题专练(2020更新)
解三角形大题专练
1.(2018·北京)在△ABC 中,a =7,b =8,cos B =-1
7.
(1)求∠A ; (2)求AC 边上的高.
解 (1)在△ABC 中,因为cos B =-1
7,
所以sin B =1-cos 2
B =43
7
. 由正弦定理得sin A =
a sin B
b =3
2
. 由题设知π2<∠B <π,所以0<∠A <π
2,
所以∠A =π
3.
(2)在△ABC 中,
因为sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =33
14
, 所以AC 边上的高为a sin C =7×3314=33
2
.
2.在△ABC 中,∠A =60°,c =3
7
a .
①求sin C 的值;
②若a =7,求△ABC 的面积.
[解析](2)(文)①在△ABC 中,因为∠A =60°,c =3
7a ,
所以由正弦定理得sin C =
c sin A a =37×32=33
14
. ②因为a =7,所以c =3
7
×7=3.
由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A 得72=b 2+32
-2b ×3×12,
解得b =8或b =-5(舍).
所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×8×3×3
2
=6 3.
3.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin(A +C )=8sin 2
B
2
.
①求cos B ;
②若a +c =6,△ABC 的面积为2,求b . (理)①解法一:∵sin(A +C )=8sin 2
B
2,
∴sin B =8sin 2
B 2,即2sin B 2·cos B
2=8sin 2
B
2,
∵sin B 2>0,∴cos B 2=4sin B
2
,
∴cos 2B 2=1-sin 2B 2=16sin 2B 2,∴sin 2B 2=117 ∴cos B =1-2sin 2B 2=1517
.
解法二:由题设及A +B +C =π得sin B =8sin 2
B
2,故sin B =4(1-cos B ).
上式两边平方,整理得17cos 2
B -32cos B +15=0, 解得cos B =1(舍去),cos B =15
17
.
②由cos B =1517得sin B =817,故S △ABC =12ac sin B =4
17ac .
又S △ABC =2,则ac =17
2.
由余弦定理及a +c =6得,
b 2=a 2+
c 2-2ac cos B =(a +c )2-2ac (1+cos B )
=36-17×32
17
=4,∴b =2.
4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知. (1)求tanC 的值;
(2)若△ABC 的面积为3,求b 的值。 【答案】(1)2;(2)3.
【思路分析】(1)根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系,再将式子作三角恒等变形即可求解;(2)根据条件首先求得sinB 的值,再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解.
2221
,42
A b a c π
=-=
【解析】(1)由22
212b a c -=
及正弦定理得2211
sin sin 22B C -=,∴-cos2B=sin 2C , 又由4
A π
=
,即34
B C π
+=
,得-cos2B=sin2C=2sinCcosC ,解得tanC=2;
(2)由tanC=2,C ∈(0,π)得sin 55
C C =
=
又sin sin()sin(
),sin 4
B A
C C B π
=+=+∴=
Q 3
c =
,
又1
,sin 3,42
A bc A bc π=
=∴=Q b=3.
5.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且b cos A -a cos B =2c . (1)证明:tan B =-3tan A ;
(2)若b 2
+c 2
=a 2
+3bc ,且△ABC 的面积为3,求a . (1)证明 根据正弦定理,由已知得
sin B cos A -cos B sin A =2sin C =2sin(A +B ),
展开得sin B cos A -cos B sin A =2(sin B cos A +cos B sin A ), 整理得sin B cos A =-3cos B sin A , 所以tan B =-3tan A .
