高等代数(北大版)第6章习题参考答案

第六章线性空间

设

M N ,

证

明：

M N M , M N N

。

证任

取M , 由 M N ,

得

N , 所

以M N , 即证 M N M 。又因

M N M , 故

M N

M 。再证第二式，任

取

或N , 但 M N , 因此无论

哪一种情形，都有N , 此即。但

N M N , 所以 M N N 。

2.证明 M ( N

L ) (M N ) (M L) ， M (N L) ( M N ) (M L ) 。

证x M (N L), 则

x M 且 x N

L. 在后一情形，于是

x M N或 x M L.

所以 x (M N )(M L) ，由此得 M ( N L) (M N ) (M L ) 。反之，若

x (M N ) ( M L) ，则 x M N或

x M L. 在前一情形， x M , x N , 因此

x N L. 故得 x M ( N L ), 在后一情形，因而

x M , x L, x N L ，得

x M ( N L ), 故 ( M N ) ( M L) M ( N L), 于是 M ( N L) (M N ) (M L ) 。

若

x M （

L），则

M ，

x N L 。

在前一情形 X x M N

，且 X M

L，因而 x

（ M

N）

（ M L）。

在后一情形， x

N ,x 因而

x M N ,

且

X M

，即 X （ M N）（M L）所以L, L

（M N）（M L） M （N L）

故

M （

L） =（）（M L）

M N

即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1）次数等于n（ n 1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设 A 是一个 n× n 实数矩阵， A 的实系数多项式 f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量

乘法；

3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；

4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；

5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

（ a1，b1）（ a b （ a1a2，b1b2a1 a2）

（kk 1） 2

k。（ a1， b1） =（ ka1，kb1+ a1

6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

k a 0 ； 7）集合与加法同 6），数量乘法定义为：

k a a ；

8）全体正实数 r ，加法与数量乘法定义为：

a b ab ， k

a a k ；

解 1）否。因两个 n 次多项式相加不一定是 n 次多项式，例如

（ x n 5）（ x n 2） 3 。 2）令 V={f （A ） |f （ x ）为实数多项式， A 是 n × n 实矩阵 }

因为

f （ x ） +

g （ x ） =

h （ x ）， kf （ x ） =d （ x ）所以

f （ A ） +

g （A ）=

h （ A ）， kf （ A ） =d （ A ）

由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的 1~8 条，故 v 构成线性空间。

3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的 1~8 条性质，只需证明对称矩阵（上三

角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：当 A ， B 为反对称矩阵， k 为任意一实数时，有

（ A+B ） =A+B =-A-B=- （ A+B ）， A+B 仍是反对称矩阵。（ K A ） K A （K ）A （）K ，A 所以 kA 是反对称矩阵。故反对称矩阵的全体构成线性空间。

4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。 5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（ a ， b ）的负元是 2

（-a ， a -b ）。对于数乘：

。（，）（。，。 1(1 1) a 2

) (a, b), 1 a b 1 a 1 b

2 k.(l .(a, b) k.(la , lb l (l 1) a 2 ) (kla ,k[l b l (l 1) a2] k (k 1) (la)2 ) 2 2 2

(kla, k[lb l (l 1) a 2 ] k (k 1) (la)2 ) (kla, kl ( kl 1) a 2 k( k 1) (la )

2 ) 2 2 2 2 (kla, kl (kl 1) a 2 klb) (kl ).(a, b),

2 l ) a, ( k l )(k l 1) a 2 (k l ).( a, b) [( k (k l )b ] 2

k.(a,b

l .(a,b) (ka, kb k( k 1) a 2 ) (la,lb l

1) a 2

) (l

2 2 (ka la, kb k( k 1)a2k (k1)a2kla2 )

2 2

[( k l )a, (k1)(k l1) a2( k l )b] .

即 ( k l ) (a,b) k ( a,b) l (a, b) 。

k [( a1 , b1 ) (a2 ,b2 )] k

( a1a2 , b1 b2a1a2 )

＝ [k (a1 a2 ), k(b1 b2

a1 a2k( k 1) (a1a2 )2 )] ，

2 k ( a1, b1 ) k (a2 , b2 )

k(k ＝ (ka1 ,kb1

2 ＝(ka1 ka2 ,

kb1

＝ (k (a1a2 ),

k(b1

＝ (k (a1a2 ), k (b11) a12 ) (ka 2 ,

kb2k(k 1) a22 )

k( k 1) a12 kb2

k (k 1)

k 2 a1

a2 )

