向量的运算法则

（1）实数与向量的运算法则：设λ、μ为实数，则有： 1）结合律：a a )()(λμμλ=。

2）分配律：a a μλμλ+=+)(，b a b a λλλ+=+)(。 （2）向量的数量积运算法则： 1）a b b a ••=。

2）)()()(b a b a b a b a λλλλ===•••。 3）c b c a c b a •••+=+)(。 （3）平面向量的基本定理。

21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a ，有且仅有一对实数21,λλ，满足2211e e a λλ+=。

（4）a 与b 的数量积的计算公式及几何意义：θcos ||||b a b a =•，数量积b a •等于a 的

长度||a 与b 在a 的方向上的投影θcos ||b 的乘积。

（5）平面向量的运算法则。

1）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a +b ＝1212(,)x x y y ++。 2）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a -b ＝1212(,)x x y y --。 3）设点A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--。 4）设a ＝(,),x y λ∈R ，则a λ＝(,)x y λλ。 5）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a •

b ＝1212()x x y y +。

（6）两向量的夹角公式：

cos θ（a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ）。

（7）平面两点间的距离公式：

,A B d ＝||AB AB AB =⋅（A 11(,)x y ，B 22(,)x y ）。

（8）向量的平行与垂直：设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，且b ≠0，则有： 1）a ||b ⇔b ＝λa 12210x y x y ⇔-=。

2）a ⊥b （a ≠0）⇔ a ·b ＝012120x x y y ⇔+=。 （9）线段的定比分公式：

设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点，λ是实数，且12P

P PP λ=，则

121

211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨

+⎪=⎪+⎩

⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）。 （10）三角形的重心公式：

△ABC 三个顶点的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则△ABC 的重心的坐标为123123

(

,)33

x x x y y y G ++++。 （11）平移公式：

''''

x x h x x h y y k y y k

⎧⎧=+=-⎪⎪

⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ 。 （12）关于向量平移的结论。

1）点(,)P x y 按向量a ＝(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++。

2）函数()y f x =的图像C 按向量a ＝(,)h k 平移后得到图像'C :()y f x h k =-+。 3）图像'C 按向量a ＝(,)h k 平移后得到图像C :()y f x =，则'C 为()y f x h k =+-。 4）曲线C :(,)0f x y =按向量a ＝(,)h k 平移后得到图像'C :(,)0f x h y k --=。

设a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量的加法

OB+OA=OC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。[1]

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被

向量的减法

减”

a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').

如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。

3、向量的数乘

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。当λ>0时，λa与a同方向

当λ<0时，λa与a反方向；

向量的数乘

当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当λ>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的∣λ∣倍

当λ<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或××反方向（λ<0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。[2]

4、向量的数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π