(2)解 由已知得b 2
+c 2
-a 2
=3bc ,
所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =3bc 2bc =3
2
,
由0 3,∴tan B =-3, 由0 6,a =c , 由S =12ac sin 2π3=12×32 a 2 =3,得a =2. 6.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = (I )求C ; (II )若c ABC △=ABC △的周长. 【答案】 (I )由已知及正余弦定理得,2cos (sin cos sin cos )C A B B A c += ()2cosCsin sinC A+B = 故2sinCcosC sinC =. 可得1cosC 2= ,所以C 3 π=. (II )由已知,1sin 2ab C = 又3 C π = ,所以 6.ab = 由已知及余弦定理得,2 2 2cos 7a b ab C +-= 故2 2 13,a b += 从而2 ()25a b += 所以ABC ?的周长为5+ 7.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知1 cos 24 C =-. (1)求sinC 的值; (2)当a =2,2sinA =sinC 时,求b 及c 的长. 【思路点拨】(1)利用二倍角公式及三角形内角的范围,易求得sinC 的值;(2)首先利用正弦定理将角化为边,易求得边c ,要求边b ,考虑用余弦定理,即先求出cosC 的值. 【解析】(1)因为2 1 cos 212sin 4 C C =-=- ,及0C π<<, 所以sin 4 C = . (2)当a =2,2sinA =sinC 时,由正弦定理 sin sin a c A C = ,得c =4. 由2 1 cos 22cos 14 C C =-=- ,及0C π<<得 cos 4 C =± . 由余弦定理得222 2cos c a b ab C =+-,得2 120b ±-=. 解得b = 所以4b c ?=?? =??或 4. b c ?=??=?? 8.△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a sin B +3b cos A =3c . ①求B ; ②若△ABC 的面积为33 2 ,b =7,a >c ,求a ,c . [解析](2)①利用正弦定理和三角形中角的关系将边角关系化为角的关系求B ;或用余弦定理将cos A 用边表示后求解;②利用S △ABC =1 2 ac sin B 求出ac ,再结合余弦定理即可求出 a ,c . (2)①解法一:由已知a sin B +3b cos A =3c , 结合正弦定理得sin A sin B +3sin B cos A =3sin C , 所以sin A sin B +3sin B cos A =3sin(A +B ) =3(sin A cos B +sin B cos A ), 即sin A sin B =3sin A cos B ,亦即tan B =3, 因为B ∈(0,π),所以B = π3 . 解法二:∵a sin B +3b cos A =3c , ∴a sin B +3b 2+c 2-a 2 2c =3c , ∴sin B =3·c 2+a 2-b 2 2ac , ∴sin B =3cos B ,即tan B =3,又0 3. ②由S △ABC =12ac sin B ,B =π3,得34ac =33 2,即ac =6, 又b 2 =(a +c )2 -2ac -2ac cos B , 得(7)2 =(a +c )2 -2ac -ac , 所以?????ac =6a +c =5,又a >c ,∴? ????a =3 c =2. 9.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a =b tan A . (1)证明:sin B =cos A ; (2)若sin C -sin A cos B =3 4 ,且B 为钝角,求A ,B ,C . (1)证明 由正弦定理知a sin A =b sin B =c sin C =2R , ∴a =2R sin A ,b =2R sin B ,代入a =b tan A 得 sin A =sin B ·sin A cos A ,又∵A ∈(0,π),∴sin A >0, ∴1=sin B cos A ,即sin B =cos A . (2)解 由sin C -sin A cos B =3 4 知, sin(A +B )-sin A cos B =34,∴cos A sin B =3 4. 由(1)知,sin B =cos A ,∴cos 2 A =34,由于 B 是钝角, 故A ∈? ????0,π2,∴cos A =32,A =π6. sin B = 32,B =2π3,∴C =π-(A +B )=π6 . 10.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a 2 -(b -c )2 =(2-3)bc ,且sin B =1+cos C ,BC 边上的中线AM 的长为7. (1)求角A 和角B 的大小; (2)求△ABC 的面积. 解 (1)由a 2 -(b -c )2 =(2-3)bc , 得a 2 -b 2 -c 2 =-3bc ,即b 2 +c 2 -a 2 =3bc , ∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =3 2 , 又0 6 . 