2 2

a2 )k(k 1)

k( k 1)

k 2 a1a2 k a1

a2 )

2 2

a2 )k (k 1)

( a1

2 a

2 )2 ) ，

即k (a

,b1 ) (a2 , b2 ) k (a1, b1 ) k (a2 ,b2 ) ，所以，所给集合构成线性空间。

6）否，因为 1 0. 。

7）否，因为 ( k

l ) , k l 2 , 所以( k l ) ( k ) (l ) ，所给集合不满足线性空间的定义。

8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足

i )a b ab ba b a;

ii )(

a b) c (ab) c abc a (bc)

iii )1是零元： a 1 a

1 a;

iv ) a的负元是1 :

a 1 a 11,且1

a a a a v)1 a a1a;

vi )(

k (l a)) k (a l ) ( a l )

vii )(k

l ) a a k l a k a l(ka) (la ) ;

viii )

k (a b

)k (ab)

( ab)

k a k b k

a(b c);

a 1;

(kl ) a;

( k a) (k b).

所以，所给集合R 构成线性空间。

4 在线性空间中，证明：1） k 0 0 2） k( ) k k 。

证 1） k 0 k( ( )) k k( ) k k( 1) (k ( k )) 0 0 。2）因为 k ( ) k k ( ) k ,所以 k( ) k k 。

5 证明：在实函数空间中，1， cos2 t, cos2t 式线性相关的。

证因为 cos 2 2

cos2

1 2

cos2t

式线性相关

的。

t ，所以 1，

cos

6如果 f1 ( x), f 2 (x), f 3 (x) 是线性空间 P[ x] 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。

证若有不全为零的数 k1 , k2 , k3使 k1 f1 ( x) k2 f2 (x) k3 f3 (x)0 ，

不妨设 k10, 则 f 1

( x) k2 f 2 (x) k3

f 3 ( x) ，这说明 f 2 ( x), f 3 ( x) 的公因式也是

f1 (x)

k1k1

的因式，即 f1 (x), f 2 ( x), f 3 ( x) 有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以f1 (x), f2 ( x), f 3 ( x) 线性无关。

7 在 P 4中，求向量在基 1 , 2 , 3 , 4下的坐标。设

1）1(1,1,1,1), 2(1,1, 1, 1), 3(1, 1,1 1), 4(1, 1, 1,1), (1,2,1,1) ；

2）1(1,1,0,1), 2 (2,1,3,1), 3 (1,1,0,0), 4 (0,1, 1, 1), (0,0,0,1) 。

a b c d 1

解 1）设有线性

关系 a 1 b 2 c 3 d 4

a b c d 2 ，则

b c d

，

a 1

a b c d 1

可得在基1, 2 , 3

, 4下的坐标为

a5 ,b 1 , c 1 ,d 1 。

4 4 4 4

a 2

c 0

2）设有线性关系 a 1 b 2 c 3 d

a b c d 0 4

，则

，

3b d

a b d 1

可得在基1, 2 , 3 , 4下的坐标为 a 1, b 0, c 1, d 0 。

8 求下列线性空间的维数于一组

基： 1）数域

P 上的空间 P n n ； 2）P n n

中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成

的数域

P 上的空间； 3)第 3 题 8)中的空间 ;4)实数域上由矩阵 A 的全

1 0 0 1 3i

体实系数多项式组成的

空间 ,其中 A= 0 0 ,

。

0 0 2 2

解 1) P n n 的基是 E ij

}( i , j 1,2,..., n), 且

dim( P n n ) n 2 。

...

... ... ... 1 ... 2) i) 令 F ij ... ... ，即 a ij a

ji 1

, 其余元素均为零 , 则 ... 1 ... ... ...

... ...

F 11 ,...,F 1n , F 22 ,..., F 2 n ,...,

F nn 是对称矩阵所成线性

空间 M n 的一组基 , 所以 M

n 是 n( n 1) 维的。

...

... ... ...

1 ...

) 令 G ij ... ... ，即 a ij a

ji 1, (i j), 其余元素均为零 , 则

... 1 ... ... ...

... ...

