非常好的定积分与微积分基本定理复习讲义教案资料
非常好的定积分与微积分基本定理复习讲
义
定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了]
考什么怎么考
1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.
2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题.
2.考查简单定积分的求解.
3.考查曲边梯形面积的求解.
4.与几何概型相结合考查.
[归纳·知识整合]
1.定积分
(1)定积分的相关概念:在∫b a f(x)d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)d x叫做被积式.
(2)定积分的几何意义
①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分).
②一般情况下,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下
方的面积等于该区间上积分值的相反数.
(3)定积分的基本性质: ①∫b a kf (x )d x =k ∫b a f (x )d x .
②∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x =∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x .
③∫b a f (x )d x =∫c a f (x )d x +∫b c f (x )d x .
[探究] 1.若积分变量为t ,则∫b a f (x )d x 与∫b a f (t )d t 是否相等?
提示:相等.
2.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗? 提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算.
3.定积分∫b a [f (x )-g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么?
提示:由直线x =a ,x =b 和曲线y =f (x ),y =g (x )所围成的曲边梯形的面积.
2.微积分基本定理:如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数,并
且F ′(x )=f (x ),那么∫b a f (x )d x =F (b )-F (a ),这个结论叫做微积分基
本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式. 为了方便,常把F (b )-F (a )
记成F (x )|b a ,即 ∫b a f (x )d x =F (x )|b a =F (b )-F (a ).
课前预测:
1.∫421x d x 等于( )
A .2ln 2
B .-2ln 2
C .-ln 2
D .ln 2 2.(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )=t 2-t +2,质点作直线运动,则此物体在时间[1,2]内的位移为( )
A.176
B.143
C.136
D.116
3.(教材习题改编)直线x =0,x =2,y =0与曲线y =x 2所围成的曲边梯形的面积为________.
4.(教材改编题)∫101-x 2d x =________.
5.由y =1x ,直线y =-x +52所围成的封闭图形的面积为
________
考点一 利用微积分基本定理求定积分
[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分:
(1)∫21(x 2+2x +1)d x ;(2)∫π0(sin x -cos x )d x ;
(3)∫20x (x +1)d x ;(4)∫21? ????e 2x +1x d x ; (5)20π? sin 2x 2d x .
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求定积分的一般步骤:
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差;
(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分;
(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数;
(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值;
(5)计算原始定积分的值.
强化训练:
1.求下列定积分:(1)∫20|x -1|d x ;(2)
20π?1-sin 2x d x .
考点二 利用定积分的几何意义求定积分
[例2]∫10-x2+2x d x=________.
变式:在本例中,改变积分上限,求∫20-x2+2x d x的值.———————————————————
利用几何意义求定积分的方法
(1)当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时,可考虑用定积分的几何意义求定积分.
(2)利用定积分的几何意义,可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小.
强化训练:
2.(2014·福建模拟)已知函数f(x)=∫x0(cos t-sin t)d t(x>0),则f(x)的最大值为________.
考点三:利用定积分求平面图形的面积
[例3](2014·山东高考)由曲线y=x,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为()
A.10
3B.4 C.
16
3 D.6
变式训练:
若将“y=x-2”改为“y=-x+2”,将“y轴”改为“x 轴”,如何求解?
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利用定积分求曲边梯形面积的步骤
(1)画出曲线的草图.
(2)借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限.
(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差.
(4)计算定积分,写出答案.
强化训练:
3.(2014·郑州模拟)如图,曲线y =x 2和直线x =0,
x =1,y =14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )
A.23
B.13
C.12
D.14
考点四:定积分在物理中的应用
[例4] 列车以72 km/h 的速度行驶,当制动时列车获得加速度a =-0.4 m/s 2,问列车应在进站前多长时间,以及离车站多远处开始制动?
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1.变速直线运动问题
如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v =v (t )(v (t )≥0),那么物体从时刻t =a 到t =b 所经过的路程为∫b a v (t )d t ;如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v =v (t )(v (t )≤0),那么物体从时刻t =a 到t =b 所经过的路程为-∫b a v (t )d t .
2.变力做功问题
物体在变力F (x )的作用下,沿与力F (x )相同方向从x =a 到x =b
所做的功为∫b a F (x )d x .
强化训练:
4.一物体在力F (x )=?????
10 (0≤x ≤2)3x +4 (x >2)(单位:N)的作用下沿与
力F (x )相同的方向运动了4米,力F (x )做功为( )
A .44 J
B .46 J
C .48 J
D .50 J
1个定理——微积分基本定理
由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知,求导与积分是互为逆运算.
3条性质——定积分的性质
(1)常数可提到积分号外;(2)和差的积分等于积分的和差;
(3)积分可分段进行.
3个注意——定积分的计算应注意的问题
(1)若积分式子中有几个不同的参数,则必须分清谁是积分变量;
(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限;
(3)面积非负, 而定积分的结果可以为负.
易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点
[典例] (2013·上海高考)已知函数y =f (x )的图象是折线段ABC ,其
中A (0,0),B ? ??
??12,5,C (1,0).函数y =xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________.
[易误辨析]
1.本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误.
2.本题易弄错积分上、下限而导致解题错误,实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错.
3.解决利用定积分求平面图形的面积问题时,应处理好以下两
个问题:
(1)熟悉常见曲线,能够正确作出图形,求出曲线交点,必要时能正确分割图形;
(2)准确确定被积函数和积分变量.
变式训练:1.由曲线y =x 2,y =x 3围成的封闭图形面积为( )
A.112
B.14
C.13
D.712
2.(2014·山东高考)设a >0.若曲线y =x 与直线x =a ,y =0所围成封闭图形的面积为a 2,则a =________.
定积分与微积分基本定理检测题
定积分与微积分基本定理练习题及答案
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题. 2.考查简单定积分的求解. 3.考查曲边梯形面积的求解. 4.与几何概型相结合考查. 1.定积分 (1)定积分的相关概念:在∫b a f(x)d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)d x叫做被积式. (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分). ②一般情况下,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所 示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数. (3)定积分的基本性质:①∫b a kf(x)d x=k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x=∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x=∫c a f(x)d x+∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t,则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等? 提示:相等. 2.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗? 提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算. 3.定积分∫b a[f(x)-g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么? 提示:由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积. 2.微积分基本定理:如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么∫b a f(x)d x=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.为了方便,常把F(b)-F(a)记成F(x)| b a,即∫b a f(x)d x=F(x) |b a=F(b)-F(a). 课前预测: 1.∫421 x d x等于( ) A.2ln 2 B.-2ln 2 C.-ln 2 D.ln 21-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
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定积分及微积分基本定理练习题及答案