又sin B =1+cos C,0 6, 则sin ? ????5π6-C =1+cos C ,化简得cos ? ?? ??C +π3=-1, 解得C =2π3,∴B =π 6. (2)由(1)知,a =b ,sin C = 32,cos C =-1 2 , 在△ACM 中,由余弦定理得 AM 2=b 2+? ?? ??a 2 2-2b ·a 2 ·cos C =b 2 +b 24+b 2 2=(7)2 ,解得b =2, 故S △ABC =12ab sin C =12×2×2×3 2 = 3. 11.已知,,分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,. (1)求A ;(2)若,△ABC ,求,. 解析:(1)根据正弦定理 ,得,,, 因为, 所以, 即,(1) 由三角形内角和定理,得, 代入(1)式得, 化简得, 因为,所以,即, 而,,从而,解得. (2)若,△ABC 1)得, 则,化简得, 从而解得,. a b c cos sin 0a C C b c --=2a =b c R C c B b A a 2sin sin sin ===A R a sin 2=B R b sin 2= C R c sin 2=cos sin 0a C C b c +--=0sin 2sin 2sin )sin 2(3cos )sin 2(=--+C R B R C A R C A R 0sin sin sin sin 3cos sin =--+C B C A C A C A C A C A B sin cos cos sin )sin(sin +=+=0sin sin cos cos sin sin sin 3cos sin =---+C C A C A C A C A C C A C A sin sin cos sin sin 3=-0sin ≠C 1cos sin 3=-A A 2 1 )6 sin(= - π A π< 6 ππ π < - <- A 6 6π π=-A 3π=A 2a =3 π = A ??? ????==-+=4 3cos 233sin 21 222a bc c b bc ππ???=+=842 2c b bc 2=b 2=c 12.设锐角三角形ABC 的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,2sin a b A =. (1)求B 的大小;(2)求cos sin A C +的取值范围. 【思路点拨】(1)利用正弦定理将边进行角的转换,求得B 的正弦值,进而求B ;(2)利用三角形中的内角和定理,利用三角函数的知识进行求解. 【解析】(1)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1 sin 2 B =, 由AB C △为锐角三角形得π6B = . (2)cos sin cos sin A C A A π??+=+π- - ?6? ? cos sin 6A A π??=++ ??? 1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???. 由ABC △为锐角三角形知,22A B ππ-> -,2263B ππππ-=-=. 2336 A πππ <+<, 所以 1sin 232A π??+< ???. 由此有 232A π? ?<+< ??? 所以cos sin A C +的取值范围为32? ???? ,. 13.在△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a=bcosC+csinB . (Ⅰ)求B ; (Ⅱ)若b=2,求△ABC 面积的最大值. 解析:(Ⅰ)由已知及正弦定理得sin A =sin B cos C +sin C sin B ①, 又A =π-(B +C ),故sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C ②,由①,②和C ∈(0,π)得sin B =cos B ,又B ∈(0,π),所以4 B π=. (Ⅱ)△ABC 的面积1sin 2S ac B ==. 由已知及余弦定理得224=+2cos 4 a c ac π-. 又a 2 +c 2 ≥2ac ,故 ac ≤a =c 时,等号成立.因此△ABC 面积的最大 . 14. 如图,在△ABC 中,∠B =3π,AB =8,点D 在边BC 上,且CD =2,cos ∠ADC =7 1. (1)求sin ∠BAD ; (2)求BD ,AC 的长. 【答案】(1) 14 3 3; (2) 7 【思路点拨】(1)在三角形ADC 中,由已知条件和外角定理可求得sin ∠BAD ;(2)利用正弦定理和余弦定理分别求得BD ,AC 的长。 【解析】(1)在△ABC 中,∵cos ∠ADC = 7 1 , ∴sin ∠ADC = 7 3 4, 则sin ∠BAD =sin(∠ADC -∠B)=sin ∠ADC ?cosB -cos ∠ADC ?sinB = 14 3 3237121734=?-?. (2)在△ABD 中,由正弦定理得37 3 4143 38ADB sin BAD sin AB BD === ? ∠∠?, 在△ABC 中, 由余弦定理得AC 2 =AB 2 +CB 2 -2AB ?BCcosB =82 +52 -2×8×5×2 1 =49, 即AC =7. 15. (2018·云南11校跨区调研)如图,在四边形ABCD 中,∠DAB =π 3,AD ∶AB =2∶3,BD =7,AB ⊥BC . (1)求sin ∠ABD 的值; (2)若∠BCD =2π 3 ,求CD 的长. 解 (1)因为AD ∶AB =2∶3,所以可设AD =2k , AB =3k .又BD =7,∠DAB =π3 , 所以由余弦定理,得(7)2=(3k )2+(2k )2 -2×3k ×2k cos π3,解得k =1,所以AD =2,AB =3, sin ∠ABD =AD sin ∠DAB BD =2× 327=21 7. (2)因为AB ⊥BC ,所以cos ∠DBC =sin ∠ABD = 21 7 , 所以sin ∠DBC =277,所以BD sin ∠BCD =CD sin ∠DBC , 所以CD = 7× 277 32 =43 3 . 