G 12 ,...,G 1n,G 23 ,...,G 2n ,...,G n

1,n 是反对称矩阵所成线性

空间

S n 的一组基 , 所以它

是

n( n 1) 维的。

2 ii

i) E 11 ,...,E 1n, E 22 ,..., E 2n ,..., E nn 是上三角阵所成线性空间的一组基 ,所以它是 n( n 1)

维的。

3)任一不等于 1 的正实数都是线性无关的向量 ,例如取 2，且对于任一正实数

a ,可经 2 线性

表出，即 . a (log 2 a) 2 ,所以此线性空间是一维的，且 2 是它的一组

基。

1, n 3q

3 1,所以

, 3q 1 ，

4)因为, n

2 2 ,

n3q 2

1 1 E, n 3q

于是 A2 2 , A3 1 E ，而 A n A, n 3q 1 。

1 A

2 ,n 3q 2

9.在 P4中 ,求由基1, ，

2 ,3

, 4 , 到

基

2 ,

3 ,4

的过渡矩阵 ,并求

向量

在所指基下的

坐

标。设

1 2 3 4

1,0,0,0 1 0,1,0,0 ， 2 0,0,1,0 3 0,0,0,1 4

2,1, 1,1

0,3,1,0

，

5,3,2,1

6,6,1,3

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 在 1, 2 , 3 , 4 下的坐标； 1 1,2, 10 1