16.A ,B 两地间隔着一个水塘(如图),现选择另一点C ,测得CA ,CB=10 km ,∠CBA=60°。 (1)求A ,B 两地之间的距离; (2)若点C 在移动过程中,始终保持∠ACB=60°不变,问当∠CAB 何值时,△ABC 的面 积最大?并求出面积的最大值。 【答案】(1)30 km (2)60° 2253 【思路点拨】(1)过C 作CD ⊥AB 于D ,使用勾股定理依次解出BD ,CD ,AD ,则AB =AD +BD ; (2)利用余弦定理和基本不等式求出AC ·BC 的最大值,根据最大值成立的条件得出∠ CAB 的度数,代入三角形面积公式得出面积的最大值。 【解析】(1)过C 作CD ⊥AB 于D , ∵∠CBA =60°,∴1 5km 2 BD BC ==,2253km CD BC BD =-=。 在Rt △ACD 中,2225km AD AC CD =-=。 ∴AB =AD +BD =30 km 。 (2)在△ABC 中,由余弦定理得2221 cos 22 AC BC AB ACB AC BC +-∠= =?, ∴AC 2 +BC 2 =AC ·BC +AB 2 =AC ·BC +900, ∵AC 2 +BC 2 ≥2AC ·BC , ∴AC ·BC +900≥2AC ·BC , ∴AC ·BC ≤900,当且仅当AC =BC =30时取得等号。 当AC =BC =30时,△ABC 是等边三角形,故∠CAB =60°。 ∴S △ABC 的最大值为23 302253?=。 (I)求 (II)若,求. 2.(2013四川)在 中,角的对边分别为,且 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影. 3.(2013山东)设△ 的内角所对的边分别为,且,, . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值. 4.(2013湖北)在 中,角,,对应的边分别是,,.已知 . (I)求角的大小; (II)若的面积,,求的值. 5.(2013新课标)△ 在内角的对边分别为,已知. (Ⅰ)求; (Ⅱ)若 ,求△ 面积的最大值. 6.(2013新课标1)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90° (1)若PB=1 2 ,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA [ 7.(2013江西)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-3sinA)cosB=0. (1) 求角B 的大小; (2)若a+c=1,求b 的取值范围 B sin sin A C = C ABC ?,,A B C ,,a b c 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-cos A a =5b =BA u u u r BC uuu r ABC ,,A B C ,,a b c 6a c +=2b =7 cos 9 B = ,a c sin()A B -ABC ?A B C a b c ()cos23cos 1A B C -+=A ABC ?S =5b =sin sin B C (I)求 (II)若,求. 【答案】 4.(2013年高考四川卷(理))在 中,角的对边分别为,且 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影. 【答案】解: 由,得 , 即, 则,即 B sin sin A C = C ABC ?,,A B C ,,a b c 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-cos A a =5b =BA u u u r BC uuu r ()I ()()2 3 2cos cos sin sin cos 25 A B B A B B A C ---++=-()()3 cos 1cos sin sin cos 5 A B B A B B B -+---=-????()()3 cos cos sin sin 5 A B B A B B ---=- ()3cos 5A B B -+=- 3cos 5 A =- 解三角形大题专练 1.(2018·北京)在△ABC 中,a =7,b =8,cos B =-1 7. (1)求∠A ; (2)求AC 边上的高. 解 (1)在△ABC 中,因为cos B =-1 7, 所以sin B =1-cos 2 B =43 7 . 由正弦定理得sin A = a sin B b =3 2 . 由题设知π2<∠B <π,所以0<∠A <π 2, 所以∠A =π 3. (2)在△ABC 中, 因为sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =33 14 , 所以AC 边上的高为a sin C =7×3314=33 2 . 2.在△ABC 中,∠A =60°,c =3 7 a . ①求sin C 的值; ②若a =7,求△ABC 的面积. [解析](2)(文)①在△ABC 中,因为∠A =60°,c =3 7a , 所以由正弦定理得sin C = c sin A a =37×32=33 14 . ②因为a =7,所以c =3 7 ×7=3. 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A 得72=b 2+32 -2b ×3×12, 解得b =8或b =-5(舍). 所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×8×3×3 2 =6 3. 3.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin(A +C )=8sin 2 B 2 . ①求cos B ; ②若a +c =6,△ABC 的面积为2,求b . (理)①解法一:∵sin(A +C )=8sin 2 B 2, ∴sin B =8sin 2 B 2,即2sin B 2·cos B 2=8sin 2 B 2, ∵sin B 2>0,∴cos B 2=4sin B 2 , ∴cos 2B 2=1-sin 2B 2=16sin 2B 2,∴sin 2B 2=117 ∴cos B =1-2sin 2B 2=1517 . 解法二:由题设及A +B +C =π得sin B =8sin 2 B 2,故sin B =4(1-cos B ). 上式两边平方,整理得17cos 2 B -32cos B +15=0, 解得cos B =1(舍去),cos B =15 17 . ②由cos B =1517得sin B =817,故S △ABC =12ac sin B =4 17ac . 又S △ABC =2,则ac =17 2. 由余弦定理及a +c =6得, b 2=a 2+ c 2-2ac cos B =(a +c )2-2ac (1+cos B ) =36-17×32 17 =4,∴b =2. 4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知. (1)求tanC 的值; (2)若△ABC 的面积为3,求b 的值。 【答案】(1)2;(2)3. 【思路分析】(1)根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系,再将式子作三角恒等变形即可求解;(2)根据条件首先求得sinB 的值,再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解. 2221 ,42 A b a c π =-= .. 这是经过我整理的一些解三角形的题目,部分题目没有答案,自己去问老师同学,针 对高考数学第一道大题,一定不要失分。——(下载之后删掉我) 1、在b 、c ,向量m2sinB,3, 2 B nB ,且m//n 。 cos2,2cos1 2 (I )求锐角B 的大小;(II )如果b2,求ABC 的面积S ABC 的最大值。 (1)解:m ∥n2sinB(2cos2 B -1)=-3cos2B 2 2sinBcosB =-3cos2Btan2B =-3??4分 2π π ∵0<2B <π,∴2B = 3,∴锐角B = 3 ??2分 (2)由tan2B =-3B = 5π π 或 36 π ①当B = 3 时,已知b =2,由余弦定理,得: 4=a2+c2-ac ≥2ac -ac =ac(当且仅当a =c =2时等号成立)??3分 1 2 ∵△ABC 的面积S △ABC = acsinB = 3 ac ≤3 4 ∴△ABC 的面积最大值为3??1分 5π ②当B =时,已知b =2,由余弦定理,得: 6 4=a2+c2+3ac ≥2ac +3ac =(2+3)ac(当且仅当a =c =6-2时等号成立) ∴ac ≤4(2-3)??1分 1 2 1 acsinB =ac ≤2-3 4 ∵△ABC的面积S△ABC= 2-3??1分∴△ABC的面积最大值为 .. 5、在△ABC中,角A,B,C的对边分别 为a,b,c,且bcosC3acosBccosB. (I)求cosB的值;(II)若BABC2,且b22,求a和c b的值. 解:(I)由正弦定理得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC, 则 2RsinBcosC6RsinAcosB2RsinCcosB, 故sinBcosC3sinAcosBsinCcosB, 可得sinBcosCsinCcosB3sinAcosB, 即sin(BC)3sinAcosB, 可得sinA3sinAcosB.sinA0, 又 因此cosB 1 3 . ????6分 (II)解:由BABC2,可得acosB2,又cosB 1 3 ,故ac 6, 2 由b 2 a 2 c2accosB, 2 可得a 2 c 12, 2 所以(ac)0,ac, 即所以a=c=6 6、在ABC中,cos 5 A, 5 cos 10 B. 10 (Ⅰ)求角C;(Ⅱ)设A B2,求ABC的面积 . cosA 5 5 , cos B 10 10 ,得 A、B0, 2 (Ⅰ)解:由,所以 23 sinA,sinB. 510 ??3分 cosCcos[(A B)]cos(AB)cosAcosBsinAsinB 因为 2 2 ?6分 C. 且0C故 4 解三角形大题经典练习 高考大题练习(解三角形1) 1在"BC中,内角A*的对边分别为a,b,c,已知co TZ 普 cosB (1)求哑的值;(2)若cos^1,^2,求:ABC的面积S . sin A 4 C 2、在.ABC中,角A, B,C的对边分别是a,b,c,已知si nC?cosC=1-s in . 2 (1)求sin C的值; (2)若a2 b2=4(a b) -8,求边c 的值. 3、在. ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c . ■TT d (1)若sin(A ^2 cos A,求A 的值;(2)若cosA= —,b=3c,求sinC 的值. 6 3 5 3 4、- ABC 中,D 为边BC 上的一点,BD=33,sin B ,cos ADC ,求AD . 13 5 高考大题练习(解三角形1、在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知 1 a =1, b =2, cosC 二- 4 (1)求ABC的周长;(2)求cos(A-C)的值. 2、在ABC中,角A, B,C的对边分别是a,b,c .