2,1, 0,1 2

2 1, 1,1,1 ， 2 0,1,2,2 ，

4 1,2,1,1 3 1, 1,0,1 4

2,1,1,2 1,3,1,2 1,0,0,0 在 1, 2 , 3 , 4 , 下的坐标；

1 1,1,1,

1 1 3

2 1,1, 1, 1 ， 2 1, 1,1, 1

3 3

4 1

, 1, 1,1 4

1,1,0,1

2,1,3,1

， 1,1,0,0 0,1, 1, 1

1,0,0, 1 在

1, 2 , 3

, 4 下的坐

标；

2 0 5 6

1 （ 1 ,

2 ,

3 ,

4 ）=（ 1 , 2 , 3 ,

1 3 3 6

1 ,

2 ,

3 ,

4 ）

解 4 , ） 1 2 =（ 1 1

1 0 1 3

这里 A 即为所求由基 1 , 2 , 3 , 4

, 到 1,

2 ,

3 ,

4 的过渡矩阵，将上式两边右乘得 1 ，得（ 1 , 2 , 3 , 4 ） =（ 1 , 2 , 3 ,

） 1 ，于是

x 1

（ 1 ,

2 ,

3 ,

x 2

1, 2 , 3 , 1 x 2

，

=（

4 ） x 3

4 ）

x4x4所以在基下的坐标

为

1 x2

，

1 11 9 3 9

1 4 23

这里 = 27 9 3 27 。 1 1 0 0 2 3 3 1 1 7 26 27 9 3 27

2 令 e 1 (1,0,0,0), e 2 (0,1,0,0), e

3 (0,0,1,0),

e 4 (0,0,0,1) 则

1 1 1 1 （ 1 , 2

, 3 , 4 ）

=( e 1 ,e 2,e 3 2

1 2 1

,e 4 ) 1 1 =( e 1 ,e 2, e 3 ,e 4 )A ，

1 0 0 1

1 1

2 0 2 1

（ 1 , 2 , 3 , 4 ） =( e 1 , e 2, e 3 1 1

1 3

, e 4 ) 2 1 =( e 1 , e 2, e 3 ,e 4 )B ，

0 1

1 2 2 2

将( e 1 , e 2 , e 3 , e 4 )=（ 1 , 2 ,

, 4 ） A 1 代入上式 ,

得

（ 1 ,

2 ,

3 , 4

） =（ 1 , 2 ,

3 , 4

） A 1 B ，

这里

3 3 6 5

13 13 13 13 1 0 0 1 5 1

3 4

1 1 0 1 1

13 13 13 , A 1 = B= ， 2 3 4 1 0 1 1 1 13 13 13 13 0 0 1 0 3 2 7 8

13 13 13

且 A

B 即为所求由基 1, 2 , 3 , 4 , 到基 1 , 2 , 3 ,

4 的过渡矩阵，进而有 1 1

1,0,0,0 =( e 1 ,e 2, e 3 ,e 4 0 1 ,

2 ,

3 ,

4 ）

A 1 0

)=（

0 0

3 13 5

=（1 , 2

, 3 , 4 ）13 ，

所

以在1 , 2 ,3 ,4

下的坐标

为 3 , 5 , 2, 3 。

3 13 13

3 e1 ,e2, e3 , e4同 2 ，同理可

得

1 1 1 1 1

2 1 0

A= 1 1 11

, B=

1 1 1 1 1 1 110 3 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 ,

4 1

1 1 1 1

则所求由1

, 2 , 3 ,4 到1,2 ,3

, 4的过渡矩阵

为

3 71 1

4 42 4

1 1 13

B= 4 4 24

。

1 3 1

4 4 4 1 1

1 4 4 4

再

令 a 1 +b 2

+d 4

，

即

1 1 1 0 1

1,0,0,0 a,b, c, d 2 2 1 3 1

a, b,c, d

1 0

，

3 10

4 0 1 1 1

由上式可解

得在下的坐标为1,2 , 3 ,4

下的坐标

为

a, b, c,

d2, 1 4, 3 a

1。

2 2

10．继第 9 题 1）求一非零向量，它在基

, 2 , 3 , 4 与

, 2 , 3 , 4 下

有相同的坐标。

解设在两基下的坐

标为 x 1 , x 2 , x 3, x 4 ，则

x 1

=（ 1 , 2 , 3 ,

）

x 2 =（ 1 ,

2 ,

3 , 4

）

2 。 x 3

x 3

x 4

x 4 又因为

（ 1, 2 , 3 , 4 ） =（ 1 , 2 , 3 , 4 ）

所以

x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 （ A -

E ）

x 2 x 3 =A

=0。 x 3 x 3 x 4

x 4

又

2 0 5 6

1 3 3 6

, 2

, 3 , 4 ）

A ，

1 1

2 =（ 1 1 1 0 1 3

1 0 5 6

2 3

1 2 3 1

6 1 1 0

，

A E

1 1 0, 且 1

1 1

0 1 1 0 1 1

于是只要令 x 4 c, 就有

x 1 2x 2 3x 3 6c x 1 x 2 x 3 c ， x 1 x 3 2c

解此方程组得

x 1 , x 2 , x 3, x 4 = c,c,c, c (c 为任意非零常数 )，

取 c 为某个非零常

数

c0，则所

求为

c0 1c0 2 c0 3 c

0 4

。

11.证明：实数域作为它自身的线性

空间与第 3 题 8）中的空间同构。证因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。

12.设 V ,V 都是线性空间 V 的子空间，且V1 V2，证明：如果

的维数与

的维数

相

1 2 1 2

等，那么 V1 V2。

证设 dim( V1 )=r，则由基的扩充定理，可找到 V1的一组基 a1 ,

,.....a r , ，因

，

且它们的唯数相等，故

,..... , ，也

是

的一组基，所

以= 。a1a2a r V2

13．A P n n。

1）证明：全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C（A ）；2）当 A=E 时，求 C（ A ）；

2 3）当 A=

时，求 C（ A ）的维数和一

组基。........................

证 1）设与 A 可交换的矩阵的集合记为C(A) 。若 B,D 属于 C(A) ，可得

A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(

B+D)A ，

故 B+D C(A) 。若 k 是一

数， B C ( A) ，可得

A （ kB）

=k(AB)=k(BA)=(kB)A ，

所以 kB C(A) 。故 C(A) 构成 P n n子空间。

2）当 A=E 时， C（ A ） = P n n。

3）设与 A 可交换的矩阵为B=（ b ij），则 B 只能是对角矩阵，故维数为 n, E11 , E22 ,...E nn

即为它的一组基。

14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。

解若记

1 0 0 0 0 0

A=0 1 0 0 0 0 E S ，

0 0 1 3 1 1

a b c

并设

B= a1b1c1与 A 可交换，即 AB=BA ，则 SB=BS 。且由

a2b2c2

0 0 0 a b c 000

SB= 0 0 0 a1b1c1000 ，

3 1 1 a2b2c23a a1 a23b b1 b23c c1c2

高等代数(北大版)第6章习题参考答案

第六章线性空间 . 设 M N , 证明： M N M , M N N 。 1 证任取M , 由 M N , 得 N , 所以M N , 即证 M N M 。又因 M N M , 故 M N M 。再证第二式，任取 M 或N , 但 M N , 因此无论哪一种情形，都有N , 此即。但 N M N , 所以 M N N 。 2.证明 M ( N L ) (M N ) (M L) ， M (N L) ( M N ) (M L ) 。证x M (N L), 则 x M 且 x N L. 在后一情形，于是 x M N或 x M L. 所以 x (M N )(M L) ，由此得 M ( N L) (M N ) (M L ) 。反之，若 x (M N ) ( M L) ，则 x M N或 x M L. 在前一情形， x M , x N , 因此 x N L. 故得 x M ( N L ), 在后一情形，因而 x M , x L, x N L ，得 x M ( N L ), 故 ( M N ) ( M L) M ( N L), 于是 M ( N L) (M N ) (M L ) 。若 x M （ N L），则 x M ， x N L 。在前一情形 X x M N ，且 X M L，因而 x （ M N）（ M L）。在后一情形， x N ,x 因而 x M N , 且 X M ，即 X （ M N）（M L）所以L, L （M N）（M L） M （N L）故 M （ N L） =（）（M L） M N 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n（ n 1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设 A 是一个 n× n 实数矩阵， A 的实系数多项式 f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：（ a1，b1）（ a b （ a1a2，b1b2a1 a2）（kk 1） 2