已知si n A ? si nC二psi nB(p?R),且 ac」b2. (1)当p =5,b =1时,求a,c的值;(2)若角B为锐角,求p的取值范围. 4 4 3、在ABC 中,角A, B,C 的对边分别是a,b,c .且2asi nA = (2b,c)si nB,(2c,b)si nC . (1)求A的值;(2)求sin B sinC的最大值. 1 4、在ABC中,角A, B,C的对边分别是a,b,c,已知cos2C - 4 (1)求sinC 的值;(2)当a=2,2s in A=s in C 时,求b,c 的长. 高考大题练习(解三角形3) A 2x15 T 1、在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足cos , AB A^ 3 . 2 5 解三角形专题(高考题)练习【附答案】 1、在ABC ?中,已知内角3 A π = ,边BC =设内角B x =,面积为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域;(2)求y 的最大值. 2、已知ABC ?中,1||=AC ,0120=∠ABC ,θ=∠BAC , 记→ → ?=BC AB f )(θ, (1)求)(θf 关于θ的表达式; (2)(2)求)(θf 的值域; 3、在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.2 1222ac b c a =-+ (1)求B C A 2cos 2 sin 2 ++的值;(2)若b =2,求△ABC 面积的最大值. 4、在ABC ?中,已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =, 2cos 2,2cos 12B n B ? ?=- ?? ?,且//m n 。 (I )求锐角B 的大小;(II )如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 5、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且.cos cos 3cos B c B a C b -= (I )求cos B 的值;(II )若2=?,且22=b ,求c a 和b 的值. 6、在ABC ? 中,cos A = ,cos B =. (Ⅰ)求角C ;(Ⅱ)设AB =ABC ?的面积. 7、在△ABC 中,A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,已知向量(1,2sin )m A =, (sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足(I )求A 的大小;(II )求)sin(6π +B 的值. 8、△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且有sin2C+3cos (A+B )=0,.当13,4==c a ,求△ABC 的面积。 A B C 120° (数学5必修)第一章:解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1.在△ABC 中,若0 30,6,90===B a C ,则b c -等于( ) A .1 B .1- C .32 D .32- 2.若A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( ) A .A sin B .A cos C .A tan D . A tan 1 3.在△ABC 中,角,A B 均为锐角,且,sin cos B A >则△ABC 的形状是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形 4.等腰三角形一腰上的高是3,这条高与底边的夹角为060,则底边长为( ) A .2 B . 2 3 C .3 D .32 5.在△ABC 中,若B a b sin 2=,则A 等于( ) A .006030或 B .006045或 C .0060120或 D .0015030或 6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A .090 B .0120 C .0135 D .0150 二、填空题 1.在Rt △ABC 中,090C =,则B A sin sin 的最大值是_______________。 2.在△ABC 中,若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3.在△ABC 中,若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4.在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13,则C =_____________。 5.在△ABC 中,,26-= AB 030C =,则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1. 在△ABC 中,若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么? 专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断; 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形; 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数; 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式; 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式; 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、(浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文) 已知函数. (1).求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间; (2).当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】(1)π, (2) 【解析】 (1) ,π=T , 单调递增区间为; (2) ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、(河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文)试卷)已知 中,角 所对的边分别是 , 且,其中是的面积,. (1)求的值; (2)若,求的值. 【答案】 (1);(2). (2),所以,得①, 由(1)得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、(湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题)已知函数f(x)=sin(ωx+)- b(ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f(x)的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数. (1)求f(x)的解析式并写出单增区间; (2)当x∈,f(x)+m-2<0恒成立,求m取值范围. 【答案】 (1),单调递增区间为; (2). 解三角形高考大题,带答案 1. (宁夏17)(本小题满分12分) 如图,ACD △是等边三角形,ABC △是等腰直角三角形, 90ACB =∠,BD 交AC 于E ,2AB =. (Ⅰ)求cos CAE ∠的值; (Ⅱ)求AE . 解:(Ⅰ)因为9060150BCD =+=∠, CB AC CD ==, 所以15CBE =∠. 所以62 cos cos(4530)4 CBE +=-=∠. ···················································· 6分 (Ⅱ)在ABE △中,2AB =, 由正弦定理 2 sin(4515)sin(9015) AE =-+. 故2sin 30 cos15 AE = 122 624 ? = +62=-. 12分 2. (江苏17)(14分) 某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处,已知AB=20km ,BC=10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界),且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO 、BO 、OP ,设排污管道的总长为ykm 。 (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ(rad ),将y 表示成θ的函数关系式; ②设OP=x (km ),将y 表示成x 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短。 【解析】:本小题考查函数的概念、 解三角形、导数等基本知识,考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。 (1)①由条件知PQ 垂直平分AB ,若∠BAO=θ(rad ),则10 cos cos AQ OA BAO θ = =∠, 故10 cos OB θ = 又1010OP tan θ=-,所以1010 1010cos cos y OA OB OP tan θθθ =++= ++- B A C D E B C D A O P 解三角形 一、选择题 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=60°,c=2,b=1,则a=( ) A.1 B.3 C.2 D.3 2.设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C所对的边,则直线l1:sin A·x+ay+c=0与l2:bx-sin B·y+sin C=0的位置关系是( ) A.平行B.重合 C.垂直D.相交但不垂直 3.在△ABC中,若2cos B sin A=sin C,则△ABC的形状一定是( ) A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形 4.在△ABC中,已知A∶B=1∶2,∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为3∶2的两部分,则cos A等于( ) A.1 3 B. 1 2 C.3 4D.0 5.在△ABC中,AC=7,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于( ) A. 3 2 B. 33 2 C.3+6 2 D. 3+39 4 6.已知锐角三角形三边长分别为3,4,a,则a的取值范围为( ) A.1解三角形大题及答案
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