高等代数北大版第章习题参考答案

第七章线性变换 1．? 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）? 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）? 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）? 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）? 在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）? 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）? 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）? 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8）? 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx = k A )(α，故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ，再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ，故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ， A (k X )=k BXC k kX B ==)()(A X ，故A 是n n P ?上的线性变换。

高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程

第一学期第一次课第一章代数学的经典课题 §1 若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义定义（数域）设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有 K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时，，且当，，则称K 为一个数域。例1.1 典型的数域举例：复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。命题任意数域K 都包括有理数域Q 。证明设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。于是 K a a K a a ∈= ∈-=10，。进而∈?m Z 0>, K m ∈+??++=111。最后，∈?n m ,Z 0>， K n m ∈，K n m n m ∈-=-0。这就证明了Q ?K 。证毕。 1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，记做B A \。定义（集合的映射）设A 、B 为集合。如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素（记做)(a f ），则称f 是A 到B 的一个映射，记为 ). (, :a f a B A f α→ 如果B b a f ∈=)(，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像，记做)(A f ，即{}A a a f A f ∈=|)()(。若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈?都存在A a ∈，使得b a f =)(，则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射，则称f 为双射，或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号 1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21Λ，我们使用如下记号：

高等代数(北大版)第5章习题参考答案.doc

第五章二次型 1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1） 4 x 1 x 2 2 x 1 x 3 2x 2 x 3 ； 2） x 12 2 x 1 x 2 2x 22 4x 2 x 3 4x 32 ； 3） x 12 3x 22 2x 1 x 2 2x 1 x 3 6x 2 x 3 ； 4） 8x 1 x 4 2x 3 x 4 2x 2 x 3 8x 2 x 4 ； 5） x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 ； 6） x 12 2 x 22 x 42 4x 1 x 2 4x 1 x 3 2x 1 x 4 2x 2 x 3 2x 2 x 4 2 x 3 x 4 ； 7） x 2 x 2 x 2 x 2 2x 1 x 2 2x 2 x 3 2x x 4 。 1 2 3 4 3 解1）已知 f x 1 , x 2 , x 3 4x 1 x 2 2x 1x 3 2x 2 x 3 ，先作非退化线性替换 x 1 y 1 y 2 x 2 y 1 y 2 （ 1） x 3 y 3 则 f x 1 , x 2 , x 3 4 y 12 4y 22 4 y 1 y 3 4y 2 4y y y 2 y 2 4y 2 1 1 3 3 3 2 2 y 1 3 y 32 4 y 22 ， y 3 再作非退化线性替换 y 1 1 z 1 1 z 3 2 2 y 2 z 2 （ 2） y 3 z 3 则原二次型的标准形为

f x 1 , x 2 , x 3 z 12 4z 22 z 32 ，最后将（ 2）代入（ 1），可得非退化线性替换为 x 1 1 z 1 z 2 1 z 3 2 2 x 2 1 z 2 1 （ 3） z 1 z 3 2 2 x 3 z 3 于是相应的替换矩阵为 1 0 1 1 0 1 1 1 0 2 2 2 2 T 1 1 0 1 1 1 1 0 0 2 ， 1 0 0 1 2 1 且有 1 0 0 T AT 0 4 0 。 0 1 2 ）已知 f x 1 , x 2 , x 3 x 12 2x 1 x 2 2x 22 4 x 2 x 3 4x 32 ，由配方法可得 f x , x , x x 2 2x x 2 x 2 x 2 4x x 3 4x 2 1 2 3 1 1 2 2 2 3 x 1 x 2 2 x 2 2x 3 2 ，于是可令 y 1 x 1 x 2 y 2 x 2 2x 3 ， y 3 x 3 则原二次型的标准形为 f x , x 2 , x 3 y 2 y 2 ， 1 1 2 且非退化线性替换为

高等代数(北大版)第6章习题参考答案

第六章线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。证任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论哪一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。证 ),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若 )()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。在前一情形X x M N ∈， X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以（）（M L ）（N L ）故（L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2）设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。（a ，）=（ka ，kb +

(完整版)高等代数(北大版)第9章习题参考答案

第九章欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=，因此有B A =。